FUNCIONES IMPLÍCITAS. y= e tanx cos x. ln x. y= x x CAPÍTULO FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)

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Mario Sánchez Ayala
hace 7 años
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1 CAPÍTULO 10 FUNCIONES IMPLÍCITAS 10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 3) En el curso e Precálculo el 4º semestre se vieron iferentes clasificaciones e las funciones, entre ellas las funciones eplícitas las funciones implícitas. Recorano: Una función está escrita en forma eplícita cuano su variable epeniente (por lo general, la ) está espejaa. Los siguientes ejemplos se refieren a funciones escritas en forma eplícita: ( ) 3 tan ( ) 6 e tan cos ln 6 9 Si por el contrario, su variable epeniente (por lo general, la ) no está espejaa, se ice que está escrita en forma implícita. Los siguientes ejemplos muestran casos e funciones escritas en forma implícita: 141

las funciones implícitas. Recorano: Una función está escrita en forma eplícita cuano su variable epeniente (por lo general, la ) está espejaa.

2 ( 4 ) 3 + tan arc sen Una función escrita en forma implícita puee estar así por os razones: una, porque la variable epeniente (por lo general, la ) sea algebraicamente imposible espejarla, como cuano aparece como parte e algún argumento al mismo tiempo que no parte e algún argumento. Por ejemplo, en 4 sen la variable epeniente aparece como parte el argumento ( ) el seno aemás como no argumento en 4. La otra razón es simplemente porque así convino escribirla, como en (se poría espejar la ) Para obtener la erivaa e una función implícita se emplean las mismas fórmulas las mismas reglas e erivación estuiaas hasta ahora, en one ebe tenerse solamente el cuiao e tratar a la variable epeniente eactamente como una variable. Dicho e otra forma, la variable epeniente ocupará el lugar e la u en las fórmulas. 3 Por ejemplo, para erivar ebe utilizarse la fórmula (6) e la potencia vista en la página 69, en one u n 3, e la siguiente forma: n u n - 1 u 14

Por ejemplo, en 4 sen la variable epeniente aparece como parte el argumento ( ) el seno aemás como no argumento en 4.

3 Por lo tanto 3 3 Para erivar, por ejemplo, la página 77, en one u ebe emplearse la fórmula (7) el proucto uv vista en v 3, e la siguiente forma: v u + v u Para erivar 3 ebe seguirse el proceimiento visto en la página anterior. Por lo tanto, En general, para obtener la erivaa e cualquier función implícita eben erivarse ambos miembros e la iguala aplicano las fórmulas a estuiaas luego espejar, lo 143

4 cual puee etallarse en la siguiente regla: Para erivar funciones implícitas: 1) Derivar ambos miembros e la iguala, aplicano las mismas fórmulas antes vistas. ) Despejar, para lo cual: a) Escribir en el lao izquiero e la iguala toos los términos que contengan a la erivaa el lao erecho toos los términos que no la contengan. b) Factorizar en el lao izquiero. c) Despejar, iviieno en el lao erecho el factor que le multiplica. Ejemplo 1: Obtener si Solución: Paso 1: Aplicano el operaor erivaa en ambos miembros e la iguala 7 3 ( 5 ) ( 9 + 4) 144

) Despejar, para lo cual: a) Escribir en el lao izquiero e la iguala toos los términos que contengan a la erivaa el lao erecho toos los

5 ( 5 ) son e la forma: uv u n c u v u u + v n u n-1 u [ ] Paso a: Escribieno en el lao izquiero toos los términos que contengan a la erivaa el lao erecho los que no lo contengan:

6 Paso b: Factorizano ( ) Paso c: Despejano Ejemplo : Calcular la erivaa Solución: si ln + sen3 Debe tenerse cuiao con casos como éste. Aparentemente la variable está espejao por aparecer el lao izquiero como único término, pero realmente no está espejaa por el hecho e volver a aparecer en el lao erecho. Por lo tanto, es una función implícita. Paso 1: Derivano en ambos laos e la iguala ln + sen ( 3 ) ln + sen 3 son e la forma uv sen u 146

Aparentemente la variable está espejao por aparecer el lao izquiero como único término, pero realmente no está

7 ln + ln + cos 3 3 v u u + v cos u u + ln + cos [] 1 3 [ 3] + ln + 3cos3 + ln + 3cos3 Escribieno en el lao izquiero los términos que contienen a la erivaa el erecho los que no la contienen ln + 3cos3 factorizano la erivaa: 1 ln + 3cos3 147

8 finalmente espejano la erivaa: ln + 3cos 3 1 Por las reglas e escritura, como no ebe ejarse el resultao como una fracción compleja, es ecir, fracción sobre fracción, entonces para quitar el enominaor parcial basta multiplicar numeraor enominaor por : ( + 3cos3) ln 1 ln + 3 cos 3 Ejemplo 3: Hallar Solución: si Derivano en ambos laos: Escribieno en el lao izquiero los términos que contienen a la erivaa el erecho los que no la contienen: 148

enominaor por : ( + 3cos3) ln 1 ln + 3 cos 3 Ejemplo 3: Hallar Solución: si Derivano en ambos laos: 3 3 + 5 4 + 3 0 3 3 +

9 Factorizano la erivaa: ( ) finalmente espejano la erivaa:

10 EJERCICIO 16 Obtener la erivaa e las siguientes funciones implícitas: ) ) 3) 4) 3 5 5) ) ) 8) 9) e + e 10) ) ln + ln 1) ln sen cos ( 3) 3 13) 14) ( ) tan ) 16) 0 17) 18) ln+ ln 0 150

e + e 10) 6 + 3 9 4 3 6 6 11 11 3 1 4 3 4 6 4 4 3 7 11) ln + ln

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