JUNIO Opción A Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.

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1 Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de.- Dada la función f () +, se pide: a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, y las asíntotas. b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función g () rectas, 4. f ( ), el eje OX y las Dadas las matrices B 0 0, C 0 m 4 6 y D 3 : 0 0 a) Para qué valores de m eiste B? Para m, calcular B. b) Para m, hallar la matriz X tal que X B + C D. 4.- Se consideran las rectas r y s dadas por las ecuaciones: y+ z y+ z r, s. + y z 3 a a) Hallar el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares. b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada z es 0. Dpto. Matemáticas / IES Ramón Olleros

2 Junio 00 (Prueba Específica) Opción B Calcular b y c sabiendo que la función f () ln( + ) 0. b c si 0 si > 0 es derivable en el punto.- Calcular la siguiente integral: 3 + d. 3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible, el sistema: + z y+ ( a ) z 0 + ( a ) y+ az a z 4.- Dadas las rectas s y y t 3 y a t y la distancia entre ambas rectas. y 0, se pide hallar la perpendicular común a s y z 4 Dpto. Matemáticas / IES Ramón Olleros

3 Junio 00 (Prueba Específica) SOLUCIONES Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de Hagamos una representación gráfica de la parábola y la recta dadas y dibujemos un rectángulo que tenga un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola para hacernos una idea de la situación: Consideremos el punto P de la figura (vértice inferior derecho del rectángulo), cuyas coordenadas son e y. En función de ellas área del rectángulo viene dada por: A (, y) (9 y) Como el punto P pertenece a la parábola, sus coordenadas están ligadas mediante la ecuación y, y por tanto el área del rectángulo epresado solamente en función de la abscisa de dicho 3 punto P es: A () Como dicho área ha de ser máima, calculemos la derivada primera de A (): A () 8 Dicha derivada se anula para ±3. Al ser P el vértice inferior derecho del rectángulo, la solución negativa la desechamos. Para probar si para 3 el área es máima, calculemos A () y comprobamos el signo que toma en 3. A () 4 A (3) 4 3 < 0 Máimo Por tanto las dimensiones y el área del rectángulo son: Base 6 u; Altura 6 u; Área 36 u. Dpto. Matemáticas 3 / 3 IES Ramón Olleros

4 Junio 00 (Prueba Específica).- Dada la función f () +, se pide: a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, y las asíntotas. b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función g () rectas, 4. f ( ), el eje OX y las a) En primer lugar tengamos en cuenta que Dom f () {}. Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, calculemos la derivada primera: ( ) ( + ) f () ( ) ( ) Los puntos singulares los calculamos al resolver la ecuación f () 0: f () 0 ( ) 0 No tiene raíces reales. Representemos sobre una recta el punto que no pertenece al dominio y estudiemos el signo de la derivada primera en cada uno de los intervalos en que queda dividida la recta real: f () < 0 f () < 0 Por tanto, la función f decrece en todo su dominio. De esto se deduce que la función no presenta ni máimos ni mínimos. Para estudiar los intervalos de concavidad y conveidad de la función, calculemos la derivada segunda: f () 0 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 3 Los puntos en los que se anula la misma son, f () 0: 4 f () 0 3 ( ) 0 No tiene raíces reales. Representemos sobre una recta el punto que no pertenece al dominio y estudiemos el signo de la derivada segunda en cada uno de los intervalos en que queda dividida la recta real: f () < 0 f () > 0 Dpto. Matemáticas 4 / 4 IES Ramón Olleros

5 Junio 00 (Prueba Específica) Por tanto, la función f es cóncava a las y positivas en (, + ) y cóncava a las y negativas en (, ). Finalmente, calculemos las asíntotas. Asíntotas verticales: La función f presenta una asíntota vertical en, que es el punto que no pertenece al dominio, ya que: + Lim Asíntotas horizontales: La función f presenta una asíntota horizontal en y, ya que: + Lim ± b) Calculemos el área de la región limitada por la gráfica de la función g () las rectas, 4. La función g () viene dada por: + g () f ( ), el eje OX y El dominio de dicha función es Dom g () {0, }. Calculemos los puntos de corte de dicha función con el eje OX (y 0): + g () 0 0 Dicho punto no está en el intervalo definido por las rectas y 4. Esto significa que en dicho intervalo la función mantiene es signo, que en este caso es positivo (como se comprueba fácilmente). Así, el área pedida viene dada por: 4 + Área d Calculemos la integral indefinida de la función racional g (). Descompongamos el integrando en fracciones simples. Para ello, calculemos las raíces del denominador: 0 0 y Entonces: + A B A( ) + B ( A+ B) A + ( ) ( ) Igualando los coeficientes del numerador obtenido con los coeficientes del primer miembro se llega al sistema: A+ B A Resolviéndolo, A y B. La integral se puede descomponer entonces como suma de dos integrales simples: + d + d d ln + ln + C + ( ) Dpto. Matemáticas 5 / 5 IES Ramón Olleros

6 Por tanto: Área 4 + d Junio 00 (Prueba Específica) 4 [ ln + ln ] ( ln 4 + ln 3) ( ln + ln ) ln 9 u Dadas las matrices B 0 0, C 0 m 4 6 y D : a) Para qué valores de m eiste B? Para m, calcular B. b) Para m, hallar la matriz X tal que X B + C D. a) B eistirá para aquellos valores de m que hagan B 0. Calculemos pues B : 0 0 B m m B 0 si m 0 Por tanto, eiste B para aquellos valores de m no nulos (m 0). En concreto, eistirá para m. En este caso la matriz B es: B y B. Calculemos B : B t Ajd( B ) B donde Adj(B t ) significa la matriz adjunta de la transpuesta de B B t 0 Adj(B t ) 0 0 B t Ajd( B ) B b) Para m, calculemos la matriz X tal que X B + C D. Despejando dicha matriz X de la ecuación dada, se obtiene que: X (D C) B Realicemos las operaciones pertinentes: D C X (D C) B Dpto. Matemáticas 6 / 6 IES Ramón Olleros

7 Junio 00 (Prueba Específica) 4.- Se consideran las rectas r y s dadas por las ecuaciones: y+ z y+ z r, s. + y z 3 a a) Hallar el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares. b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada z es 0. a) Las rectas r y s serán perpendiculares si lo son sus vectores directores v r y v s. En este caso se cumplirá que: v r v s 0 Calculemos un vector director de cada una de las rectas. Para la recta r, tomemos a z como parámetro (z λ). Así: y λ r r y λ v + y + λ r (0,, ) z λ Por otra parte, se obtiene directamente de la ecuación de s que v s (3,, a). Entonces: Por tanto, a. v r v s (0,, ) (3,, a) a + a 0 b) La recta t paralela a r y que pasa por el punto de s, S, cuya coordenada z es 0, viene determinada por el par t (S, v r ). Determinemos S, sustituyendo en la recta s la coordenada z por 0 y calculando sus otras dos coordenadas e y: y+ 0 e y S (,, 0) 3 Las ecuaciones paramétricas de la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada z es 0 son: t y + µ z µ Dpto. Matemáticas 7 / 7 IES Ramón Olleros

8 Junio 00 (Prueba Específica) Opción B Calcular b y c sabiendo que la función f () ln( + ) 0. b c si 0 si > 0 es derivable en el punto Si la función f es derivable en 0 entonces es continua en dicho punto. Al ser continua en dicho punto debe eistir Lim f ( ), y por tanto se ha de cumplir que: Así: 0 Por tanto, se deduce que c. 0 Lim f ( ) 0 Lim f ( ) Lim f ( ) + 0 Lim 0 ( + b + c) c ln( + ) + + L' Hopital Lim Lim Lim Por otra parte, la derivada de la función, salvo para 0, viene dada por: + b si 0 f () ( + )ln( + ) si > 0 ( + ) Como dicha función es derivable para 0, se ha de cumplir que las derivadas laterales coincidan, esto es, f (0 ) f (0 + ). Tenemos que f (0 ) se calcula fácilmente y toma el valor f (0 ) b. Sin embargo, para calcular f (0 + ), debemos aplicar la definición de derivada lateral, pues directamente no es posible calcularla: ln( h ) + f (0 + f (0 + h) f(0) ln( ) ) h h+ h Lim Lim Lim h 0 + h h 0 + h h 0 + h h h Lim + Lim Lim h 0 h( h+ ) 0 ( h+ ) L' Hopital Nota: Tomamos f (0), pues la función es continua en 0 y en dicho punto toma ese valor. Otra forma de calcular f (0 + ) sería: ( + ) ln( + ) 0 L Hopital ln( + ) 0 L Hopital Lim Lim Lim ( + ) Por tanto, como se ha de cumplir que f (0 ) f (0 + ), se tiene que b. Dpto. Matemáticas 8 / 8 IES Ramón Olleros

9 Junio 00 (Prueba Específica) Así la función f es: f () + si 0 ln( + ) si > 0.- Calcular la siguiente integral: 3 + d. Podemos escribir la función f () 3 + como una función definida a trozos de la siguiente manera: 3+ si f () + 3 si < < 3 + si Así la integral pedida podemos calcularla como: 3 d + ( 3+ ) d+ ( + 3 ) d Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible, el sistema: + z y+ ( a ) z 0 + ( a ) y+ az a Consideremos la matriz de los coeficientes, M, y la matriz ampliada, M : M a M 0 a 0 a a a a a Veamos cuándo se anula M : 0 0 a a a a (a ) 0 a + 3a 0 a y a Por tanto, se tiene que: Si a y a rango (M) rango ( M ) 3 nº incógnitas. El sistema es compatible determinado, esto es, tiene solución única. Dpto. Matemáticas 9 / 9 IES Ramón Olleros

10 Junio 00 (Prueba Específica) Calculemos su solución mediante la regla de Cramer: 0 0 a a a a ( a ) a M ( a ) ( a ) a 0 0 a y z a a a a ( ) M ( a ) ( a ) a a a ( a ) M ( a ) ( a ) a Si a rango (M), ya que podemos encontrar un menor de orden dos no nulo, como por ejemplo: 0 0. Por otro lado tenemos que rango ( M ) ya que, 0 orlando el menor anterior con la tercera fila y la columna de términos independientes se 0 tiene que: Por tanto el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro. En este caso, tomemos como parámetro a z (z λ). El sistema equivalente que queda es: + z y 0 Entonces, la solución se obtiene rápidamente y es: λ y 0 z λ Si a rango (M), ya que podemos encontrar un menor de orden dos no nulo, como por ejemplo: 0 0. Por otro lado tenemos que rango ( M ) 3 ya que, 0 orlando el menor anterior con la tercera fila y la columna de términos independientes se 0 tiene que: Por tanto el sistema es incompatible. No tiene solución. Dpto. Matemáticas 0 / 0 IES Ramón Olleros

11 z 4.- Dadas las rectas s y y t 3 y a t y la distancia entre ambas rectas. Junio 00 (Prueba Específica) y 0, se pide hallar la perpendicular común a s y z 4 Nos piden hallar la perpendicular común a s y a t. Para ello debemos tener en cuenta que cualquier recta que se apoya en s y en t, tiene como vector director la diferencia entre los puntos genéricos de las dos rectas. Como la recta buscada es la perpendicular común el producto escalar de este vector con el de cada uno de las rectas dadas, s y t, ha de ser nulo. Entonces, para calcular la perpendicular común podemos seguir el siguiente procedimiento:. Calculamos la ecuaciones parámetricas de las rectas s y t (a partir de las cuales podemos obtener el vector director y un punto de cada una de ellas). Con las coordenadas genéricas de los puntos de s y t obtenidas en el paso anterior podemos calcular un vector que una un punto genérico de s con un punto genérico de t. 3. Dicho vector ha de ser perpendicular simultáneamente a los vectores directores de s y t. De aquí deduciremos cuánto valen los parámetros necesarios para determinar los puntos buscados. 4. Calculamos la recta que pasa por los puntos obtenidos en el apartado anterior. Procedamos pues:. Ecuaciones paramétricas de la recta s y t (obtenidas anteriormente): s + 3λ µ y λ t y µ z + λ z 4 + 4µ. Un punto genérico de la recta s será S ( + 3λ, λ, + λ). Un punto genérico de la recta t será T (µ, µ, 4 + 4µ). El vector determinado por estos puntos es: ST ( + 3λ µ, λ µ, 5 + λ 4µ) 3. Imponemos la condición de que el vector ST sea perpendicular simultáneamente a los vectores directores de s y t: ST vs 0 ( + 3λ µ, λ µ, 5 + λ 4µ) (3,, ) 0 4λ 3µ ST v t 0 ( + 3λ µ, λ µ, 5 + λ 4µ) (,, 4) 0 3λ µ + 0 Si resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (λ y µ) que hemos obtenido, se llega a que λ 0 y µ. Por tanto, los puntos S y T en los que la perpendicular común corta a las rectas s y t, respectivamente, son S (, 0, ) y T (,, 0). 4. Calculemos finalmente la perpendicular común, p, que será la recta que pase por los puntos S y T. Dicha recta estará determinada por un punto (por ejemplo S (, 0, )) y el vector director ST de coordenadas ST (0,, ). Así: y z p o p y α 0 z α Dpto. Matemáticas / IES Ramón Olleros

12 Junio 00 (Prueba Específica) De este modo, como conocemos los puntos S y T en los que la perpendicular común corta respectivamente a las rectas s y t, podemos calcular fácilmente la distancia entre ambas rectas. Esta vendrá dada por la distancia entre esos puntos: d (s, t) d (S, T) ( ) + (0 ) + ( 0) 0 + ( ) + 5 u. Otro procedimiento para resolver el problema, aunque más largo y con más cálculos sería:. Hallamos el plano π s que contiene a la recta s y al vector w que es perpendicular a s y t ( w es el producto vectorial de v s y v t ). Hallamos el plano π t que contiene a la recta t y al vector w anterior. 3. La recta perpendicular común es la intersección de los planos π s y π t.. Calculemos w : w v s t El plano π s vendrá dado por: y z π s i j k v 3 4. De igual modo, el plano π t vendrá dado por: y z+ 4 π t j + 5 k w (0, 0, 5) 5 5y 30z y 6z y 0z y z La perpendicular común es la intersección de los dos planos anteriores: p 5 3y 6z+ 0 o p y α 0 y z 8 0 z α Una vez que sabemos las ecuaciones de la perpendicular común, la distancia entre ambas rectas vendrá dada por la distancias entre los puntos de corte de esta con las rectas s y t. Calculémoslos: Intersección de s y p. Para ello, igualemos coordenadas: + 3λ s y λ ; p z + λ y α z α + 3λ λ α + λ α λ 0 α Por tanto el punto S de intersección de s y p es S (, 0, ). Dpto. Matemáticas / IES Ramón Olleros

13 Junio 00 (Prueba Específica) Intersección de s y p. Para ello, igualemos coordenadas: µ t y µ ; p z 4 + 4µ y α z α µ µ α 4+ 4µ α µ α 0 Por tanto el punto T de intersección de t y p es T (,, 0). La distancia de s a t es igual a la distancia entre los puntos S y T. Por tanto: d (s, t) d (S, T) ( ) + (0 ) + ( 0) 0 + ( ) + 5 u. Dpto. Matemáticas 3 / 3 IES Ramón Olleros