Integrales de línea Integral de línea de un campo escalar

Transcripción

1 Lección 4 Integrles de líne 4.1. Integrl de líne de un cmpo esclr Definición. Se f : Ω R un cmpo esclr continuo, con Ω R n, y se : [,b] Ω un cmino regulr trozos. L integrl de líne de f lo lrgo de es, por definición: b f dl = f t) ) t) dt Existenci de l integrl. Está segurd, y que el integrndo es un función cotd en [,b] y continu slvo, lo sumo, en un número finito de puntos pr los que ni siquier concretmos el vlor que tom en ellos dich función. De hecho, si hcemos un prtición = t 0 < t 1 <... < t n = b del intervlo [,b] de form que, pr k = 1,2,...,n, l restricción de l subintervlo [t k 1,t k ] se de clse C 1, podemos escribir n tk f dl = f t) ) t) dt, k=1 t k 1 obteniendo un sum finit de integrles de funciones continus. Resltmos que l cmpo esclr f sólo se le exige estr definido y ser continuo sobre l curv Γ recorrid por el cmino de integrción. Hbitulmente f tendrá propieddes de regulridd mucho mejores, siendo por ejemplo diferencible en un bierto Ω que conteng l curv Γ. donde Csos prticulres. En el cso n = 3, tendremos b f dl = f xt),yt),zt) )[ x t) 2 + y t) 2 + z t) 2] 1/2 dt x = xt); y = yt); z = zt) t b) son ls ecuciones prmétrics del cmino. En el cso n = 2 tendremos solmente: b f dl = f xt),yt) )[ x t) 2 + y t) 2] 1/2 dt 22

2 4. Integrles de líne 23 Ejemplo. Consideremos el cmpo esclr f definido en R 3 por f x) = x 2 x R 3 ) y el cmino helicoidl ddo por: t) = cost, sent, t ) 0 t 4π). En este cso tenemos clrmente f t) ) = cos 2 t + sen 2 t + t 2 = 1 + t 2 0 t 4π) y tmbién con lo cul t) = sent, cost, 1 ), t) = 2 f dl = 4π 0 0 t 4π), 1 +t 2 ) 2dt = 4π ) π2. 3 Interpretción. Cundo el cmpo esclr que se integr es constntemente igul 1 sobre l curv recorrid, l integrl de líne coincide obvimente con l longitud del cmino. A prtir de quí podemos intuir, muy informlmente, otrs situciones más generles. En el cso n = 2, si el cmpo esclr f no tom vlores negtivos, podemos interpretr l integrl de líne como el áre de un muro construido tomndo como bse l curv Γ recorrid por el cmino y con ltur vrible, de form que, pr cd t [,b], l ltur del muro en el punto t) es precismente f t) ). Est ide generliz obvimente l interpretción de l integrl simple de un función positiv como el áre comprendid bjo l gráfic de l función. Pr n = 2 o n = 3, tmbién podemos interpretr que sobre l curv Γ recorrid por tenemos un distribución linel de ms pensemos por ejemplo en un cble con l form de dich curv), de mner que f t) ) es l densidd linel en el punto t). L integrl de líne nos d entonces l ms totl. Con respecto mbs interpretciones hy que hcer un slvedd: sólo son corrects cundo, por decirlo de mner intuitiv, el cmino recorre l curv Γ un sol vez. L formulción riguros de est ide puede hcerse medinte l noción de cmino simple, que estudiremos más delnte Integrl de líne de un cmpo vectoril Definición. Se hor F : Ω R n un cmpo vectoril continuo en un conjunto Ω R n y : [,b] Ω un cmino regulr trozos. L integrl de líne de F lo lrgo de es, por definición: b ) F t) t) dt L existenci de est integrl está segurd por ls misms rzones comentds en el cso de un cmpo esclr.

3 4. Integrles de líne 24 Ejemplo. Consideremos el cmpo vectoril definido en R 3 por y el cmino helicoidl Fx) = x x R 3 ) x = cost ; y = sent ; z = t 0 t 4π). Tenemos entonces F t) ) t) = cost i + sent j + t k sent i + cost j + k = cost sent + sent cost + t = t 0 t 4π), con lo que 4π 0 t dt = 8π 2. Notción clásic. Se F = P,Q,R) un cmpo vectoril en el espcio, continuo sobre l curv recorrid por un cmino regulr trozos de ecuciones prmétrics x = xt); y = yt); z = zt) t b). Se tiene entonces, por definición: b [ P xt),yt),zt) ) x t) + Q xt),yt),zt) ) y t) + R xt),yt),zt) ) z t) ] dt, lo que explic que frecuentemente se use l siguiente notción: Px,y,z)dx + Qx,y,z)dy + Rx,y,z)dz = Pdx + Qdy + Rdz. Análogmente, pr un cmpo vectoril en el plno F = P,Q), que se continuo sobre l curv recorrid por un cmino regulr trozos con ecuciones prmétrics x = xt); y = yt) t b), podemos escribir Pdx + Qdy = Px,y)dx + Qx,y)dy = b Ejemplo. Consideremos l integrl de líne x 2 dx + xydy + dz) donde el cmino tiene ecuciones [ P xt),yt) ) x t) + Q xt),yt) ) y t) ] dt. x = t ; y = t 2 ; z = 1 0 t 1).

4 4. Integrles de líne 25 El cmpo vectoril que integrmos viene ddo por Fx,y,z) = x 2 i + xyj + k x,y,z) R 3 ) y usndo que, pr cd t [0,1], se tiene x t) = 1, y t) = 2t y z t) = 0, deducimos: x 2 dx + xydy + dz) = 1 0 t 2 + 2t 4 )dt = Interpretción. Supongmos que el cmpo vectoril F es un cmpo de fuerzs en el plno o en el espcio, pongmos por cso un cmpo grvittorio o un cmpo eléctrico. Ello signific que un unidd de ms o de crg eléctric positiv situd en un punto x está sometid un fuerz Fx). Si un prtícul con es crg o ms unidd recorre un cmino regulr trozos), l integrl F.dl represent el trbjo relizdo por el cmpo en ese recorrido. Relción entre ls integrles de líne. Si : [,b] R n es un cmino suve, es decir, es regulr con t) 0 pr todo t [,b], podemos definir Tt) = t) t) t b), que es un vector unitrio tngente l curv Γ recorrid por el cmino en cd punto. Si hor F es un cmpo vectoril continuo sobre dich curv tendremos: b F t) ) Tt) t) dt expresión que recuerd l integrl de líne de un cmpo esclr. Pr definir correctmente dicho cmpo esclr necesitmos hcer hipótesis dicionles sobre el cmino que no vmos comentr, unque no son difíciles de divinr. Así pues, en cierts condiciones existirá un cmpo esclr continuo f : Γ R que verific: f t) ) = F t) ) Tt) t b) y, por tnto, f dl. En resumen, bjo cierts condiciones sobre el cmino, tod integrl de líne de un cmpo vectoril coincide con l integrl de líne de un cmpo esclr, y es lógico nlizr l relción entre mbos cmpos. Observmos que, pr cd t [,b], el vector f t) ) Tt) es l proyección ortogonl de F t) ) sobre el vector Tt), es decir, l componente de F t) ) en l dirección tngencil l curv Γ en el punto t). Por tnto, podemos ver el cmpo esclr f como l coordend del cmpo vectoril F en dich dirección tngencil l curv Γ en cd punto de l mism. En generl, unque el cmino no cumpl ls condiciones que justifiquen el rzonmiento nterior, sigue siendo útil interpretr l integrl de líne sobre de un cmpo vectoril F como integrl de líne del cmpo esclr que se obtiene l tomr l coordend de F en l dirección tngencil l cmino en cd punto.

5 4. Integrles de líne Propieddes de ls integrles de líne Linelidd. Ls integrles dependen linelmente del cmpo que se integr. Más concretmente, se verific que α f + βg)dl = α f dl + β gdl pr culquier cmino regulr trozos en R n, culesquier cmpos esclres f y g que sen continuos sobre l curv recorrid por el cmino y culesquier α,β R. Análog propiedd se tiene pr cmpos vectoriles: αf + βg).dl = α F.dl + β G.dl Continuidd. Ls integrles de líne tmbién dependen de mner continu del cmpo que se integr; intuitivmente, pequeñs perturbciones del cmpo dn lugr pequeñs vriciones en l integrl. Ello es consecuenci de ls desigulddes que vmos presentr. Se : [,b] R n un cmino regulr trozos que recorre un curv Γ, se f un cmpo esclr continuo sobre Γ y supongmos que f está cotdo en Γ por un constnte k, es decir, k máx{ f x) : x Γ} = máx { f t) ) : t b }. Entonces se tiene, clrmente, f dl k L) Análogo resultdo se tiene pr un cmpo vectoril F que se continuo sobre Γ. De hecho, podemos considerr el cmpo esclr F, que tmbién es continuo sobre Γ, y l desiguldd de Cuchy-Schwrtz nos permite escribir: F.dl F dl. Nturlmente hor, de l estimción se deduce que k máx{ Fx) : x Γ} = máx { F t) ) : t b }, F.dl k L). Aditividd. Ls integrles de líne son ditivs con respecto l cmino de integrción, en el sentido de que l recorrer consecutivmente dos cminos, ls integrles se sumn. Más concretmente, sen : [,b] R n y : [c,d] R n cminos regulres trozos consecutivos, esto es, verificndo que b) = c), y consideremos el cmino sum. Si f y F son, respectivmente, un cmpo esclr y un cmpo vectoril, mbos continuos sobre l unión de ls curvs recorrids por y, se verific que: f dl = f dl + f dl y F.dl + F.dl.

6 4. Integrles de líne 27 Pr el cmino opuesto, el comportmiento de mbs integrles no es el mismo, l de un cmpo esclr no se lter l cmbir el sentido de recorrido, mientrs que l de un cmpo vectoril cmbi de signo. Más concretmente, si f es un cmpo esclr y F un cmpo vectoril, mbos continuos sobre l curv recorrid por un cmino regulr trozos, se tiene: f dl = f dl pero F.dl. op op Independenci de l prmetrizción. Ls integrles de líne no se ltern l sustituir el cmino de integrción por otro equivlente en el sentido que vmos explicr. Se : [,b] R n un cmino regulr trozos y se ϕ : [c,d] [,b] un función biyectiv, creciente y de clse C 1. Consideremos el cmino regulr trozos : [c,d] R n ddo por = ϕ, esto es, s) = ϕs) ) pr c s d. Suele decirse que se h obtenido de medinte un cmbio de prámetro. Nótese que y recorren l mism curv, por lo que geométricmente pueden considerrse equivlentes, unque desde un interpretción físic podrín describir movimientos diferentes. Observemos por ejemplo, en el cso n = 2, que si ls ecuciones prmétrics de vienen dds por x = xt); y = yt) t b), ls de serín: x = x ϕs) ) ; y = y ϕs)) lo que pone clrmente de mnifiesto el cmbio de prámetro. c s d), Pues bien, volviendo l cso generl, si f es un cmpo esclr y F un cmpo vectoril, mbos continuos sobre l curv recorrid por, se verific que: f dl = f dl y F.dl Integrl de líne de un grdiente El siguiente resultdo puede entenderse como un versión de l Regl de Brrow pr integrles de líne, o como un versión vectoril de dich regl. Se f : Ω R un cmpo esclr de clse C 1 en un bierto Ω R n y : [,b] Ω un cmino regulr trozos. Entonces: f.dl = f b) ) f ) ). En prticulr, si el cmino es cerrdo, se tendrá: f.dl = 0 Por l importnci que tendrá más delnte este resultdo vmos detllr su demostrción. Supongmos primermente que el cmino es regulr y consideremos l función h : [,b] R

7 4. Integrles de líne 28 definid por ht) = f t) ) pr todo t [,b]. L regl de l cden nos permite segurr que h es de clse C 1 en [,b] con h t) = f t) ) t) t b). Aplicndo entonces l regl de Brrow, tenemos: f.dl = = b b f t) ) t) dt h t)dt = hb) h) = f b) ) f ) ). En generl, pr un cmino regulr trozos, usmos un prtición = t 0 < t 1 <... < t N = b del intervlo [,b] de form que l restricción de l intervlo [t k 1,t k ] es un cmino regulr, que denotmos por k, pr k = 1,2,...,N. Aplicndo el resultdo y probdo pr cminos regulres tenemos clrmente: f.dl = N N [ f.dl = k=1 k f tk ) ) f t k 1 ) )] = f b) ) f ) ). k=1