SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

Transcripción

1 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. PÁGINA 8 REFLEXIONA La grúa debe cargar en el barco los montones de cajas que hay en el muelle. Para contar el número de cajas que hay en el siguiente montón procedemos así: En cada fila hay 5 cajas Hay niveles En cada nivel hay filas filas 5 cajas cada fila = 5 cajas niveles 5 cajas cada nivel = 60 cajas El número total de cajas es, pues, 5 = 60 Procediendo de forma análoga, cuenta el número de cajas que hay en cada uno de los montones que vemos en el muelle. De izquierda a derecha y hacia el fondo: = = = = = 60 PÁGINA 9 TE CONVIENE RECORDAR Convierte en centímetros cúbicos: a) m b) dm c) 7,5 m d), dm e) m dm f) m 0, dm a) m = cm b) dm = 000 cm c) 7,5 m = cm d), dm = 00 cm e) m dm =, m = cm f) m 0, dm =, m = cm Unidad. Medida del volumen

2 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. Expresa en litros: a) dm b) m c),5 m d) 500 cm a) dm = l b) m = 000 dm = 000 l c),5 m = 500 dm = 500 l d) 500 cm = 0,5 dm = 0,5 l Cuántos kilos pesa el agua que cabe en una bolsa de 7,8 m? 7,8 m pesan 7,8 toneladas = 7 80 kilos PÁGINA 0 Expresa en dm : a) hm 5 dam m 50 dm b) cm c) (580 cm 800 mm ) d) km 50 dam 5 dm 780 mm a) 5 50 dm b) 56,890 dm c) (0, dm ) = 66 dm d) ,00078 dm Expresa en distintas unidades (pasa a forma compleja): a) 56 9,86 dm b) (9 50 cm ) c) 0, hm a) dam 56 m 9 dm 860 cm b) cm = 57 dam 86 m c) 86 m 00 dm Unidad. Medida del volumen

3 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. PÁGINA Añade la unidad en la que se expresa cada uno de los siguientes volúmenes: a) Capacidad de un vaso: / o bien 50 b) Una cucharadita: 6 c) Consumo bimensual de agua en una casa: 6,8 d) Agua en un pantano: 680 a) / l o 50 cm b) 6 ml c) 6,8 m d) 680 hm Expresa en litros: a) 6 dam m dm 500 cm b) mm c) 0,0089 hl a) 6 0,5 dm = 6 0,5 l b),86 dm =,86 l c) l Expresa en unidades de volumen (forma compleja): a) ( dl ) 0 b) ( kl ) 0, a) dl = 5 60 l = 5 60 dm = 5 m 60 dm b) 8 70 kl = 8 70 m = 8 dam 70 m PÁGINA Con una cartulina como la que aquí aparece se puede construir una caja cortando un cuadrado en cada esquina. Por ejemplo: } cm Unidad. Medida del volumen

4 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. Halla el volumen de esta caja y los de las cajas esquinas cuadraditos de y de. Volumen de la caja suprimiendo cuadraditos: V = 6 = 6 cm Suprimiendo cuadraditos: V = 8 5 cm = 0 cm Suprimiendo cuadraditos: V = = cm Contesta antes de realizar ningún cálculo: Cuántas duchas crees que podrías darte con el agua que cabe en tu aula? Ahora haz los cálculos para un aula de 6 m de ancha, 0 m de larga y,5 m de alta, a razón de 00 l de agua para cada ducha. Actividad de respuesta abierta, condicionada a las dimensiones del aula. Se debe tantear el número de litros que pueden caber en el aula. Volumen = 6 0,5 = 50 m 50 m = dm = l : 00 = 500 duchas Aplicando la fórmula para calcular el volumen de un ortoedro, averigua el volumen de este objeto:, m, m,8 m,5 m, m,5 m, m,8 m, m,5 m 0,5 m,5 m 0,8 m, m V =,,8, +,5 0,5, + 0,8 0,5, =,76 + 0,85 + 0, =, m Unidad. Medida del volumen

5 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 5 La suma de todas las aristas de un cubo es de 60 cm. Halla su volumen. Un cubo tiene aristas, todas ellas de la misma dimensión. a = 60 a = 5 cm V = 5 = 5 cm PÁGINA La base de un paralelepípedo es un rombo de diagonales de 0 cm y 0 cm. Su altura es de 5 cm. Halla su volumen. 5 cm 0 cm 0 cm Área de la base = 0 0 = 00 cm Volumen = 00 5 = 500 cm Con seis rombos iguales se puede construir un paralelepípedo así: a) Dibuja una cara. Comprueba, midiéndola, que la distancia entre dos lados opuestos es de 5, cm. Calcula el área de esa cara y el área total del paralelepípedo. b) La distancia entre dos caras opuestas del paralelepípedo es de,9 cm. Calcula el volumen del cuerpo. c) Constrúyelo. ) a) 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 5, cm A cara = 6 5, =, cm A total = 6, A= 87, cara = 6 cm 5, =, cm Unidad. Medida del volumen

6 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 6 b) V =,,9 = 5,88 cm c) Actividad de construcción. Proponemos aquí un posible desarrollo: (NOTA: el desarrollo está reducido al 70% de su tamaño real) Unidad. Medida del volumen

7 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 7 PÁGINA Halla el volumen de una habitación de,8 m de altura, cuya planta tiene la siguiente forma y dimensiones: 0 m 0 m m m m A m m A A A m A A = 0 = 0 m A = 6 = m A = π =, m A = π =, m Área de la base = A + A + A + A = 7, m Volumen = 7,,8 = 0,78 m Halla el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a) b) a l r = 0 cm h a = 6 cm l = 0 cm h = m h = m V prisma = = 000 cm = dm = 0, m V cilindro = π 0 00 = cm = 8,6 dm = 0,86 m PÁGINA 5 Recordemos la descripción que se hacía de la gran pirámide de Keops en la unidad. Es una pirámide cuadrangular regular. El lado de la base mide 0 m y la altura, 60 m. Calcula cuántos hectómetros cúbicos tiene de volumen. V = 0 60 = m =,07 hm Unidad. Medida del volumen

8 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 8 Calcula el volumen de esta pirámide hexagonal regular: lado = 0 cm Base apotema = 6 cm Altura = 80 cm V = = 6 00 cm = 6, dm l h a PÁGINA 6 Halla el volumen de este embudo (prescindir del pitorro y considerar que es un cono). Radio de la base: 0 cm Altura: cm V = π 0 = 65, ) cm Halla el volumen de esta flanera, sabiendo que los radios de sus bases miden 0 cm y 5 cm y su altura, cm. 5 m m 0 m x x + 5 = x 0x + 0 = 5x 5x = 0 x = cm 0 V cono grande = π 5 6 = 8 78 cm V cono pequeño = π 0 = 5 cm V tronco de cono = = cm Unidad. Medida del volumen

9 SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 9 PÁGINA 7 Tenemos un cajón cúbico de 0 cm de lado lleno en sus tres cuartas partes de bolitas de poliexpán (corcho blanco). Queremos ocultar en su interior un balón de cm de diámetro. Qué volumen de corcho sobra? 0 + π 6 = ,6 = 658,6 658,6 V cubo = 658, = 8,6 cm Sobran 8,6 cm de poliexpán. Un bote cilíndrico de 5 cm de radio y 0 cm de altura contiene tres pelotas de tenis bien encajadas. Calcula el volumen de aire que hay en su interior. V bote = π 5 0 = 55 cm Las esferas (pelotas) ocupan del volumen del cilindro (bote). Por tanto, el aire que queda en el interior es: 55 cm = 785 cm Unidad. Medida del volumen

10 Pág. PÁGINA 8 EJERCICIOS Unidades de volumen Transforma en metros cúbicos: a) 50 dam b) 0,08 hm c) 0, km d) 5 80 dm e) 500 hl f) l a) 50 dam = m b) 0,08 hm = m c) 0, km = m d) 5 80 dm = 5,8 m e) 500 hl = 50 m f) l = 0 m Transforma en litros los siguientes volúmenes: a) dam 50 m b) 0,87 hl c) 0,00009 hm d) mm a) dam 50 m l b) 0,87 hl 87 l c) 0,00009 hm l d) mm 0, l Completa las siguientes igualdades: a) 0,00 hm =... dm b) 0, dam =... cm c) dam m 7 dm =... m d) dam m 7 dm =... l a) 0,00 hm = dm b) 0, dam = cm c) dam m 7 dm = 0,7 m d) dam m 7 dm = 0 7 l Unidad. Medida del volumen

11 Pág. Expresa como suma de unidades de volumen (forma compleja): a) m b),96 dm c) 0, km d) dam a) m 75 hm 7 dam 8 m b),96 dm dm 9 cm 60 mm c) 0, km 8 dam 00 m d) dam 8 hm 6 Cuántas botellas de / l se pueden llenar con 0, dam? 0, dam = l : = 5, ) botellas Se pueden llenar unas 5 botellas. 7 Un pantano tiene una capacidad de 0,9 km. Si ahora está al 8% de su capacidad, cuántos litros de agua contiene? 8% de 0,9 km = 0,05 km = l 8 La cuenca fluvial cuyas aguas llegan a un pantano es de 6 km. En las últimas lluvias han caído 7 l por metro cuadrado. Del agua caída, se recoge en el pantano un %. Cuántos metros cúbicos de agua se han recogido en el pantano como consecuencia de las lluvias? 6 km = m = l = m 00 9 Cuál es la masa de 0,08 dam de agua? 0,08 dam = 8 00 l Su masa es de 8 00 kg. 0 Un depósito vacío pesa 7 kg y lleno de aceite 65,5 kg. Qué volumen de aceite contiene? La densidad de ese aceite es 0,95 kg/dm. 65,5 7 = 598,5 kg de aceite 598,5 : 0,95 = 60 l de aceite Unidad. Medida del volumen

12 Pág. Efectúa las operaciones siguientes y expresa el resultado en hectolitros: a) 0,6 dam + 7 m m b) 0,0008 km + 0, hm + dam c) 0, dam 5 m 800 dm d) 00 m : 5 a) 0,6 dam + 7 m m = 60 m + 7 m m = 6 0 m = = 6 0 kl = 6 00 hl b) 0,0008 km + 0, hm + dam = 80 dam + 0 dam + dam = = 8 dam = hl c) 0, dam 5 m 800 dm = 000 dm dm = dm = = 97 hl d) 00 m : 5 = 9 m = 9 kl = 90 hl Completa estas igualdades: a) hm =... hl b) dam =... dal c) m =... l d) dm =... dl e) cm =... cl f) mm =... ml a) hm = hl b) dam = dal c) m = 000 l d) dm = 0 dl e) cm = 0, cl f) mm = 0,00 ml Estimación de volúmenes a ojo Para cada uno de los recipientes que se citan a continuación se dan tres volúmenes. Solo uno de ellos es razonable. Di, en cada caso, cuál es: a) Volumen de un pantano: hm ; l ; cm b)un depósito de agua en una vivienda: dam ; 0,8 m ; l Unidad. Medida del volumen

13 Pág. c) Un vaso normal: d) Una cuchara de café: e) Una habitación: f)el cajón de una mesa: dm ; 0, dm ; 0,0 dm 8 dl ; 8 cm ; 8 mm dam ; 00 l ; 0 m 0, m ; 0 dm ; 000 cm a) hm (un pantano pequeño) b) 0,8 m = 800 l c) 0, dm = /5 l d) 8 cm = 0,008 l e) 0 m f) 0 dm PÁGINA 9 CÁLCULO DE VOLÚMENES Calcula el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son cm 5 cm cm. V = 5 = 65 cm 5 Cuál es el volumen de un cubo de cm de arista? V = = 78 cm 6 La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden, cm y 6,8 cm. La altura del prisma es de dm. Halla su volumen. A base =, 6,8 = 8, cm V = 8, 0 = 768, cm 7 Un paralelepípedo tiene unas bases en forma de rombo cuyas diagonales miden 7 dm y dm. La altura del paralelepípedo es de, m. Halla su volumen. V = = 68 dm 7 Unidad. Medida del volumen

14 Pág. 5 8 Halla el volumen de un cilindro de 0 dm de radio de la base y 0 dm de altura. y V = π 0 0 = 6 80 dm 9 Halla el volumen de una esfera de 5 cm de radio. V = π 5 = 65 6,67 cm 0 Halla el volumen de un cono de 6 dm de radio de la base y 5 cm de altura. V = π 60 5 = cm Halla el volumen del siguiente tronco de cono: cm 5 cm 0 cm 5 cm 5 cm x cm 5 x = 0 x = 9 cm V = (π 0 π 9 5) = 7,7 cm Comprueba que el volumen del cilindro es igual a la suma de los volúmenes de la esfera y el cono: 0 cm 0 cm 0 cm 0 cm 0 cm V esfera = π 5 = 0 cm V cono = π 5 0 = cm V cilindro = π 5 0 = 95 cm V esfera + V cono = 95 cm = V cilindro Unidad. Medida del volumen

15 Pág. 6 Halla el volumen de las siguientes figuras: dm cm BASES cm 0 cm A base = ( + 0) = 87 cm V = 87 0 = 5 60 cm a) 5 cm b) cm cm 8 cm 5 cm a) V = π 5 = cm b) V = 8 5 = 0 cm 5 a) b) 6 cm 0 cm cm 8 cm a) x = x + 0 8x = 6x + 60 x = 60 x = 0 cm 6 8 V cono grande = π 8 0 = 679,7 cm x V cono pequeño = π 6 0 = 0, cm 0 cm 6 cm 8 cm V tronco de cono = 679,7 0, = 59,07 cm b) V = (/) π 5,5 = 8,8 cm Unidad. Medida del volumen

16 Pág. 7 6 a) b) 0 dm cm dm 6 dm cm a) V = 0 6 = 80 dm b) V = π = 9, cm 7 a) b) 0 cm 6 cm 5 cm cm 5 cm a) V = ( ) = 0 cm b) 60 = 0 9 V = π = 0,0 cm 9 PÁGINA 0 Teniendo en cuenta las medidas señaladas, halla el volumen de las siguientes figuras: 8 cm 0 cm V = π 0 + π = 0 799,6 cm Unidad. Medida del volumen

17 Pág cm cm V = π 0 + π = 88,88 cm 0 0 cm 8 cm V = π 5 π 9 = ,0 = 5 58,96 cm 0 cm 5 cm 8 cm V cilindro = π 5 5 = 77,5 cm V cono = π 0 5 = 570 cm 5 cm 0 cm x = x + 8 0x = 5x + 0 5x = 0 x = 8 cm 5 0 V tronco de cono = (π 0 6 π 5 8) = 65, cm V total = 77, , =,8 cm x 8 cm 5 cm 0 cm Unidad. Medida del volumen

18 Pág. 9 PROBLEMAS Halla el volumen de una habitación que mide 6 m,8 m,6 m. Cuántas duchas podrías darte con el agua que cabe en la habitación suponiendo que gastas 0 l de agua en cada ducha? V = 6,8,6 = 59,8 m 59,8 m = dm = l : 0 = 9 Se podría dar 9 duchas. Un aljibe de base rectangular de 6, m,8 m tiene una profundidad de,8 m y está lleno hasta los / de su volumen. Se sacan 0 hectolitros. Qué altura alcanzará el agua? V aljibe = 6,,8,8 = 6,76 m V = 6,76 = 87,55 m = 87,55 kl = 875,5 hl 875,5 hl 0 hl = 55,5 hl = 5,55 m V agua = 5,55 m = 6,,8 h h = El agua alcanzará una altura de,0 m. 5,55 6,,8 =,0 m Calcula el volumen de hormigón que se ha necesitado para hacer este túnel: 8 m 0 m 0 m V cilindro grande = π 5 0 = 570 m V cilindro pequeño = π 0 = 00,8 m V hormigón = = 8,6 m ,8 Unidad. Medida del volumen

19 Pág. 0 5 Para medir el volumen de una piedra pequeña procedemos del siguiente modo: en una vasija cilíndrica echamos agua hasta la mitad, aproximadamente. Sumergimos la piedra y sube el nivel mm. Cuál es el volumen de la piedra? DATOS DE LA VASIJA: Diámetro exterior: 9 cm Diámetro interior: 8, cm Altura: 5 cm (Usa solo los datos que necesites). Radio interior =, cm V piedra = π,, =,86 cm 6 Con una barra cilíndrica de oro de 5 cm de larga y 5 mm de diámetro se fabrica un hilo de / mm de diámetro. Cuál es la longitud del hilo? Radio del hilo = mm = 0,5 mm 8 Radio de la barra =,5 mm Largo de la barra = 5 cm = 50 mm π,5 50 = π 0,5 l (donde l es la longitud del hilo) l = π,5 50 =,5 50 = mm = 60 m π 0,5 0,5 7 Un sótano cuya superficie es de 08 m se ha inundado. El agua llega a,65 m de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca 6 hl por minuto. Cuánto tiempo tardará en vaciarlo? Volumen de agua = 08,65 =, m = hl : 6 = 57 minutos = 9 h min La bomba tardará en vaciar el sótano 9 h min. 8 Una pared debe tener 7,5 m 5,6 m y un grosor de 0 cm. Cuántos ladrillos de 5 cm 0 cm 6 cm serán necesarios si en su construcción el cemento ocupa un 5% del volumen? Volumen de la pared = 7,5 5,6 0, =,6 m Volumen de la pared sin cemento =,6 0,85 = 0,7 m Unidad. Medida del volumen

20 Pág. Volumen de un ladrillo = 0,5 0, 0,06 = 0,0009 m 0, 7 Número de ladrillos = = 900 0, Una columna de basalto tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base mide 5 cm. La altura de la columna es de,95 m. Halla su peso sabiendo que m de basalto pesa 85 kg. a l h l = 5 cm h =,95 m a = 5 7,5 = cm A base = 6 5 = 585 cm Volumen = = cm = 0,7575 m Peso = 0, = 9 kg PÁGINA 0 La base de una pirámide regular es un hexágono de 5 cm de lado. Su altura es de 0 cm. Halla su volumen. Partimos esta pirámide por un plano paralelo a la base que corta a la altura en la mitad. Halla el volumen de cada una de las dos partes resultantes. Volumen de la pirámide entera: a = 5 7,5 = cm Volumen = = cm Volumen de la pirámide y del tronco de pirámide resultantes: La base de la pirámide inicial y la base de la pirámide pequeña generada por el plano son semejantes (método de proyecciones). Por tanto, sus lados serán proporcionales. Unidad. Medida del volumen

21 Pág. La pirámide pequeña será una pirámide de altura 0 cm, lado de la base 5 cm y apotema cm. Volumen de la pirámide pequeña: 6 5/ / 0 = = 7,5 cm 8 Volumen del tronco de cono = ,5 = 58,75 cm Para medir el volumen de una piedra más grande que la del ejercicio 5, depositamos el mismo recipiente lleno de agua dentro de una gran fuente cilíndrica vacía. Echamos la piedra dentro de la vasija y el agua derramada sube, cm. Halla el volumen de esta otra piedra sabiendo que el diámetro interior de la fuente es de cm. Diámetro exterior de la vasija = 9 cm radio =,5 cm Diámetro interior de la fuente = cm radio = cm Volumen de la base (diferencia de círculos) = π π,5 = 88,6 cm Volumen del agua = 88,6, = 89,78 cm El volumen de la piedra es de 89,78 cm. PROBLEMAS DE ESTRATEGIA l l l Unidad. Medida del volumen

22 Pág. Luis, Lucio y Leo quieren regar sus campos con el agua del depósito grande (los otros dos están vacíos). Han acordado que Luis se llevará el 50%, Lucio el 5% y Leo el resto. Por supuesto, tienen bombas para trasegar agua, pero no disponen de medidas. Solo saben la capacidad de los tres depósitos. Cómo lo harán? En el momento que se sepa la cantidad que corresponde a alguno de ellos, esta puede verterse al campo correspondiente. Luis se llevará el 50% l Lucio se llevará el 5% l Leo se llevará el 5% l Llamamos A al depósito de l, B al de l y C al de l. Se trasvasan l del depósito C al B y, a continuación, l del B al A. Así, tendrán l en B, con los que puede regar, por ejemplo, Lucio. Ahora tienen l en C y en A. Se pasan los l de A a B y l de C a B. Ahora en A no hay nada, en B hay l y en C hay l. Se pasan litros de B a A, con lo que vuelven a tener l en B, los que le corresponden a Leo. Y luis ya tiene sus litros, los de A y los de C. Qué porción de la caja ocupa cada uno de los siguientes tetraedros? Para formar el tetraedro marcado en la caja cúbica, hay que eliminar del cubo estos cuatro cuerpos marcados en rojo: Unidad. Medida del volumen

23 Pág. Cada uno de ellos es una pirámide de base triangular. Si el cubo tiene arista a, la base de la pirámide tiene área a y su altura es a. Su volumen, por tanto, es: V pirámide = a a = a 6 El volumen del tetraedro será entonces: V tetraedro = a a = a a = a 6 Es decir, del volumen de la caja cúbica. Unidad. Medida del volumen