(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo IV Variación de funciones. Extremos

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1 (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo IV Variación de unciones. Etremos INTRODUCCIÓN En múltiples problemas de ingeniería se requiere optimizar una o varias de las variables que intervienen en problemas. Se dice que el ingeniero es un resolvedor de problemas de optimización tales como: la determinación de volúmenes máimos, supericies mínimas, máimos rendimientos, costos mínimos, áreas máimas, alturas mínimas, resistencias máimas, tiempos mínimos, velocidades máimas, uerzas mínimas, intensidades de corriente máimas, esuerzos mínimos gastos hidráulicos máimos, entre otros. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO TEOREMA DE WEIERSTRASS =, continua en el intervalo cerrado Sea la unción ab,. Entonces ha un valor de la unción ( ) = M llamado máimo absoluto, que no es superado por ningún otro valor = m, llamado de la unción en el intervalo un valor mínimo absoluto, que no supera a ningún otro valor de la unción en el intervalo. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA M M = ( ) = M = a M = m a m= ( ) b m m= b = a = b

2 M m = m= ( ) M = ( ) M = m= = a= b= a b TEOREMA DE BOLZANO = una unción continua en el intervalo cerrado Sea ab, sea tal que m M. Entonces eiste al menos un valor de en el intervalo ab, = un valor de para el cual ( ) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA En la igura se ilustra este teorema donde se ve que se demuestra para dos valores de : a, b a, b ; = ( ) = ( ) = ( ) M = m M m b

3 TEOREMA DE ROLLE Sea la unción = que cumple las siguientes condiciones: i) Que sea continua en el intervalo cerrado ab,. ) ab,. ii Que sea derivable en el intervalo abierto iii) Que ( a) = ( b). Entonces eiste por lo menos un valor en el intervalo abierto a b ' = para el cual, 3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Gráicamente, el teorema se veriica con claridad. ' = = = ( b) a a ' = ' = 3 3 b Se cumple para,, 3, donde la derivada vale cero. TEOREMA DE LAGRANGE (DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL) Sea la unción = que cumple las siguientes condiciones: i) Que sea continua en el intervalo cerrado ab,. ) ab,. ii Que sea derivable en el intervalo abierto Entonces eiste por lo menos un valor en el intervalo abierto ( b) ( a) ( a, b) para el cual ' ( ) = b a

4 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA ( b ) ( a ) = ( a) b 4 a 3 b a En la igura se ve que el teorema se cumple en cuatro puntos. Ejemplo. Veriicar para las siguientes unciones que se cumple el teorema mencionado obtener el o los valores de que satisacen la hipótesis: 3 i) = en - 3, 3 ( T. de Rolle) 3 ii) = 5 en,3 ( T. de Lagrange) 4 b

5 5 Ejemplo. Comprobar que se cumple el teorema del Valor medio del Cálculo dierencial para la unción 4 = 3 en el intervalo, obtener el o los valores de que lo satisacen. Ejemplo. Investigar si la unción = sen cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo,π en caso de hacerlo, obtener los valores de en los que se satisace el teorema. Hacer una gráica aproimada de la unción en el intervalo considerado, señalando, si eisten, los valores en los cuales se satisace el teorema.

6 6 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES DEFINICIÓN. Una unción es creciente si para dos valores cualesquiera de su dominio, se cumple que: > > Dos tipos de unción creciente: ' > ' > ( ) ( ) ( ) ( )

7 7 La derivada es la pendiente de la tangente, luego en una unción creciente, por la geometría analítica dado que la derivada es el límite del cociente de Δ ( positivo) entre Δ positivo, entonces es positiva en todo su dominio. DEFINICIÓN. Una unción es decreciente si para dos valores cualesquiera de su dominio, se cumple que: > < Dos tipos de unciones decrecientes: ' < ' < ( ) ( ) ( ) ( ) TEOREMA. Sea cerrado ab,, derivable en el intervalo abierto (, ) que ' ( ) > en el intervalo ( ab, ). Entonces la unción es creciente en el intervalo ( ab, ). = una unción continua en el intervalo ab tal TEOREMA. Sea cerrado ab,, derivable en el intervalo abierto (, ) que ' ( ) < en el intervalo ( ab, ). Entonces la unción es decreciente en el intervalo ( ab, ). = una unción continua en el intervalo ab tal Ejemplo. Investigar para qué intervalos de " " la siguiente unción es creciente decreciente. Hacer una gráica aproimada. 3 9 = + 6

8 8 SIGNO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN BIYECTIVA Una unción biectiva es aquella que cumple con ser inectiva o uno a uno supraectiva o sobre, por lo que su derivada no cambia de signo, es decir, que permanece creciente o decreciente en todo su dominio. Como ejemplos: i) = ; :, ), ) = = + = + +,) Si se deriva se obtiene: = ' =, ) luego es siempre creciente en el dominio considerado. Su gráica aproimada es:

9 9 = D = R [, ) [, ) = = C (, ) ' ( ) > ( creciente) ii) = 4 ; :,,4 = 4 = + 4,4 = 4 ' =, Es una unción decreciente en su dominio su gráica es: (, 4 ) = 4 D = R [,] [, 4] = = C (, ) ' ( ) < ( decreciente) EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS DEFINICIÓN. Una unción ( ) tiene un máimo relativo ( ) = en un intervalo ab,, si se para un valor cumple que: a, b

10 ( a ) ( b ) ' = ' ( ) = máimo relativo = máimo relativo a b a b Como se aprecia en ambas iguras, antes del máimo ' > después relativo la unción es creciente decreciente ( ' ) vale cero como en la igura como en la igura ( b ). <. Y en el máimo relativo la derivada a no eiste (tiende a ininito) DEFINICIÓN. Una unción ( ) tiene un mínimo relativo ( ) para un valor = en un intervalo ab,, si se cumple que: ( ) a, b ( a ) ' = ( b ) ' a ( ) = mínimo relativo b a = mínimo relativo b En las deiniciones anteriores se pudo hablar de una vecindad (entorno) de = en lugar del intervalo ab,. Dado que se habla del maor o del menor valor en el intervalo o en la vecindad, una unción, considerando todo su dominio, puede tener uno o más etremos relativos (de ahí el nombre) o locales. Asimismo, por la deinición de estos etremos, se pude tener una unción con un mínimo relativo maor que un máimo relativo. Véase la siguiente igura:

11 M A m A M r También se puede presentar el caso de una unción que no tenga etremos relativos, a pesar de que la derivada pase por el valor cero o por la no eistencia. ' ( ) m r M r m r M r m r M r asíntota ' = a b a no ha máimos ni mínimos relativos b DEFINICIÓN. Se conocen como valores críticos de la variable independiente " " a los valores del eje de las abscisas donde la derivada es cero o no eiste. ' ( ) no eiste ' ( ) = ' ' ( ) = M r = M A m r ( pico) no ha no ha asíntota

12 Para calcular los etremos relativos de una unción se estudiarán dos métodos atendiendo a su primera segunda derivada respectivamente. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. Se calcula la derivada de la unción.. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale cero o no eiste. 3. Se analiza el posible cambio de signo de la derivada, antes después de cada punto crítico, lo que maniestaría la presencia de un etremo relativo. Si la unción no está deinida o si la derivada no cambia de signo, no ha etremos relativos. Si la unción está deinida, entonces se pueden presentar los siguientes casos: - Si la derivada cambia de positiva a negativa, quiere decir que la unción cambia de creciente a decreciente se tiene un máimo relativo. - Si la derivada cambia de negativa a positiva, quiere decir que la unción cambia de decreciente a creciente se presenta un mínimo relativo. Ejemplo. Obtener los máimos mínimos relativos de las unciones siguientes por medio del método de la primera derivada hacer un trazo aproimado de sus gráicas a partir de los resultados obtenidos: i) = ; ii) = sen + sen ; π 4 6

13 3 Ejemplo. Determinar los etremos relativos de las siguientes unciones hacer un trazo aproimado de sus gráicas: i) = ; ii) = + 3 3

14 4 Ejemplo. Determinar los etremos relativos de la siguiente unción trazar de manera aproimada su gráica: si 4 = + si >

15 Ejemplo. Determinar los máimos mínimos de la unción = 3. Graicar los resultados obtenidos. 5 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA =, derivable en = ' = '' <. Entonces esta unción TEOREMA. Sea una unción supóngase que ( ) ( ) tiene un máimo relativo en =. TEOREMA. Sea una unción supóngase que ( ) ( ) =, derivable en = ' = '' >. Entonces esta unción tiene un mínimo relativo en =. Secuela de pasos del criterio de la segunda derivada para determinar los máimos mínimos relativos de una unción:

16 . Se calcula la derivada de la unción.. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale cero o no eiste. 3. Se calcula la segunda derivada de la unción se sustitue en ella cada uno de los valores críticos. - Si la segunda derivada es negativa, la unción presenta un máimo relativo en ese valor crítico. - Si la segunda derivada es positiva, la unción presenta un mínimo relativo en ese valor crítico. Nota. Si la segunda derivada es cero o no eiste, entonces habría que utilizar el criterio de la primera derivada para ver si se presentan etremos relativos. Ejemplo. Determinar los etremos relativos de las siguientes unciones mediante el criterio de la segunda derivada hacer un trazo aproimado de sus gráicas, utilizando los resultados obtenidos: i) = ; ii) = iii) = ; iv) =

17 7 Ejemplo. Determinar los etremos relativos absolutos de la 3 5 siguiente unción, deinida en el intervalo,. Hacer un trazo aproimado de su gráica. =

18 8 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN DEFINICIÓN. Se dice que una curva es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a todos sus puntos están situadas por debajo de su gráica, cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes están por encima de su gráica. DEFINICIÓN. Al punto en el que una curva cambia su concavidad se le conoce como Punto de Inleión es en este punto el único lugar en el cual la tangente corta a la curva sin tocar su gráica en otro lugar. concavidad hacia arriba PI concavidad hacia abajo PI (Punto de inleión) Otra orma de deinir la concavidad es:

19 DEFINICIÓN. La curva que representa gráicamente a la P,, es cóncava unción =, continua en el punto hacia arriba en P si eiste un entorno de P en el cual todos sus puntos pertenecientes a la curva ecepto P, se encuentran arriba de su tangente en P. 9 DEFINICIÓN. La curva que representa gráicamente a la P,, es cóncava unción =, continua en el punto hacia abajo en P si eiste un entorno de P en el cual todos sus puntos, pertenecientes a la curva, ecepto P, se encuentran abajo de la tangente a la curva en P. Relación entre la concavidad la segunda derivada: TEOREMA. Sea la unción segunda derivada eiste es positiva en el punto (, ) es decir, '' = considérese que su P, >. Entonces su gráica es una curva " C " cóncava hacia arriba en dicho punto. TEOREMA. Sea la unción segunda derivada eiste es negativa en el punto (, ) es decir, '' C = considérese que su P, <. Entonces su gráica es una curva " " cóncava hacia abajo en dicho punto. TEOREMA. Sea la unción = cua representación es la curva " C ". Y considérese que para = se cumple que: '' ( ) = ''' ( ) P, es un punto de inleión de la Entonces el punto curva " C ".

20 Máimo relativo Punto de Inleión mínimo relativo = sen π 4 π 3π π 5π 3π 7π π ' = cos '' = sen + ''' = cos Criterio para determinar los puntos de inleión el sentido de la concavidad. Secuela de pasos:. Se calculan la primera, segunda tercera derivadas.. Se iguala cero o se analiza la no eistencia de la segunda derivada para determinar los valores " " donde es posible que haa puntos de inleión.

21 3. En los valores donde puede haber punto de inleión se analiza la tercera derivada que si es dierente de cero garantiza la eistencia de punto de inleión lo que se hace también al investigar si ha cambio de signo en la segunda derivada o cambio en la concavidad. Se hace el siguiente razonamiento: d - Si cambia de negativa a positiva, entonces, si la d unción eiste, se presenta un punto de inleión la gráica de la unción cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. d - Si cambia de positiva a negativa, entonces, si la d unción eiste, se presenta un punto de inleión la gráica de la unción cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. Ejemplo. Dada la siguiente unción, investigar dónde es creciente o decreciente, determinar sus etremos relativos, calcular sus puntos de inleión, decir en qué intervalos es cóncava hacia arriba en cuáles hacia abajo, hacer un trazo aproimado de su gráica: =

22 De la tabla se puede concluir que la unción:

23 3 Ejemplo. Calcular los etremos relativos, los puntos de inleión, los intervalos de creciente o decreciente el sentido de la concavidad para la siguiente unción: 5 = 3 Hacer un trazo aproimado de la gráica de a unción con los resultados obtenidos. 3

24 De la tabla se puede concluir que la unción: 4