Consumo de gas (m 3 ) Viviendas

Transcripción

1 Estadístca Descrptva Facultad Cencas Económcas y Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández 1. Se ha realzado un estudo sobre el consumo de gas (en m ) en las vvendas de una urbanzacón durante el mes de enero, obtenéndose los datos que se muestran en la tabla. Consumo de gas (m ) Vvendas a) Represente el hstograma de esta dstrbucón. b) Calcule el consumo medo de gas de las vvendas. El valor hallado es representatvo de la dstrbucón? c) Calcule el consumo más frecuente. d) Avergüe el valor del tercer cuartl de la dstrbucón del consumo de gas y eplque su sgnfcado e) S la factura del gas consste en una cantdad fja de 0 más 0,5 por cada m consumdo, calcule la factura meda de las vvendas y determne s la factura es más dspersa que el consumo. Solucón: a) Consumo gas ampltud c n densdad n h c , , , , N n n b) El consumo medo de gas de las vvendas: a n ,75 m N 10 1

2 a n N ,75 s a a1 698,75 (,75) 109,6875 s 109, ,158 m X X s 10,158 C.V 0, (%),75 El consumo medo de gas de las vvendas es de,75 m, con una dspersón del %. Con lo cual, el consumo medo de gas no es muy representatvo. c) El consumo más frecuente se encuentra en el ntervalo modal [100 00), puesto que es en el que se alcanza la máma densdad de frecuenca. M d h h 1 L (h h ) (h h 1 1 0, 0, c ,67 ) (0, 0,) (0, 0,) m Advértase que s la ampltud de los ntervalos fuera constante: M d n n 1 L (n n ) (n n 1 1 c ).10 d) El tercer cuartl: 90, observando en la columna N, P 00 00, m Q 75 Q.N N, de donde: 1 P75 L c N N1 El 75% de las vvendas que consumen menos, consumen como mámo, m de gas. e) Según el enuncado del apartado, la factura del gas vene dada por la relacón Y 0 0,5. X, por tanto, hay un cambo de orgen y de escala: La factura meda: Y 0 0,5.X 0 0,5.,75 11, 875 s Var(0 0,5.X) 0,5.s s 0,5.s 0,5.10,158 51,06 Y X Y X S 51,06 y 11,875 Y C.V 0,6 (6%) La factura del gas está menos dspersa que el consumo. CAMBIO DE ORIGEN Y DE ESCALA DE LA MEDIA Y VARIANZA: y a b k k k k k k y.n (ab).n a n b.n n.n y a b ab N N N N N

3 E(y) E(ab) y ab La meda se ve afectada por el msmo cambo de orgen y de escala efectuada sobre la varable. k k k k (y y).n (ab (ab).n (b b).n ( ).n y s b b s N N N N Var(a b ) b. s La varanza no se ve afectada por el cambo de orgen pero s por el cambo de escala efectuado sobre la varable.. De una dstrbucón bdmensonal (X,Y) se sabe que al aumentar los valores de X aumentan los de Y. Se ha obtendo la recta de regresón lneal mínmo cuadrátca de Y sobre X y se ha comprobado que la varanza resdual, S ry vale cero. Se tenen además los valores de los sguentes momentos respecto al orgen: a10 a0 0 a01 10 a0 15 a) Determne la varanza debda a la regresón en la recta de Y/X y el valor de la covaranza. b) Se hace un cambo de varable de la forma X = X. S se obtene la nueva recta de regresón de Y/X, será bueno el ajuste? Razone su respuesta. c) Se decde cambar la funcón de ajuste de Y sobre X por una constante, Y = c. Utlzando el método de mínmos cuadrados, determne el valor de esta constante para nuestro caso. Solucón: a) Las varanzas de las varables X e Y, respectvamente, son: s a0 a sy a0 a Sendo sry s y (1R ) 0 1R 0 R 1, este una dependenca funconal, el ajuste es perfecto. Para calcular la covaranza s y tenemos en cuenta que s s R b. b'. 1 s s. s s y y y y y s sy b) El coefcente de determnacón R es nvarante ante un cambo de orgen y de escala, con lo que la bondad del ajuste será déntco. c) E(y) E(c) y c

4 INVARIABILIDAD DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL R : X' k X CAMBIO DE ORIGEN: CAMBIO DE ESCALA: a' ' E(X') E(mX) me(x) m 10 a' E(X'Y) E (m X)Y E(mY) E(XY) m y a s a' 'y m ya (m) y a y s 'y y a' s Var (m X) s 0 ' s s s s c s s s s 'y y 'y y c' ' y y s s s R' c. c'. R y y y s sy s.sy a' ' E(X') E(kX) ke(x) k 10 a' E(X'Y) E(k X Y) ke(x Y) ka s a' 'yka ky k(a y) ks 'y y a' s Var (kx) k Var(X) k s 0 ' s ks s ks c s k s s s 'y y 'y y c' ' y y ks ks s R' c. c'. R y y y ks sy s.s y El coefcente de determnacón R es nvarante ante un cambo de orgen y de escala. Abel Grandes Pstado preguntó a sus 1 compañeros de clase qué calfcacón obtuveron en el últmo eamen de estadístca. Sólo recuerda que él aprobó con la nota medana de 5,6667 y su tocayo Escas Lopasa tuvo un,6 (una de las notas más frecuentes habdas). Y, hacendo memora, ha poddo completar los sguentes datos: Calcule: Nota de estadístca Número de alumnos n 5 7 n a) Qué proporcón de alumnos ha obtendo una nota superor a 5? Cómo es la dstrbucón respecto a la moda? b) Estude la dspersón relatva de las notas a partr del coefcente de varacón de Pearson. Interprete los resultados. c) Cómo afecta a la homogenedad de la dstrbucón que este eamen sea un 60 por cento de la calfcacón fnal? d) Comente, con base estadístca, el grado de concentracón de las notas de este eamen. Solucón:

5 a) L L 1 ampltud n m N n h N p c c U N. n U. n. n q U 1 N % p q % ,70 16,0 5 1 n 6 h 6 1,75,5 7 11,5,7 0,8 5 7 n 6 h 0 6, ,9 19, , ,0 1, , , , ,8 Sabemos que, M e 5, 6667 y M d, 6 Para hallar n y n, podemos recurrr a la moda o a la medana, a saber. La moda apromada cuando esten dstntas ampltudes: M h 1,,60 1 h n h.c. 6 h 0, sendo, 8 n n 6 6 La medana M N e L N N N N 1 1 N c 0 n n n 6 6 d L h h 1 (8 n), (8 n n ) (8 n ) 1 h 1 5 c 8 n 0,6 n 1n La proporcón de alumnos que obtenen una nota superor a 5. La dstrbucón respecto a la moda. 5 n n n.100 N p ,5% La dstrbucón es bmodal, puesto que h 6 h 5 b) Dspersón relatva de las notas a partr del coefcente de varacón de Pearson. Interpretar los resultados. 5 n n 1 18 a ,75 a 0, N N n 6 s a a1 0,6875 5,75 7,065 s 7,065,7 s,7, la dspersón es del 7,0 %, es decr, una dspersón meda. 5,75 C.V 0,70 (7,0%) c) La homogenedad de la dstrbucón, cuando el eamen es un 60 % de la calfcacón fnal. 5

6 CAMBIO DE ESCALA DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON C.V: y k. E(y) E(k. ) k. E() k. k.s s C.V Var (y) Var (k. ) k.var() k. s s k. s k. s k. y y C.V X El Coefcente de Varacón de Pearson es nvarante ante un cambo de escala. s.s fnal C.Vfnal 0,70 (7,0%) fnal. d) Grado de concentracón de las notas de este eamen. (p q ) 1 68,8 El índce de concentracón de Gn: IG 0, (%) 51 1,5 p La concentracón es medo baja Se han obtendo las sguentes epresones para las rectas de regresón mínmo cuadrátcas de una varable bdmensonal (X,Y), donde X es el gasto mensual en oco e Y el gasto mensual en transporte de un grupo de amgos: YX Y X 10 Sabendo además que la covaranza entre ambas varables sy 60. Se pde: a) Identfque cuál es la recta de regresón de Y/X y de X/Y. b) Interprete los coefcentes de las rectas de regresón. c) Porcentaje de varabldad eplcada y no eplcada por la recta. d) Calcule la varanza resdual en la regresón Y/X. Concdrá con la varanza resdual en la regresón X/Y? Justfque su respuesta. Solucón: a) Recta de regresón Y/X: Y X 10, pendente b Recta de regresón X/Y: Y X XY X Y, pendente b' La otra opcón no puede ocurrr: Recta de regresón Y/X: YX Recta de regresón X/Y: 1 YX10 XY10 X Y5 6

7 puesto que R b.b'. cuando se sabe que 1 0 R 1 b) Como las dos pendentes son postvas ( y 1/), la recta de regresón de Y/X tene mayor pendente en valor absoluto que la de X/Y 1 1 c) El coefcente de determnacón lneal R b.b'. 0,5 La recta de regresón de Y sobre X eplca el 50% de la varabldad de la varable dependente y el otro 50% es no eplcado. d) sy 60 b s 0 s s sy 1 60 b' s y 0 sy sy Las varanzas resduales: sry s.(1r ) sry 0.(10,5) 15 sr s y.(1 R ) sr 0. (1 0,5) Sabendo que, s 6, s 8 y que la recta de regresón de Y sobre X es y 0,667. y Obtener la recta de regresón de X sobre Y. Solucón: y 0,667. 0,667. Y/X: y 0,667. sy sy b 0,667 s y 0, s 6 X/Y: a' b'y sy b' 0,5 sy 8 a' b'y a' 0,5. a' 0,5.y 6. Hallar la recta de regresón de Y sobre X sabendo que,1, y, y la recta pasa por el punto (5,9,,5) Solucón: Y/X: ya b y ab,a,1.b por pasar por (5,9,,5),5 a 5,9. b 7

8 1, a,1.b, b 0,667 1,8 y 0,5 0,667. a5,9. b,5 a,,1. 0,667 0,5 7. La tabla muestra la comprensón lectora (X) de dos grupos de ndvduos educados en nveles sococulturales altos (A) y bajos (B). Intervalos n A n B S a partr de la puntuacón X 19 se consdera una comprensón lectora buena. Se pde: a) Porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensón lectora. b) Entre qué valores de comprensón lectora estará la qunta parte central del Grupo A? c) Entre qué valores de comprensón del Grupo B se encuentran los 1 centrales? d) Cuál de los dos grupos presenta mayor varabldad? Solucón: a) Advértase que los ntervalos son cerrados, se deben epresar abertos a la derecha con etremos reales: Intervalos c na NA.n.n A A nb NB.nB.n B 0, 5 6, ,5 1, ,5 0, ,5 7, ,5, Se calcula el orden k del percentl que es gual a 19. Este da el porcentaje de las personas que tenen menos de 19 puntos. La respuesta será su dferenca hasta 100. En el Grupo A: k (0,.k 10) 9,5,8. k 70 Pk 19 1, , k 119,5 /,8,68 El 57,% 100,68 57, tene una buena comprensón lectora en el Grupo A. 8

9 En el Grupo B: k (0,.k 11) 9,5,1. k 77 Pk 19 1, , k 16,5 /,1 60, El 9,76% , 9,76 tene una buena comprensón lectora en el Grupo B. En consecuenca, el Grupo A tene una mejor comprensón lectora. b) La qunta parte representa el 0%. Con relacón al centro (50%), cubrrán desde el 0% al 60%, se tendrá que calcular el Percentl 0 y el Percentl 60 de la dstrbucón de comprensón lectora del Grupo A P0 1,5. 7 1, , P60 0,5. 7 0,5. 7, La qunta parte central del Grupo A se encuentra entre los valores [18,17,] c) Los 1 valores representa el(1 / 0 0%). Con relacón al centro (50%), cubrrán desde el 0% al 70%, tenendo que calcular el Percentl 0 y el Percentl 70 de la dstrbucón de comprensón lectora del Grupo B P0 6,5. 7 6, , P70 0,5. 7 0,5. 7 1, Los 1 centrales valores centrales de comprensón del Grupo B se encuentran entre [11,5 1,75] d) Mayor varabldad tendrá aquel grupo que posea mayor dspersón entre sus valores, es decr, s la meda artmétca es representatva de las observacones (no esten valores etremos eageradamente dstancados de la mayoría). El estadístco más adecuado para medr la varabldad relatva entre dos seres es el Coefcente de Varacón de Pearson, entendendo que un valor mayor ndca menor homogenedad, un valor menor refleja menor dspersón o varabldad A 19,8 sa 19,8 77,91 sa 77,91 8,

10 B 16, sb 16, 6,1 sb 6,1 7, ,8 7,95 CV A. 100,59% CV B ,77% 19,8 16, El Grupo B presenta mayor varabldad relatva, en contra de lo obtendo comparando la desvacón típca. 8. A partr de la tabla adjunta, donde N 11, Y 0 X \ Y n n a) Son ndependentes las varables estadístcamente? b) Rectas de regresón de Y/X e X/Y c) Qué parte de la varanza calculada Y es eplcada por la regresón? Qué parte es debda a causas ajenas?. Solucón: a) X \ Y 0 1 n n n n n n j n n 5 n n n De otra parte, Y 0 n n 611 n 0 X \ Y 0 1 n n 6 11 j Las varables X e Y son ndependentes nj n n j cuando se verfca, j N N N No son ndependentes porque no se verfca la relacón: n n 1 n1 N N N 10

11 b) yn 1 N 11 j j 1j1 a n n a N 11 N s a0 a10 1 s 0, a10 1 yn j j j1 a01 y 0 N yn j j j a 0 ( ) N sy a0 a01 0 sy 1, covaranza: sy a11 a 10. a El coefcente de regresón de Y sobre X (pendente de la recta): Y a b X 0 a 0. 1 a 0 s 0 b 0 s /11 y Y/X: Y 0 El coefcente de regresón de X sobre Y (pendente de la recta): X a' b' Y 1 a' 0. 0 a' 1 s 0 b' 0 s 18/11 y Y X/Y: X 1 COEFICIENTE DETERMINACIÓN: r b.b' 0 Las rectas son perpendculares, y en consecuenca, las varables (X, Y) son INCORRELADAS VARIANZA RESIDUAL DE Y: sry s y (1r ) s ry (10) sy sy eplcada sry sy eplcada sy eplcada

12 9. La varable X tene y varables: Solucón: (X ) (X ) W, Z s 1. Determnar el coefcente de varacón de Pearson de las E(W) E X. E(X) w Var (W) Var X. Var(X). s s W. s s 1/ w 1/ w C.Vw E(Z) E X. E(X) z Var (Z) Var X. Var(X). s s z. s 9 C.V s 1/ 1 z / z z COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON : CAMBIO DE ORIGEN Y DE ESCALA E(Y) E (a b. X) a b. E(X) a b. X Var (Y) Var a b. X b. Var(X) b. s s b. s y b.s C.Vy a b.x a b s X El Coefcente de Varacón de Pearson se encuentra afectado ante un cambo de orgen. 1

13 10. S sy s y r 0 La recta de regresón Y/X tene mayor pendente que la de X/Y? Solucón: RELACIÓN ENTRE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN s b s b.s y y s s y b.s r.s.sy b r. s y s y y s y s b'. sy r. s. sy b' r. s y s y y y s.s y b' s b. s r s r.s.s S s y sy s, r0 r. r. b b' s sy s 11. Sean dos varables X e Y, tpfcadas e ncorreladas. Escrbr la recta de regresón de Y sobre X Solucón: 0 s 1 Por ser (X, Y) varables tpfcadas: y 0 sy 1 b 0 Por ser (X, Y) varables ncorreladas: sy 0 r 0 b' 0 Y/X: y a b. ay 0 ya b. b 0 Y/X: y 0 1. En una regresón lneal las varanza eplcada por la regresón y resdual son guales. Cuánto vale el coefcente de determnacón?. Solucón: s s s s y ry Ry ry s s 1 1 r 1 r 1 1 s s ry ry y ry 1

14 Sea ŷ el valor teórco que correspondería a la recta de regresón de Y sobre X ŷ a b., elevando al cuadrado la descomposcón (y y) (y ˆ ˆ y ) (y y) : (y y) (y y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) (y y) (y y ) (y y) (y y ) (y y) 0 se observa que, (y y ˆ ˆ ).(y y) (y ab ).(ab y) a (y ab ) b (y ab ) y (y ab ) suma cuadrados total suma cuadrados resdual suma cuadrados eplcada (y y) (y y ˆ ) (yˆ y) Dvdendo por N: (y y) (y ˆ ˆ y ) (y y) s s s N N N s y sry sry y ry Ry Dvdendo la epresón sy sry s Ry por s y : r sry s y (1r ) sry s y. r s ry s Ry sy sry sry 1 s ry sy sy r 1 s y 1. Determnar s son coherentes los datos: a) N 100, 5, y 8, s 1,5, s 70, r 0,9 y b) La suma de resduos al cuadrado correspondentes a una de las posbles rectas de regresón vale 100 Solucón: Solo son útles: N 100, s 1,5, s 70, r 0,9, (y y ˆ ) 100 y (y ˆ y ) 100 sry 1 ó N 100 ( ˆ ) 100 sr 1 N 100 De otra parte, Y/X: X/Y: s s (1r ) s 70(10,9) 71 No son coherentes. ry y ry s s (1r ) s 1,5(10,9) 1,51 No son coherentes. r r 1

15 1. Dada la sguente dstrbucón: n a) Calcular la meda armónca, geométrca y artmétca b) Calcular la varanza, desvacón típca y coefcente de varacón de Pearson c) Hallar la meda artmétca y la desvacón típca de la varable X tpfcada d) Medante la transformacón 15 y, hallar la meda, varanza y desvacón típca 5 Solucón: a) n n n , n 0,6 0,7 0, 0,15 0, 1,98 n N N A 11,597 5 n n1 n n n n5 1, n n1 n n n n5 5 G , ,9 5 n 5 N 1 a1 15 La relacón entre las dferentes medas es: A G 5 n b) a 70,65 s a a 70, ,65 N s 5,65 6,76 s 6,76 [5% de dspersón de los datos] 15 CV 0,5 15

16 c) La varable X tpfca: z s z n s 1,79 0,70 0 0,70 1,79 zn,8 5,178 0,19 7,96 0 zn 6,565,80 0 1,61 10,91 y yn yn zn 0 N 1 z 0 5 zn 1 z s (z) 0 1 N Toda varable tpfcada tene meda 0 y varanza 1 d) Con la transformacón 15 y 5 5 yn 0 N 1 y 0 5 yn 1 y s (y) 0 1,86 sy 1,5 N No son necesaros los cálculos, se conoce: y E E ,65 sy Var Var s 1,

17 15. Ana acude con su hjo a la consulta de un odontólogo para cuatro restauracones dentaras, observando que el doctor aplcaba cantdades de cemento de onómeros de vdro con flúor y composte (Y, en gramos) conforme a los dámetros de perforacón de cada peza dental (X, en mlímetros) como se refleja a contnuacón: Se pde: X \ Y a) Son ndependentes estadístcamente ambas varables?. Razone la respuesta. b) Calcule las rectas de regresón de Y/X e X/Y. Interpretar los resultados. c) Qué parte de la varanza de las perforacones habdas (X) es eplcada por la cantdad de onómeros de vdro consumda (Y)? Qué parte no es eplcada?. Solucón: a) Las varables X e Y son ndependentes cuando se verfca nj n n j, j N N N X \ Y 0,5,5 8 n n n 1, ,5, , ,5 56,5 n ,5 j j j yn 0,50, j yn 0,5 0,5 6 88,5 j Las varables no son ndependentes: n1 1 n1 n 11 N N N yn j j 1 a11 1, ,5. 1.,5.1 7, ,75 N 1j1 b) n 17 N 1 a10,5 n 1 90,5 a0,65 N s a a,65,5,565 s,565, yn 15 N j j j1 a01 y,75 yn j j j1 88,5 a0,15 N 17

18 s a a,15,75 8,065 s 8,065,8 y 0 01 y covaranza: sy a11 a 10. a01 0,75,5.,75,815 El coefcente de regresón de Y sobre X (pendente de la recta): Y a b X,75 a 1,055.,5 a 0,7 s,815 b 1,055 s,565 y Y / X : Y 0,7 1,055 X El coefcente de regresón de X sobre Y (pendente de la recta): X a' b' Y,5 a' 0,597.,75 a',011 s,815 b' 0,597 s 8,065 y Y X / Y : X,011 0,597 Y c) COEFICIENTE DETERMINACIÓN: r b. b' 1,055. 0,597 0,698 VARIANZA RESIDUAL DE X: s s (1 r ) s,565 (1 0,698) 1,689 NO EXPLICADA r r s s s r R varanza resdual no eplcada varanza regresón eplcada s s s s 8,065 1,689 6,75 EXPLICADA R r R 18

19 16. El salaro medo mensual en centos de euros de 160 obreros se dstrbuye de la sguente forma: Intervalos n a) Meda artmétca, medana, moda y percentl 75. b) Coefcente de asmetría de Fsher. c) Realzar una redstrbucón en la que los ntervalos tengan una ampltud de 8, y con estos nuevos ntervalos calcular la meda artmétca y el coefcente de varacón de Pearson. Comparar los resultados obtendos en el apartado (a) Solucón: a) Intervalos n N h n /c 0, ,75 8,5,5 1 0.n ( ) 1,7 8,7,7 0,7, 7, 11, 15, ( ) n 8,1 10, 188,9 105,6 9,9 101,7 61, 0 ( ) n 8,87 908,8 88,6,0 8,8 69,77 119,1 96,6 55,60 ( ) n 615,19 790,06 15,9 16,11 119, ,1 1986,07 16,08 150,6 8.n 99 N a1 18,7 N N e e 1 M L c M ,1 N N h h 11,75 10 M L c M ,7 (h h ) (h h ) (11,75 10) (11,75 8) 1 d d 1 1 Se verfca la relacón Me Md Dstrbucón asmétrca a la derecha o postva Advértase que para calcular la moda, cuando la ampltud de los ntervalos es gual, para trabajar con una escala más pequeña, se puede emplear la epresón: n n 7 0 M L c M ,7 (n n ) (n n ) (7 0) (7 ) 1 d d N N N N P L c Q P 0.,5 19

20 g1 0 Asmetría ala derecha opostva m b) Coefcente de asmetría de Fsher: g1 g 1 0 Smetría s g1 0 Asmetría alazquerda onegatva 8 ( ).n 1 55,60 m s,91 (varanza) s,91 5,8 (desvacón típca) N ( ).n 1 150,6 m 95,65 N 160 m 95,65 g1 0,85 0 Dstrbucón asmétrca a la derecha o postva. s 5,8 c) Intervalos n n n n 008 N a1 18,8.n 1 66 a 90, s a a1 90, 18,8 6,96 N 160 s 6,96 CV 0, (% de dspersón de los datos) 18,8 La meda artmétca camba, se ha transformado la dstrbucón de datos. 0

21 17. La dstrbucón de salaros de una empresa es la sguente: Salaro (euros) Empleados a) Estudar la concentracón de salaros b) Qué porcentaje de empleados percbe el 50% de los salaros? c) La empresa como polítca comercal analza subr los salaros a todos los empleados, con un ncremento del 10%, o ben con un aumento de 00 euros por empleado. Cuál de las dos opcones sería más equtatva? d) Cuál es la concentracón de salaros s el número de empleados hubera sdo el doble? Solucón: a) La concentracón de salaros se analza medante el Índce de Gn, que no varía medante cambos de escala (subda porcentual del 10% a los empleados) mentras que queda modfcado con cambos de orgen (subda lneal de 00 euros a cada empleado). Ordenando los salaros en forma crecente: Salaros n N n u n N % p.100 acumulada u %q. 100 N uk ,56 6, , 67, , 91, ,11 195,1 q 1 195,1 IG 1 1 0,17 p 6,11 1 (concentracón de salaros del 17,%) b) En la tabla se observa que el 55,56% de los empleados percbe el 6,59% de los salaros, y el 8,% de los empleados percbe el 67,07% de los salaros. En consecuenca, el 50% de los salaros estará dstrbudo entre un conjunto de empleados stuado entre el 55,56 y el 8,%. Bajo la hpótess de lnealdad, se establece la relacón de porcentajes: 67,07 6, ,59 0,8 1,1 7,77. 1,1 55,56 67,78% 8, 55,56 55,56 7,77 55,56 0,8 1

22 c) SUBIDA DE SALARIOS DEL 10% Cambo de escala en los salaros n N ' n u' n N % p.100 acumulada ' u %q ' N u. 100 k ,56 6, , 67, , 91, ,11 195,1 ' 1,1. ' ' q 1 195,1 IG 1 1 0,17 p 6,11 1 Advértase que: q u.1,1 u q ' u.1,1 k uk (concentracón de salaros del 17,%) Con una subda del 10% a cada empleado, la equdstrbucón no varía. El cambo de escala en los salaros no afecta al Índce de Gn, propedad conocda como Prncpo de la Renta relatva. SUBIDA LINEAL DE SALARIOS DE 00 EUROS Cambo de orgen en los salaros ' 00 n N ' n u' n N % p.100 acumulada ' u %q ' N u. 100 k ,56 8, , 68, , 91, ,11 198, ' ' q 1 198, IG 1 1 0,16 p 6,11 1 (concentracón de salaros del 16%) Con una subda lneal de 00 euros a cada empleado, la equdstrbucón de salaros es más equtatva. S por el contraro la empresa hubera rebajado 50 euros a cada empleado, la equdstrbucón de salaros sería menos equtatva. El cambo de orgen en los salaros afecta al Índce de Gn, propedad conocda como Prncpo de Dalton.

23 d) Concentracón salaros s el número de empleados hubera sdo el doble: SUBIDA LINEAL DE EMPLEADOS Cambo de escala en la Poblacón ' n n ' N ' n ' u' n acumulada ' ' N ' u %p.100 %q. 100 ' N u ,56 6, , 67, , 91, ,00 100, ,11 195,1 ' k q 1 195,1 IG 1 1 0,17 p 6,11 1 (concentracón de salaros del 17,%) El cambo de escala en la poblacón no afecta al Índce de Gn, propedad conocda como Prncpo de la Poblacón. Es decr, el tamaño de la poblacón no mporta, lo que nteresa son las proporcones de ndvduos de la poblacón que percben dferentes nveles de salaro. 18. Dada la tabla de correlacón: X \ Y Estudar la ndependenca estadístca, calcular las rectas de regresón y la correlacón entre ambas varables. Solucón: a) X \ Y n.n.n n N 15 7 j j y.n j j y.n j Las varables X e Y son ndependentes cuando se verfca nj n n j, j N N N S alguna de las frecuencas absolutas es gual a 0 no son ndependentes estadístcamente:

24 .y.n 1 N 15 n n n N N N j j 1j1 a11 1.( 1) ( 1) a n 1 N a n N s a0 a yn j j j1 a01 y 0 N a yn j j j N sy a0 a sy a11 a 10.a b 0 Rectas regresón perpendculares r 0 b' 0 varables INCORRELADAS Rectas de regresón: Y/X: X/Y: y a b. ay 0 ya b. y0 b 0 1 a' b'. y a' 0, a' b'.y 5 0, b' La varable estadístca X tene, s 1. Determnar la meda artmétca, la varanza y el X1 coefcente de varacón de Pearson de Y Solucón: E(Y) E X. E(X) y Var (Y) Var X. Var(X). s s Y. s s 1/ y 1/ Y C.VY 1

25 0. La varanza eplcada por una regresón lneal smple es el doble de la varanza resdual, Cuánto vale el coefcente de determnacón? Solucón: s s Ry ry s s s s y ry Ry ry s s 1 s s (1r ) r s s ry ry ry y y ry 1. Dada la dstrbucón: 8 10 n 1 a) Calcula los coefcentes de asmetría de Pearson y de Fsher, coefcente de curtoss. b) Sendo la varable Y1 X, halla los coefcentes de asmetría de Pearson y Fsher de la varable Y c) Tenen el msmo coefcente de Varacón de Pearson las dos varables? c) Calcula el coefcente de curtoss de las varables X e Y Solucón: a) n N.n ( ) ( ). n ( ). n ( ). n n 50 Me N d M ( ). n 1 90 s 9 s 9 N 10 Coefcente asmetría de Pearson: M 5 d AP 0, 0 asmetría a la derecha o postva s Coefcente de asmetría de Fsher: ( ). n 1 19 m 19, N 10 s 7 m 19, g 0,71 0 asmetría a la derecha o postva s 7 1 5

26 Coefcente de curtoss: ( ). n m 157,8 N 10 s 81 m 157,8 g 1,05 0 menor apuntamento que la normal (PLATICÚRTICA) s 81 b) Y1X Los coefcentes de asmetría de Pearson y de Fsher son nvarantes ante un cambo de orgen y de escala y, en consecuenca, la dstrbucón Y presenta: A 0, 0 asmetría a la derecha o postva Py g 0,71 0 asmetría a la derecha o postva 1y Hacendo las operacones: y n N y.n y y (y y) (y y). n (y y). n (y y). n y.n 110 Mey 9 N 10 1 y 11 dy M 9 (y y). n 1 y 60 s 6 sy 6 6 N 10 Coefcente asmetría de Pearson: ym 11 9 dy APy 0, 0 asmetría a la derecha o postva sy 6 Coefcente de asmetría de Fsher: (y y). n my 15,6 N 10 s 6 16 y m 15,6 g 0,71 0 asmetría a la derecha o postva s 16 y 1y y c) El coefcente de varacón de Pearson es nvarante ante un cambo de escala (Y X) pero no s ante un cambo de orgen (Y 1 X). En este caso: CVy. No tenen, por tanto, el msmo 1 coefcente de varacón. Coefcente de varacón de Pearson de X: s 5 CV 0,6 (60% de dspersón de los datos) 6

27 Coefcente de varacón de Pearson de Y:.s CVy 0,5 (5% de dspersón de los datos) d) El coefcente de curtoss o apuntamento es nvarante ante un cambo de orgen y de escala (Y 1 X) y, en consecuenca: g 1,05 0 menor apuntamento que la normal (PLATICÚRTICA) y (y y). n 1 58 Hacendo operacones: my 5,8 N 10 s y m 5,8 g 1,05 0 menor apuntamento que la normal (PLATICÚRTICA) s 196 y y y 7

28 PARCIALILLO DE FEBRERO Se ha realzado un estudo entre 100 mujeres mayores de 5 años, observándose el número de hjos de las msmas. El resultado ha sdo: Número de hjos ( ) Número de mujeres n ) a) Calcular el número medo de hjos, la medana, la moda y el tercer cuartl b) Cuál es el número mámo de hjos que tene el 70% de las mujeres que menos hjos tenen? c) Calcular el coefcente de varacón de Pearson d) Calcular el coefcente de asmetría de Fsher y el coefcente de curtoss Solucón: a) ( n N n f= N N F= n N ( ) ( ) ( ) n ( ) n ( ) n ,1 0,1 0, 5, 70,58 16, 8, ,0 0, 0 1, 1,77 5,8 7,05 6, ,5 0, , 0,11,7 0,90 0, ,0 0, ,67 0,5 8,98 6,0, ,11 0,89 1,67,79 0,68 51, 85, ,07 0,96 5,67 7,1 9,90 1, 55, ,0 1,67 1,7 5,88 197,7 75, ,0 5,11 175,8 1617,01 n Meda artmétca: 1, N Medana: M e (pasa de la mtad 50%) M d ( n 5, el más grande) 100. º Cuartl 75 : Q hjos (F pasa del 75%) 8

29 b) El número mámo de hjos que tene el 70% de las mujeres que menos hjos tenen es el Decl 7 (Percentl 70) Decl 7 ó Percentl 70: hjos (F pasa de 0,7) c) Varanza: 7 n 1 5,11 m s,511 hjos N 100 Desvacón típca: s,511 1,59 hjos S 1,59 Coefcente de Varacón de Pearson: C.V 0,68 una dspersón del 68,%, d) Coefcente de asmetría de Fsher: 7 1 ( ) n m N 1 1,76 g s s 1,59 0, Asmetría a la derecha o postva Coefcente de curtoss: 7 1 ( ) n m N 1 16,17 g 0,7 0 s s 1,59 PLATICÚRTICA. Los salaros de los empleados de la cadena de produccón de una empresa se dstrbuyen según la tabla adjunta: Salaros Nº empleados Qué porcentaje de empleados que percbe el 50% de los salaros? Es equlbrada la dstrbucón de salaros? Solucón: Salaros [L L ) n u=n N n N N %p =.100 u %q =.100 uk +1 acumulada , , , , n n p 1 q 8,85 9

30 En la tabla se observa que el 60% de los empleados percbe el 6,6% de los salaros y que el 90% de los empleados percbe el 7,7% de los salaros. Para estmar el porcentaje () de empleados que percbe el 50% de los salaros se necesta realzar una nterpolacón lneal: ,6 90 7,7 60 6,6 60 1, ,7 71,5% I G q p 8,85 1 0,17 La concentracón es pequeña, pudendo conclur que la dstrbucón de salaros es equlbrada.. Sea la dstrbucón bdmensonal, donde las varables X e Y son estadístcamente ndependentes. X \ Y 1 c 6 Se pde: a) Calcular las medas y varanzas margnales. b) Hallar la covaranza y las rectas de regresón. Solucón: X \ Y n 1 c c 6 8 n 5 6 c 11 c j Por ser ndependentes: nj N n n. N N j, j c c c 18 ( c).(6 c) c.(11 c) c 9 11 c c 6 c 0

31 MEDIAS Y VARIANZAS MARGINALES: X \ Y n n j MARGINAL DE LA VARIABLE X: n 1 N 0 1 a , n 1 1 a , N 0 s a a,1, 0, 0 10 MARGINAL DE LA VARIABLE Y: yn j j j1 1 a01 y.5.15,75 N 0 yn j j j1 1 a ,5 N 0 s a a 1,5,75 0,1875 y 0 01 b) covaranza: sy a11 a10 a01 X \ Y X \ Y n n n j j yn j j 1 j a11 5,5 N 0 0 sy a11 a10 a01 5,5 1,.,75 0 Sn calcular la covaranza, se conocía que la covaranza sy 0 por ser (X, Y) varables ndependentes. S (X,Y) ndependentes s 0 S s 0 (X,Y) No son ndependentes y XY Por otra parte, se conoce que en las rectas de regresón: Y/X: Y a bx X/Y: X a' b'y Los coefcentes de regresón respectvos (b, b') dependen de la covaranza s y, dado que venen sy sy epresados: b, b' s s. y 1

32 S y s 0 b0, b' 0 Con lo cual, las rectas de regresón solctadas son: Y/X: Y a X/Y: X a' Los coefcentes respectvos (a, a') se calculan tenendo en cuenta: recta regresón Y/X Y / X : Y a bx Y a bx,75 a 0 1, a,75 Y,75 recta regresón X/Y X / Y : X a' b'y X a' b'y 1, a' 0,75 a' 1, X 1, Advértase que cuando las varables (X, Y) son ndependentes, la covaranza sy 0 En consecuenca: Las coefcentes de regresón b0, b' 0 La recta de regresón de Y/X: Y Y,75 La recta de regresón de X/Y: XX1, El coefcente de determnacón r b.b' 0, es decr, las dos rectas son perpendculares y las varables son INCORRELADADAS. b 0 b' 0 S (X,Y) ndependentes sxy 0 r 0. En una dstrbucón bdmensonal se conoce: r0,7 s 1, y X/Y: X0,60,Y Obtener: a) Recta de regresón de Y/X b) Varanza de Y Solucón: a) Recta de regresón de X sobre Y: a' 0,6, b' 0, X0,60,Y X 0,6 0,Y X 0,6 0,.,6 De otra parte, el coefcente de determnacón r : 0,7 r b. b' 0,7 b. 0, b 1,11 0,

33 La recta de regresón de Y sobre X: Y a bx Y a bx a 1,11.,6 a 1,7 Y/X: Y 1,7 1,11 X b) Varanza de la Y: Sabemos que, s 1, b' 0, b 1,11 s s b 1,11 s 1,11. 1, 1,60 s 1, y y y

34 EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA GRADO EN ECONOMÍA 1 de Mayo Una nsttucón públca decdó estudar el gasto mensual en almentacón en una cudad, para lo cual se selecconó un dstrto y se tomó muestras cuyo resultado fue el que sgue: Dstrto 1 Gasto ($) Nº Famlas a) Halle el gasto medo y el medano en almentacón del dstrto b) S este un segundo dstrto de 10 famlas con un gasto medo de 19, $ y una desvacón típca de,701 $, cuál de los dos tene un gasto medo más representatvo? c) Halle el gasto medo y la desvacón típca del conjunto de los dos dstrtos. d) Cuál es el nvel de gasto realzado por un mayor número de famlas en el dstrto 1? e) Cuál es el mámo gasto realzado entre las 50 famlas con menor gasto del dstrto 1? f) Un índce de Gn de 0,10 en esta dstrbucón qué nos ndcaría? Solucón: a) [ L L 1) n. n. n N f n N F N N c n d c ,16 0, , , 0, , ,1 0, , ,1 0, , , , n Gasto medo: 0,67$ N 150 El Gasto medano se encuentra en el ntervalo N 150 N Medana 75 : Me L c $ N N n

35 b) El coefcente de varacón de Pearson mde el grado de homogenedad de una dstrbucón 5 n s a 0,67 55,8 N 150 Dstrto 1 s 55,8 5,0 s 5,0 CV 0,5 (55,%) 0,67 Dstrto y 19, sy,701 s,701 y 19, y CV 0,5787 (57,87%) Al tener el Dstrto 1 un Coefcente de Varacón de Pearson más pequeño (menor dspersón del gasto medo) ndca que tene una meda más representatva que el Dstrto. c) El gasto medo y desvacón típca conjunta de los dos dstrtos: Dstrto 1: (X ; n 150, 0,67, s 5,0) 1 Dstrto : (Y ; n 10, y 19,, s,701) y N n1 n n n y , , n n y 1, 1 meda ponderada meda ponderada de las varanzas parcales sn ( )n s varanza total N ntra grupos varanza ponderada de las medas parcales N entre grupos meda ponderada de las varanzas parcales sn n 1 1 s n s y ,0 10., ,5 N n n varanza ponderada de las medas parcales ( ) n 1 (0,67 1,). 150 (19, 1,). 10 N ,71 5

36 varanza total s 56870,5 111, ,16 s 5698,16 8,71 y y d) El ntervalo modal es por tener mayor densdad de frecuenca d 0,6 M (d d ) 1 1 d L c Moda apromada: Md L c (d d 1) (d d 1) d 1 d 1 d (0,6 0,) Intervalo : Md ,86 $ (0,60,) (0,6 0,) d1 0, Moda apromada: Md L c ,5 $ d d 0,0, 1 1 e) Mámo gasto realzado entre las 50 famlas con menor gasto del dstrto 1,.N N , (,%) P L 100 c 150 N N, 1 n,.150 N , N N 1 60 P L c , $ n f) Un índce de Gn de 0,10, al ser prómo a cero, ndca que el gasto se encuentra bastante ben repartdo entre las famlas.. Se ha realzado un estudo para determnar la recta de regresón que eplque el gasto daro de los clentes del hotel (Y, medda en ) en funcón de la edad de los msmos (X, medda en años). Tras analzar los datos se ha obtendo la sguente recta de regresón Y/X: Y 5,9X a) Interprete los resultados de la recta de regresón. b) S se sabe que s 10 y que sy 0, determne la bondad del ajuste de esta recta de regresón a partr del coefcente de correlacón lneal e nterprétela. c) Calcule los parámetros de la regresón de X sobre Y sabendo que la meda de edad de los clentes es de 0 años. d) Cuál sería la edad esperada para un huésped que ha gastado daramente 100 euros? La predccón será fable?. Razone la respuesta. Solucón: a) 9 es el coefcente de regresón lneal. Al ser postvo cuando X crece, Y crece e ndca el aumento de gasto de un clente cuando su edad aumenta en una undad. 6

37 5 euros es el valor de Y para X=0 años. En este caso no tene sentdo. b) La bondad del ajuste vene dado por el coefcente de determnacón: Y/X : a 5 Y5,9X b,9 s b s b. s s, s y y y Coefcente determnacón: s 90 y r b. b' s. sy ,9 La relacón lneal es bastante buena ya que el 9,% de la varabldad de Y se eplca a partr de su dependenca con la varable X. c) 0 y 5,9. y 5, Y 5,9X Xa' b'y r 0,9 b' b' 0, b,9 a' b' y 0 a' 0,. 11 a' 6,06 Recta de regresón de X/Y: X a' b' Y X 6,06 0,. Y d) Edad esperada para un huésped con un gasto daro de 100 euros X / Y : para Y 100 X 6,06 0, ,16 euros La predccón es con una fabldad del 9,% (r 0,9). Un sector de la economía naconal dspone del valor de produccón a precos correntes de cada año (mles de euros) y los índces de precos de Laspeyres y Fsher. Año Produccón (precos correntes) L p (%) F p (%) , 105, ,5 108, ,05 111, ,87 117, ,5 10,18 Utlzando el deflactor más dóneo, calcular la produccón anual en precos constantes de 007. Solucón: Para calcular el valor real (precos constantes) de una magntud se requere deflactar el valor nomnal (precos correntes), elmnando la nfluenca que han epermentado los precos. Para ello, se deflacta la sere dvdendo el valor nomnal entre un índce de precos. 7

38 (precos correntes) Valor Nomnal Valor Real Índce Precos (precos constantes) R V V t =.100 I N t t p,0 El deflactor más adecuado es el de Paasche, ya que con éste índce de precos se obtene una relacón entre valores monetaros correntes y valores monetaros constantes. Índce de Paasche: n n pt.qt pt.q N t n 1 R Vt P p n V 1 t P n p0.q p 1 t pt.qt 1 1 n 1 p 0.q t p 0. q t El índce de precos de Fsher F p L p.p p P p (F L p) p Año Produccón (precos correntes) N V t (Fp ) % L p % F p % Pp Lp Produccón (precos constantes 007) N R Vt Vt P , 105, 106,7 8580, ,5 108,9 110, , ,05 111,6 11, , ,87 117,67 10,5 8069, ,5 10,18 1,1 7678,78 p 8

39 . En la tabla adjunta se reflejan las ventas trmestrales de una empresa en mllones de euros. Halle la sere desestaconalzada por el método de las medas móvles. Trmestres \ Años Prmero 5 Segundo 5 6 Tercero Cuarto 5 Solucón: Se obtenen las medas móvles de tamaño (período de las varacones estaconales), que al ser un número par, serán descentradas y corresponderán a los períodos ntermedos entre cada dos trmestres consecutvos: Y Y Y Y 1 Y,5,5 Y Y Y5 Y6 Y,5,5 Y16 Y17 Y18 Y Y17,5 5,5 Y Y Y Y 5 Y,5,75 Y Y5 Y6 Y7 5 Y5,5,75 Y17 Y18 Y19 Y Y18,5 6 SERIE DESCENTRADA Trmestres \ Años Prmero Segundo,75,75 5 5,5 Segundo Tercero,5,75,75 6 Tercero Cuarto,75,75,5 5 Cuarto Prmero,5,75,5 5,5 Para corregr la nueva sere de móvles descentrada, a partr de ella se calcula la meda artmétca de cada dos valores sucesvos, asgnando este nuevo valor al nstante central de los dos perodos consderados, es decr: Y,5 Y,5,5,75 Y,65 Y16,5 Y17,5 5,5 5,5 Y17 5,75 Y Y,75,5,5,5 Y Y17,,5 Y18,5 5,5 6 Y18 5,75 SERIE CENTRADA: COMPONENTES TENDENCIA Y CÍCLICA Trmestres \ Años Prmero,5,750,750 5,75 Segundo,875,750,875 5,750 Tercero,65,875,875 Cuarto,750,75 5,15 La línea que une los puntos Y,Y,,Y 18 se toma como línea de tendenca. 9

40 El nconvenente que presenta el método de las medas móvles es que no permte efectuar predccones, puesto que con él no se obtene la epresón de una fórmula matemátca que faclte obtener el valor de la tendenca para un nstante futuro. Este motvo hace que el método se utlce poco para determnar la tendenca, aunque sí se utlza en el cálculo de los índces de varacón estaconal (IVE). Al aplcar el método de las medas móvles, en el esquema multplcatvo Y t =T t.e t.c t.a t, lo que realmente se obtene es una apromacón de T.C t t (componentes tendenca y cíclca), quedando sn analzar las componentes estaconal ( E t ) y accdental ( At ). La tendenca Tt y la componente cíclca C t se elmnarán dvdendo cada dato de la sere orgnal Yt por la correspondente meda móvl: Yt T t.e t.c t.at = =E t.a T.C T.C t t t t t quedando la componente estaconal y accdental Trmestres \ Años Prmero /,5 /,75 /,75 5/5,75 Segundo /,875 /,75 5/,875 6/5,75 Tercero /,65 5/,875 5/ 7/,875 Cuarto / /,75 /,75 /5,15 COMPONENTES ESTACIONAL Y ACCIDENTAL Trmestres \ Años Prmero 0,857 0,5 0,8 0,90 Segundo 1,0 1,067 1,06 1,0 Tercero 1,1 1,90 1,50 1,6 Cuarto 1 1,067 0,91 0,585 El Índce Bruto de Varacón Estaconal (IBVE) se calcula elmnando la componente accdental A t. Para ello, se hace el cálculo de las medas artmétcas trmestrales, es decr, la meda artmétca de cada fla de la tabla anteror (donde solo aparecía el producto de E. A ): t t 0,857 0,5 0,8 0,90 0,791 1,1 +1,90 +1,50 +1,6 = 1,80 1,0 +1,067 +1,06 +1,0 =1,0 1 +1, ,91 + 0,585 = 0,89 COMP. ESTACIONAL Y ACCIDENTAL COMPONENTE ESTACIONAL Trm \ Años IBVE % IVE Prmero 0,857 0,5 0,8 0,90 0,791 (0,791 / 1,001) ,990 Segundo 1,0 1,067 1,06 1,0 1,0 (1,0 / 1,001) ,095 Tercero 1,1 1,90 1,50 1,6 1,80 (1,80 / 1,001) ,87 Cuarto 1 1,067 0,91 0,585 0,89 (0,89 / 1,001) ,067 1,

41 ,00 IBVE 1,001 Advértase que los índces de varacón estaconal (IVE) tenen que sumar (00%) Sobre un nvel medo de ventas, la nfluenca de la varacón estaconal (% IVE 100) produce: 1º Trmestre: (78, ) 1,01% descenso de ventas del 1,01% º Trmestre: (10, ),095 % aumento de ventas del,095% º Trmestre: (17,87 100) 7,87 % aumento de ventas del 7,87% º Trmestre: (89, ) 10,9 % descenso de ventas del 10,9% La DESESTACIONALIZACIÓN (aplcando el método a la razón a la meda móvl) consste en dvdr cada valor de la sere orgnal por cada Índce de Varacón Estaconal correspondente, en porcentaje Yt.100 %IVE t Trmestres \ Años Prmero (/78,99).100 (/78,99).100 (/78,99).100 (/78,99).100 (5/78,99).100 Segundo (/10,095).100 (/10,095).100 (/10,095).100 (5/10,095).100 (6/10,095).100 Tercero (/17,87).100 (5/17,87).100 (5/17,87).100 (7/17,87).100 (8/17,87).100 Cuarto (/89,067).100 (/89,067).100 (/89,067).100 (/89,067).100 (5/89,067).100 SERIE DESESTACIONALIZADA Trmestres \ Años Prmero,5,798,5 5,06 6,0 Segundo 1,91,8,8,80 5,76 Tercero,7,911,911 5,75 6,57 Cuarto,68,91,91,68 5,61 1

42 EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA GRADO EN ECONOMÍA 1 de Juno En una fábrca trabajan personas en la cadena de produccón, cuyos salaros, en mles de euros, se dstrbuyen según la tabla adjunta: Salaros Nº trabajadores a) Determne el grado de concentracón de los salaros b) Qué parte de la nómna percbe el 5% del personal mejor pagado? c) Qué porcentaje de los trabajadores percbe el 50% de los salaros? d) S la empresa hace una reestructuracón del 60% de plantlla en cada uno de los tramos de los salaros, cuál sería el índce de Gn? Solucón: a) Ordenando los datos de forma crecente: Salaros n N n N % p N. 100 U n acumulada U %q.100 Uk , , , , ,85 Índce de Gn: 5 q 1 8,85 IG 1 1 0,1719 (17,19%) 5 p 1 b) Comenzando por los salaros más bajos, se observa que el 81,8% de los salaros, es percbdo por el 95% de la plantlla. En consecuenca, el 5% del personal mejor pagado percbe el 18,18% c) Se observa que el 60% de los trabajadores percbe el 6,6% de los salaros, mentras que el 90% de los trabajadores percbe el 7,7% de los salaros. Para estmar el porcentaje de trabajadores que percbe el 50% de los salaros, se realza una nterpolacón lneal:

43 ,7 6,6 50 6,6 71,5 % d) El índce de Gn tene que ser coherente con el Prncpo de la Poblacón, es decr, el índce de Gn no vara cuando el conjunto de ndvduos con la msma renta se multplcan por un escalar. En consecuenca, s la empresa hace una modfcacón de la plantlla del 60% en todos los tramos de salaros el índce de Gn tene que ser el msmo: I 0,1719 G. Dada la tabla de correlacón: X\Y a) Hallar las rectas de regresón mínmo cuadrátcas asocadas. b) Hallar la varanza eplcada por la regresón y la varanza resdual de la recta Y/X, eplcando los resultados. Solucón: a) Se efectúan los cálculos necesaros para obtener los momentos respecto al orgen: X \ Y 0 6 n n yn n j j n j yn j j j yn j n 6 N 17 1 a10 1,5 yn j j j1 5 a01 y,65 N 17 n a0,59 N 17 s a a,591,5 0,5 yn j j1 189 y 0 01 a0 11,1 N 17 s a a 11,1,65,1 yn j j 1 j1 6 a11,71 N 17 sy a11 a 10. a01,71 1,5.,65 0,

44 Recta regresón Y/X: sy 0, b 1,6 Ya bx s 0,5 y a b a y b,65 1,6. 1,5,7 Y/X: Y,7 1,6X Recta regresón X/Y: sy 0, b' 0,08 Xa' b'y sy,1 a' b' y a' b' y 1,5 0,08.,65 1,75 X/Y: X 1,75 0,08 Y b) Coefcente de determnacón: r b.b' ( 1,6). ( 0,08) 0,119 Varanza resdual de Y: s s (1 r ),1 (1 0,119),67 ry y Varanza eplcada por la regresón: sy sry sry sry sy sry,1,67 0,6 sry s y. r,1. 0,119 0,6 La mayor parte de la varable dependente Y resulta ser resdual, un, ,7%.,1 En consecuenca, una pequeña parte queda eplcada por la regresón: (0,6 /,1) ,9% r , ,9% Al ser la varanza eplcada muy pequeña, el ajuste no es bueno y las rectas de regresón no pueden utlzarse de manera fable para hacer predccones.

45 . Un trabajador ha recbdo los sguentes salaros en los años 005 y 006: Salaro 005 = euros Salaro 006 = euros Esta persona quere saber s su poder adqustvo ha aumentado en el año 006 respecto al 005. Para ello dspone de la sguente nformacón relatva al Índce de Precos de Consumo con base el año IPC00 109,9% e 006 IPC00 11,6 % a) Interprete el valor de los números índce proporconados b) Determne e nterprete la tasa de varacón que ha sufrdo el poder adqustvo de este asalarado entre los años 005 y 006, en térmnos nomnales y en térmnos reales (constantes del 00) c) S el salaro del trabajador en el año 00 fue de euros, cuál fue la tasa meda anual acumulatva en térmnos nomnales y reales (constantes del 00) en el perodo ? Solucón: a) 005 IPC 00 =109,9% En el año 005 los precos se han ncrementado un 9,9% respecto al año IPC 00 =11,6% En el año 006 los precos se han ncrementado un 1,6% respecto al año 00 b) Para calcular el salaro real (precos constantes) se requere deflactar el salaro nomnal (precos correntes), elmnando la nfluenca que han epermentado los precos. Para ello, se deflacta la sere dvdendo el valor nomnal entre el IPC corrente precos correntes precos consta constante 005 ntes SR0 Salaro nomnal Salaro real = t corrente IPC00 constante SN006 SR IPC00 SN ,0 euros IPC 1, , euros 1,16 Tasas de varacón Nomnal: TV ,7% , Real: TV ,96% 16888,0 En térmnos nomnales el salaro ha crecdo un,7%, aunque en térmnos reales (elmnado el efecto de la nflacón), el salaro ha dsmnudo un 0,96%. c) La tasa meda anual acumulatva en térmnos nomnales y reales (constantes del 00) en el perodo corrente SN Isalaro nomnal 1,1878 SN constante SR , Isalaro real 1,05 SR

46 Tasa de varacón meda anual en térmnos nomnales: TM nomnal Isalaro nomnal 1 1, , ,96 (,96%) Tasa de varacón meda anual en térmnos reales: TM real I salaro real 1 1,05 1 1, ,111 (1,11%). Tras analzar los datos referentes a un año y medo (desde 00.1 hasta 005.) de una determnada sere temporal (Y), de perodcdad trmestral, se han obtendo los sguentes resultados con t = 0, 1,, 5: t = 15 t = 55 ty = y = y = t t t Los índces de varacón estaconales han sdo: IVE 1 = 1,0 IVE = 0,87 IVE = 0,97 IVE = 1,17 a) Realce un ajuste lneal de la tendenca de la sere. Determne a partr del coefcente de determnacón lneal s el ajuste es bueno o malo, y predga el valor de la sere para el tercer y cuarto trmestre del año 005. b) Interprete estadístcamente los IVEs Solucón: a) Recta de regresón de Y sobre t: sty b Ya b.t st a y bt 6 t 6 6 y t t 1 15 t t t,5 y 178,8 a ,67 N 6 N 6 N 6 ty sty a11 t. y 11991,67,5. 178,8 0,59 6 t 1 55 st t,5,9 6 6 con lo que, Y = 8, ,1.t 0,59 b 185,1,9 a 178,8 185,1.,5 8,99 El Coefcente de determnacón lneal: R b.b' 6 yt ty t1 y y s ,59 b' s y 178, ,66 b' 0,00066 s N ,66 6

47 R b. b' 185,1. 0, ,91 El modelo es bueno porque eplca el 91,% ( R = 0,91 ) de la varabldad de Y t en funcón de t. Para predecr el tercer (t 6) y cuarto trmestre (t 7) de 005: Y= 8, ,1.t 005.: Y= 8, ,1. 6 = 806, : Y= 8, ,1. 7 = 911,9 En el esquema multplcatvo Y =T.E.C.A Y =T.IVE (ht) t t t t t t t h Y =T.IVE t t h Y 005. = T IVE = 806,79. 0,97 = 7785,99 Y 005. = T IVE = 911,9.1,17 = 10607, b) Los índces de varacón estaconal muestran el componente estaconal en el esquema multplcatvo. El componente estaconal E t son las osclacones que sufre una sere temporal en perodos nferores o guales a un año. IVE 1 = 1,0 IVE = 0,87 IVE = 0,97 IVE = 1,17 IVE 1 = 1,0 sgnfca que por el hecho de estar en el prmer trmestre, la varable Yes t un,% mayor que el comportamento habtual o tendenca de la sere. IVE = 0,87 sgnfca que por el hecho de estar en el segundo trmestre, la varable t Yes un 1% menor que el comportamento habtual o tendenca de la sere. 7

48 . EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 8 DE JUNIO Se queren analzar los accdentes de tráfco en las provncas españolas. Se dsponen de los sguentes datos: Accdentes de Tráfco (mles) Nº de Provncas españolas a) Obtenga el número medo de accdentes por provnca y su valor medano. b) La meda obtenda en el apartado anteror, es representatva? c) Se producen en España los accdentes de forma concentrada según provncas? Justfque el ndcador empleado para medr la concentracón de los accdentes e nterprete los resultados. d) En Alemana se ha realzado un estudo smlar al español. Se ha obtendo un índce de Gn del 0,70. Dbuje las curvas de Lorenz teórcas que representarían los ndcadores de concentracón de ambos países y eplque la poscón de cada una de ellas. Solucón: a) [ L L 1) n c N n , ,5 106, , ,5 987,5 88,75 n Número medo accdentes: n 987,5 N ,75 N 50 N1 15 Valor medano: 5 15 Me L c NN n b) Para saber s la meda obtenda es representatva se calcula el Coefcente de Varacón de Pearson: 8

49 n 1 88,75 a 576,875 N 50 s a a 576,875 19,75 186,815 s 186,815 1,67 1 s 1,67 CV 0,6911 (69,11%) 19,75 El Coefcente de Varacón de Pearson cuantfca el grado de dspersón (69,11%), que resuelta ser alto, por lo que la meda artmétca no es representatva. c) Rentas U n n N U N n %p L L ) 100 %q 100 acumulada N Uk %(p q) , ,5 187, ,99 1, , ,96,0 5 50, , [ 1 987, ,95 5,05 El grado de concentracón de accdentes vene reflejado por el Índce de Gn: q 1 75,95 IG 1 1 0,158 (1,58%) 10 p 1 o ben (p q ) 1 5,05 IG 0, p 1 Cuanto más prómo a cero se encuentre el Índce de Gn será más equtatvo el grado de concentracón de accdentes, sendo de 1,58%, se puede conclur que este concentracón de accdentes. d) I G(Alemana) 0,70 I G(España) 0,158 concluyendo que en Alemana están más concentrados los accdentes, esto es, al dbujar las curvas teórcas, la curva de Lorenz de España se encontraría más próma a la dagonal prncpal. 9

50 . A partr de la tabla adjunta, sendo N 11, Y 0 X \ Y n n a) Son ndependentes las varables estadístcamente? b) Rectas de regresón de Y/X e X/Y c) Qué parte de la varanza calculada Y es eplcada por la regresón? Qué parte es debda a causas ajenas? Solucón: a) X \ Y 0 1 n n n n n n j n n 5 n n n De otra parte, Y 0 n n 611 n 0 X \ Y 0 1 n n 6 11 j Las varables X e Y son ndependentes nj n n j cuando se verfca, j N N N No son ndependentes porque no se verfca la relacón: b) n n 1 n1 N N N yn 1 N 11 j j 1j1 a n N 11 1 a10 1 n 1 a N