Aplicaciones. y D f.x/ a Figura A

Transcripción

1 APÍTULO Alicciones. Áre de un región ln L integrl definid de un función f./ continu en un intervlo Œ; mide el áre jo l gráfic de f./, sore el eje entre ls rects verticles en. f./ Figur A Se elic continución como hllr el áre de un región comrendid entre ls gráfics de dos funciones continus, digmos f./ g./ como en l siguiente figur: R g./ f./. cnek.zc.um.m: / /

2 álculo integrl Usndo l ditividd del áre odemos resolver fácilmente este rolem. En rimer lugr hce flt determinr los untos en donde ls curvs f./ & g./ se intersecn; suongmos que éstos son sólo dos untos,, ls soluciones de l ecución f./ g./. Entonces l región jo l curv f./, sore el eje entre ls rects se uede descomoner como l unión de dos regiones que no se trsln, un de ells R l otr es l región jo g./, sore el eje entre ls verticles como sigue: R g./ > R g./ f./ f./ En términos de áres, est descomosición se escrie sí: f./ d A.R/ g./ d; o equivlentemente si trsonemos l integrl de g./ l otro ldo de l iguldd: o ún mejor: A.R/ f./ d g./ d Z A.R/ Œf./ g./ d (.) En est sencill fórmul h que tener cuiddo en el orden en que se escrien ls funciones en el integrndo, siemre se rest l función cu gráfic s or dejo de l función cu gráfic está rri. Otro detlle imortnte es el de los límites de integrción, éstos se deen clculr resolviendo l ecución f./ g./. Vemos lgunos ejemlos: Ejemlo.. lculr el áre de l región contenid entre ls gráfics de l ráol l rect. H Siemre es recomendle en este todos los rolems similres comenzr hciendo un gráfic de ls funciones que cotn l región cu áre desemos clculr.

3 . Áre de un región ln Se uede ver en l figur que est región qued dejo de l rect sore l ráol; un región de este tio se llm sector rólico. En l gráfic elord se reci que el áre de l región es: Áre. /d d. /d; ues l rect está or encim de l ráol. Sin emrgo necesitmos encontrr los límites de integrción, lo que hremos resolviendo l ecución: f./ g./ ) ; o equivlentemente,, que se uede fctorizr como. /. /. Ls soluciones son entonces,. Por consiguiente, el áre se clcul con l integrl: Áre Œ ( d )./././ (. /. / 8 8. / ) 9 : u : Ejemlo.. eterminr el áre de l región comrendid entre los rcos de ls ráols 8,. H Hciendo l gráfic de ls funciones que roden l region odemos notr que es el orde suerior 8 es el inferior. 8 Buscmos los etremos de integrción resolviendo l ecución: f./ g./ ) 8 ) 6 ) 6I un ríz es evidentemente, r encontrr otr solución cncelmos : 6 ) 6 : Vemos de este modo que los etremos de integrción son, sí que el áre se clcul como ( ) A.R/ d 8 8././ u :

4 álculo integrl Tnto en l mner como resentmos l fórmul (.) r el cálculo de áres como en los ejemlos revios hemos utilizdo funciones cus gráfics están or encim del eje. Est no es un condición imortnte en relidd, lo único que se necesit r licr l fórmul (.) es tener ien clculdos los limites de integrción l osición de ls gráfics de f./ g./, cuál está encim cuál dejo. Pr que el lector recie est oservción, suongmos que ls gráfics de f./ g./ se encuentrn dejo del eje : R g./ f./ Si trsldmos verticlmente ls gráfics de ms funciones, sumndo en ms un constnte suficientemente grnde tendrímos l siguiente situción: QR g./ f./ L región R se trsldó íntegrmente QR, sin deformrse sí su áre no cmió. Además, A.R/ A. QR/ Œ.f./ / Œf./ g./ d:.g./ / d Ejemlo.. etermine el áre de l región limitd or el eje l ráol. H L gráfic de l ráol se resent en l figur, l región está dejo del eje sore l gráfic de. El eje se uede descriir como l gráfic de, sí que en el integrndo tendremos Œ. / d los limites de integrción se otienen resolviendo: ). / ) & :

5 . Áre de un región ln on est informción, el áre que desemos determinr es: A.R/ Œ. / d 8 u :. / d Generlizndo un oco el ejemlo nterior, r culquier función g./ en un intervlo Œ;, el áre jo el eje sore l gráfic de g./ será: g./ A.R/ Esto se uede interretr tmién como Œ g./ d g./ d: g./ d A.R/; de modo que l integrl de l función mide un áre con signo, tomndo como áre ositiv l que está sore el eje como áre negtiv l que se encuentr jo el eje. Z Ejemlo.. Interretr l integrl. / d como un áre con signo. H L gráfic de se resent en l siguiente figur:

6 6 álculo integrl omo se trt de un función imr, l gráfic es simétric con resecto l origen. Notemos que l rte de l curv en Œ ; es simétric con l rte en Œ;, sí que el áre que encierrn junto con el eje mos trmos son igules en mgnitud, ero de signo contrrio. En relidd,. / d ; Z como se uede ver evlundo directmente. Podemos concluir que. / d tiene el vlor del áre jo l curv sore el eje entre. omromos esto clculndo ms integrles: (. / d (. / d ) ) (. / (. / ) ) ( ( ) 9 : ) 9 Podemos elotr el ejemlo nterior un oco más r introducir un ide sore lo que se dee hcer cundo h vris intersecciones entre ls curvs que limitn l región. Ejemlo.. lculr el áre de l región encerrd entre l gráfic de l función hst. el eje, desde H No h necesidd de grficr est vez, ues l gráfic de l función es l mism del ejemlo nterior. Lo que cmi en el cálculo resultdo que hremos hor se dee que uscmos un áre, no l integrl solmente; en el cso resente no se cnceln ls áres de de, ues l integrl es un áre con signo, ero el áre siemre es ositiv. icho lo nterior, clculmos el áre edid integrndo en tres trmos, como sigue: Áre Œ. / d Œ. / d Œ. / di El en los integrndos de l fórmul nterior reresent l eje : cundo l función es >, restmos, cundo < entonces l le restmos l función. Simlificndo hciendo los cálculos en l fórmul, otenemos ( ) ( ) Áre ( (. /. / ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( 6 ) ) ( ) ) : Este resultdo difiere del ejemlo nterior en que ls áres de los sectores de cncelrse se sumron; nótese que ms son igules, or l simetrí de l función. de en vez de Podemos generlizr l ide del ejemlo nterior como sigue: si ls funciones f./, g./ tienen más de intersecciones, entonces el áre limitd or sus gráfics se otiene integrndo sore cd intervlo entre dos cruces de ls gráfics f./ g./ o ien g./ f./, deendiendo de cuál de ells qued or encim cuál or dejo en dicho intervlo. Por ejemlo, si tenemos l siguiente gráfic: 6

7 . Áre de un región ln g./ f./ c Entonces el áre somred es A.R/.f./ g.// d c.g./ f.// d: Por comodidd, r revir en l escritur de l fórmul no dr muchs elicciones odemos usr l función vlor soluto: recordemos que { u; si u j u j u; si u < sí que l licr est función l diferenci f./ g./ se tiene: { f./ g./; si f./ g./ j f./ g./ j.f./ g.//; si f./ g./ < { f./ g./; si f./ g./ g./ f./; si f./ < g./ sí escriiremos l fórmul r el cso en que f./ g./ tengn vris intersecciones < < < : : : < n como sigue: g./ f./ 6 n Áre.R/ n j f./ g./ j d: L fórmul se ve mu simle, ero l integrl del ldo derecho se dee rtir en un sum de integrles con el integrndo.f./ n n g.//, con el signo roido.

8 8 álculo integrl Ejemlo..6 eterminr el áre de l región limitd or ls gráfics de ls funciones f./ g./ 8: H L gráfic de ms funciones l región entre ells se muestr en l figur. 8 Ls intersecciones de ls gráfics se determinn resolviendo f./ g./, esto es, 8 ). /. / ) ) o ien ) ) o ien I Los corresondientes vlores de ls ordends son r cundo, es decir, los untos de intersección de ls gráfics son. ; /;. ; /;. ; /.; /. En los intervlos l gráfic de f./ qued or dejo de l de g./, en el intervlo sucede lo contrrio. En consecuenci, el áre se clcul como Áre.g./ j f./ g./ j d f.// d.f./ Œ. 8/. / d Œ 6 ( ) 8 8 d Œ ( g.// d.g./ f.// d Œ. /. 8/ d 6 8 d Œ 6 Œ. 8/. / d 8 d ) ( ) 8 8 8

9 . Áre de un región ln 9 (. /. / 8. ) (. / / (. ) / ( ( (. / 8. / 8 ) ( ) 6 6 ) ( ) ( ) ( ) (. /. / 8. /. / 8 ) ) (. /./ 8./. / 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ) 96 Nótese que los cálculos nteriores udieron herse simlificdo de her usdo l ridd simetrí de ls gráfics. En relidd hrí stdo con clculr áre r otener el mismo resultdo. Ejercicios.. Œ 6 8 d 6 : Œ 6 8 d:. eterminr el áre delimitd or l gráfic de ls funciones f./. / g./.. eterminr el áre delimitd or l gráfic de ls funciones f./. /. /. / el eje.. eterminr el áre delimitd or l gráfic de ls funciones f./ g./.. eterminr el áre delimitd or l gráfic de ls funciones f./ j j g./.. eterminr el áre delimitd or l gráfic de ls funciones f./ g./. 6. eterminr el áre delimitd or l gráfic de ls funciones g./ sen h./ sen en el intervlo Œ;. lculr el áre de l región delimitd or l gráfic de l curv e ls rects &. 8. lculr el áre de l región delimitd or l gráfic de ls curvs e & e l rect. 9. Encontrr el áre de l región delimitd or l gráfic de l curv e ls rects &.. Relice el osquejo de l región delimitd or ls curvs cos./ & cos./ en el intervlo Œ;. lculr el áre de dich región.. En el lno se reresent el osquejo de l gráfic de l función imr f./. El áre de tods ls regiones somreds es de 6u. 9

10 álculo integrl lculr:.. f./d f./d c. d. f./d f./d e. f. f./d f./d. onsiderr el osquejo de l gráfic de l función r h./ que se muestr continución: Otener ls siguientes integrles si: h./d 8 & h./d 6:.. h./ d h./ d c. d. h./ d h./ d e. h./ d. do el osquejo de l gráfic de l función or rtes g./: g./ 8 onsiderr que: g./d ; g./d 9 & g./d : lculr:

11 . Áre de un región ln.. g./ d g./ d c. d. 8 g./ d g./d 8 g./ d e. g./d g./ d. onsiderr el osquejo de l gráfic de l función imr or rtes h./ que se muestr continución. h./ c c Otener:.. c. c h./d c h./d h./ d h./d h./ d. h./d c h./ d. h./ d. d. e. c c h./d h./d c h./ d. c h./d h./ d.. g./ El osquejo resentdo es de l gráfic de l función imr g./. El áre de l región somred es de 8u. lculr ls siguientes integrles:. g./ d. g./ d c. g./ d d. g./ d 6.

12 álculo integrl g./ El lno muestr el osquejo de l gráfic de l función imr f./. El áre de l región somred es de 8u. lculr ls siguientes integrles:. f./d. f./d c. f./d d. f./d. En el lno se resent el osquejo de l gráfic de l función g./. El áre de tods ls regiones somreds es de u. g./ 6 lculr:.. 6 g./ d g./ d c. d. 6 6 g./ d g./ d e. f. g./ d g./ d g. h. g./ d g./ d 8. En el siguiente lno se muestr el osquejo de l gráfic de l función r h./. El áre de l región somred es de 6. /u.

13 . Áre de un región ln g./ 8 8 Otener el resultdo de ls siguientes integrles:.. c. 8 h./ d h./ d h./ d d. e. f h./ d h./ d h./ d g. h. i. 8 8 h./ d h./ d h./ d 9. El áre de ls regiones somreds es de u. ; / 6 Otener el resultdo de ls siguientes integrles:.. g./ d g./ d c. d. 6 g./ d g./ d e. f. 6 g./ d g./ d. onsiderndo l gráfic de l semi-circunferenci c./, clculr ls siguientes integrles. c./ d. 6 c./ d c. 6 c./ d d. 6 c./ d. onsiderndo el osquejo de l gráfic de un circunferenci f./ con un rdio de u,

14 álculo integrl f./ clculr ls siguientes integrles:. f./d. f./d c. f./d d. f./d