IES Fco Ayala de Granada Modelo 6 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 6 DEL 2015 OPCIÓN A

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1 SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 6 DEL 015 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 (1 5 putos) Resuelva la ecuació matricial 1 X = I. 0 1 a b (1 puto) Dadas las matrices M = y A =, calcule los valores de a y b para que se verifique la ecuació M A = A. 1 Resuelva la ecuació matricial 1 X = I. 1 Llamamos A = 1, B = y sabemos que I = 1 0. La ecuació dada es A X + B = I Como det(a) = A = det = 4 1 = 3 0, existe = A -1 = (1/ A ) Adj(A t ) De A X + B = I, teemos A X = I B = = 0 1 = C, es decir A X = C. 0-1 Multiplicado la expresió A X = C por A -1 por la izquierda teemos: A -1 A X = A -1 C I X = A -1 C X = A -1 C. Calculamos la matriz iversa A A t = 1 ; -1 Adj(At ) = -1, luego A -1-1 = (1/ A ) Adj(A t ) = (1/3) -1 = /3-1/3-1/3 /3. Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (A I), a la expresió (I B), dode B = A Cambio F1 -F (A I) = F 1 por F F -F F :(-3) 0 1-1/3 /3 1 0 /3-1/ /3 /3 por tato A /3-1/3-1 = -1/3 /3. La matriz pedida es: X = A -1 C -1 = (1/3) = (1/3) = a b Dadas las matrices M = y A =, calcule los valores de a y b para que se verifique la ecuació M A = A. 0 1 De M A = A, teemos 1 0 a b 1 = a b 1 1 a b = a b. Igualado miembro a miembro 1 teemos: a = y b = 1. EJERCICIO (A) x - 5 si x < Sea la fució f(x) = x x - 3x si x (1 5 putos) Determie y represete gráficamete sus asítotas. Calcule el puto dode la gráfica de la fució f corta al eje de ordeadas. (1 puto) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e x = -3. x - 5 si x < Sea la fució f(x) = x x - 3x si x 1 germa.jss@gmail.com 1

2 Determie y represete gráficamete sus asítotas. Calcule el puto dode la gráfica de la fució f corta al eje de ordeadas. Si x, f(x) = x 3 3x, que es u trozo de fució poliómica, y sabemos que las fucioes poliómicas o tiee asítotas. Si x <, f(x) = x-5, que es u trozo de hipérbola, y sabemos que las hipérbolas tiee asítota vertical x+4 (A.V.) y asítota horizotal (A.H.), e este caso e -. x Como lim f(x) = lim = = -, la recta x = -4 es A.V. de f(x). lim f(x) = = + x -4- x x+4 0 x x-5 x Como lim f(x) = lim = lim = lim =, la recta y = es ua A.H. de f e -. x - x - x+4 x - x x - 1 x Como lim ( f(x) - A.H. ) = lim - = lim = 0 x - x - x+4 =, la gráfica de f(x) está por ecima de la A.H. x - x+4 - y = e -. La gráfica de f(x) corta al eje de ordeadas para x = 0, que está e la rama x < y f(x) = x-5 x+4. Para x = 0, f(0) = -5 = -1'5. El puto de corte de f(x) co ordeadas es (0,-1 5). 4 Sabemos que la gráfica de ua hipérbola está efretada respecto a sus asítotas, como coocemos el puto (0,-1 5) que está a la derecha de su A.V. x = -4, podemos hacer u esbozo de la gráfica de f y sus asítotas para x <. Para x teemos ua cúbica, y vemos que corta a abscisas e x = 0(doble) o está e su domiio y e x = 3 (solucioes de x 3 3x = 0), y e + vale +. Además f() = () 3 3() = -4. U esbozo de las asítotas y la gráfica es: Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e x = -3. Vemos que x = - 3 está e la rama x <, dode f(x) = x-5 x+4. La recta tagete e x = - 3 es y - f(-3) = f (-3) (x + 3) f(x) = x-5 (-3)-5 f(-3) = x+4 (-3)+4 = -11. (x+4) - (x-5) f (x) = = f (-3) = = 13. (x+4) (x+4) (-3+4) La recta tagete e x = -3 es y - (-11) = 13 (x + 3), de dode y = 13x + 8. EJERCICIO 3 (A) U estudio estadístico determia que la oche del 31 de diciembre coduce el 5% de la població, el 0% cosume alcohol esa oche y el % coduce y cosume alcohol. (0 5 putos) So idepedietes los sucesos coducir y cosumir alcohol? (1 puto) Qué porcetaje de la població o coduce i cosume alcohol esa oche? c) (1 puto) De las persoas que cosume alcohol, qué porcetaje coduce esa oche? germa.jss@gmail.com

3 U estudio estadístico determia que la oche del 31 de diciembre coduce el 5% de la població, el 0% cosume alcohol esa oche y el % coduce y cosume alcohol. So idepedietes los sucesos coducir y cosumir alcohol? Llamamos A y B a los sucesos coducir la oche del 31 de diciembre y cosumir alcohol la oche del 31 de diciembre. Del problema teemos: p(a) = 5% = 0 05, p(b) = 0% = 0 y p(a B) = % = 0 0. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B p(b) ; p(b) = 1 - p(b C ); p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b). Como p(a B) = 0 0 p(a) p(b) = = 0 01, los sucesos A y B o so idepedietes, es decir depede coducir y cosumir alcohol la oche del 31 de diciembre. Qué porcetaje de la població o coduce i cosume alcohol esa oche? Me pide p(o coduce i cosume alcohol) = p(oa y ob) = p(a C B C ) = {Ley de Morga} = = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) = = 0 77 = 77%. p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 3 c) De las persoas que cosume alcohol, qué porcetaje coduce esa oche? Me pide p(coduce, sabiedo cosume alcohol) = p(a/b) ( ) Luego p(a/b) = p A B p(b) = (0 0)/(0 ) = 0 10 = 10%. EJERCICIO 4 (A) El capital de las hipotecas costituidas sobre ficas urbaas e Adalucía es ua variable aleatoria Normal co desviació típica ( putos) Se toma ua muestra aleatoria de 9 hipotecas co los siguietes capitales (e euros): Costruya u itervalo de cofiaza, al 95%, para el capital medio de dichas hipotecas. (0 5 putos) Qué úmero míimo de hipotecas deberíamos cosiderar e ua muestra para que, co el mismo ivel de cofiaza, el error máximo e la estimació del capital medio sea de 4000? σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = (a, dode z1-α/ y zα/ = - z1-α/ so los putos críticos de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α/) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α / = (b - /, para el itervalo de la germa.jss@gmail.com 3

4 z 1- α/. σ media, de dode el tamaño míimo de la muestra es = E. El capital de las hipotecas costituidas sobre ficas urbaas e Adalucía es ua variable aleatoria Normal co desviació típica Se toma ua muestra aleatoria de 9 hipotecas co los siguietes capitales (e euros): Costruya u itervalo de cofiaza, al 95%, para el capital medio de dichas hipotecas. Datos del problema: σ = 10000; = 9; x = = ( )/9 (971000)/9; ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, co la cual α/ = 0 05/ = De p(z z1-α/) = 1 - α/ = = 0 975, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z1 - α/ = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C.(µ) = x z 1 α /,x + z1 α / = '96, + 1' = ( ,1144 ) Qué úmero míimo de hipotecas deberíamos cosiderar e ua muestra para que, co el mismo ivel de cofiaza, el error máximo e la estimació del capital medio sea de 4000? Datos del problema: Error = E 4000, σ = 10000, igual ivel de cofiaza = 95% os da z1-α/ = σ z 1- α/. σ De error = E z1 α / = 4000, teemos que el tamaño míimo de la muestra es E 1' = 4000 = 4 01, es decir el tamaño míimo es de = 5 es decir, el tamaño míimo de hipotecas a cosiderar es de 5. = OPCION B EJERCICIO 1 (B) ( 5 putos) Se desea ivertir e dos productos fiacieros A y B que tiee ua retabilidad del % y del 5% respectivamete. Se sabe que el producto B exige ua iversió míima de y, por cuestioes de riesgo, o se desea que la iversió e B supere el triple de lo ivertido e A. Cuáto se debe ivertir e cada producto para que el beeficio sea máximo y cuál sería dicho beeficio? Se desea ivertir e dos productos fiacieros A y B que tiee ua retabilidad del % y del 5% respectivamete. Se sabe que el producto B exige ua iversió míima de y, por cuestioes de riesgo, o se desea que la iversió e B supere el triple de lo ivertido e A. Cuáto se debe ivertir e cada producto para que el beeficio sea máximo y cuál sería dicho beeficio? Es u problema de programació lieal. Sea x = Iversió del producto fiaciero A. Sea y = Iversió del producto fiaciero B. De el producto B exige ua iversió míima de y De o se desea que la iversió e B supere el triple de lo ivertido e A y 3x. De Se desea ivertir e dos productos fiacieros A y B x + y De Se ivierte e algú productos fiacieros A y B x 0, y 0. De A retabilidad del % y B retabilidad del 5%, teemos la fució a optimizar es B(x,y) = F(x,y) = = %x + 5%y = 0 0x y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(x,y) = 0 0x y. Restriccioes: y 10000; y 3x; x + y ; x 0; y 0 germa.jss@gmail.com 4

5 Las desigualdades y 10000; y 3x; x + y ; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, y = 10000; y = 3x; x + y = ; x = 0; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = 10000; y = 3x; y = - x ; x = 0; y = 0 La regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A, B y C. Gráficamete la regió factible es: Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = e y = 3x, teemos 3x = 10000, luego x = 10000/3, y el vértice es A(10000/3,10000). De y = e y = -x , teemos = - x x = 90000, y el vértice es B(90000,10000). De y = -x e y = 3x, teemos -x = 3x = 4x 5000 = x, co lo cual y = -(5000) = 75000, y el vértice es C(5000,75000). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(10000/3,10000), B(90000,10000) y C(5000,75000). Veamos la solució máxima de la fució F(x,y) = 0 0x y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(10000/3,10000), B(90000,10000) y C(5000,75000). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(10000/3,10000) = 0 0(10000/3) (10000) = 950/ ; F(90000,10000) = 0 0(90000) (10000) = 850; F(5000,75000) = 0 0(5000) (75000) = 375 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 615/3 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(5000,750000), por tato el máximo beeficio es de 375, y se obtiee ivirtiedo 5000 e el producto A y e el producto B. EJERCICIO (B) -x + x + 6 si x Se cosidera la fució f, defiida a trozos por la expresió f(x) = x + si x > (0 5 putos) Estudie la cotiuidad de la fució. (0 5 putos) Aalice la derivabilidad de la fució. c) (1 5 putos) Represétela gráficamete, determiado los extremos, los itervalos de crecimieto y decrecimieto y los putos de corte co los ejes. -x + x + 6 si x Se cosidera la fució f, defiida a trozos por la expresió f(x) = x + si x > y Estudie la cotiuidad de la fució. Aalice la derivabilidad de la fució. f(x) = -x + x + 6 es cotiua y derivable e R, e particular e x <. f(x) = x + es cotiua y derivable e R, e particular e x >. Veamos la cotiuidad y derivabilidad de f e x =. germa.jss@gmail.com 5

6 f(x) es cotiua e x = si f() = f() = lim + f(x) = x lim f(x) = x x lim f(x) = lim f(x). x x + lim (-x + x + 6) = -() + () + 6 = 4, x es cotiua e R. lim + (x + ) = () + = 4. Como ambos valores so iguales f es cotiua e x =, luego f f(x) es derivable e x = si existe f (), es decir f ( - ) = f ( + ). Usaremos la cotiuidad de la derivada. -x + x + 6 si x -x + 1 si x < f(x) = ; f (x) = x + si x > 1 si x > f ( - ) = lim f (x) = lim (-x+1) = -3 x x lim f (x) = lim (1) = 1. Como f ( - )=-3 f ( + )=1, o existe f () luego f es derivable e R {}. + + f ( + ) = x x c) Represétela gráficamete, determiado los extremos, los itervalos de crecimieto y decrecimieto y los putos de corte co los ejes. E x <, la gráfica de f(x) = -x + x + 6 es la de u trozo de parábola, co las ramas hacia abajo ( ) porque el úmero que multiplica a x es egativo; abscisa del vértice e la solució de f (x) = 0 = -x + 1, de dode x = 1/ y el vértice es V(1/,f(1/)) = V(1/,5/4) = V(0 5,6 5), que es u máximo relativo, por tato f(x) es ց e (1/,). estrictamete creciete ( ր ) e (-,1/) y estrictamete decreciete ( ) Sus cortes co los ejes so: Para x = 0, puto (0,f(0)) = (0,6) Para f(x) = 0 = -x + x + 6 = x - x - 6 = 0 x = 1 ± = 1 ± 5, de dode x = 3 que o está e x < y x = -, puto (-,0). E x >, la gráfica de f(x) = x + es la ua semirrecta, que pasa por ( +,4) y (3,5). Como su pediete es positiva, f(x) es estrictamete creciete ( ր ) e (,+ ). Por defiició x = es u míimo relativo, o derivable, que vale f() = 4. U esbozo de la gráfica es: EJERCICIO 3 (B) Ua efermedad puede estar provocada por solo ua de estas tres causas: A, B o C. La probabilidad de que la causa sea A es 0 3, la de que sea B es 0 y la de que sea C es 0 5. El tratamieto de esta efermedad requiere hospitalizació e el 0% de los casos si está provocada por A, e el 55% si la causa es B y e el 10% si la causa es C. (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que u efermo co la citada efermedad o ecesite hospitalizació? (1 puto) Si u efermo está hospitalizado debido a esta efermedad, cuál es la probabilidad de que la causa haya sido A? Ua efermedad puede estar provocada por solo ua de estas tres causas: A, B o C. La probabilidad de que la causa sea A es 0 3, la de que sea B es 0 y la de que sea C es 0 5. El tratamieto de esta efermedad requiere hospitalizació e el 0% de los casos si está provocada por A, e el 55% si la causa es B y e el 10% si la causa es C. Llamemos A, B, C, H y H C, a los sucesos siguietes, causa A, "causa B", "causa C", hospitalizació y "o hospitalizació ", respectivamete. Datos del problema p(a) = 0 3; p(b) = 0 ; p(c) = 0 5; p(h/a) = 0% = 0 0; p(h/b) = 55% = 0 55; germa.jss@gmail.com 6

7 p(h/c) = 10% = 0 10;. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Cuál es la probabilidad de que u efermo co la citada efermedad o ecesite hospitalizació? Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que o ecesite hospitalizació es: p(o hospitalizació) = p(h C ) = p(a).p(h C /A) + p(b).p(h C /B) + p(c).p(h C /C) = = = 39/50 = Si u efermo está hospitalizado debido a esta efermedad, cuál es la probabilidad de que la causa haya sido A? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A H ) p( A).p(H/A ) 0'3 0' p(a/h) = = = = 3/ C p(h) 1 - p(h ) 1-0'78 EJERCICIO 4 (B) ( 5 putos) El peso medio de los pájaros de ua determiada especie que habita e u parque atural se cosideraba o iferior a 110 g, pero los biólogos del parque sostiee ahora la hipótesis de que dicho peso medio ha dismiuido a cosecuecia del cambio climático. Se ha tomado ua muestra de 100 pájaros de esta especie y se ha obteido u peso medio de 108 g. Se sabe que la variable que mide el peso de los pájaros de esta especie sigue ua distribució Normal co desviació típica igual a 6 g. Platee u cotraste de hipótesis (H0 :µ 110), co u ivel de sigificació del 5%, determie la regió crítica de este cotraste y, utilizado ésta, razoe si co ese ivel se puede aceptar que los biólogos del parque está e lo cierto. El peso medio de los pájaros de ua determiada especie que habita e u parque atural se cosideraba o iferior a 110 g, pero los biólogos del parque sostiee ahora la hipótesis de que dicho peso medio ha dismiuido a cosecuecia del cambio climático. Se ha tomado ua muestra de 100 pájaros de esta especie y se ha obteido u peso medio de 108 g. Se sabe que la variable que mide el peso de los pájaros de esta especie sigue ua distribució Normal co desviació típica igual a 6 g. Platee u cotraste de hipótesis (H0 :µ 110), co u ivel de sigificació del 5%, determie la regió crítica de este cotraste y, utilizado ésta, razoe si co ese ivel se puede aceptar que los biólogos del parque está e lo cierto. Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua distribució ormal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras σ de tamaño, la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ, ). Datos del problema: µ = 110; = 100; x = 108; σ = 6; los biólogos sostiee la hipótesis de que el peso medio ha dismiuido (H0 :µ 110), ivel de sigificació = α = 5% = Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(0,1). Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H0 : µ 110 y H1 : µ < 110, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica está a la izquierda del puto crítico zα = - z 1-α. germa.jss@gmail.com 7

8 Etapa : Calculamos el puto crítico que os dará la regió crítica y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 05, teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que dicha probabilidad o viee e la tabla, y los valores más próximos es y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato el valor crítico es la media de ambos z1-α = ( )/ = 1 645, e uestro caso -z 1-α = que separa la zoa de aceptació y la de rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ E este caso el estadístico de prueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(0,1), y σ / x - µ el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = σ / 6/ 100 Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z es meor que el valor crítico zα = - z1-α = = , vemos que os ecotramos e la regió de rechazo. Por tato, tomamos la decisió de rechazar la hipótesis ula H 0: µ y aceptar la hipótesis alterativa H 1: µ < 110 co u ivel de sigificació del 5% Co lo cual, co u ivel de sigificació del 5%, se acepta la hipótesis de los biólogos del parque de que el peso medio de los pájaros ha dismiuido a cosecuecia del cambio climático. germa.jss@gmail.com 8