El seno del ángulo agudo es la razón entre las longitudes del cateto opuesto al mismo y la

Transcripción

1 T.7: TRIGONOMETRÍA 7.1 Medidas de ángulos. El radián. Ángulo reducido. Las unidades más comunes que se utilizan para medir los ángulos son el grado sexagesimal y el radián: Grado sexageximal: es cada una de las 360 partes iguales en las que se divide la circunferencia. Cada grado se divide en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos. Radián: Si se toma una circunferencia, de radio r, y se lleva esa longitud r sobre un arco de la misma, el ángulo central determinado por el arco y sus radios extremos mide un radián. Se simboliza por rad. Ejemplo 1: Pasa a radianes 45 o 360 o π rad 45 o x rad Ejemplo 2: Pasa a grados 360 o π rad x Es posible y deseable para muchas situaciones disponer de una definicin que permita la existencia de ángulos con amplitudes superiores a 360 o o incluso con amplitudes negativas. Ángulo reducido: A todo ángulo se le puede asociar un ángulo positivo entre 0 o y 360 o. Ejemplo 1: Calcula el ángulo reducido asociado a 1000 o Ejemplo 2: Calcula el ángulo reducido asociado a -210 o Ejercicio 1: Calcula el ángulo reducido de 1315 o y o, y exprésalo en grados y radianes. 7.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Las razones trigonométricas son expresiones matemáticas que relacionan medidas de ángulos y de distancias. Sea el triángulo rectángulo: El seno del ángulo agudo es la razn entre las longitudes del cateto opuesto al mismo y la hipotenusa: El coseno del ángulo agudo es la razn entre las longitudes del cateto contiguo al mismo y la hipotenusa: La tangente del ángulo agudo es la razn entre las longitudes del cateto opuesto al mismo y del cateto contiguo al mismo:

2 Estas relaciones definen un número cuyo valor no depende del triángulo elegido para calcularlo, sino solo de los ángulos, ya que las relaciones entre los lados serán proporcionales según el Teorema de Tales: Se denominan razones trigonométricas inversas a: Ejercicio 2: Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de estos triángulos: 7.3 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Se denomina circunferencia goniométrica a aquella que tiene como radio la unidad, y está centrada en los ejes de coordenadas cartesianos. Razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante - El seno del ángulo α coincide con el valor de la ordenada del punto A: - El coseno del ángulo α es el valor de la abscisa del punto A: - La tangente del ángulo α es el resultado de dividir la ordenada del punto A entre su abscisa, o también, es el valor de la ordenada del punto A : Signo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera Teniendo en cuenta el signo de las coordenadas de un punto en los distintos cuadrantes, se puede determinar de forma inmediata el signo de las razones trigonométricas de un ángulo si se sabe en qué cuadrante se encuentra su ángulo reducido correspondiente. Valor de las razones trigonométricas Ejercicio 3: Indica los valores de las razones trigonométricas de: 0 o, 90 o, 180 o, 270 o. Ejercicio 4: Indica el signo de las razones trigonométricas de: 120 o, -70 o, 256 o, 750 o.

3 7.4 Reduccin al primer cuadrante de las razones trigonométricas. Reducir una razn trigonométrica de un ángulo al primer cuadrante es encontrar otra razn trigonométrica con el mismo valor que la dada, pero que esté referida a un ángulo del primer cuadrante. Ángulos suplementarios ( ) Ángulos que se diferencian en 180 o ( ) Ángulos que suman 360 o ( ) Ángulos negativos ( ) Igual que los que suman 360 o Ángulos complementarios ( ) Ejercicio 5: Expresa las siguientes razones trigonométricas en funcin de otra del 1er cuadrante:

4 7.5 Relaciones entre las razones trigonométricas. Las siguientes relaciones se utilizan para calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo conociendo solo una de ellas, y a qué cuadrante pertenece: Como los triángulos OA A y OA A son semejantes, por el teorema de Tales: Relacin fundamental de la trigonometría: Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OA A + Si se dividen los dos miembros de la ecuacin fundamental por se obtiene: Si se dividen los dos miembros de la ecuacin fundamental por se obtiene: + Ejemplo: Sabiendo que α es un ángulo del primer segundo cuadrantes, y que el, calcula el valor de las demás razones trigonométricas de α. Como: + + Y como está en el segundo cuadrante Como: Ejercicio 6: Calcula todas las razones trigonométricas en cada caso, y una vez halladas calcula α: si α Є si α Є d) si α Є e) si α Є c) si α Є 7.6 Razones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos. Ejemplo: Calcula, sabiendo que, siendo, y que, siendo. 168,

5 Ejercicio 7: Calcula, sabiendo que, siendo, y que, siendo. 7.7 Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad. Ejemplo: Sabiendo que el, calcula + Ejercicio 8: Sabiendo que el, calcula 7.8 Transformacin de productos en sumas. Ejemplo: Convierte en una suma de razones trigonométricas. Ejercicio 9: Convierte en una suma de razones trigonométricas. Ejercicio 10: Resuelve c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) 7.9 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas Una ecuacin trigonométrica es aquella en la que la incgnita aparece como argumento en una o varias razones trigonométricas.

6 Estas ecuaciones cuentan habitualmente con infinitas soluciones: - Hay que tener en cuenta qué ángulos en diferentes cuadrantes tendrán la misma razn trigonométrica. - Hay que tener en cuenta que los ángulos al añadirle vueltas completas tienen la misma razn trigonométrica. Ejemplo: Resuelve la ecuacin Ejemplo: Resuelve la ecuacin Ejemplo: Resuelve la ecuacin Ejercicio 11: Resuelve c) d) e) f) g) h) i) j) 7.10 Teoremas del seno y del coseno. Teorema del seno ya que y que y tomando otra altura lo haríamos de manera similar con A y B; y con A y C. Teorema del coseno y de manera análoga lo haríamos con cada lado del triángulo Resolucin de un triángulo. Para poder determinar los 6 elementos de un triángulo, es suficiente con conocer 3 de ellos, siendo al menos uno de ellos un lado. *

7 Área del triángulo Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, el área del triángulo se puede obtener mediante la siguiente expresin: Ejercicio: Resuelve el siguiente triángulo rectángulo y calcula su área: Ejercicio 12: Resuelve los siguientes triángulos y calcula sus áreas: d) e) c) f) Ejercicio 13: Desde un punto del suelo se ve la copa de un pino bajo un ángulo de. Si nos alejamos 2,5 m hacia otro punto del suelo, alineado con el anterior y con el pie del pino, vemos la copa bajo un ángulo de. Calcula la altura del pino. Ejercicio 14: Calcula la altura de los edificios de la figura: Ejercicio 15: Dos coches con velocidades constantes respectivamente de 90 y 80 km por hora, toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de. Qué distancia habrá entre ellos cuando lleven 15 minutos de viaje? Ejercicio 16: Un avin vuela entre dos ciudades, A y B, que distan entre sí 75 km. Las visuales desde A y B hasta el avin forman con la horizontal ángulos de y de amplitud, respectivamente. Calcula la altura a la que vuela el avin y las distancias a las que se encuentra de A y B, suponiendo que el avin y las ciudades están sobre el mismo plano vertical. Ejercicio 17: Calcula la distancia entre los puntos A y B: Ejercicio 18: Calcula el ángulo de tiro del jugador que está situado en el punto B del campo: Ejercicio 19: Un hombre observa una antena de radio bajo un ángulo de elevacin de. Si se aleja 45 metros, el nuevo ángulo de elevacin será de. Halla la altura de la antena.