APLICACIÓN DE DERIVADAS: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 2 VARIABLES.

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1 DP. - AS Mtemátics ISSN: X 00 APLICACIÓN DE DERIVADAS: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON VARIABLES. Descompón el número 9 en dos sumndos e, tles que l sum + 6 se mínim. DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS "Primer número uscdo" "Segundo número uscdo" A(, ) + 6 Vmos colocr l función optimizr en función de un sol vrile, pr lo que nos uilimos de uno de los dtos del prolem: + 9 CONDICIONES PARA QUE EXISTA UN MÍNIMO () Pr que eist un mínimo A'() A() + 6(9 - ) A() Pr que A() se un vlor mínimo, l primer condición será: () Pr que eist un mínimo A''() > 0 A''() > 0 Mínimo A'() 0 A'() máimo o mínimo? Los números que verificn que l condición del enuncido se mínim son el el Determin dos números cu sum se tles que el producto del uno por el cuo del otro se máimo. Rzonr el método utilizdo. DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS "Primer número uscdo" "Segundo número uscdo" A(, ) Vmos colocr l función optimizr en función de un sol vrile, pr lo que nos uilimos de uno de los dtos del prolem: + () Pr que eist un máimo A'() 0 - A() ( - ) A() - A'() 7-0 (18 - ) 0 B B 1

2 Ael Mrtín 1 0 máimo o mínimo? 18 máimo o mínimo? () Pr que eist un máimo A''() < 0 A''() 1-1 A''(0) A''(18) < 0 Máimo Los números que verificn que l condición del enuncido se máim son el 6 el Si tenemos un cuerd de 100 cm de lrg, cuáles serín ls dimensiones del rectángulo pr que teng áre máim? B : longitud, en cm, de l se. : longitud, en cm, de l ltur. A(, ) Vmos colocr l función optimizr en función de un sol vrile, pr lo que nos uilimos de uno de los dtos del prolem: () Pr que eist un máimo A'() 0 () Pr que eist un máimo A''() < 0 A''() - < 0 Máimo A() (50 - ) A() 50 - A'() máimo o mínimo? 5 5 Ls dimensiones pr que teng áre máim serán ls que formen un cudrdo de 5 cm de ldo. 01 Hll ls dimensiones que hcen mínimo el coste de un contenedor que tiene form de ortoedro siendo que el volumen h de ser de 9 m, su ltur de 1 m el coste de construcción por m es de 0 euros pr l se, 5 euros pr l tp 0 euros pr cd pred lterl. B AAppl licccci ióónn ddee ddeerri ivvddss: :: pp rrool leemss ddee ooppt timi izz cci ióónn ccoonn vvrri il leess...

3 DP. - AS Mtemátics ISSN: X 1 m : longitud en m de l rist de l se. : longitud en m de l otr rist de se. S Bse S Lterl S Tp Precio Totl ( + ) P(, ) P(, ) Vmos colocr l función optimizr en función de un sol vrile, pr lo que nos uilimos de uno de los dtos del prolem: Volumen P() CONDICIONES PARA QUE EXISTA UN MÍNIMO () Pr que eist un mínimo P'() P() P'() Se desech 1 por ser un vlor negtivo no eistir distncis negtivs. () Pr que eist un mínimo P''() > 0 P''() 70 > 0 Mínimo máimo o mínimo? P'() 0 - P''() Ls dimensiones que hcen mínimo el coste de un contenedor que tiene form de ortoedro serán quells cu se form un cudrdo de ldo m Hll ls dimensiones del rectángulo de áre máim inscrito en un circunferenci de 0 cm de rdio. B

4 Ael Mrtín 0 : longitud en cm de uno de los ldos señldos en l figur. : longitud en cm de otro de los ldos señldos en l figur. S(, ) Vmos colocr l función optimizr en función de un sol vrile, pr lo que nos uilimos de otro de los dtos del prolem, teniendo en cuent que el diámetro mide 0 cm El áre del rectángulo será: S() 1600 Hcemos l derivd primer simplificmos l epresión resultnte: S' () S'() S'() (1600 ) () S'() () Pr que eist un máimo S''() < 0 S'() S''() S''() S''() 1600 S''() 8 ( ( ) (1600 ) ) S''() 1600 (1600 ) 100 (1600 ) AAppl licccci ióónn ddee ddeerri ivvddss: :: pp rrool leemss ddee ooppt timi izz cci ióónn ccoonn vvrri il leess...

5 DP. - AS Mtemátics ISSN: X S''(0 ) (1600 ) < 0 Se trt de un MÁXIMO (0 ) Ls dimensiones serín ls de un cudrdo de ldo 0 cm. 0 Se dispone de un trozo cudrdo de crtón cuo ldo mide 10 cm. De sus esquins se quitn cutro cudrdos igules pr hcer con el crtón restnte un cj sin tp, cuo volumen se quiere mimizr. Clcul ls dimensiones de l cj que verific dichs condiciones. BC PAU PVsco J V() (10 ) V() ( ) V() () V'() 0 () Pr que eist un máimo V''() < 0 V'() Resolvemos l ecución de segundo grdo: 1 60 Se desech pues no hrí cj 0 máimo o mínimo? Vmos determinr cuál de los vlores es un máimo: V''(0) < 0 Máimo V''() 960 Ls dimensiones de l cj que verificn ls condiciones del enuncido son 80 cm de ldo de l se 0 cm de ltur. 5

6 Ael Mrtín 01 El perímetro de l ventn del diujo mide 6 metros. Los dos ldos superiores formn entre sí un ángulo de 90 grdos. Clcul l longitud de los ldos "" "" pr que el áre de l ventn se máim. B PAU Cstill L Mnch J00 : longitud, en m, de los ldos señldos en l figur. S Áre del triángulo + Áre del rectángulo. + En el triángulo rectángulo: A Triángulo El áre del triángulo será: El áre del rectángulo será: A Rectángulo Vmos colocr l función optimizr en función de un sol vrile, pr lo que nos uilimos de otro de los dtos del prolem, teniendo en cuent que el perímetro mide (1 + ) 6 6 (1 + ) Hcemos ls operciones correspondientes: S Totl Áre del triángulo + Áre del rectángulo. S() + 6 (1 + S() + ) () S'() (1 + ) S() + 1 S() S() S'() AAppl licccci ióónn ddee ddeerri ivvddss: :: pp rrool leemss ddee ooppt timi izz cci ióónn ccoonn vvrri il leess...

7 DP. - AS Mtemátics ISSN: X () S''() < 0 1 S'() S''() 6( (1 + ) + 6 (1 + ) 6 6 (1 + Máimo o mínimo? < 0 Máimo ) 6 6 ( ) 6(1 + ) ) : Ls longitudes de los ldos "" "" pr que el áre de l ventn se máim serán, respectivmente m 6 m 0 En un jrdín eiste un pseo cerrdo que const de medi circunferenci de rdio 10 m de su diámetro correspondiente. En el interior de l figur nterior se v instlr un prterre rectngulr, uno de cuos ldos está sore el diámetro el opuesto él tiene sus etremos en l prte curv. El prterre se plntrá de cmelis, que ocupn 0.5 m cd un. Cuál es el número máimo de plnts que pueden uicrse? B 10 S (, ) 10- Vmos colocr l función optimizr en función de un sol vrile, pr lo que nos uilimos de otro de los dtos del prolem: () S'() ± 100 Se desech l solución negtiv que ls distncis son positivs. S'() S'() ( S() )

8 Ael Mrtín ± 50 ± 5 (Desechd. Ls distncis son positivs) 5 Máimo o mínimo? () Pr que eist un máimo S''() < 0 S'() S''(5 ) < 0 Máimo S''() SOLUCIÓN 8( (00 ( 100 ) ) S''() (100 ) (5 ) ) ( ) 100 S m 100 : cmelis ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS El número máimo de plnts que pueden uicrse será de 00 cmelis. 09 Se dispone de un chp de cero que puede representrse por l región del plno determind por l práol - + l rect 1. () Represente gráficmente l chp clcule su áre. () Determine ls dimensiones del rectángulo de áre máim que se puede otener prtir de dich chp con l condición de que uno de sus ldos esté en l rect 1. - Representmos l práol clculndo el vértice con un sencill tl de vlores: ' Representmos l rect 1 Este prtdo lo resolveremos un vez tengmos los conocimientos suficientes pr el cálculo de integrles definids. Con clculdor gráfic serí: BC PAU Oviedo S008 Resolución prtdo () 8 AAppl licccci ióónn ddee ddeerri ivvddss: :: pp rrool leemss ddee ooppt timi izz cci ióónn ccoonn vvrri il leess...

9 DP. - AS Mtemátics ISSN: X : uniddes de longitud de l se del rectángulo. : uniddes de longitud de l ltur del rectángulo. Bse: L longitud "" será Altur: L longitud "" será 1 A(, ) A ( 1) Vmos colocr l función optimizr en función de un sol vrile, pr lo que nos uilimos de uno de los dtos del prolem: Los puntos tienen que pertenecer l práol - + () A'() 0 A ( 1) A (- + 1) A (- + ) A() A'() ± 1 Pr compror que relmente es un máimo, estudimos l derivd segund en 1 A''() - 1 A''(1) - 1 < 0 Máimo El máimo se otendrá cundo esté en el punto (1, ) Bse: L longitud "" será 1 Altur: L longitud "" será 1 1 Ls dimensiones de dicho rectángulo con ls condiciones del enuncido serán un cudrdo de ldo u.l. 9