Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema 2

Transcripción

1 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem Hst hor hs dedicdo tus esfuerzos domir ls seis primers opercioes ritmétics: sum, rest, multiplicció, divisió, potecició y rdicció. L séptim operció está relciod co ls potecis de úmeros. L potecició tiee como objetivo hllr l poteci: 9 L rdicció tiee por objetivo hllr l bse: 9 9 L epoecició tiee por objetivo hllr el epoete: 8 El epoete recibe tmbié el ombre de ritmo. E los cálculos de los itereses, hipotecs, iversioes,..., ecesrios e los bcos, prece fórmuls mtemátics cuyo mejo eige el coocimieto de los ritmos. Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

2 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem.- Potecis de epoete etero. Notció cietífic. Ls potecis de epoete etero se defie sí:..., co Observció: l epresió 0 m, co m 0 m se llm poteci es el epoete de l poteci es l bse de l poteci U úmero e otció cietífic es de l form N 'bcd... 0 y cost de: u prte eter formd por u sol cifr o ul u prte deciml formd por u pequeño úmero de cifr u poteci de bse 0 co epoete etero Al epoete se le llm orde de mgitud. Ejemplo: ' 0 0' ' 0 Ejemplo : Hllr el vlor de ls siguietes potecis: ) ( 7) 7 b) Ejemplo : Sbiedo que cd perso tiee e l cbez u medi de, proimdmete, cbellos y que el mudo está formdo, proimdmete, por hy e l Tierr?. 9 9 ' 0 0 (' ) (0 0 ) 7' 0 cbellos ' persos, cuátos cbellos Curiosiddes: 00 U googol es u seguido de 00 ceros; es decir, googol 0 U googolple es u seguido de u googol de ceros; es decir, 0 0. Se estim que el úmero totl de prtículs e el uiverso está compredido etre y Ejercicios:, Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

3 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem.- Potecis de epoete frcciorio. U poteci de epoete frcciorio es igul u rdicl, dode: el deomidor de l frcció es el ídice del rdicl el umerdor de l frcció es el epoete del rdicdo m m Hy que recordr ls propieddes de ls potecis vists e cursos teriores: m m m : m m m b ( b) b m m m m m b Ejemplo: Clculr el vlor de ls siguietes potecis: ) m b) c) d) e) f) 8 7 0' g) h) 0' Rdicles. El rdicl de u úmero es l ríz idicd de ese úmero. b b E el rdicl se distigue ls siguietes prtes: es el ídice del rdicl es el rdicdo es el símbolo mtemático que os idic que estmos efectudo l operció rdicció. b es el resultdo o ríz Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

4 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem Observció: Por buso de leguje e lugr de hblr de operció rdicció decimos ríz. A) Número de ríces. Al efectur l operció rdicció os puede slir vrios resultdos: Si el ídice es pr y el rdicdo positivo dos solucioes o ríces opuests. Si el ídice es pr y el rdicdo ulo (0) u solució que es l ul (0). Si el ídice es pr y el rdicdo egtivo igu solució. Si el ídice es impr u solució co el mismo sigo que el rdicdo. B) Rdicles igules o equivletes. Dos rdicles so igules o equivletes si tiee ls misms ríces. Pr obteer rdicles equivletes teemos que multiplicr o dividir el ídice del rdicl y el epoete del rdicdo por u mismo úmero turl distito de cero: Ejemplo: m p m p Est regl os v permitir comprr dos rdicles cudo teg el mismo ídice. 6 Order los siguietes rdicles:,, 6. Lo primero que hcemos es simplificr los rdicles: 6 6, o se puede simplificr Ahor trsformmos ests ríces e otrs equivletes co el mismo ídice; pr ello clculmos el m.c.m. de los ídices, que es 6: Ahor que tiee el mismo ídice etoces será meor l que teg meor rdicdo: Así pues: Ejercicio:.- Opercioes co rdicles. Rciolizció. A) Opercioes. Ls opercioes co rdicles se bs e ls propieddes de ls potecis, y so: b b m m b b m m Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

5 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem B) Rciolizció. Cudo estmos operdo co rdicles os iteres que e los deomidores o prezc igú rdicl; este proceso de elimir rdicles de los deomidores se le llm rciolizció. Nos vmos ecotrr co dos tipos de rciolizció: El deomidor está formdo por u solo sumdo co rdicl. E este cso multiplicmos umerdor y deomidor por u rdicl que teg el mismo ídice y por epoete del rdicdo l difereci etre el ídice del rdicl y el epoete del rdicdo origil El deomidor está formdo por dos sumdos, y l meos uo de ellos es u ríz cudrd. E este cso multiplicmos umerdor y deomidor por el cojugdo del deomidor. 9 7 Observció: Hy que recordr cuáles so ls epresioes cojugds de u dd: Epresió b b b b Cojugdo b b b b es decir, lo que se hce es cmbir el sigo itermedio. Ejemplo : Simplificr los siguietes rdicles: ) b) Ejemplo : Rciolizr l epresió: Ejercicios:, Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

6 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem.- Logritmo de u úmero. Al pricipio del tem vimos cómo resolver l ecució epoecil: 8 Pero o siempre es t fácil clculr el epoete de u poteci pr resolver u ecució, por ejemplo: 9, l solució por lógic serí u úmero etre y Nuestr iteció es despejr l icógit, y pr ello teemos que itroducir u uev operció mtemátic que es l operció rítmic. Defiició: El ritmo e bse de u úmero N es el epoete l que hy que elevr l bse pr obteer dicho úmero N. Se desig por N. N N Observció: Al úmero N se le llm rgumeto o tiritmo. Observció: Coloquilmete se puede decir que pr despejr el epoete de u poteci, cogemos l bse y l psmos l otro ldo del igul como bse del ritmo. Observció: Podemos comprr los elemetos que iterviee e l operció rdicl co los que iterviee e l operció rítmic, de l siguiete form: A N A el ídice co l bse N el rdicdo co el tiritmo los símbolos opercioles ríz y ritmo Cosecuecis: El ritmo e culquier bse del úmero es 0: 0, y que 0 plicdo l defiició de ritmo Ejemplos: El ritmo de l bse es :, y que plicdo l defiició de ritmo Ejemplos: Deprtmeto de Mtemátics 6 Mtemátics B

7 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem Sólo eiste los ritmos de úmeros positivos: N 0. Ejemplos: ( 7) 7, esto es imposible, y que ls epoeciles siempre d como resultdo úmeros positivos, uc egtivos i cero. 0 0, imposible. Sólo eiste ritmos cudo l bse es positiv y distit de : 0, Ejemplos: ) 8 8, imposible.,, 0, ifiits solucioes. b) 8 8 ( ), imposible. ( ) c) ( ) ( ), imposible. ( 8) 8 ( ) ( 8) Vemos como lguos csos sí tiee solució pero otros o, por eso decimos que los ritmos siempre tiee solució si: 0,, N 0. Notció: Eiste lguos ritmos que tiee u ombre propio, por ejemplo: Si l bse del ritmo es 0 etoces se llm ritmo deciml y se escribe: N o es ecesrio escribir l bse. Si l bse del ritmo es el úmero irrciol e ' , etoces se llm ritmo eperio y se escribe: L N e lugr de escribir e N Observció: Hy que drse cuet que l bse de los ritmos puede ser u úmero irrciol. Ejemplo: Clculr utilizdo l defiició de ritmo: 7 ) b) c) Deprtmeto de Mtemátics 7 Mtemátics B

8 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem Observció: Como se ve e este ejemplo, pr clculr ritmos utilizdo l defiició bst co fctorizr el tiritmo y luego lizr ls potecis obteids (dos potecis co l mism bse so igules si sus epoetes so igules). El ejercicio suele estr preprdo pr que slg bie. Si o sle bie puede suceder dos coss: o te hs equivocdo o hy que utilizr l clculdor. Lo orml es que te equivoques tú. Ejercicios: 6, 7, Propieddes de los ritmos. El ritmo de u producto es igul l sum de los ritmos. ( M N) M N Demostrció: M M y y M N M N y N y N Así pues: ( M N ) y ( M N) M N plicdo l defiició de ritmo plicdo ls propieddes de ls potecis El ritmo de u cociete es igul l ritmo del umerdor meos el ritmo del deomidor. M M N N Demostrció: M M M M y M y y y N N N N y N Así pues: M M N N plicdo l defiició de ritmo plicdo ls propieddes de ls potecis El ritmo de u poteci es igul l epoete por el ritmo de l bse. M M Demostrció: M M M M M Así pues: M M plicdo l defiició de ritmo plicdo ls propieddes de ls potecis Deprtmeto de Mtemátics 8 Mtemátics B

9 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem Vmos utilizr l clculdor pr comprobrlo: ( 7) ( 7) Ejemplo : Clculr: ) b) 0 (0 ) c) Observció: Al clculr ritmos os teemos que fijr que e el tiritmo prezc u o l bse del ritmo, y que so los úicos que coocemos de form direct. Pr coseguir esto teemos que utilizr ls propieddes de los ritmos. E el ejemplo terior os iteresb que preciese potecis de l bse, que es 0. Ejemplo : Sbiedo que el ritmo deciml de es 0'7, hllr: ) 0' 7 ' b) 0 ( 0) 0 0'7 '7 c) 0' '7 ' 0' 6 Observció: Pr sber que tipo de potecis tiee que teer el tiritmo os teemos que fijr e los dtos del problem y e l bse del ritmo. E el ejemplo l bse del ritmo es 0 y como dto del problem me d el ritmo de, por lo tto me iteres que e el tiritmo prezc potecis de 0 y/o de. Ejercicios: 9, 0,,,, 7.- Opercioes co ritmos. Los ritmos so úmeros reles y por lo tto cumple ls propieddes de ls opercioes ritmétics: socitiv, comuttiv, distributiv,... Pr clculr ritmos podemos hcerlo de vris mers e fució de cómo so los dtos del ejercicio; depede de cd uo de vosotros el utilizr u método u otro. Deprtmeto de Mtemátics 9 Mtemátics B

10 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem ) Cálculo de ritmos utilizdo ls propieddes de los ritmos. Ejemplos: ) ( ) 6 6 ) 6 ) 0 (0 ) 0 ) Observció: Pr relizr lgus opercioes como e ecesits trsformr u úmero e u ritmo; pr ello escribimos el ritmo co l bse que os iteres y que teg por tiritmo u poteci co l mism bse y por epoete dicho úmero. Ejemplo: Si os iteres que el ritmo se de bse 8: 8 Si os iteres que el ritmo se de bse 0: 8 0 b) Cálculo de ritmos utilizdo ls propieddes de los úmeros. Ejemplos: ) ( ) 8 ) Ejemplo: Reducir ls siguietes epresioes rítmics: ), plicmos ls propieddes de los úmeros b), plicmos ls propieddes de los ritmos c) ( ) d) A ( 7 6) (8 9) (7 6) (7 8 9) 9 Ejercicios:, 6, 7, 8, 9 Clculdor y cmbio de bse. Eiste dos tecls e l clculdor pr clculr ritmos: clcul ritmos decimles l clcul ritmos eperios Pr clculr ritmos e otrs bses teemos que relizr u cmbio de bse, y trsformr l bse origil e otr que se pued utilizr co l clculdor: 0 o e. Deprtmeto de Mtemátics 0 Mtemátics B

11 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem bse Vemos cuál es l epresió del cmbio de bse pr trsformr u ritmo e culquier ritmo deciml: N N tomdo ritmos decimles mbos ldos de l iguldd: N plicdo l propiedd del ritmo de u poteci: N N despejdo: N Así pues: N Es decir, el ritmo e bse de N es igul l ritmo del tiritmo N etre el ritmo de l bse. De igul mer, si el cmbio de bse lo quisiérmos hcer co el ritmo eperio tedrímos: L N N L Se puede geerlizr pr culquier tipo de bse, uque lo orml es psrlo bse 0 o bse e, y que so ls que se puede utilizr co l clculdor: b N N Ejemplo: 8 8 b 7 L L7 Ejercicios: 0,,,, (hcerlos e clse) 8.- Epresioes lgebrics y rítmics. U epresió lgebric es u cojuto de úmeros y letrs relciodos co ls opercioes ritmétics: sum, rest, multiplicció, divisió, potecició y rdicció. U epresió rítmic se crcteriz porque e todos sus sumdos prece idicd l operció rítmic demás de ls ritmétics. Nuestr iteció es sber psr de u otr utilizdo ls propieddes de los ritmos. Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

12 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem Pso de epresió lgebric rítmic. Vemos los psos que se d co u ejemplo: A y z t Tommos ritmos mbos ldos de l iguldd: A y z t Ahor plicmos ls propieddes de los ritmos empezdo por quell que tiee prioridd e l epresió; e este cso el cociete: A ( y z) t E estos dos sumdos volvemos plicr ls propieddes de los ritmos siguiedo el mismo criterio que tes; e el primer sumdo plicmos el ritmo del producto y e el segudo o se puede hcer d más: A y z t No se puede hcer d más. Pso de epresió rítmic lgebric. Vemos los psos que se d co u ejemplo: A y z Agrupmos los sumdos positivos y los sumdos egtivos de form seprd: A y z Aplicmos ls propieddes de los ritmos: A ( y) z A y z Por l iguldd de ritmos: A y z Así pues, este proceso cosiste e psr de vrios sumdos de ritmos u solo ritmo pr luego elimirlo. Ejemplo : Psr epresió rítmic: 7 ) B t z t B t z t 7 z t 0 z t 0 0 r b) C r C r r r r z t Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

13 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem c) D y z t y y y y z t z t z t z t D ( ) y z t y z t y z t y z t 6 Ejemplo : Psr epresió lgebric: B y z l ogt ( t) ( y z) ( t ) ( y z ) ( t ) ( y z ) t B t y z y z Ejercicios:, 6, 7, 8, 9, 0,, 9.- Problems. Iterés compuesto. Cudo se h depositdo diero e u bco, éste suele devolverlo umetdo e u ciert ctidd, proporciol l cpitl depositdo. Si e lugr de scr el diero se mtiee e el bco, el iterés se icorpor l cpitl cd cierto tiempo. Si se cumul l fil de cd ño, l fórmul que permite clculr el cpitl fil es: C I ( i) t dode: C es el cpitl fil I es el cpitl iicil i es el iterés, l tto por uo % 0'0 i 0'0 00 t es el tiempo trscurrido, e ños Ejercicios:, Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

14 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem Otro tipo de problems. Problem : Se h comprobdo eperimetlmete que l vrir l ltur respecto l ivel del mr l presió tmosféric vrí de modo que l presió e cd puto es proimdmete 0 9 veces l presió que eiste u kilómetro más bjo. L presió l ivel del mr es tmósfer. ) Qué presió hbrá 0 kilómetros de ltur?. Lo primero que teemos que hcer es itetr ecotrr u fórmul que os permit relcior l ltur y l presió; pr ello vmos relizr u tbl co los dtos del problem: Altur (km) 0... Presió (tm) '9 0'9 0'9 0' '9 0'9 Así pues, l fórmul de l presió e fució del úmero de kilómetros es: P ( ) 0'9, dode es el úmero de kilómetros Por lo tto l presió 0 kilómetros de ltur es: 0 P(0) 0' tmósfers 0'9... 0'9 b) Cuátos kilómetros hbrá que subir pr que l presió e ese puto se 0 tmósfers?. Ahor os dice que l presió es de 0, es decir, P ( ) 0' ; por lo que pr clculr l ltur teemos que despejr : 0' 0' 0'9 0'9 0' 0 00 kilómetros 0'9 plicdo l defiició de ritmo Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

15 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem Problem : L bcteri Escherichi coli se reproduce muy rápidmete. L tempertur idel es de uos 7 ºC y e u cultivo de glucos se ecesit proimdmete u hor pr que se duplique el úmero de bcteris. E l siguiete tbl se idic el crecimieto e ls primers hors: Hors 0... Número de bcteris Cuál es l fórmul?. Cuáto tiempo debe trscurrir pr que l poblció lcce u milló de bcteris?. Como cd hor l poblció de bcteris se duplic etoces el úmero de bcteris lo podemos poer como poteci de. De est form se observ clrmete que l fórmul del úmero de bcteris e fució de ls hors trscurrids es: N ( ), dode es el úmero de hors Pr que se u milló de bcteris etoces N ( ) ; y teemos que despejr : '968 hors plicdo l defiició de ritmo Pero clro est otció es muy fe pr decir el úmero de hors, por lo que tedremos que psrlo hors, miutos y segudos; y os sle: h m s 9.6 Ejercicios:, 6, 7 Deprtmeto de Mtemátics Mtemátics B

16 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem EJERCICIOS.- Escribe como potecis de los siguietes úmeros: ) b) c) d) 8.- Escribe como potecis de los siguietes úmeros: ) b) 9 c) 9 d) Cuál es el myor de estos rdicles?:,..- Reliz ls siguietes opercioes: ) 8 7 b) Rcioliz: ) 7 b) c) Clcul, medite l plicció de l defiició, el vlor de los siguietes ritmos: ) 8 b) c) 6 d) e) f) 0 g) 0 8 h) Hllr e ls siguietes igulddes: ) b) 6 6 c) 6 d) e) 9 f) Hll l bse e l cul el ritmo de: ) 0000 es b) 6 es c) es d) 79 es 9.- Clcul, medite l plicció de ls propieddes, los siguietes ritmos: ) 6 b) c) 6 d) e) 8 f) 0.- Clcul, medite l plicció de ls propieddes, los siguietes ritmos 7 b) c) d) 8 ) 87 Deprtmeto de Mtemátics 6 Mtemátics B

17 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem.- Epres los ritmos decimles de los siguietes úmeros e fució de : ) b) 6 c) d) 0 e) 0' f) 0' g) 0' h) 0'6 i) j) 8 k).- Sbiedo que 0', clcul: ) 8 b) c) d) 0'6.- Si el 0'69, hll el ritmo de 00 y de 0'..- Sbiedo que 0'0 y 0'77, hllr: ) 0'008 b) 0' c).- Epres co u solo ritmo los siguietes úmeros: ) Hll el vlor de: ) b) '00 b) 000 l) Sbiedo que N N h, determi e fució de h el ritmo e bse de. 8.- Siedo y b dos úmeros eteros positivos, clcul el vlor de: b. 9.- Si respuest. N, cuáto vle?. Qué propiedd utilizs?. Rzo l N y 0.- Utiliz l clculdor y los ritmos decimles pr hllr: ) El ritmo e bse de 7. b) El ritmo e bse de. c) El ritmo e bse de..-clcul los ritmos e bse de los siguietes úmeros utilizdo l clculdor: ) b) 7 c) 00 d) 0'.- Utiliz l tecl 0 de l clculdor pr hllr los úmeros (tiritmos) cuyo ritmo deciml es: ) 0' b) ' c) ' d) '.- Utiliz l tecl y de l clculdor pr hllr los úmeros (tiritmos) cuyo ritmo e bse es: ) 0' b) ' c) ' d) ' b Deprtmeto de Mtemátics 7 Mtemátics B

18 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem.- Utiliz l clculdor pr hllr ls siguietes ríces: ) 0 0 b) 8907 c) 9 0'009 d) Tom ritmos e ls siguietes epresioes y desrroll: y z r ) A b) B y t c) C d) t D y z 6.- Ps form lgebric ls siguietes epresioes rítmics: ) A y z b) B y z c) C y d) D z 7.- Tom ritmos e ls siguietes epresioes y desrroll: ) A y z : b) B y z Ps form rítmic ls siguietes epresioes: ) A z t b) B c b 9.- Qué relció eiste etre los úmeros A y B e cd uo de los csos siguietes?: ) A B 0 b) A B c) A B d) A B Ps form lgebric ls siguietes epresioes: ) A ( y) b) B y z c) C ( y) z.- Ps form rítmic ls siguietes epresioes: b c b ) A b) B c) d e c.- Hll el vlor de l siguiete sum: C z.- Cuátos ños hce que se ivirtió l ' % de iterés cumuldo, de euros, si ctulmete se h covertido e.0.60 euros..- Clcul el tto por cieto de iterés ul l que se h ivertido euros si trscurridos 0 ños se h covertido e euros..- Despejr e l fórmul A y después clculr su vlor umérico pr 7 A. Deprtmeto de Mtemátics 8 Mtemátics B

19 Colegio Dioceso Asució de Nuestr Señor Ávil Tem 6.- Los úmeros, 8, 6,, 6,..., 07 sigue u ley. A prtir de estos dtos, cuátos térmios tedrímos que escribir hst llegr l último?. 7.- Muchos turists que v Rusi tre como recuerdo u mtriosk, u muñec que e su iterior cotiee otr de igul form, uque o de igul tmño, y sí sucesivmete. El volume de cd muñec es de l terior. El volume que ocup l muñec myor es 60 cm. Cuáts muñecs hy si l más pequeñ tiee '6 cm?. CUESTIONES.- Verddero o flso?. Por qué?. ) b) 6 c) d) 0.- Verddero o flso?. Por qué?. ) ( ) ( ) b) 0 0 c) 7 y y 7.- Por qué u úmero egtivo o puede teer ritmo rel?..- Verddero o flso?. Por qué?. ) b) 0'0 0'000 c) 8 98 d) Qué relció eiste etre los úmeros A y B si se verific que A B 0?. Rzo l respuest. 6.- Qué relció eiste etre los úmeros A y B si se verific que B A?. Deprtmeto de Mtemátics 9 Mtemátics B