Valores y Vectores Propios

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1 Valores y Vectores Propios Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM de abril de 9 Índice 9.. Definiciones Determinación de los valores propios El teorema del factor Multiplicidad algebraica de un valor propio Espacios Invariantes Multiplicidad geométrica de un valor propio Definiciones Definición Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que: Ax = λx Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene su dirección, posiblemente sólo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ. Ejemplo Para la matriz A indique cuáles vectores son vectores propios. [ A = v = ( (, v = 3, v 3 = ( (, v = Solución Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un múltiplo escalar del vector. [ ( ( ( 3 Av = = = 3 3 v sí es vector propio de A asociado al valor propio 3. [ ( ( Av = = 3 7 v no es vector propio de A. Av 3 = [ ( = ( k = ( 3 (

2 v 3 sí es vector propio de A asociado al valor propio -. [ ( ( Av = = v no es vector propio de A. Ejercicio Ejemplo El vector Cuáles son vectores propios a la matriz 3 3 es un vector propio de la matriz, A =, Determine el valor propio al cual está asociado. Solución Determinemos Av: , 6 6 k v =, 3 A = 6 = Por tanto, v está asociado al valor propio λ = de la matriz A. Ejercicio Los vectores 3 sí son vectores propios de la matriz,, 6 (, =, 3 A = 6. Determine los valores propios a los cuales están asociados

3 9.. Determinación de los valores propios Sea λ o un valor propio de la matriz cuadrada A, así existe un vector diferente cero de x o tal que: Ax o = λ o x o = λ o I n x o Por tanto: Ax o λ o I n x o = (A λ o I n x o = Si B = A λ o I n lo anterior significa que el sistema homogéneo n n Bx = tiene además de la solución trivial otra solución (x = x o. Por consiguiente, no tiene solución única. por tanto, el determinante de la matriz B debe ser cero: Y det(b = det(a λ o I n =. Resumiendo: Todo valor propio λ o debe ser raíz del polinomio característico asociado a A: p A (λ = det(a λi n ( y un vector propio asociado al valor propio λ debe ser solución al sistema homogéneo: (A λi n x = ( Ejemplo Determine los valores y los vectores propios correspondientes de las matrices: [ [ [ A =, A =, A 3 = Solución Para A : ([ p A (λ = det(a λi = det ([ p A (λ = det [ λ λ = det [ λ ([ λ λ p A (λ = λ λ = ( λ p A (λ = λ λ 3 = (λ 3(λ + Por tanto, los únicos valores propios de A son λ = 3 y λ =. Vector propio para λ = 3 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A λi x = Es decir: ([ [ (3 3 x =

4 Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan: [ [ 3 x = 3 [ Convirtiendo en ecuación y poniendo en la notación vectorial: ( x x y = x = y = y y ( Lo anterior indica que cualquier vector de la forma: ( y es un vector propio asociado a λ = 3; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = : ( Vector propio para λ = Debe ser solución al sistema homogéneo: Es decir: ([ (A λi x = [ ( Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan: [ [ + x = + x = [ Convirtiendo en ecuación y poniendo en la notación vectorial: ( x x + y = x = y = y y Lo anterior indica que cualquier vector de la forma: ( y ( es un vector propio asociado a λ = ; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = : ( Para la matriz A : ([ p A (λ = det [ λ λ ([ λ = det λ p A (λ = λ λ = ( λ

5 Por tanto, el único valor propio de A es λ =. Vector propio para λ = Debe ser solución al sistema homogéneo: (A λi x = Es decir: ([ [ ( Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan: [ [ x = Convirtiendo en ecuación y poniendo en la notación vectorial: ( ( x y = = x y Lo anterior indica que cualquier vector de la forma: x ( x = [ es un vector propio asociado a λ = ; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = : ( Para la matriz A 3 : ([ p A3 (λ = det [ λ λ ([ λ = det λ El polinomio característico queda: p A3 (t = t 3 t + Como este polinomio tiene raíces complejas, A 3 no tiene valores ni vectores propios Ejercicio 3 Determine el polinomio característico, los valores propios, y vectores propios asociados a la matriz: 9.3. El teorema del factor A = De los cursos básicos de ecuaciones algebraicas es importante recordar el teorema del factor: Teorema 9. Sea p(x un polinomio. Un número c es raíz del polinomio p(x, es decir p(x = c = si y sólo si x c divide a p(x. Es decir, al hacer la división de p(x entre x c el residuo es cero. 7

6 De hecho, p(c es precisamente el residuo de la división de p(x entre x c. Y este residuo puede calcularse por medio de un proceso elemental conocido como división sintética: a n a n a a c c a n a n a n + c a n p(c 9.. Multiplicidad algebraica de un valor propio Definición Sea A una matriz cuadrada y λ o un valor propio. Como hemos visto λ debe ser raíz del polinomio característico de A p A (λ así: (λ λ o p A (λ Al mayor exponente m que cumple le llamaremos la multiplicidad algebraica de λ o. Ejercicio p A (λ = (λ λ o m q(λ Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de los vectores propios de la matriz A = Espacios Invariantes Teorema 9. Sea A una matriz cuadrada y λ un escalar cualquiera entonces {x R n Ax = λx} es un subespacio lineal de R n. Demostración. No es vacío pues: A = = λ. Es decir, es un elemento del conjunto.. Si Ax = λx y Ax = λx : A (x + x = Ax + Ax = λx + λx = λ (x + x Es decir, que si x y x son elementos del conjunto, la suma de ellos también es un vector en el conjunto al cumplir la propiedad que define al conjunto. 3. Si Ax = λx : A (cx = cax = cλx = λ (cx Es decir, que si un vector x pertence al conjunto y c es un escalar cualquiera, entonces, el vector cx también pertenece al conjunto al cumplir la propiedad. 6

7 Por tanto, el conjunto dado es un espacio lineal Observe que en la afirmación del teorema anterior no se requiere que el escalar λ sea un valor propio. Sin embargo, el conjunto anterior es diferente de {} sólo cuando el valor λ es efectivamente un valor propio. Ejercicio Demuestre que si V es un espacio lineal y posee al menos un vector diferente del vector cero, entonces la dimensión es mayor que. Sugerencia. Tome el vector que no es cero, y forme un conjunto sólo con él: muestre que el conjunto es linealmente independiente Multiplicidad geométrica de un valor propio Definición Por el resultado anterior: Siendo λ o un valor propio el anterior conjunto es un espacio lineal diferente de {} así tiene dimensión mayor que cero: la dimensión del espacio anterior se llamará multiplicidad geométrica del valor propio λ o. Teorema 9.3 La dimensión geométrica de un valor propio es menor o igual que la dimensión algebraica. Ejemplo Determine la dimensión y una base para el espacio propio asociado a λ = 3 para la matriz: A = Solución El espacio propio de un valor λ es el conjunto de soluciones al sistema homogéneo: En este caso queda: [A ( 3I = Después de eliminación gaussiana obtenemos: (A λix = 7 / 7/ 9/ / 3/ / / 63/ / /3 /3 Como sólo hay una variable libre, entonces la dimensión geométrica del espacio propio de λ = 3 es. Y una base es: /3 /3 7

8 Como se trabaja en R 3, el espacio propio es una línea que pasa por el origen y que tiene dirección < /3, /3, > por consiguiente tiene ecuaciones simétricas: Ejercicio 6 x /3 = y /3 = z Determine la dimensión y una base para el espacio propio asociado a λ = para la matriz: A = En este ejemplo debido a estar en R 3 los espacios deberían ser {}, líneas, planos o todo R 3 : Cuál caso aplica? En caso de ser posible, encuentre la(s ecuaciones correspondientes. Teorema 9. Si los vectores v,v,...,v k son vectores propios asociados a valores propios diferentes entonces el conjunto formado por ellos es linealmente independiente. Demostración Llamemos λ i al valor propio al cual está asociado el vector v i. Supongamos que el conjunto de vectores es linealmente dependiente. Puesto que ningún vector propio puede ser el vector cero, de esta suposición deducimos entonces que un vector v i debe ser combinación lineal de los anteriores. Escojamos aquél que tiene el menor índice posible, digamos j, así: v j es combinación lineal de los vectores v,...,v j y ningún vector v i es combinación lineal de los anteriores para i =, 3,...,j. Tenemos v j = c v + c v + + c j v j Multiplicando por A, y utilizando que cada v es vector propio, obtenemos λ j v j = c λ v + + c j λ j v j Si multiplicamos la primera de estas ecuaciones por λ j y se la restamos a la segunda obtenemos: = c (λ λ j v + + c j (λ j λ j v j Como el conjunto formado por los vectores v,...,v j es linealmente independiente, al no ser un vector combinación de los restantes, se deduce que todos los coeficientes de esta última ecuación deben ser cero: c i (λ i λ j = para i =,...,j Como los valores propios son diferentes entre si: λ i λ j. Así son los c i = para i =,...,j. Así la fórmula inincial de este teorema queda: v j = v + + v j = Pero esto es imposible pues ningún vector propio es el vector cero. Esta contradicción afirma que el conjunto formado por los vectores es linealmente independiente Ejercicio 7 Investigue cómo se obtienen los valores y vectores propios en una calculadora avanzada. Documéntese de cuál es el formato en el cual se presentan los resultados.

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