Determinantes. Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz. Hernán Giraldo

Transcripción

1 Determinantes Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz Iván Dario Gómez Hernán Giraldo 2009

2 Definición Sea A una matriz de tamaño m n, para 1 i m y 1 j n, definimos el ij-ésimo menor de A, al cual denotaremos por A ij, como la matriz obtenida de A al eliminar su i-ésima fila y j-ésima columna Sea A = hallar el 24-ésimo menor de A

3 Definición Sea A una matriz de tamaño m n, para 1 i m y 1 j n, definimos el ij-ésimo menor de A, al cual denotaremos por A ij, como la matriz obtenida de A al eliminar su i-ésima fila y j-ésima columna Sea A = hallar el 24-ésimo menor de A

4 Definición (Determinante) a 11 a 1n Sea A = una matriz de tamaño n n Definimos el a n1 a nn determinante de A, el cual denotaremos por det(a), recursivamente como sigue: Si n = 2 entonces det(a) = a 11a 22 a 12a 21 Para n 3, det(a) = ( 1) 1+i a 1i det (C 1i) i=1 = a 11 det (A 11) + + ( 1) 1+n a 1n det (A 1n) Encuentre el determinante de la matriz A =

5 Definición (Determinante) a 11 a 1n Sea A = una matriz de tamaño n n Definimos el a n1 a nn determinante de A, el cual denotaremos por det(a), recursivamente como sigue: Si n = 2 entonces det(a) = a 11a 22 a 12a 21 Para n 3, det(a) = ( 1) 1+i a 1i det (C 1i) i=1 = a 11 det (A 11) + + ( 1) 1+n a 1n det (A 1n) Encuentre el determinante de la matriz A =

6 Definición Sea A una matriz n n, el ij-ésimo cofactor de A, denotado por C ij, se define como C ij = ( 1) i+j det A ij, donde A ij es el ij-ésimo menor de A Observaciones Con esta definición podemos re-escribir la fórmula de del determinante como sigue: det(a) = a 1iC 1i = a 11C a 1nC 1n i=1 A esta fórmula se le conoce como la expansión por cofactores de A a lo largo de la primera fila

7 Definición Sea A una matriz n n, el ij-ésimo cofactor de A, denotado por C ij, se define como C ij = ( 1) i+j det A ij, donde A ij es el ij-ésimo menor de A Observaciones Con esta definición podemos re-escribir la fórmula de del determinante como sigue: det(a) = a 1iC 1i = a 11C a 1nC 1n i=1 A esta fórmula se le conoce como la expansión por cofactores de A a lo largo de la primera fila Sea A = 0 1 1, calcular C 11, C 12 y C 13 y calcular el determinante de A

8 Definición Sea A una matriz n n, el ij-ésimo cofactor de A, denotado por C ij, se define como C ij = ( 1) i+j det A ij, donde A ij es el ij-ésimo menor de A Observaciones Con esta definición podemos re-escribir la fórmula de del determinante como sigue: det(a) = a 1iC 1i = a 11C a 1nC 1n i=1 A esta fórmula se le conoce como la expansión por cofactores de A a lo largo de la primera fila Sea A = 0 1 1, calcular C 11, C 12 y C 13 y calcular el determinante de A

9 Lema a a 21 a 22 0 Sea A = una matriz triangular inferior, entonces a n1 a n2 a nn det(a) = a 11a 22 a nn Es decir, el determinante de una matriz triangular inferior es el producto de las entradas en la diagonal Corolario Sea I n la matriz identidad de tamaño n n, entonces det(i) = 1

10 Lema a a 21 a 22 0 Sea A = una matriz triangular inferior, entonces a n1 a n2 a nn det(a) = a 11a 22 a nn Es decir, el determinante de una matriz triangular inferior es el producto de las entradas en la diagonal Corolario Sea I n la matriz identidad de tamaño n n, entonces det(i) = 1

11 Teorema a 11 a 1n Sea A = entonces el determinante de A se puede calcular a n1 a nn usando la expansión por cofactores en cualquier fila y cualquier columna, es decir, para 1 i, j n tenemos que: det(a) = a i1c i1 + a i2c i2 + + a } {{ inc in = } Expansión por cofactores en la fila i a ik C ik y (1) k=1 det(a) = a 1jC 1j + a 2jC 2j + + a njc nj = } {{ } Expansión por cofactores en la columna j a hj C hj (2) h= Calcular determinante de A = usando expansión por cofactores en la tercera fila y segunda columna

12 Teorema a 11 a 1n Sea A = entonces el determinante de A se puede calcular a n1 a nn usando la expansión por cofactores en cualquier fila y cualquier columna, es decir, para 1 i, j n tenemos que: det(a) = a i1c i1 + a i2c i2 + + a } {{ inc in = } Expansión por cofactores en la fila i a ik C ik y (1) k=1 det(a) = a 1jC 1j + a 2jC 2j + + a njc nj = } {{ } Expansión por cofactores en la columna j a hj C hj (2) h= Calcular determinante de A = usando expansión por cofactores en la tercera fila y segunda columna

13 Corolario Sea A una matriz de tamaño n n, si A tiene una fila o una columna de ceros, entonces det(a) = 0 Corolario Sea A una matriz de tamaño n n entonces det(a t ) = det(a)

14 Corolario Sea A una matriz de tamaño n n, si A tiene una fila o una columna de ceros, entonces det(a) = 0 Corolario Sea A una matriz de tamaño n n entonces det(a t ) = det(a) Corolario a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 21 Sea A = una matriz triangular superior, entonces 0 0 a 11 det(a) = a 11a 22 a nn

15 Corolario Sea A una matriz de tamaño n n, si A tiene una fila o una columna de ceros, entonces det(a) = 0 Corolario Sea A una matriz de tamaño n n entonces det(a t ) = det(a) Corolario a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 21 Sea A = una matriz triangular superior, entonces 0 0 a 11 det(a) = a 11a 22 a nn