Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas:

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1 .- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: a) x + 4y 4xy + 4x + y + 45 = b) x 8xy + y 4x 4y + = c) x 4xy + 4y x + 8y = d) 4x + y 4xy + x + 4y =.- Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos (, ), (, ), (, ),, 4 y, 4..- Hallar el centro y las asíntotas de la cónica: + x + xy =. 4.- Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro a : a) x axy + ay x + 4ay = b) ax xy + ay x + y + = 5.- Hallar λ y μ sabiendo que las ecuaciones x + λ y =, x ' y' =μ, corresponden a una misma cónica expresada en dos sistemas de referencia ortonormales distintos. 6.- a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro a : x + ay axy x + 4ay =. b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = : Ecuación reducida Parámetro de la cónica Eje y vértice Foco y directriz Dibujo de la cónica. 7.- a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro a : a + x + y + ax + xy + ay =. b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica Centro, si procede Ejes y vértices Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

2 Focos y directrices Asíntotas, si procede Dibujo de la cónica. Cónicas 8.- Dada la cónica x -y +4xy-x=, se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y excentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas g) Vértices h) Dibujo de la cónica. 9.- Dada la cónica de ecuación: 9x +6xy-x+y -4y+49=. Se pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Parámetro de la cónica. e) Vértice y eje. f) Foco y directriz..-dada la cónica x + y + kxy - x - y + =, se pide: a) La ecuación matricial b) Ecuación de las Asíntotas y eje focal para el valor k =. c) Ecuación reducida para el valor k = d) Hallar la excentricidad para el valor k =. e) Clasificar según los valores del parámetro k R f) Demostrar que la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera es e =.- Dada la cónica de ecuación: +x+4y+x +4xy= Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica d) Centro, si procede e) Ejes y Vértices f) Focos y directrices g) Asíntotas, si procede Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

3 h) Dibujo de la cónica y de los elementos hallados en los apartados anteriores..- Sea la cónica de ecuación: x +y + xy+y= Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Excentricidad y Parámetro de la cónica d) Vértice, si procede e) Ejes f) Dibujo de la cónica.- Dada la cónica de ecuación x 8xy y + x y + =, se pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica. e) Centro y Ejes. f) Asíntotas 4.- Dada la cónica de ecuación x xy + y + 6x 8y + =, se pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Semiejes y Parámetro de la cónica. e) Centro. f) Ejes (indicando cuál es el eje focal). g) Vértices principales (sobre el eje focal). 5.- Dada la cónica de ecuación x +xy+y -x-= Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Centro d) Ejes 6.- Dada la cónica de ecuación x y + 4 x + =. Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

4 c) Semiejes y excentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas Cónicas a 7.- Sea la cónica de ecuación: ( x y) a x =. a a y a.- Clasificarla según los valores del parámetro real a. b.- Para a =, se pide: Clasificación Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica Centro Ejes Asíntotas 8.- a) Probar que sólo uno de los siguientes polinomios de segundo grado en x y en y representa una elipse. x +4xy+y =7. x+5y-+x +xy+y =. 9y -4xy-4y+6x -x=5 4. 5y +5x --8xy+4x-y= b) Hallar el centro, los ejes, los focos y las asíntotas de la cónica y +4xy+x -7=. 9.- Clasificar la cónica xy+4x-= y hallar su excentricidad, eje focal y focos..- Dada la cónica x + y xy 6x + y + 7 =, se pide: a) Las coordenadas del foco. b) La ecuación de la directriz..- Dada la cónica de ecuación 6x + 9y + 4xy 96x y 5 =. Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, parámetro y excentricidad 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

5 d) Centro y ejes e) Directrices Cónicas.- Dada la cónica de ecuación: x + xy + y x y + 9 =. Se pide: a) Ecuación matricial b) Clasificación c) Ecuación reducida d) Excentricidad y parámetro de la cónica e) Vértice y eje f) Foco y directriz g) Gráfica de la cónica donde aparezcan los elementos que se calculan en los dos apartados anteriores..- Sea la cónica de ecuación: x + 7y 6 xy 4 = a) Es el centro de la cónica el origen del sistema de referencia? Son los ejes de la cónica paralelos a los de coordenadas? En caso negativo, calcular el ángulo α que forman con ellos. b) Utilizando el apartado anterior, calcular la ecuación reducida de la cónica: c) Hallar las ecuaciones de los ejes: d) Directrices. e) Focos. f) Vértices. 4.- a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro a : (a + 4)x + 9y + 6axy 4(a + )x ay + 4a 8 =. b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = : Ecuación reducida y área de la cónica. Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica. Centro, ejes, focos y vértices principales. Ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (,) y son tangentes a la cónica. Dibujo de la cónica. 5.- Dada la cónica de ecuación pide: a) Clasificar la cónica b) La ecuación reducida. 8x 6 xy + y 6 x + 4y + 49 =. Se Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

6 c) La excentricidad. d) La ecuación del eje focal. e) Las ecuaciones de las asíntotas. 6.- Dada la cónica de ecuación x + ay axy x + 4ay =, se pide: a) Clasificar la cónica en función del parámetro a. b) Para a = -, hallar b) Ecuación reducida. b) Centro, si procede. b) Ejes, indicando cuál es el focal. b4) Asíntotas, si procede. b5) Dibujo de la cónica y de los elementos geométricos hallados en los apartados anteriores 7.- Dada la cónica de ecuación: x + y + kxy + x + =, se pide: a) Clasificar la cónica en función del parámetro k. b) Para k = - b) Ecuación reducida y parámetro de la cónica. b) Vértice y eje de la cónica. b) Dibujo de la cónica y de los elementos geométricos hallados en los apartados anteriores. 8.- Dada la cónica de ecuación: a) Clasificarla b) Coordenadas del centro c) Asíntotas x xy + + =, se pide: 9.- a) Determinar entre todas las cónicas de la familia x + xy + y +x + y + + λ(xy + y - x + y + ) = aquellas no degeneradas cuyos centros están sobre la recta x y = b) Clasificar la cónica para λ=. 6 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

7 .- Dada la elipse: x +y -xy+x+y=. Se pide: a) centro b) excentricidad y semiejes c) ejes de simetría d) ecuación de las rectas tangentes a la elipse y paralelas a la recta y = x. Dada la cónica de ecuación: 5x + 5y +xy 6x 6y - =, se pide: a) Ecuación reducida. b) Excentricidad. c) Centro. d) Ejes..- Dadas las cónicas x² + xy + y² + 4x + = 4x² + y² 4xy + x + 4y = Se pide: a) Calcular los puntos de intersección de ambas cónicas. b) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por ambos puntos de intersección. c) Calcular los puntos de corte de la recta r con cada uno de los ejes focales de ambas cónicas..- Hallar las coordenadas del centro, las ecuaciones de los ejes y las asíntotas de la hipérbola 6x xy + y + x + y =. 4.- Escribir la ecuación reducida de la cónica x + y xy x + = y determinar la excentricidad. 5.- Sea la cónica de ecuación: λ x +λy xy + x + y + =. a.- Clasificarla según los valores del parámetro real λ. b.- Para λ =, se pide: Ecuación reducida Semiejes Excentricidad Centro Asíntotas 6.- a) Clasificar las siguientes cónicas: a ) + x + xy = a ) x - 4xy + 4y - x + 8y = a ) x + xy + y - x = Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

8 b) Hallar los semiejes a y b, y las ecuaciones de los ejes de la elipse x - xy + y - x + 4y = Problemas propuestos. P.- Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos (7, ), (5, -), (-,-), (-,) y (-,-7). Calcular sus elementos característicos, la ecuación reducida y representar la cónica. P.- Hallar la cónica que pasa por los puntos (, ), (, ) y (, -4) y tal que e=. P.- Hallar la ecuación de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados, su centro es C(-,); el eje mayor es paralelo a OY, su longitud es y la distancia focal 8. P4.- Dados los puntos A(,4),B(-,9), C(-,-), D(-9,4) y E(/5,). Calcular la ecuación de la cónica que pasa por dichos puntos. b) Hallar los ejes, vértices, focos y excentricidad de la cónica anterior. c) Ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente que pasa por E(/5,). d) Ecuaciones de las rectas que pasan por (9,9) y son tangentes a la elipse. P5.- Estudiar las siguientes cónicas: a) x y + + xy + 6 x y 4 = b) x + y + xy + x + y = c) xy x = d) x + 4y + 4xy x 4y + = e) x + y + x + = f) x + y + xy 6 x y + = g) xy + x y = h) 8x + y 6 xy + x + =. 8 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

9 .- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: a) x + 4y 4xy + 4x + y + 45 = Solución: Clasificación 45 A = 5 > A =, 4 A = 75 + a A = + < ELIPSE REAL ( ) a Elipse Ecuación reducida λ x'' +λ y'' + k = λ y λ valores propios de λ = A c =, ya que se toma como λ el valor 4 λ = 5 propio de menor valor absoluto. A k = = 5 A x'' y' ' x'' + 5y'' 5 = + = Semiejes a = a =, b = b = Excentricidad y parámetro de la cónica a b =, b = p = = a c = a b = c 6 = 6 e = c = a Centro + x y = C (, ) x + 4y = Ejes Pasa por el centro C (, ) Eje focal x Es paralelo a los vectores propios asociados a λ x x ( A c λi) = = x y = y = x y 4 y Luego, x y + = ( x + ). Pasa por el centro C (, ) El eje no focal y Es perpendicular al eje focal y + = x + Por tanto, y ( ) = Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

10 Vértices Se hallan interseccionando el eje focal con la circunferencia de centro el de la cónica y radio a = : y + = ( x + ) A, 5 ( ) ( ) x+ + y+ = A, 5 Los vértices secundarios se hallarían de manera análoga, interseccionando el eje no focal con la circunferencia de centro el de la cónica y radio b =. 5 5 y+ = ( x+ ) B, 5 5 ( ) ( ) x+ + y+ = 5 5 B, 5 5 Focos Se hallan interseccionando el eje focal con la circunferencia de centro el de la cónica y radio c: c = a b = c = 6 6 y + = x + ( ) ( x ) ( y ) = Directrices 6 F, 5 F, 5 Son rectas paralelas al eje no focal y y tales que distan c dir y = x + k x + y k = d 4 k ( C,dir) = = = 5 + k = k = ± a c 6 dir x + y + 5 = dir x + y = Dibujo de la cónica a del centro de la cónica: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

11 .- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: b) x 8xy + y 4x 4y + = Solución: Ecuación matricial t XAX= O ( x y) 4 x = 4 y Clasificación 4 A = = 5 < Cónica de tipo hiperbólico. 4 A = 55 Se trata de una HIPÉRBOLA. Ecuación reducida λ x'' +λ y'' + k = A k = = ; A c = = = λ I λ λ -5 λ A 5 De acuerdo con el criterio expresado anteriormente, tomamos para λ el valor propio de signo contrario a c, es decir, λ =, λ = 5;. Por tanto, la ecuación reducida queda: x'' y'' x'' + 5y'' + = =. ( ) ( 5 ) Excentricidad y parámetro de la cónica c e = a = 8 5 > 88, ya que a =, b =, c = a + b = b p = = a 5 Centro y ejes + x 4y = Para calcular el centro, resolvemos el sistema, obteniéndose el punto. 4x+ y = C = (-/, -/). Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ y λ, respectivamente. Los vectores propios asociados a λ son las soluciones del sistema: x = x y y = y = x. Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y+ = x+ y = x. El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: y+ = x+ y = x ( 4 ). Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

12 Para calcular los vértices, interseccionamos el eje focal con la circunferencia de centro C y radio a: ( x+ ) + ( y+ ) = 9 y = x obteniéndose los puntos V (, ) y V (, ) Focos y directrices Los focos son los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio c: 88 ( x+ ) + ( y+ ) = 45 y = x obteniéndose los puntos F ( 55, 55 ) y F (- 55 +, ) Las directrices son rectas paralelas al eje no focal que distan del centro a : c Su ecuación ha de ser, por tanto, de la forma y = -x + k, determinando k de modo que a 55 k = =. Resulta k = 8± 55, luego, las directrices son las c 6 6 rectas y = x+ 8± Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación + m 8m =. Al resolver la ecuación anterior, se obtienen dos valores para m: m = 4 5, m = Las ecuaciones de las asíntotas son: y+ = ( 4 5)( x+ ), y + = ( 4+ 5)( x+ ). Dibujo de la cónica x Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

13 .- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: c) x 4xy + 4y x + 8y = Solución: Ecuación matricial 4 t XAX= O ( x y) x =. 4 4 y Clasificación A = = Cónica de tipo parabólico. 4 A = 4 Se trata de una PARÁBOLA. Ecuación reducida es del tipo λ y'' + bx'' =, siendo λ = a + a = + 4= 5, A 4 b =± =± =± 5. a + a 5 5 y Tomamos el signo de b contrario al de λ, resultando la ecuación reducida: 4 5 5y'' 5 x'' = y'' = 4 x ''. 5 5 Parámetro de la cónica 5 p = 5 Eje y vértice De todas las rectas que tienen por dirección la dada por los vectores propios de A c asociados al valor propio λ, vamos a considerar la recta r que corta a la parábola en único punto. Dicho punto será el vértice V de la parábola. Los vectores propios asociados a λ = 5, son las soluciones del sistema: 5 x = 4x y = y = x 4 5 y Por tanto, la pendiente de la recta r es -, y tiene una ecuación de la forma: y = x+ k. Hay que hallar k de forma que el discriminante Δ de la ecuación de segundo grado que se obtiene al interseccionar la parábola y la recta r, sea nulo: 4x + y 4xy + x + 4y = 5x + ( k + 8)x + ( 4k + 8k) = y = x + k 8 Δ= ( k + 8) 4 5 (4k + 8k) = k=. 8 El vértice es ya la solución del sistema anterior para k=, es decir: x 99x + = x = y = + = V =, 5. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

14 El eje es la recta que pasa por el vértice y es perpendicular a r, es decir, tiene de pendiente /. Su ecuación es, por tanto: 9 99 y = x 5. Foco y directriz Para calcular el foco y la directriz, interseccionemos el eje con la circunferencia de centro V y radio p, siendo p el parámetro de la parábola, 5 p = : y = (x ) x=, y= (x ) + (y ) = x=, y= Cuál de los dos puntos anteriores es el foco y cuál pertenece a la directriz? Para averiguarlo, analicemos el discriminante de la ecuación del apartado anterior para k = : Δ= 8 >. Por tanto, para k =, la correspondiente recta perpendicular al eje corta a la parábola en dos puntos, luego la cónica se dirige hacia la izquierda. 9 El foco es, entonces, el punto F, y la directriz es la recta perpendicular al eje que pasa por el punto,. Por consiguiente, la ecuación de la directriz es: 5 dir y = x 5. Dibujo de la cónica 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

15 .- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: d) 4x + y 4xy + x + 4y = Solución: Ecuación matricial t XAX= O ( x y) 4 x =. y Clasificación 4 A = = Cónica de tipo parabólico. A = 5 Se trata de una PARÁBOLA. Ecuación reducida es del tipo λ y'' + b x'' =, siendo λ = + a = 4 + 5, A 5 y b = ± = ± = ± 5. a + a 5 a = Tomamos el signo de b contrario al de λ, resultando la ecuación reducida: 5 5y'' 5 x'' = y'' = x''. 5 Parámetro de la cónica 5 p = 5 Eje y vértice De todas las rectas que tienen por dirección la dada por los vectores propios de A c asociados al valor propio λ, vamos a considerar la recta r que corta a la parábola en único punto. Dicho punto será el vértice V de la parábola. Los vectores propios asociados a λ = 5, son las soluciones del sistema: 4 5 x = x + y = y = x 5 y Por tanto, la pendiente de la recta r es, y tiene una ecuación de la forma: x y = + k. Hay que hallar k de forma que el discriminante Δ de la ecuación de segundo grado que se obtiene al interseccionar la parábola y la recta r, sea nulo: 4x + y 4xy + x + 4y = x 5x kx + ( 4k + 6k 4) = y = + k 5 Δ = 4k 4 5 (4k + 6k 4) = k =. 5 El vértice es ya la solución del sistema anterior para k =, es decir: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

16 5 5x 5x + 5 = x = y = + = V = (,). El eje es la recta que pasa por el vértice y es perpendicular a r, es decir, tiene de pendiente. Su ecuación es, por tanto: y = (x ) y = x. Foco y directriz Para calcular el foco y la directriz, interseccionemos el eje con la circunferencia de centro V y radio p, siendo p el parámetro de la parábola, 5 p = : y = ( x ) x =, y = 5. (x ) + (y ) = x =, y = 5 Cuál de los dos puntos anteriores es el foco y cuál pertenece a la directriz? Para averiguarlo, analicemos el discriminante de la ecuación del apartado anterior para k = : Δ = 4 5( 4) >. Por tanto, para k =, la correspondiente recta perpendicular al eje corta a la parábola en dos puntos, luego la cónica se dirige hacia la izquierda. 9 9 El foco es, entonces, el punto F, y la directriz es la recta perpendicular al eje que 5 pasa por el punto,. Por consiguiente, la ecuación de la directriz es: 5 dir y = x. 5 Dibujo de la cónica 6 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

17 .- Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos (, ), (, ), (, ),, 4 y, 4. Solución: x + Ay + Bxy + Cx + Dy + E = (,) cónica E = (,) cónica 4 + C + E = (, ) cónica 4A D + E = 9, cónica + A + B + C + D + E = , cónica + A B + C D + E = Resolviendo este sistema lineal de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, se obtiene: A = 4, B = -4, C = -, D = 8 y E = Resultando la ecuación de la cónica: x + 4y 4xy x + 8y = Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

18 .- Hallar el centro y las asíntotas de la cónica: Solución: + x + xy =. + x + xy = A =, A = = < Cónica de tipo hiperbólico. A = Se trata de una hipérbola. Centro: x+ y= y= C (, ) x = Asíntotas: y + + = + m= m= y= x x x La otra asíntota pasa por C y tiene pendiente infinita: x =. x= y = - (/)x 8 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

19 4.- Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro a : a) x axy + ay x + 4ay = Solución: a) La matriz de la cónica es A = a = a = A = a a a = a ( a) A = a a = = a = a a a a a Estudiemos las diferentes posibilidades: A < ) a < HIPÉRBOLA A A = Tipo parabólico ) a = A = Cónica degenerada A = A + A = + ( ) = < RECTAS PARALELAS A > ) < a < Elipse real ó imaginaria? A ( a + a ) A = ( + a)( a) = + < ELIPSE REAL A = 4) a = PARÁBOLA A A < 5) a > HIPÉRBOLA A dos rectas paralelas parábola a hipérbola elipse real hipérbola Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

20 4.- Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro a : b) ax xy + ay x + y + = Solución: b) La matriz de la cónica es A = a a a A = a a = a = ; A = = a - = a = ± a a - -/ Estudiemos las diferentes posibilidades: A > ) a < elipse real ó imaginaria? A ( a + a ) A = ( a) + = + < ELIPSE REAL A = Tipo parabólico ) a = PARÁBOLA A no degenerada A < ) < a < HIPÉRBOLA A A < 4) a = DOS RECTAS SECANTES A = A < 5) < a < HIPÉRBOLA A 6) a = A = A + A = + = 4 > RECTAS IMAGINAR. PARALELAS. A > 7) a > elipse real ó imaginaria? A ( a + a ) A = ( a) + = + + > ELIPSE IMAGINARIA dos rectas secantes parábola rectas imag. paralelas a elipse real - hipérbola -/ hipérbola elipse imag. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

21 5.- Hallar λ y μ sabiendo que las ecuaciones x + λ y =, x'y' =μ, corresponden a una misma cónica expresada en dos sistemas de referencia ortonormales distintos. Solución: x + λy = A = λ μ x ' y' = μ B = Girando y trasladando los ejes se pasa de una ecuación a otra, luego: k k R, k, tal que A = k, ya que la ecuación de una cónica en un λk sistema de referencia puede multiplicarse por un número distinto de cero. Teniendo en cuenta los invariantes en la ecuación de una cónica, se verifica: Tr( A c ) = Tr( Bc ) k + kλ = λ = k A = k = k = B = μ μ = 4k 4 k A = k λ = k = B = k = ± 4 Para + se obtiene: μ = 4 = 8 Para - se obtiene: μ = 4 = 8 Por tanto, han de ser λ = y μ = ±. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

22 6.- a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro a : a + x + y + ax + xy + ay =. b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = : Ecuación reducida Parámetro de la cónica Eje y vértice Foco y directriz Dibujo de la cónica. Solución: a a) La matriz de la cónica es A = a a a a A = a = a = A = a a a = a ( a) a a = = a = Estudiemos las diferentes posibilidades: A < ) a < HIPÉRBOLA A A > ) < a < Elipse real ó imaginaria? A ( a + a ) A = ( + a)( a) = + < ELIPSE REAL A < ) a > HIPÉRBOLA A A = Tipo parabólico 4) a = A = Cónica degenerada A = A + A = + ( ) = < RECTAS PARALELAS A = 5) a = PARÁBOLA A Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

23 dos rectas paralelas parábola Cónicas b) A la vista del apartado anterior, para a =, la cónica es una parábola cuya matriz asociada es: 4 A = con A = y A = Ecuación reducida λ y`` + bx``= siendo λ = a + a = 5, ó bien λ = valor propio no nulo de A c =, y 4 b a hipérbola elipse real hipérbola A 4 5 = ± = ± =. a + a 5 5 ± Como b ha de tener signo contrario a λ, se toma 4 5 reducida: 5y`` x``=, es decir: 5 Parámetro de la cónica y`` = x`` b 5 =. Resultando la ecuación p = 5 p = 5 5 Eje y vértice El eje de la parábola x`` tiene la dirección de los vectores propios asociados al valor propio λ = de la matriz A c : x = x y = y = x 4 y Luego, el eje y``, perpendicular a x`` y que corta a la cónica en el vértice, tiene una ecuación de la forma: y `` y = x + k Sustituimos esta expresión en la ecuación de la parábola, obteniéndose: x + 4 x + k 4x x + k x + 8 x + k = ( ) ( ) ( ) ( 9 + k) x + 4k( k + ) = 5x cuyo discriminante Δ ha de ser nulo para que tenga solución única (la abscisa x del 8 vértice): Δ = 4( 9 + k) 4 5 4k( k + ) = k + 8 = k = La abscisa del vértice es, entonces, la solución única de la ecuación 8 ( 9 + k) x + 4k( k + ) = para k = : Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

24 Como el vértice ha de pertenecer al eje Cónicas 5x 99x + 98 = x = y `` y = x y = + = El vértice es, por tanto, el punto V, , su ordenada ha de ser: Y el eje de la parábola es la recta que pasa por el vértice y tiene de pendiente : Foco y directriz y 9 Como ambos se encuentran a una distancia x`` con la circunferencia de centro V y radio p : 99 = x 5 p 5 = del vértice, interseccionamos el eje y = x = = x y Resolviendo el sistema anterior se obtienen los dos puntos:, y, 5 Cuál de ambos es el foco? Si se intersecciona la parábola con la recta paralela al eje y`` que pasa por el origen, se obtienen dos puntos de corte, ya que el discriminante Δ para k = es positivo: Δ = 4( 9 + k) 4 5 4k( k + ) = 4 8 = 4 > Luego, la parábola se abre hacia la izquierda del vértice y el foco F es, de ambos puntos, el que tiene menor abscisa: 9 F,. La directriz d es la recta que pasa por el otro punto y es paralela al eje y``: Dibujo de la cónica d y = x 5 dir F V 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. eje

25 7.- a) Clasificar la siguiente cónicas según los valores del parámetro a : a + x + y + ax + xy + ay =. b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a = Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica Centro, si procede Ejes y vértices Focos y directrices Asíntotas, si procede Dibujo de la cónica. Solución: a a) La matriz de la cónica es A = a a A = a a + = ( a + )( a ) = a = a A = = a - = a = ± a a - - Estudiemos las diferentes posibilidades: A > ) a < Elipse real ó imaginaria? A ( a a ) A = a ( a + )( a ) [ ] = > + ELIPSE IMAGINARIA A > ) < a < Elipse real ó imaginaria? A ( a a ) A = a ( a + )( a ) [ ] = + < + ELIPSE REAL A < ) < a < HIPÉRBOLA A A > 4) < a Elipse real ó imaginaria? A ( a a ) A = a ( a + )( a ) [ ] = + + > + ELIPSE IMAGINARIA A > 5) a = PUNTO A = Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

26 A = 6) a = - PARÁBOLA A A = 7) a = Parábola degenerada A = A = A + A = RECTA DOBLE Punto o rectas imaginarias parábola recta doble a elipse imaginaria - elipse real - hipérbola elipse imaginaria b) x + y + xy = Ecuación matricial X t AX = O ( x y) x =. y Nota: También puede utilizarse A =, llegando al mismo resultado. Clasificación A = = < Cónica de tipo hiperbólico. 4 A = Se trata de una HIPÉRBOLA. 4 Ecuación reducida λ x'' +λ y'' + k = A /4 k = = = ; A /4 λ A c λ I = = λ = λ = ± λ 4 6 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

27 De acuerdo con el criterio expresado anteriormente, tomamos para λ el valor propio de signo contrario a k, es decir, λ =, λ =. Por tanto, la ecuación reducida queda: x'' y'' x'' y'' = =. Es una hipérbola equilátera. Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica a = = b a = b = e =, por ser hipérbola equilátera. b p = = = a Centro Para calcular el centro, resolvemos el sistema + y= + x = C(, ). Ejes y vértices Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ y λ, respectivamente. Los vectores propios asociados a λ son las soluciones del sistema: x = x + y = y = x. y Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y + = ( x + ) y = x. El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: y + = (x + ) y = x. Para calcular los vértices, intersecamos el eje focal con la circunferencia de centro C y radio a=: (x + ) + (y + ) = y = x obteniéndose los puntos (,) y V (, ). V Focos y directrices Los focos son los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio c: c = a + b = 4 c = (x + ) + (y + ) = 4 y = x obteniéndose los puntos ( -, -) y F (- -,- -) F. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

28 Las directrices son rectas paralelas al eje no focal que distan del centro a c : Su ecuación ha de ser, por tanto, de la forma y = -x + n, es decir, x + y n =, a n determinando n de modo que = =. Resulta n = ±, luego, las c directrices son las rectas y = x ±. Asíntotas Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m, siendo m solución de la ecuación a + am + a m = + m + = m =. Una asíntota tiene, entonces, de ecuación: y = - La otra, pasa por el centro y es paralela al eje de ordenadas OY: x = -. Dibujo de la cónica x 8 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

29 8.- Dada la cónica x -y +4xy-x=, se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y excentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas g) Vértices h) Dibujo de la cónica. Solución: #: x - y + 4 x y - x = - #: A - - a) Calsificación: #: DET(A) #4: 4 Cónica no degenerada #5: Ac MINOR(A,, ) #6: - #7: A DET(Ac) #8: -6 Hipérbola b) Ecuación reducida: DET(A) #9: k A #: - 4 #: EIGENVALUES(Ac) #: [-, ] #: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, -) #4: - #5: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, ) - #6: - Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

30 Ecuación reducida: #7: x - y - = 4 c) semiejes y excentricidad Parámetros: #8: - y - = 4 #9: SOLVE- y - =, y 4 i i #: y = - y = #: x - = 4 #: SOLVE x - =, x 4 #: x = - x = #4: b #5: a Semidistancia focal: #6: c (a + b ) c #7: e a #8: d) Centro: - #9: SOLVE x =, [x, y] - y #: x = y = 6 Centro de la cónica:(/,/6) e) Ejes Eje real o focal: #: y - = x - 6 Eje imaginario o no focal: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

31 #: y - = - x - 6 f) Asíntotas #: [, m] Ac = m #4: - m + 4 m + = #5: SOLVE( - m + 4 m + =, m, Real) #6: [m = - 6, m = 6 + ] #7: y - = ( - 6) x - 6 #8: y - = ( + 6) x - 6 g) Vértices #9:SOLVE y - = x -, y - + x - = a, 6 6 [x, y] #4: x = + y = +, x = - y = h) Dibujo de la cónica Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

32 9.- Dada la cónica de ecuación: 9x +6xy-x+y -4y+49=. Se pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Parámetro de la cónica. e) Vértice y Eje. f) Foco y directriz. Solución: #: 9 x + 6 x y - x + y - 4 y + 49 = a) Ecuación matricial: #: A #: [, x, y] A x = y b) Clasificación: #4: DET(A) #5: -6 #6: Ac MINOR(A,, ) 9 #7: #8: DET(Ac) #9: Se trata de una parábola. c) Ecuación reducida: #: EIGENVALUES(Ac) #: [, ] #: λ DET(A) #: b - - #4: b - 4 #5: λ y`` - b x`` = #6: y`` - 8 x`` = 4 #7: y`` = x`` 5 d) Parámetro de la cónica: 4 #8: p = 5 4 #9: SOLVE p =, p 5 #: p = 5 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

33 e) Vértice y eje: #: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, La ecuación del eje y'' es entonces de la forma: #: y = x + k Interseccionamos la parábola con y'' y obligamos a que la solución sea única (será la abscisa del vértice): #4:9 x + 6 x x + k - x + x + k - 4 x + k +49= x + 6 x (k - 5) + 9 k - 6 k + 44 #5: = 9 x + 6 x (k - 5) + 9 k - 6 k + 44 #6: SOLVE =, x 9 ( 6 (k - ) - k + 5) #7: x = x = - ( 6 (k - ) + k - 5) Para que ambas soluciones coincidan ha de ser K =. Otro método para obtener k es igualar a cero el discriminante de la ecuación de segundo grado anterior: #8: 6 (k - 5) - 4 (9 k - 6 k + 44) = #9: SOLVE(6 (k - 5) - 4 (9 k - 6 k + 44) =, k) #: k = x + 6 x ( - 5) #: = 9 4 (5 x - 6 x + 6) #: = 9 4 (5 x - 6 x + 6) #: SOLVE =, x 9 6 #4: x = 5 6 #5: y = #6: y = 5 El vértice es pues el punto: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

34 6 7 #7:, 5 5 La ecuación del eje es: 7 6 #8: y - = - x f) Foco y directriz: Se intersecciona el eje focal con la circunferencia de centro en el vértice y radio p/: #9: SOLVE y - = - x -, x - + y - =, [x, y] 7 4 #4: x = y =, x = y = 5 5 En la gráfica se observa que el punto (,) es el foco y el punto (7/5, 4/5) pertenece a la directriz, que tiene de ecuación: 4 7 #4: y - = x #4: [, ] 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

35 .-Dada la cónica x + y + kxy - x - y + =, se pide: a) La ecuación matricial b) Ecuación de las Asíntotas y Eje focal para el valor k =. c) Ecuación reducida para el valor k = d) Hallar la excentricidad para el valor k =. e) Clasificar según los valores del parámetro k R f) Demostrar que la excentricidad de cualquier hipérbola equilátera es e = Solución: a) ( x 5 y) 5 k x =. k y b) Si k = entonces 5 A= 5, Ac =, A = 9 la cónica es una hipérbola cuyo centro es x =, y= solución del sistema 5+ x+ y=, + x + y = Las pendientes de sus asíntotas, son las raíces del polinomio por tanto, m= ± Los valores propios de A c son las raíces de ( ) c + 4m+ m =, A λ I = λ ( λ+ ) =. El eje focal pasa por el centro y su pendiente es, la pendiente del vector propio asociado al valor propio λ=, que resulta ser m= Asíntotas (y ) = ( ± )( x + ). Eje focal (y ) = ( x + ) y= x+. c) Si k = c A = 6, A = y la cónica, resulta ser, una parábola cuya ecuación reducida es λ ( ) y' ± bx' =. λ = a+ a =, A b = = λ. Ecuación reducida ( y' ) x' =. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

36 d) Si k = los valores propios de Cónicas son λ = y λ = por tanto a = k, b = k, c= k k y la excentricidad en este caso es: 4 k e = =. k 6 e) A k c =, A = (k 5), así pues el valor de k R lo descomponemos en los intervalos y valores siguientes:.- Si k < Ac <, A < son hipérbolas..- Si k = Ac =, A < es una parábola..- Si < k< Ac >, A < y a > son elipses. 4.- Si k = c A =, A < es una parábola. 5.- Si < k < 5 Ac <, A < son hipérbolas. 6.- Si k 5 = c A <, A = son dos rectas secantes. 7.- Si 5 k < c A <, A < son hipérbolas. f) En una hipérbola equilátera se verifica que a=b y c =a +b =a y como la excentricidad es c a e = a = a =. 6 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

37 .- Dada la cónica de ecuación: +x+4y+x +4xy= Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica d) Centro, si procede e) Ejes y vértices f) Focos y directrices g) Asíntotas, si procede h) Dibujo de la cónica y de los elementos hallados en los apartados anteriores. Solución: a) Clasificación: #: A #: DET(A) #: -8 #4: Ac MINOR(A,, ) #5: A DET(Ac) #6: A -4 ES UNA HIPÉRBOLA DET(A) ; DET(Ac)< b) Ecuación reducida: DET(A) #7: k A #8: k valores propios de Ac: #9: EIGENVALUES(Ac) #: [-, 4] Consideramos primero el negativo, para obtener como eje de abscisas X'' el eje focal λ = - (signo contrario a k) Ecuación reducida: #: - x + 4 y + = c) Semiejes #: - x = #: SOLVE(- x =, x, Real) #4: x = - x = #5: y + = #6: SOLVE(- + 4 y + =, y) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

38 i i #7: y = - y = Semiejes:a=, b= / #8: a #9: b Semidistancia focal: #: c (a + b ) #: c + #: c Excentricidad: c #: e = a 5 #: e = Parámetro focal: b #5: p = a #6: p = 4 c) Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica: a =, b = / e = c/a = 5/ p = b^ /a = (/)/ = /4 d) Centro C: #7: SOLVE([ + x + y =, + x + y = ], [x, y]) #8: [x = - y = ] e) Ejes: #9: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, -) = - Eje focal: Pasa por el centro y es paralelo a este vector #: y - = - (x + ) - #: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 4) = - Eje no focal: Pasa por el centro y es perpendicular al eje focal 8 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

39 #: y - = (x + ) Cónicas Vértices: Intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio a #: (y - ) + (x + ) = #4: SOLVE( y - = - (x + ), (y - ) + (x + ) =, [x, y]) #5: x = - y = -, x = - - y = f) Focos: Intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y radio c 5 #6: SOLVE y - = - (x + ), (y - ) + (x + ) =, [x, y] #7: x = - y = -, x = - - y = + Directrices: Rectas paralelas al eje no focal que distan del centro #8: y = x + n #9: x - y + n = #4: (-) - + n = (-) - + n #4: SOLVE =, n, Real #4: n = - n = + #4: x - y + + = #44: x - y + - = g) Asíntotas: Pasan por el centro y tienen de pendiente m tal que: #46: + 4 m = #47: SOLVE( + 4 m =, m, Real) #48: m = - 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

40 #49: y - = - (x + ) 4 Cónicas La otra asíntota pasa por el centro y es paralela al eje de ordenadas #5: x = - h) Dibujo aproximado: 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

41 .- Sea la cónica de ecuación: x +y + xy+y= Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Excentricidad y Parámetro de la cónica d) Vértice, si procede e) Ejes f) Dibujo de la cónica Solución: #: x + y + x y + y = #: A Ecuación matricial #: [, x, y] A x = y a) Clasificación #4: DET(A) #5: - Cónica no degenerada #6: Ac MINOR(A,, ) #7: A DET(Ac) #8: Parábola b) Ecuación reducida #9: TRACE(Ac) #: DET(A) #: b - TRACE(Ac) 6 #: Ecuación reducida: 6 #: y - x = c) Excentricidad y parámetro Excentricidad=, por ser una parábola Parámetro:comparando con y^=px Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

42 b #4: p TRACE(Ac) 6 #5: 9 d) Vértice Nota: Interseccionar la cónica con una recta genérica perpendicular al eje focal, obligando a que haya un único punto de corte (que será el vértice). El eje de la cónica se determina conociendo su dirección y sabiendo que pasa por el vértice. Buscamos los vectores propios asociados a los valores propios y : x #6: Ac = y x #7: SOLVEAc =, y, Real y #8: [y = - x] haz de rectas de pendiente m=/ : x #9: y = + n x x x #: x + + n + x + n + + n = x x x #:SOLVE x + + n + x + n + + n =,x ( ( - n) - n - ) #: x = x = - 9 ( ( - n) + n + ) 9 #: SOLVE( - n, n, Real) #4: n = sustituyendo n por /, para que el discriminante sea cero y tengamos solución única: 5 #5: x = - 6 #6: y = - 8 vértice (-5 /6,-/8) e) Eje focal eje de simetría: 5 #7: y + = - x Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

43 f) Grafica Cónicas Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

44 .- Dada la cónica de ecuación x 8xy y + x y + =, se pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica. e) Centro y Ejes. f) Asíntotas. Solución: #: x - 8 x y - y + x - y + = a) Ecuación matricial: #: [, x, y] A x = y Siendo A la matriz: 5-5 #: A := b) Clasificación: #4: Ac := MINOR(A,, ) -4 #5: -4 - #6: DET(Ac) #7: -5-5<, luego es de tipo hiperbólico. #8: DET(A) #9: -5-5, luego es una cónica no degenerada. Se trata, por tanto, de una hipérbola. c) Ecuación reducida: #: EIGENVALUES(Ac) #: [5, -5] DET(A) #: DET(Ac) #: #4: - 5 x + 5 y + = x y - = #5: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

45 d)semiejes:ambos son iguales (hipérbola equilátera)a: #6: 5 ƒ Excentricidad: #7: por ser equilátera. Parámetro de la cónica b^/a: 5 #8: 5 ƒ #9: 5 e)centro y ejes: #: SOLVE([5 + x - 4 y =, -5-4 x - y = ],[x, y]) 7 #: x = - y = 5 5 #: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, -5) #: Luego, el eje focal es: 7 #4: y - = x ƒ El eje no focal: 7 #5: y - = - x ƒ f)asíntotas: #6: - 8 m - m = #7: SOLVE( - 8 m - m =, m, Real) #8: m = m = - 7 #9: y - = - x ƒ 7 #: y - = x ƒ Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 45

46 4.- Dada la cónica de ecuación Cónicas pide: a) Ecuación matricial. b) Clasificación. c) Ecuación reducida. d) Semiejes y Parámetro de la cónica. e) Centro. f) Ejes (indicando cuál es el eje focal). g) Vértices principales (sobre el eje focal). Solución: #: x + y - x y + 6 x - 8 y + = -4 #: A a) Ecuación matricial: #: [[, x, y]] A x = y b) Clasificación: #4: Ac MINOR(A,, ) - #5: Ac - #6: DET(Ac) Tipo elíptico #7: 5 #8: DET(A) #9: - #: ( + ) (-) #: - ELIPSE REAL x xy + y + 6x 8y + =, se c) Ecuación reducida: #: EIGENVALUES(Ac) #: +, - DET(A) #4: DET(Ac) #5: #6: - x`` + + y`` - 4 = 46 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

47 x`` y`` + = 4 4 #7: #8: x - + y + = d) Semiejes y parámetro de la cónica: a = #9: b = #: b #: p = = = 4 - A e) Centro: #: SOLVE([ + x - y =, -4 - x + y = ], [x, y]) #: [x = - y = ] #4: [-, ] f) Ejes: 5 5 #5: EXACT_EIGENVECTORAc, #6: - Eje focal: y - = - (x + ) #7: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 47

48 ( 5 - ) (x + ) #8: y - = Eje no focal_ 5 #9: y - = - - (x + ) g) Vértices sobre el eje focal: ( 5 - ) (x + ) #:SOLVE y- =, x + y - xy + 6x - 8y +=, #: x = y = +, x = - - y = #:, #: - -, Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

49 5.- Dada la cónica de ecuación x +xy+y -x-= Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Centro d) Ejes Solución: - - #: A - #: DET(A) #: - #4: Ac MINOR(A,, ) #5: A DET(Ac) #6: A a) ES UNA ELIPSE DET(A) ; DET(Ac)> #7: TRACE(Ac) = Elipse real, pues la traza de Ac es de distinto signo que el determinante de A. DET(A) #8: k A #9: k - valores propios de Ac: #: EIGENVALUES(Ac) 5 5 #: +, - Consideramos primero el menor, para obtener como eje de abs cisas X'' el eje focal b) Ecuación reducida: 5 5 #: - x + + y - = #: SOLVE([- + x + y =, x + y = ], [x, y]) #4: [x = y = -] c) Centro:(,-) d) Ejes #5: EXACT_EIGENVECTORAc, - = - Eje focal 5 #6: (y + ) = (x ) - Eje no focal 5 #7: (y + ) = (x ) + Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 49

50 6.- Dada la cónica de ecuación x y + 4 x + =. Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y excentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas Solución: #: x - y + 4 x + = a) Clasificación: #: A - #: MINOR(A,, ) #4: - #5: Ac - #6: DET(Ac) #7: - Cónica de tipo hiperbólico. #8: DET(A) #9: 6 Se trata de una HIPÉRBOLA. b) Ecuación reducida: #: λ x + λ y + k = DET(A) #: k DET(Ac) #: - #: EIGENVALUES(Ac) #4: [, -] x - y - =, es decir: x y - = #5: 5 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

51 c) Semiejes y excentricidad: #6: a = #7: b = #8: c = + #9: c = #: e = Cónicas 6 #: e = d) Centro: #: SOLVE([ + x =, - y = ], [x, y]) #: [x = - y = ] e) Ejes: #4: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, ) #5: [[@, ]] Eje focal: Pasa por C(-,) y es paralelo a (,) #6: y = Eje no focal: Pasa por C(-,) y es perpendicular al eje focal #7: x = - f) Asíntotas: Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m tal que: #8: - m = #9: SOLVE( - m =, m) #: m = - m = Luego, su ecuación es: #: y - = (x + ) #: y - = - (x + ) NOTA : Para que los alumnos dispongan del estudio completo de la cónica, aunque en el examen no se piden, se añade a continuación el cálculo de vértices, focos, y directrices. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

52 Vértices: #: SOLVE( y =, (x + ) + y =, [x, y]) #4: [x = - y =, x = - - y = ] Focos: 9 #5: SOLVE y =, (x + ) + y =, [x, y] #6: x = - y =, x = - - y = Directrices: A #7: = c #8: SOLVE( y =, (x + ) + y =, [x, y]) #9: [x = - y =, x = - - y = ] Son rectas paralelas al eje no focal que pasan por los punt os que se acaban de hallar. Tienen de ecuaciones: #4: x = - #4: x = - - Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente: #4: - m = #4: SOLVE( - m =, m) #44: m = - m = NOTA : Como la ecuación de la cónica no tiene término en x.y, se podría haber realizado el estudio completando los cuadrados de la x y de la y, obteniéndose una ecuación reducida. 5 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

53 a 7.- Sea la cónica de ecuación: ( x y) a x =. a a y a.- Clasificarla según los valores del parámetro real a. b.- Para a =, se pide: Clasificación Ecuación reducida Semiejes, excentricidad y Parámetro de la cónica Centro Ejes Asíntotas Solución: a a.- A = a a a a A = = a = a = a A = ( a ) ( a ) = a = Caso Caso Caso Caso 4 Caso 5 a (, ) - (-, ) (, ) A A Clasificación Elipse real Rectas Par. Hipérbola Recta doble Elipse real a + a A = a a a ( ) ( ) ( ) Caso : ( + a ) A = + < a Elipse real a Caso : A + A = + = + = = 4 < a a a a= Rectas Paralelas Caso 4: A + A = + = Recta doble a= Caso 5: ( + a ) A = + < a Elipse real b.- Estamos en el caso, se trata de una hipérbola. Ecuación reducida: λ x'' +λ y'' + k = Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

54 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 54 I A A A c c ± = λ = = λ λ = = = λ = λ = = = k) (signo contrario a A A k ' y' x'' y'' x'' = = + + Semiejes: a = b =, se trata de una hipérbola equilátera. Excentricidad: e = Parámetro de la cónica: a b p = = Centro: y x + = = ( ) C, Ejes: x y y x y x = = + = Eje focal: x y = Eje no focal: x y = Asíntotas: Pendiente: = = = = + = + + m m m m m a m a a Ecuaciones: = = y x

55 8.- a) Probar que sólo uno de los siguientes polinomios de segundo grado en x y en y representa una elipse.. x +4xy+y =7. x+5y-+x +xy+y =. 9y -4xy-4y+6x -x=5 4. 5y +5x --8xy+4x-y= b) Hallar el Centro, los Ejes, los Focos y las Asíntotas de la cónica y +4xy+x -7=. Solución: a) 7 A =. A = Hipérbola Ac = < 5 5 A = 565. A = 5 6 Parábola Ac = 9 5 A =. A = Dos rectas secantes Ac = < 5 4 A = 8 4. A = 5 4 Ac = 9> ELIPSE REAL 4 5 signo(a + a ) signo A 7 A = b) A = Hipérbola Ac = < Centro x + y = C(,) x + y = Ecuación característica de A c : λ λ =. Valores propios - y. Ecuación reducida x -y x y -7= = 7 7 x Pendiente del eje focal = y = x m = y Eje focal y = x Eje transverso y = -x A k = = 7 A c Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 55

56 Focos 7 8 De la ecuación reducida obtenemos que: a = ;b = 7 c = a + b = y= x Y del sistema 8 F =,,F, x + y = = Asíntotas +4m+m y= ( ) x = m= ± y = ( ) x 56 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

57 9.- Clasificar la cónica xy+4x-= y hallar su excentricidad, Eje focal y Focos. Solución: t XAX= O ( x y) x =. y Clasificación: A = = < Cónica de tipo hiperbólico. A = Se trata de una hipérbola. Ecuación reducida: λ x'' + λ y'' + c = A c= = ; A c λ I =λ = λ= A Tomamos para λ el valor propio de signo contrario a c, es decir, λ =, λ = ;. Por tanto, la ecuación reducida queda: x '' y '' = x '' y '' = HIPÉRBOLA EQUILÁTERA c Excentricidad: e= = >, ya que a =, b =, c = a - b =. a + y= Para el centro, resolvemos el sistema, obteniéndose el punto C=(,-) x = Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios asociados a λ y λ, respectivamente. Los vectores propios asociados a λ son las soluciones del sistema: x = x+ y= y= x. y Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: y+ = x y= x. El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación: y+ = x y= x. Focos son los puntos de intersección del eje focal con la circunferencia de centro C y (x ) (y ) radio c: =. Obteniéndose los puntos F y = x (, ) y F (,-). Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 57

58 .- Dada la cónica x + y xy 6x + y + 7 =, se pide: a) Las coordenadas del foco. b) La ecuación de la directriz. Solución: Dada la cónica: #: x + y - x y - 6 x + y + 7 = 7 - #: A Ecuación matricial #: [, x, y] A x = y #4: DET(A) #5: -4 Cónica no degenerada #6: Ac MINOR(A,, ) - #7: Ac - #8: A DET(Ac) #9: Parábola #: TRACE(Ac) #: DET(A) #: b - TRACE(Ac) #: b Ecuación reducida: #4: y - x = Parámetro:comparando con y^=px b #5: p TRACE(Ac) #6: p Vértice: Buscamos los vectores propios asociados a los valores propios y : x #7: Ac = y 58 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

59 x #8: SOLVEAc =, y, Real y #9: y = x haz de rectas de pendiente m=-: #: y = -x + n #: 4 x - 4 x (n + ) + n + n + 7 = #: 6 (n + ) - 6 (n + n + 7) = #: SOLVE(6 (n + ) - 6 (n + n + 7) =, n, Real) #4: n = sustituyendo n por /, para que el discriminante sea cero y tengamos solución única: 49 #5: SOLVE4 x - 4 x + =, x, Real 4 7 #6: x = 4 #7: y = - 4 vértice (7/4,-/4) eje de simetría: 7 #8: y + = x #9: SOLVE y + = x -, y + + x - = p, [x, y] #: x = y =, x = y = - a) foco:f(,) b) directriz: #: y + = - x - Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 59

60 Grafica: Cónicas 6 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

61 .- Dada la cónica de ecuación 6x + 9y + 4xy 96x y 5 =. Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes, Parámetro y excentricidad d) Centro y Ejes e) Directrices Solución: #: 6 x + 9 y + 4 x y - 96 x - y - 5 = #: A #: DET(A) #4: -6 #5: Ac MINOR(A,, ) #6: A DET(Ac) #7: A 9 ES UNA ELIPSE DET(A) ; DET(Ac)> 6 #8: TRACE 9 #9: 65 a) Elipse real, pues la traza de Ac es de distinto signo que el determinante de A. DET(A) #: k A #: k -8 valores propios de Ac: #: EIGENVALUES(Ac) #: [, 45] Consideramos primero el menor, para obtener como eje de abs cisas X'' el eje focal b) Ecuación reducida: #4: x + 45 y - 8 = #5: x = #6: SOLVE( x =, x, Real) #7: x = - x = #8: + 45 y - 8 = #9: SOLVE( + 45 y - 8 =, y, Real) #: y = - y = Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

62 c) Semiejes:a=, b= #: a #: b Semidistancia focal: #: c (a - b ) #4: c 5 Excentricidad: c #5: e = a 5 #6: Parámetro focal: b #7: p = a 4 #8: #9: DELETE_ELEMENT(A, ) x = y #: SOLVE(6 x + y = 48 x + 9 y =, [x, y], Real) 7 #: x = y = d) Centro(7/5,-/5) #: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, ) #: 4 - #4: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, 45) 4 - #5: Eje mayor: 4 7 #6: y + = - x Eje menor: 7 #7: y + = x Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

63 e) 7 a 4 #8: SOLVE y + + x - =, y + = - x c 5 7, [x, y] #9: x = + y = - -, x = - y = Directrices: #4: y + + = x #4: y - + = x Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

64 .- Dada la cónica de ecuación: x + xy + y x y + 9 =. Se pide: a) Ecuación matricial b) Clasificación c) Ecuación reducida d) Excentricidad y Parámetro de la cónica e) Vértice y Eje f) Foco y directriz g) Gráfica de la cónica donde aparezcan los elementos que se calculan en los dos apartados anteriores. Solución: a) Ecuación matricial 9 5 t ( x y) x = XAX= 5 y b) Clasificación A = A c = = Tipo parabólico A = 6 PARÁBOLA c) Ecuación reducida b x'' + λ y' ' = ; valores propios de A c : λ =, λ = (con la función A EIGENVALUES (A c )); b = ± = ± ; para que b sea de signo a + a contrario a λ, tomamos b =. 4 x'' + y'' = y' ' = x' ' d) Excentricidad y parámetro de la cónica e =, por ser una parábola. p = p= e) Eje y vértice Vectores propios de A c asociados a λ : (,) = (con la función Exact_EIGENVECTOR (A c, )) Eje y'' y = x + n. Busquemos n para que la intersección de y con la parábola sea un único punto: y = x + n 4x + 4x(n ) + n n + 9 = x + y + xy x y + 9 = 4(n ) ± x = 6(n ) 8 6(n n + 9) 64 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

65 Discriminante = = 6(n ) 6(n n + 9) n = Eje y'' y = x 4( ) ± Abscisa del vértice: x = = ; ordenada: n= 8 Luego, V =,. El eje focal pasa por el vértice y es perpendicular a y : Eje focal y - = x y = x + y = x = f) Foco y directriz Eje focal y - = x x = y = p x = y = circunf. de centro V y radio + = x y - Observando el dibujo se obtiene que el foco es F = (,) y la directriz es la recta que pasa por el punto (, ) y es paralela a y : dir y - = x y = x ( ) g) Gráfica de la cónica Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 65

66 .- Sea la cónica de ecuación: Cónicas x + 7y 6 xy 4 = a) Es el Centro de la cónica el origen del sistema de referencia? Son los Ejes de la cónica paralelos a los de coordenadas? En caso negativo, calcular el ángulo α que forman con ellos. b) Utilizando el apartado anterior, calcular la ecuación reducida de la cónica: c) Hallar las ecuaciones de los Ejes: d) Directrices. e) Focos. f) Vértices. Solución: a) Es el centro de la cónica el origen del sistema de referencia? SI, ya que NO APARECEN TERMINOS EN X NI EN Y Son los ejes de la cónica paralelos a los de coordenadas? NO, ya que APARECE TÉRMINO EN X.Y En caso negativo, calcular el ángulo α que forman con ellos: Llamando z, t a los ejes de la cónica, se ha de verificar que x COSα SENα z = y SENα COSα t, es decir, x = z cosα tsen α. y = zsen α + t cosα Llevando estas expresiones a la ecuación de la cónica y simplificando, se obtiene () ( cos α+ sen αcosα+ 6 )zt + + α+ α α + + = (6 cos 6 sen cos )(t z ) 7z t 4 Ha de ser = coeficiente de zt = cos α + sen αcosα + 6 π π Resolviendo la ecuación anterior, se obtiene α = ó y ya las ecuaciones del giro 6 son: x () = z y t b) Utilizando el apartado anterior, calcular la ecuación reducida de la cónica: Para ello, sustituimos, en la expresión (), α por el valor que acabamos de obtener, y queda: x + 5y = ; α = o bien 5x 6 π c) Hallar las ecuaciones de los ejes. + y = ; α = π 66 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

67 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 67 Para obtener el eje focal hay que girar la recta y = un ángulo 6 π ; para ello escribimos las ecuaciones del giro = y x y' x', es decir, = y' x' y x. Sustituyendo queda: y x = +. Análogamente, el eje no focal se obtiene girando la recta x= un ángulo 6 π obteniéndose: y x = + Dibujar los ejes: d) Las directrices se obtienen girando las rectas 5 c a x = ± = Obteniéndose: 5 y x = + y 5 y x = + e) Los focos se obtendrán girando los puntos (c,),(-c,), es decir ( ) ( ),,, Para ello: = = y' x' y. = = y' x'. f) Análogamente se obtienen los vértices: 5, 5, 5, 5, 6,,, 6