PRÁCTICA 1: MEDIDA DE MAGNITUDES FÍSICAS Y SU TRATAMIENTO NUMÉRICO

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1 PRÁCTICA 1: MEDIDA DE MAGNITUDES FÍSICAS Y SU TRATAMIENTO NUMÉRICO MEDIDA Y ERROR La medda epermental es la base de todo el conocmento centífco. Medr es comparar una determnada propedad de un sstema con el valor que esa msma propedad toma en otro sstema de referenca o patrón y al que hemos asgnado prevamente un número determnado. Por ejemplo, para medr la longtud de un cuerpo lo que hacemos es compararla con la de una regla, en la que se ha fjado prevamente que certa dstanca entre dos puntos equvale a 1 m (o una pulgada, o una vara, etc). Como resultado de una medda se obtene sempre un número que se escrbe segudo del nombre del patrón o undad. Ejemplo: una masa puede ser 1.3 g pero no 1.3. Sn embargo, esto no es todo. En el ejemplo anteror, s decmos que la masa vale 1.3 g podría parecer que este es el valor eacto de esta magntud, es decr, que la masa es eactamente g con nfntos ceros detrás del tres, lo que no tene sentdo. Las razones son varas. La prmera y más mportante, es que las leyes de la Físca nos dcen que esten al menos algunas magntudes que es mposble medr con nfntas cfras (la poscón y el momento en mecánca cuántca). El problema es que aunque no estera esta lmtacón ntrínseca, nuestra habldad y la perfeccón de los aparatos que usamos sempre van a ntroducr un margen de error en las meddas. A efectos práctcos lo que esto sgnfca es que sólo podemos determnar un ntervalo de valores en el que es probable que esté el verdadero valor de la magntud. Volvendo al ejemplo de la masa: s decmos que una masa es 1.3 g, lo queremos epresar realmente que es probable (o cas seguro) que esté entre 1. g y 1.4 g. Ese ntervalo de valores se epresa como: Valor del centro del ntervalo ± la mtad del ntervalo, undades (1) El valor del centro del ntervalo se denomna meda y representa lo que nosotros suponemos que vale la propedad medda. Cuanto menor es el ntervalo, mejor conocemos

2 el verdadero valor de la magntud que medmos. Sguendo con el ejemplo de la masa escrbríamos: m = 1.3 ± 0.1 g. Esa mtad del valor del ntervalo se denomna error absoluto, se representa por, y es la suma de todas las posbles fuentes de error que concurren en la medda. Los errores absolutos se escrben preceddos del sgno ± y segudos de sus undades. Así, en el ejemplo del apartado anteror el error absoluto sería ± 0.1 g. El error absoluto ndca cómo es de bueno nuestro conocmento de la magntud físca, pero es poco útl para comparar el conocmento que tenemos sobre dos o más magntudes. Así, s medmos dos masas de 1 Kg y 1 g con el msmo error absoluto de 0.1 g, es evdente que conocemos con más precsón la prmera y que el error absoluto no srve para epresarlo. Para evtar esta lmtacón de error absoluto, defnmos error relatvo ( /). Como se ve, el error relatvo es el cocente entre el error absoluto y el valor del centro del ntervalo. En el ejemplo anteror / = 0.1/1.3 El error relatvo carece de undades (es un cocente de magntudes con las msmas undades) y suele epresarse en tanto por cento. ε = 100 ORIGEN DE LOS ERRORES De lo dcho anterormente se deduce que cualquer medda epermental lleva asocada un determnado error, resultado de todos los factores que nfluyen sobre ella. Estos son báscamente el propo epermentador y el aparato de medda. Evdentemente, s el epermentador no sabe manejar el aparato de medda y no pone el sufcente cudado al leer sus escalas, todo ello se traducrá en fuentes de error. Sn embargo, ncluso observadores epertos pueden ntroducr nconscentemente neacttudes cuando hacen suposcones no justfcadas en el acto de medr. Por ejemplo, s se utlza un termómetro de laboratoro para medr la temperatura de una bañera llena de agua, es lícto suponer que la medda no va a depender de la temperatura ncal del termómetro, sn embargo, s utlzamos ese msmo termómetro de para medr la temperatura de 1 cm 3 de agua, es muy posble que obtengamos un resultado erróneo, ya que en este caso la medda va a estar domnada por la temperatura del aparato, no de la muestra a analzar. No hay una regla general para detectar y corregr este tpo de errores. Como son más dfícles de detectar que de corregr, el epermentador deberá analzar en cada epermento las hpótess mplíctas en el método de medda que utlza y verfcar s son certas. La otra fuente de error es el propo aparato de medda. Aunque se use correctamente, la caldad de las meddas realzadas con cualquer dspostvo vene sempre afectada por su

3 precsón. Esta nos ndca el error mínmo del aparato debdo a sus característcas propas. Aunque esten varos factores que nfluyen sobre ella (por ejemplo, la fdeldad del aparato, o su capacdad de dar sempre la msma lectura en las msmas condcones epermentales), la precsón suele venr determnada por la resolucón del aparato, es decr, la mínma dvsón de su escala. Por ejemplo: 1 mm en una regla mlmetrada o 1 mnuto en un reloj con manecllas. Un aparato es precso cuando al medr varas veces la msma magntud, los resultados son muy smlares unos a otros. Un aparato es eacto cuando el resultado de las meddas es o esta muy cerca del resultado real (s pudéramos conocerlo). La precsón del aparato se puede verfcar hacendo varas meddas. Para conocer la eacttud es a menudo necesaro hacer la msma medda con varos aparatos dferentes. Cuando un aparato no es eacto, usualmente la desvacón entre el dato real y el obtendo es sempre la msma o muy parecda. Es decr, tenemos sempre el msmo error sstemátco. Por ejemplo, la hora dada por un error adelantado cnco mnutos sempre tendrá un error sstemátco de, precsamente, cnco mnutos, ndependentemente de que nosotros lo sepamos o no, y solo podríamos saberlo pdéndole la hora a varos compañeros. Errores sstemátcos pueden tambén producrse por la mala práctca del epermentador, y han de corregrse sempre que sea posble. Alternatvamente, puede ocurrr que los errores cometdos no sean sempre los msmos, comportándose de forma mprevsble, aleatora, unas veces aumentando, otras dsmnuyendo la medda, y en cantdades dferentes en cada ntento de medr. Las causas pueden ser pequeñas varacones en la magntud a medr, a la lmtada precsón de los aparatos o un epermentador poco hábl. Este tpo de error se denomna error aletoro. Su característca prncpal es que no podemos hacer más que acotarlo en valor absoluto utlzando la teoría estadístca de errores y está sempre presente (aunque sea muy pequeño) en cualquer medda. TIPOS DE MEDIDAS No todas las meddas son guales. No es lo msmo medr la longtud, en la que para hacerlo comparamos drectamente el objeto con una regla, que la superfce, en la cual tenemos que medr una o varas longtudes y utlzar una fórmula matemátca para obtener su valor. Se dstnguen así los dos tpos de meddas: Meddas drectas: Las que se obtenen comparando la magntud con el patrón drectamente o medante un aparato calbrado. Así se pueden medr la longtud, la masa, el tempo,... Meddas ndrectas: Las que se calculan a partr de magntudes meddas drectamente. Así suelen obtenerse la velocdad, la superfce,... De todas las fuentes de error, al menos dos están sempre presentes en cualquer medda: los errores debdos a la precsón del aparato y los errores aleatoros. El error absoluto es por tanto la suma de ambos más cualquer error debdo a otras causas. El manejo de los

4 errores aleatoros vene determnado por la teoría estadístca de errores y depende de s la medda es drecta o ndrecta. TEORÍA ESTADÍSTICA DE ERRORES La justfcacón del tratamento matemátco que realzaremos en este apartado se dará en el apéndce I. CÁLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS Llamemos A a la magntud físca a medr, cuyo verdadero valor, desconocdo, es χ, y sean los valores epermentales obtendos en n ntentos de medda (supongamos que los están lbres de errores sstemátcos). En este caso la teoría estadístca defne los sguentes parámetros: Valor medo: n = 1 n () Desvacón típca: σ n 1 / ( ) 1 n 1 = (3) n 1 Desvacón típca de la medda o error cuadrátco medo de la meda: σ = σ n 1 / ( ) n 1 1 = (4) n n(n 1) que tenen las sguentes utldades:

5 El valor medo es el valor más probable de la magntud A (la meda defnda más arrba). Por lo tanto es la mejor estmacón que podemos hacer del centro del ntervalo de la epresón (1). La desvacón típca σ n-1 srve para decdr s alguna de las meddas es rechazable: s dfere de en menos de σ n-1 es correcta; s dfere más de 3σ n-1 es mala. El error cuadrátco medo σ nos permte asegurar que el verdadero valor tene una probabldad muy alta de estar entre - σ y + σ y la probabldad de estar entre - σ y + σ es del 95%. Por lo tanto σ sería el error absoluto correspondente a los errores aleatoros de las meddas. El error total se calcula entonces de la sguente forma: 1. Se corrgen las meddas, lbrándolas de los errores sstemátcos.. Se calculan y σ de las meddas corregdas. 3. Se determna el error absoluto de las meddas debdo a la precsón del aparato. Frecuentemente se toma la resolucón del aparato como valor de este error. Así lo haremos en este laboratoro. 4. El error total es la suma del error cuadrátco de la meda σ y del error absoluto debdo a la precsón del aparato. S alguno de ellos es pequeño comparado con el otro, se puede desprecar. El error total se puede epresar en forma absoluta o relatva. CÁLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS S Q = Q(, y, z) en que, y, z son magntudes que se mden drecta e ndependentemente, y Q es la magntud que se calcula a partr de ellas, Cuál es Q s conocemos, y, z? Para obtener Q se utlza el cálculo dferencal, ben drectamente o tomando prevamente logartmos neperanos: Dferencacón Drecta. Dferencando en Q = Q(, y, z) se obtene: dq = Q Q Q d + dy + dz y z S nterpretamos los dferencales como errores se transforma en: Q = Q + Q y y + Q z z

6 Se han tomado valores absolutos para evtar la stuacón nadmsble en que Q pudera resultar nulo, sendo, y o z no nulos (no se puede conocer con eacttud algo calculado con valores neactos). Ejemplo: S Q = A + By entonces Q = A. + B. y Dferencacón Logarítmca Prmero se toman logartmos neperanos, luego se dferenca y fnalmente se susttuyen los dferencales por errores. Por gual motvo que en la dferencacón drecta, cada sumando se toma en valor absoluto. Ejemplo: s Q = A. y B Se toman logartmos: Ln Q = A Ln + B Ln y Luego dferencales Y fnalmente errores dq Q = Q = Q d A + A. dy B y y + B. y En ocasones, cuando la funcón Q es complcada, puede ser necesaro utlzar los dos procedmentos. PRESENTACIÓN NUMÉRICA DE RESULTADOS Una vez calculado el error total como se ndcó, según se trate de meddas drectas o ndrectas se procede como sgue: 1. Se redondea el error total de manera que tenga una sola cfra sgnfcatva. Ejemplo: se redondea a se redondea a % se redondea a % 1.35% se redondea a 1%. El valor medo de las meddas o el valor calculado Q = Q(, y,z) según se trate de meddas drectas o ndrectas, se redondea de forma que su últma cfra sgnfcatva sea del msmo orden que la cfra sgnfcatva del error absoluto total.

7 Ejemplo: S el error total es 0.005, se redondea a se redondea a se reescrbe como El resultado de nuestras meddas se escrbe como: ±, undades O ben como:, undades ± 100., % Consderando en estas epresones las cfras sgnfcatvas que les corresponda según lo dcho antes en este apartado. Ejemplo: ± nm nm ± 0.4 % AJUSTE A UNA RECTA Epermentalmente es muy frecuente que supongamos que dos magntudes e y están relaconadas y que hagamos medcones de y para dstntos valores de. Por ejemplo, puede medrse el volumen de un determnado gas en funcón de la temperatura a presón constante. Una vez obtendos las dos seres de datos, e y, podemos preguntarnos s de verdad este una relacón entre ambos (en el ejemplo anteror entre el volumen y la temperatura del gas). Una forma senclla de saberlo es representar los valores en una gráfca y ver s este alguna funcón para la que se cumpla y = f() (eacta o apromadamente). Uno de los casos más comunes es cuando la relacón entre ambas varables es lnear, es decr y se puede escrbr como: y = a + b donde a y b son constantes. Sn embargo, este método vsual de establecer la dependenca entre dos varables puede llevarnos a error, puesto que ncluye un componente subjetvo. Lo que necestamos es un método matemátco que nos cuantfque la bondad de la suposcón que hacemos, en este caso que y es una funcón lneal de y que nos dé los valores de a y b para la mejor recta posble (la que pase lo más cerca posble de todos los pares,y). Es decr, que nos srva para verfcar la hpótess de que la relacón entre las varables e y es lneal. Este método es el: Método de los mínmos cuadrados Supongamos que hay n pares de medcones ( 1, y 1 ), (, y ),... ( n, y n ) y que los errores están en su totaldad consderados en los valores de y (es decr, conocemos eactamente el valor de ). S suponemos que y es eactamente a + b, el error cometdo en la medda será: y a b. La mejor recta será aquella cuyos valores de a y b mnmcen la suma de los errores para todas las medcones, porque será aquella que en conjunto se desvíe menos del conjunto de datos en general. Sn embargo, esto tene el problema de que algunos

8 errores pueden ser postvos y otros negatvos. S lo que nosotros mramos es la suma total, algunos se cancelarían entre sí, lo que no tene sentdo. Para evtarlo lo que hacemos es mnmzar la suma de los cuadrados de los erorres, que sempre será postva. Tenemos entonces: Y (y -a -b) X = (y a b) = mn. Aplcando la condcón de mínmo: a b = = (y a b) = 0 (y a b) = 0 a + b = a + bn = y y La últma ecuacón muestra que la mejor recta pasa a través del punto: y =, y = es decr, por el centro de gravedad de todos los puntos. n n y y a = b = y a

9 Sn embargo, nosotros podríamos obtener valores de a y b para cualquer conjunto de datos, estuveran relaconados o no. El parámetro que nos cuantfca s de verdad y es una funcón lneal de es el coefcente de correlacón, que tene la epresón: r = n y y [ n ( ) ]. ny ( y ) { [ ]} 1 / Los valores de r se encuentran sempre en el ntervalo [-1, 1]. S r 1, este correlacón entre e y, es decr, y depende lnealmente de. Por el contraro s r 0 debe conclurse que e y son ndependentes (o que y no depende lnealmente de ) y por lo tanto carece de sentdo epresar y = a + b. En general, s r < 0.8, la correlacón entre e y es defcente. El coefcente de correlacón nos permte entonces verfcar la hpótess de partda que ndcaba que la relacón entre los valores e y es lneal. S la hpótess es verdadera, el coefcente será prómo a 1 (en valor absoluto), y s es falsa, r será menor de 0.8. CUESTIONES DE LA PRÁCTICA 1 1. Las meddas del dámetro de un plato con una regla de precsón 1 mm son las sguentes (undades en mm): Calcular: a) Meda y desvacón típca. Es rechazable alguna de las meddas? b) Dstrbucón de frecuenca. Hstograma. c) Calcular el error y el error relatvo del dámetro. d) Determnar la superfce del plato y el error cometdo.. La velocdad de descomposcón del ódo de carbono C 3 O ha poddo segurse usando un rápdo sstema de medda por espectroscopía de masas, obtenéndose en funcón del tempo los sguentes valores de concentracón de C 3 O : [C 3 O ] (undades arbtraras) t (tempo en mlsegundos) Calcular el orden de reaccón y la constante de velocdad de la descomposcón del C 3 O.

10 Apéndce I. Dstrbucón gaussana de errores Como ya hemos menconado, el error aleatoro se debe a una sere de factores no controlados, que asumremos ndependentes y de comportamento aleatoro. Esto sgnfca que en el nstante de la medda cada uno de estos factores afectará al resultado de forma ndependente, ncrementándolo o dsmnuyéndolo. Esto podemos epresarlo: = X + f donde sería el resultado de la medda, X el valor eacto de la magntud objeto de ella y f el efecto del factor sobre la medda. S en el nstante de la medda todos los factores afectan postva o negatvamente a la medda, el resultado dferrá, en gran manera, del valor eacto. Sn embargo, s el comportamento es aleatoro, lo más probable es que en el nstante de la medda unos factores afecten postva y otros negatvamente, de modo que el efecto neto sería pequeño o nulo. De acuerdo a los supuestos de ndependenca y aleatoredad se establecen los postulados báscos del tratamento estadístco del error: 1. La medda epermental de una magntud es una varable aleatora que verfca la ley de establdad estadístca, según la cual las meddas se dstrbuyen en torno a un valor medo, el cual al tender el número de meddas a nfnto tende a un valor constante e ndependente del número de meddas.. A esta varable aleatora se le asgna una funcón de dstrbucón que relacona la probabldad de obtener una medda afectada de un certo error con la magntud de aquélla. Es amplamente aceptado el uso de la dstrbucón Normal, (tambén llamada dstrbucón de Gauss o del Error) para descrbr las observacones epermentales usuales. Asumremos, pues, que los posbles resultados de una medda epermental se dstrbuyen en torno a la meda muestral de la magntud que se mde con una dspersón que puede caracterzarse medante un parámetro que denomnaremos varanza σ. La probabldad de obtener un valor concreto vendrá caracterzada por el valor de la funcón de dstrbucón ϕ() en ese punto.

11 0.40 ϕ() _ Meda muestral Varanza muestral = 1 n σ () = ( n ) Desvacón típca σ = σ Donde representa el valor obtendo en la medda -ésma, y n el número total de meddas. Apéndce II: ecuacón de velocdad y orden de reaccón. La velocdad de una reaccón químca con un solo reactvo, entendda como varacón de concentracón c con el tempo t, se puede epresar como -dc/dt=kc r donde k es la llamada constante de velocdad y r es el orden de reaccón. Consderaremos dos casos: 1) Reaccón de prmer orden (r=1) La ecuacón de velocdad anteror puede ntegrarse de manera senclla para el caso en el que el eponente r sea gual a la undad. El resultado es: Ln[c(t)]=-kt+ Ln[c 0 ],

12 donde c 0 es la concentracón ncal de reactvo. Esta ecuacón ndca que s la reaccón es de prmer orden, la representacón gráfca del logartmo neperano de las concentracones frente al tempo es una recta de pendente k y ordenada en el orgen Ln[c 0 ]. ) Reaccón de segundo orden (r=). La ntegracón de la ecuacón de velocdad para el caso n= es ahora: 1/c(t)=kt+1/c 0 lo que ndca que s la reaccón es de segundo orden, la representacón gráfca de los nversos de las concentracones frente al tempo es una recta de pendente k y ordenada en el orgen 1/ c 0.

13 PRÁCTICA : REPRESENTACIONES GRÁFICAS REPRESENTACIONES GRÁFICAS La representacón gráfca de los resultados obtendos en el laboratoro es una herramenta de prmer orden en la nterpretacón de los datos epermentales, ya que muchas veces permte una nterpretacón del fenómeno estudado de manera mucho más fácl de la que se deduce del análss de una tabla de datos. Normalmente en las gráfcas se representan los valores de una magntud y meddos en funcón de otra,. En épocas pasadas esto se realzaba sobre papel, pero la crecente accesbldad de los ordenadores personales ha permtdo la obtencón de gráfcas de mayor caldad y el acceso a programas que además permten el tratamento numérco de los datos (como la obtencón de ajustes por mínmos cuadrados de los datos realzados en la práctca anteror). En esta práctca aprenderemos a usar la hoja de cálculo EXCEL para estos fnes, aunque por razones pedagógcas, realzaremos tambén una representacón a mano en papel mlmetrado. En este segundo caso, nuestras gráfcas serán de mejor caldad s segumos los sguentes pasos: a) Empezamos por dbujar en el papel ambos ejes, escogendo las escalas correspondentes a e y de forma que ocupen todo el papel y comprendan tan solo los ntervalos dentro de los cuales vamos a representar las varacones de e y. Por tanto, las escalas no tenen porqué empezar por cero. b) Con el fn de stuar fáclmente los valores de las varables, y representables las dstntas fraccones o múltplos de la undad, se recomenda que cada undad corresponda a uno, dos, cnco, dez o vente mm, etc. En el papel mlmetrado; de esta forma, por ejemplo s se ha tomado la undad como 0 mm a cada mm le corresponden 0.05 undades y podemos representar los valores que deseemos aprecando hasta la meda décma. c) No debe olvdarse, en nngún caso de señalar claramente sobre cada eje la magntud o varable que se está representando y las undades utlzadas, así los valores numércos

14 de la escala en puntos del eje unformemente dstrbudos para facltar tanto la representacón, como la lectura posteror de la gráfca. d) A medda que se van obtenendo las parejas de valores e y, se llevan a la gráfca, representándolos por un punto cuya abscsa es y cuya ordenada es y. S se desea hacer uso de los errores, en la representacón, bastará representar la pareja e y en lugar de por un smple punto, por una línea vertcal centrada sobre dcho punto de coordenadas (, y), pero cuyos brazos tengan ambos una longtud gual al error de la ordenada correspondente. e) Al trazar la línea representatva de la funcón y = f(), deberá procurarse hacerlo medante trazo fno y de forma contnua, nunca en forma de quebrada que pase por todos los puntos. No debe pues sorprendernos s la gráfca resultante no pasa por nnguno de los puntos representados. Ahora ben s algún punto cae eageradamente desplazado hay que rechazarlo y trazar la línea sn tenerlo en cuenta. f) En el caso de que la funcón representada resulte ser lneal, es convenente obtener medante el método de mínmos cuadrados la ecuacón de la recta que mejor ajusta a los puntos epermentales, determnando para ello su pendente y la ordenada en el orgen. CUESTIONES DE LA PRÁCTICA 1. Representar en papel mlmetrado la fuerza aplcada frente al estramento de la varlla. L/L F/S (N/m ) Determnar a partr de la gráfca qué puntos obedecen una ley lneal (zona elástca) y calcular a partr de ellos el módulo de Young, ε, que relacona la fuerza por undad de superfce con el estramento relatvo de la varlla: F S = ε L L

15 . La sguente tabla representa medcones de absorbanca frente a concentracón de dcromato potásco en dsolucones patrón de esta sustanca, para dos aparatos de medda dstntos (1) y () Concentracón (moles/ltro) Absorbanca (1) Absorbanca () a) Representar, en la hoja de cálculo Ecel para Wndows, los valores de absorbanca frente a la concentracón (curva de calbrado) para los dos aparatos. b) Según la ley de Lambert-Beer, este una relacón entre la absorbanca y la concentracón dada por A=k[c]L donde [c] es la concentracón y L la longtud de la cubeta en la cual se coloca la muestra. En nuestro caso L = 1 mm. A partr de la recta de mínmos cuadrados (recta de calbrado) obtenda medante el Ecel, deducr el coefcente de etncón molar k. c) La medda de la absorbanca de una muestra de concentracón desconocda (dsolucón problema) en el aparato (1) ha dado como resultado A = Obtener a partr de la recta de calbrado la concentracón de dcromato de dcha dsolucón. Estmar tambén la lectura de absorbanca que se habría obtendo s la medda se hubera realzado en el aparato ()