CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES

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1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD º DE BACHILLERATO CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ

2 .-Hallar una primitiva de la función f() = cos cuya gráfica pase por el punto (, ). Solución : F() = sen..-hallar la derivada de F() = cálculo, es F () = 3. t 3 dt 5 d. Solución : 7. Solución : Por el teorema fundamental del 3.-Calcular 5 si.-dada la función f() = si. Representarla gráficamente y calcular 3 si f ( ) d. Solución : (select Andalucía 99). De la función f:, definida por f() = a 3 +b +c+d se sabe que tiene un máimo relativo en =, un punto de infleión en (,), y que 5 f ( ) d. Calcular a, b, c y d. Solución : f() = Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f() = ln( + ), el eje OX, y la recta =. Solución : ln- ½ u. 7.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada entre la curva f() = -3+, y la recta y = +. Solución : 3 3 u. 8.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las funciones f() = +3+, e y = Solución : 5 3 u. 9.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las funciones f() = sen, e y = sen + sen. Solución : u..-hallar 6 3 d. Solución 3 u..- Calcular mediante integrales el área encerrada por las gráficas de las parábolas y =, y = y. Solución : 6 3 u..- Calcular mediante integrales el área encerrada por las gráficas de la parábola y = - +, y la recta y = -. Solución : 9 u.

3 3.- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y = e, e y = e - y las rectas = - y =. Solución : e+ e - u..- Calcular mediante integrales el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y = 3, y = y las rectas = 5 y =. Solución: 6 +ln u. 5.- Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f() = y el eje OX. Solución: 8 u. 6.- Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f() = -6+8 y las rectas = 3, y = 5. Solución: u. 7.-Enunciar la regla de Barrow. Sea la función f() = dt, y sean a, b. t Demostrar que f(a b) = f(a) + f(b). Nota: Equivale a demostrar que L( a b) = L(a)+L(b), se sabe que L(a) = e =a y que L(b) = y e y = b. 8.-Calcular b sen d.el hecho de que tengamos ( ) f d a nos permite asegurar que necesariamente sea a= b? Solución: no, vale para ilustrarlo la integral propuesta. para una función f Comprobar que se verifica : d..- ( Select 96) Calcular el valor de a para que el recinto limitado por la parábola y = - + y la recta horizontal y = a, con < a < valga 8. Soluc: a=-, aunque 3 -,, luego no sería válida..- Determinar el área encerrada por la gráfica de la función y = 3 y la recta que 5 pasa por el origen y el punto (, ). Solución: 5 u..- Calcular la primitiva de la función f() = tg +- +tg cuya gráfica pase por el punto (,).Solución : F() = tg L - L cos + L. 3.- La curva y =, los ejes OX y OY, y la recta = limitan una superficie S. Calcular el área de S. Solución: Ln u..- Calcular mediante integrales el área encerrada por la gráfica de la función y = ln, y las rectas y = y = e. Solución : u.

4 3 5.- Hallar todas las funciones cuya derivada es f() =. De todas ellas, encontrar aquella que pasa por el punto P(, - ). Solución : La función pedida será : F()= arctg. 6.- De una función integrable en,, se sabe que -3, -,-, 5,y 75. Cuáles pueden ser los valores de la integral Solución : podrían ser -,- 5, 5 porque son < 6. f ( ). De los números f ( ) d? 7.- El polinomio de grado dos P()= +A+B se anula para =, y además se sabe que P( ) d 3. Calcular A y B. Solución : A =, y B = Obtener la familia de curvas en que la pendiente de las rectas tangentes a dichas curvas en cualquier punto viene dada por la función f()= e. Obtener la curva de 9 dicha familia que pasa por el punto A(,). Solución: F()= e e. 9.- Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = y las rectas y =, e y =. Soluc: 7 6 u. 3.- Calcular el área de la región limitada por las curvas y = e y = -, y las rectas = - y =.Soluc: 7 3 u. 3.- Calcular el área que tiene el recinto cerrado y limitado por las gráficas de las funciones y = - +7 e y = 6, representadas en el primer cuadrante. Solución: 6ln 3 u. 3.- La gráfica de la curva y = cos, cuando y el eje OX limitan una superficie. Determinar el área de dicha superficie. Solución : u Calcular el área de la región limitada por las curvas y = e y =. Soluc: u. 3.- Calcular el área que tiene el recinto cerrado y limitado por la gráfica de la función y = e, el eje OX, y la recta paralela al eje OY que pasa por el punto donde la curva tiene un mínimo relativo. Solución: e u.

5 35.- Hallar la epresión de una función polinómica de grado dos, sabiendo que sus puntos de intersección con el eje OX son el (,) y el (3,). Además, el área limitada por la curva y los dos ejes de coordenadas ( en el cuarto cuadrante ) vale 3. Solución : a= -, b=, y c= -3, y la función pedida es f()= Sean las funciones f()=, y g()= 3. Determinar el área encerrada por las gráficas 3 de ambas funciones y la recta =. Solución: A(R) = u Calcular el área de la región limitada por las curvas y = e y =, y la recta que pasa por los puntos (,) y (,). Soluc: 3 u Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funciones y =, e y = Solución : 7 3 u Calcular el área de la región limitada por la curva de ecuación y = y el segmento cuyos etremos son los puntos (,-) y (,). Soluc: 9 u..- Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = -3- y la recta y = -. Soluc: 33 6 u..- Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funciones y =, e y = y el eje OY. Solución : u Dada la función f:, definida de la forma : f() =. a.- Halla una primitiva de f. b.- Calcula f ( ) d. si Solución : F()=.Nota: para > se hace: F()= ( t) dt t dt si y para <, F()= ( t) dt. b) f ( ) d = Dada la función f : e si continua, definida de la forma f()= a b si ln si a) Calcular a y b. 3 b) Calcular f ( ) d. Solución: a) a=,b=.b) ln..- Calcular una función real f :, tal que f ()=5, f ()=, f()=, y 3 f ()= +. Solución: f()= 5. 6

6 5.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la curva de ecuación y = y la recta perpendicular a su tangente en el punto =, y =. Calcular su área. Solución: A( R ) = 3 u. 6.- Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 3-3+8, y las rectas y= -3, 8 =-3, y =. Solución: u. 7.- Se considera la función f()= e a, donde a es una constante no nula. Calcula el valor de a si sabemos que el área limitada por la curva y = e a y las rectas y=, = y = vale. Solución: a =. a 8.- Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas de las parábolas y = --5, e y = Solución: 33 3 u. 9.- Calcular el área de la región del plano limitada por la curva de ecuación y =, el semieje positivo de abscisas y el semieje negativo de ordenadas. Solución: 3ln3/ Calcular mediante integrales el área de la región del plano limitada por las gráficas 3 de las funciones f() = y g() = cuando sólo se consideran valores de. Solución: 5 u.