RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES. 2.- La suma de dos números es 15 y su producto es 26. Cuáles son dichos números?

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1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES 1.- El perímetro de un rectángulo es 4 cm y su área es 0 cm. Cuáles son sus dimensiones? Sea = altura ; y = base Como perímetro es 4: + y = 1 y = 1 Como el área es 0 : y = 0 Planteamos la ecuación: (1 ) = = = 10 y1 = 1 ± ± = 0 = = = = = y = 10 Las dimensiones son 10.- La suma de dos números es 15 y su producto es 6. Cuáles son dichos números? Sean, y ambos números La suma es 15: + y = 15 y = 15 Su producto es 6 : y = 6 Planteamos la ecuación: (15 ) = = = 13 y1 = 15 ± ± = 0 = = = = = y = 13 Los números son 3 y Halla dos números cuya suma es 14 y la de sus cuadrados 100. Sean, y ambos números La suma es 14: + y = 14 y = 14 La suma de sus cuadrados es 100 : + y = 100 Planteamos la ecuación: + (14 ) = = = 0 Los números son 8 y = = 8 y1 = 6 14 ± ± = = = 1 14 = = 6 y = El área de un triángulo rectángulo es de 60 cm y la suma de los catetos es 3 cm. Halla la medida de los lados. Sea = base e y = altura La suma de sus catetos es 3 : + y = 3 y = 3 - El área es 60 : y = 60 y = 14 Planteamos la ecuación: (3 ) = = = = 0 y1 = 3 3 ± ± 17 = = = = = 3 y = 0 Los dos catetos miden 3 y 0 cm La hipotenusa mide: = 0 cm Los lados miden 3, 0 y 0 cm Luisa Muñoz 1

2 5.- La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 145. Calcula dichos números. Sean, + 1 los dos números consecutivos + ( + 1) = = = = = 8 y1 = 9 1 ± ( 1) 4 1 ( 7) 1± 17 = = = = = 9 y = 8 Los números son (8,9) y (-9, -8) 6.- El perímetro de un triángulo isósceles mide 16 cm y la altura 4 cm. Halla la medida de los lados de dicho triángulo. Sean = lado desigual, y = lado igual El perímetro es 16: + y = 16 + y = 8 y = 8 4 y La altura es 4: 4 + = y 16 + = y Planteamos la ecuación: 16 + = (8 ) 16 + = = 48 = 3 = 6, y = 8 3 = 5 Los lados miden 6, 5 y 5 cm 7.- Calcular dos números tales que su producto es 63 y la diferencia de sus cuadrados 3. Sean e y los dos números Producto es 156: y = 63 Diferencia de sus cuadrados es 5: y = = 0 z + 3z 3969 = 0 Planteamos la ecuación: 63 = z1 = = 49 1 = 7 y1 = 9 3 ± ( 3969) 3 ± 130 z = = = z = = 81 Los dos números son 7 y Calcular el área de un rectángulo de perímetro 8 cm y cuya diagonal mide 10 cm. Sea = base e y = altura Perímetro es 8: + y = 14 y = 14 Planteamos la ecuación: (14 ) + = 100 Diagonal es 10: y + = = = 0 El área del rectángulo es 48 cm = = 8 y1 = 6 14 ± ± = = = 1 14 = = 6 y = 8 Luisa Muñoz

3 9.- Hallar los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm y que la diferencia entre sus catetos es 7 cm. Los catetos son, +7 La hipotenusa es 13: 13 = ( + 7) = = 0 Los catetos son 5 y 1 cm = = 5 7 ± ( 7) 4 1 ( 60) 7 ± 17 = = = = = Hallar la base y la altura de un rectángulo, sabiendo que su diagonal mide 50 cm y que la base tiene 10 cm más que la altura. Sea = altura, + 10 = base La hipotenusa es 50: ( + 10) + = = = 0 La base es 40 cm y la altura es 30 cm = = ± ( 10) 4 ( 100) 10 ± 70 = = = = = Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 196. Los números son, 78 Producto es 196: (78 ) = = = 0 Los números son 54 y = = ± ± 30 = = = = = La base de un rectángulo es 6 m mayor que la altura. Si la altura disminuye en m y la base aumenta en 4 m, el área del nuevo rectángulo es 8 m mayor que el del primero. Calcula sus dimensiones. ALTURA BASE ÁREA 1º RECTÁNGULO + 6 ( + 6) º RECTÁNGULO + 10 ( + 10)( ) El º área aumenta en 8 m : ( + 10)( ) = ( + 6) = = 8 = 14 La base mide 0 y la altura 14 Luisa Muñoz 3

4 13.- Calcular dos números positivos sabiendo que la diferencia es 1 y la suma de sus cuadrados es 170. Sean los números, 1 + La suma de sus cuadrados es 168: + (1 + ) = = = = 0 Los números son 1 y = = 1 1 ± ( 1) 4 ( 13) 1 ± 14 = = = = = Un rectángulo mide de perímetro 8 cm y de área 4 cm. Hallar la longitud de sus lados. Sean = altura ; y = base Perímetro es 8: + y = 14 y = 14 Área es 4: (14 ) = 4 14 = = = = 1 y = 14 1 = 14 ± ± 10 = = = = = y = 14 = 1 Las dimensiones son Hallar dos números naturales sabiendo que su diferencia es 3 y su producto es 108. Sean los números, 3 + Su producto es 108: (3 + ) = = = = = 9 3 ± ( 3) 4 ( 108) 3 ± 1 = = = = = 1 Los números son (9, 1) 16.- El cateto menor de un triángulo mide 11 cm y la hipotenusa 1 cm más que el otro cateto. Halla los lados. Sean los lados del triángulo 11,, + 1 Al ser rectángulo, se verifica el teorema de Pitágoras: ( + 1) = = + 11 = 10 = 60 Los lados son 11, 60 y 61 cm Luisa Muñoz 4

5 17.- La diagonal de un rectángulo mide 30 cm y las dimensiones de los lados son proporcionales a 3 y 4. Halla los lados. Sean los lados 3, 4 La diagonal mide 30 cm: (3) + (4) = = = 900 = 36 = 6 Los lados miden 18 y 4 cm 18.- La diagonal de un rectángulo mide 6 cm y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo. Sean = altura ; y = base Perímetro es 34: + y = 34 y = 34 Diagonal es 6: + (34 ) = = = = = = 4 y = 34 4 = ± ± 14 = = = = = 10 y = = 4 Las dimensiones son 4 10 cm El perímetro de un triángulo rectángulo mide 36 cm y uno de los catetos 1 cm. Halla los lados restantes. Sea = cateto e y = hipotenusa El perímetro es 36: + y + 1 = 36 y = 4 Al ser triángulo rectángulo se verifica: (4 ) = = = 48 = 9 y = 15 Los lados miden 15 y 9 cm 0.- Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de anchura uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m. Área del jardín: = 1700 m 34 m 50 m Área rectángulo grande: (34 + )(50 + ) Área del jardín: (34 + )(50 + ) 1700 = = = = = = 3 4 ± ( 4) 4 ( 135) 4 ± 48 = = = = = 45 El ancho del camino es 3 m Luisa Muñoz 5