Coordenadas polares en el plano. Coordenadas ciĺındricas y esféricas en el espacio. Coordenadas... Coordenadas... Coordenadas...

Transcripción

1 En el estudio de los conjuntos y las funciones es fundamental el sistema que se utilize para representar los puntos. Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de afín o de vectorial de R n, utilizando el sistema de representación cartesiana mediante pares de números, en el caso del plano, o mediante ternas en el caso del, que identificamos con un sistema de coordenadas ortogonal. Sin embargo esta no es la única forma posible de identificar los puntos. Hay otras formas de representación que en ocasiones pueden resultar más útiles: el sistema de representación cartesiana es útil para representar la superficie de la tierra en un plano, pero sin embargo los barcos en el mas utilizan un sistema de radar bidimensional que sitúa los puntos del plano en círculos centrados en el origen de coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o los submarinos, utilizan un sistema de radar tridimensional. Estos sistemas se basan en los sistemas de coordenadas polares, esféricas que vamos a ver en este capítulo.

2 1. plano Partimos de la representación cartesiana del plano mediante pares ordenados de números, que representan la distancia del punto a dos ejes ortogonales, llamados ejes de coordenadas. La costumbre es dibujar uno horizontal (abscisas) y otro vertical (ordenadas), y llamar x a la distancia del punto P al eje vertical, e y a la distancia al eje horizontal. De este modo cada punto del plano está unívocamente determinado por sus dos coordenadas P = (x, y) y P =(x, y) r t x Pues bien, también podemos identificar cada punto del plano por otros dos números: uno es la distancia que lo separa del origen de coordenadas, r, y otro el ángulo t que forma el segmento que une P con el origen con el sentido positivo del eje horizontal. r se denomina módulo de P

3 y t argumento de P, y el par (r, t) se denomina coordenadas polares de P. Esta relación no es unívoca, en el sentido de que a un punto P le corresponden infinitos pares, puesto que podemos escoger el ángulo t o cualquier otro de la forma t + 2kπ. Para que a un punto le corresponda un único par, debemos escoger los ángulos en un intervalo de longitud 2π, que normalmente será el intervalo [0, 2π). De esta manera, a cada punto P del plano distinto del origen (0, 0) le corresponde un único par (r, t), con r > 0 y 0 t < 2π. El origen de coordenadas se caracteriza porque r = 0, pero t puede ser cualquier ángulo. Aplicando un poco de trigonometría, la relación entre las coordenadas cartesianas de un punto y sus coordenadas polares es clara: x = r cos(t) y = r sen(t) r = x 2 + y 2 t = arctan(y/x) con una precaución: para que la función arcotangente esté bien definida (a un número real le corresponda un único ángulo), debe escogerse un intervalo de longitud π en el que definir la imagen. Usualmente se define la función arcotangente de R en el intervalo [ π/2, π/2], arctan : R [ π/2, π/2]. En este caso para un punto P que esté en el segundo o tercer cuadrante del plano la función arctan(y/x) nos dará un ángulo α entre π/2 y π/2, y el verdadero argumento de P será t = α + π. Y si P está en el cuarto cuadrante, el argumento de P será α + 2π. Es decir, deberíamos escribir

4 t = α + π t = α +2π t = α + π t = α α α α arctan(y/x) si x 0, y 0 t = arctan(y/x) + π si x < 0 arctan(y/x) + 2π si x 0, y < 0 Esto es evidentemente bastante incómodo. En muchos casos, para simplificar un poco, se consideran los argumentos de los puntos del plano en [ π/2, 3π/2], en vez de en [0, 2π], y así podemos eliminar la tercera opción en la definición de t, admitiendo que los puntos del cuarto

5 t = α + π t = α + π t = α α α t = α cuadrante tienen argumento negativo. Ejemplo 1. Dibujar la curva definida en coordenadas polares por la ecuación r = cos t Conociendo el comportamiento de la función cos t, e interpretando la información que obtenemos sobre r, observamos que Como tiene que ser r > 0, entonces cos t > 0, luego t [ π/2, π/2] + 2kπ (k Z); es decir, los puntos de la curva estarán todos en el semiplano de la derecha, x 0 Como la función r(t) = cos t es periódica de período 2π, en cada intervalo de longitud 2π la curva se repite, luego basta considerar sólo uno de los intervalos, t [ π/2, π/2]

6 Como la función r(t) es par, es decir, r(t) = r( t), entonces la curva es simétrica respecto al eje horizontal, así que se podría estudiar sólo el intervalo [0, π/2], y repetir el dibujo en la parte inferior por simetría. Los puntos de corte de la curva con los ejes de coordenadas son los que tienen t = π/2, t = 0, t = π/2 (y t = π, aunque en este ejemplo en particular este caso no puede darse, por lo que hemos visto arriba). Si t = π/2, r(t) = r( π/2) = cos(π/2) = 0, es decir, el punto correspondiente está en el origen de coordenadas. Si t = 0, r(t) = r(0) = cos 0 = 1, luego el punto correspondiente esta en el eje horizontal, a distancia 1 del origen; es decir, es el punto (1, 0) Y si t = π/2, otra vez r(π/2) = 0, luego es el origen de coordenadas. Y en los intervalos intermedios de los ángulos, si t [ π/2, 0], r(t) = cos t es monótona creciente. Esto quiere decir que según aumenta el ángulo desde el eje vertical hacia el eje horizontal, la distancia de los puntos de la curva al origen de coordenadas va aumentando, hasta llegar al punto (1, 0). En cambio en si t [0, π/2], la función r(t) = cos t es monótona decreciente, luego a partir del eje horizontal, y hasta el eje vertical, los puntos vuelven a acercarse al origen de coordenadas.

7 Si pasamos toda esta información al plano xy, podemos hacer un dibujo suficientemente aproximado de la curva: En este ejemplo concreto es fácil pasar la ecuación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, para comprobar el resultado: Si r = cos(t), multiplicando por r, r 2 = r cos(t), luego x 2 +y 2 = x, equivalente a la ecuación (x 1/2) 2 + y 2 = 1/4, que es la de la circunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2.

8 2. ciĺındricas en el En el tridimensional partimos de la representación cartesiana del mediante ternas ordenadas de números, que representan la distancia del punto a tres ejes ortogonales, llamados ejes de coordenadas. De este modo cada punto del está unívocamente determinado por sus tres coordenadas P = (x, y, z) Pero también podemos identificar cada punto del por otros tres números: dos números r y t son las coordenadas plano horizontal de la proyección de P sobre este plano, P = (x, y, 0), y el tercero es la altura de P sobre el plano horizontal, la coordenada z. La terna (r, t, z) se denomina coordenadas ciĺındricas de P.

9 x z t P =(x, y, z) z y r x = r cos(t) y = r sen(t) z = z r = x 2 + y 2 t = arctan(y/x) con las mismas condiciones que en las coordenadas polares z = z Ejemplo 2. Dibujar la curva definida en coordenadas ciĺındricas por las ecuaciones r = s, t = s, z = s, con s R + = [0, ) Observamos fácilmente que al ir creciendo el valor de s, el ángulo aumenta, haciendo que el punto vaya dando vueltas alrededor del eje vertical. Al mismo tiempo aumenta el radio, lo que quiere decir que cada vez se aleja más del eje vertical, y la altura aumenta, luego va subiendo hacia arriba.

10 Con más precisión, las ecuaciones r = s, z = s al pasarlas a coordenadas cartesianas implican z = x 2 + y 2, luego la curva está contenida en la hoja superior del cono x 2 + y 2 = z 2. Las ecuaciones t = s, z = s implican que los puntos de la curva van subiendo mientras dan vueltas alrededor del eje vertical. Se trata de una hélice cónica.

11 3. Cada punto del tridimensional se puede identificar también mediante otros tres números: dos ángulos y una distancia ϕ es el ángulo que forma el vector P con el plano horizontal (latitud). θ es el ángulo que forma el vector P con el plano y = 0 (longitud). Y ρ es la distancia de P al origen de coordenadas. La terna (ρ, θ, ϕ) se denomina coordenadas esféricas de P. ϕ [ π/2, π/2], θ [0, 2π), ρ 0 z P =(x, y, z) ρ O ϕ y x N θ M

12 Aplicando un poco de trigonometría a los triángulos OP M y OMN, tenemos z = ρ sen ϕ OM = ρ cos ϕ x = OM cos θ = ρ cos ϕ cos θ y = OM sen θ = ρ cos ϕ sen θ que son las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas cartesianas a partir de las coordenadas esféricas. Recíprocamente, ρ = x 2 + y 2 + z 2 ϕ = arcsen(z/ρ) arctan(y/x) si x 0, y 0 θ = arctan(y/x) + π si x < 0 arctan(y/x) + 2π si x 0, y < 0

13 Ejemplo 3. Escribir las ecuaciones en coordenadas polares de dos hélices esféricas, que empiezan en el polo sur y acaban en el polo norte, después de dar alguna vuelta a la esfera de centro el origen y radio 2 al rededor del eje vertical. En cualquier caso, los puntos de la curva están sobre la esfera de radio 2, luego tiene que ser ρ = 2. Para conseguir el efecto de girar alrededor del eje vertical, dejamos como variable el ángulo θ. Y para que los puntos vayan subiendo desde el polo sur hasta el polo norte, el ángulo ϕ tiene que ir aumentando desde π/2 hasta π/2. Construimos dos ejemplos: en el primer caso, ϕ = π/2 + θ/4 con θ [0, 4π], y en el segundo ϕ = π/2 + θ/8 con θ [0, 8π]

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