Un experimento binomial posee las siguientes características: 1. El experimento consiste de n ensayos repetidos.

Transcripción

1 Experimento Binomial Experimento que consiste en ensayos independientes repetidos, cada uno con dos posibles resultados que se denominan éxito y fracaso, donde la probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo. Un experimento binomial posee las siguientes características: 1. El experimento consiste de n ensayos repetidos. 2. Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como éxito o fracaso. 3. La probabilidad de éxito, designada como p, permanece constante de un ensayo a otro. 4. Los ensayos son independientes.

2 Variable Aleatoria Binomial El número X de éxitos en n ensayos de un experimento binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria lleva el nombre de distribución binomial. Con objeto de obtener la fórmula de la distribución de probabilidad se debe hallar: - La probabilidad de x éxitos y n-x fracasos en un orden específico (dado que son ensayos independientes el resultado es p x q n-x ). - El número total de puntos muestrales en el experimento que tiene x éxitos y n-x fracasos (esto es, el número de particiones de n resultados en dos grupos, uno con x y el n otro con n-x, dado por ). x - Dado que las particiones son mutuamente excluyentes, se suman las probabilidades de todas las diferentes n particiones, que es lo mismo que. x p x q n x

3 Distribución Binomial Si un ensayo binomial puede resultar en un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1-p, entonces la distribución de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n ensayos independientes, es n Bin(n,p) =, x = 0, 1, 2,..., n. x p x q n x Media y Varianza (Binomial) La media y la varianza de la distribución binomial Bin(n, p) son = np y 2 = npq

4 Experimento Poisson Experimento que produce valores de una variable aleatoria X, como el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una región específica (v.gr. segmento de recta, área, volumen o porción de material). Variable Aleatoria Poisson El número X de resultados que se tienen en un experimento Poisson. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria lleva el nombre de distribución Poisson.

5 Experimento Poisson Un experimento Poisson posee las siguientes propiedades: 1. El número de resultados que ocurren en un cierto intervalo de tiempo o en una región específica, es independiente del número que se tiene en cualquier otro intervalo. 2. La probabilidad de que un solo resultado ocurra durante un lapso muy corto o en una pequeña región, es proporcional a la magnitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región, y no depende del número de resultados que se produzcan fuera del intervalo o región considerados. 3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en ese breve lapso de tiempo o pequeña región es despreciable.

6 Distribución Poisson La distribución de la variable aleatoria Poisson X, que representa el número de resultados que se producen en un intervalo de tiempo dado o en una región específica, es e x x! P() =, x = 0, 1, 2,..., donde es el número promedio de resultados que ocurren el intervalo de tiempo o en la región específica y e = Media y Varianza (Poisson) La media y la varianza de la distribución Poisson P() son = y 2 =

7 Experimento Hipergeométrico Experimento que produce valores de una variable aleatoria X, como el número de éxitos en una muestra de tamaño n tomada de una población de tamaño N con k éxitos. Un experimento hipergeométrico posee las siguientes características: 1. La muestra aleatoria de tamaño n se selecciona de N resultados. 2. k de los N resultados pueden ser clasificados como éxitos y N-k como fracasos. Variable Aleatoria Hipergeométrica El número X de éxitos en un experimento hipergeométrico. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria lleva el nombre de distribución hipergeométrica.

8 Distribución Hipergeométrica Con objeto de obtener la fórmula de la distribución de probabilidad hipergeométrica se debe hallar: - El número total de muestras de tamaño n seleccionadas de N N resultados, o. n - El número de formas de seleccionar x éxitos de los k disponibles, o k. x - El número de formas de seleccionar n-x fracasos de N- k, o N k. n x Como las formas de seleccionar los fracasos son las mismas para cada forma de seleccionar los éxitos, el número de posibles muestras con x éxitos y n-x fracasos es k ; y esto dividido entre el número totas de x muestras N k n x de tamaño n, nos da la probabilidad de obtener x éxitos de k en una muestra de tamaño n de una población de tamaño N, dando como resultado la fórmula k N k x n x N n

9 Distribución Hipergeométrica La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n, seleccionada de N resultados de los cuales k son éxitos y N-k son fracasos, es k N k x n x h(n, n, k) =, x = 0, 1, 2,..., mín(n, k). N n Media y Varianza (Hipergeométrica) La media y la varianza de la distribución hipergeométrica h(n, n, k) son nk N y 2 n k 1 N k N N n N 1

10 Aproximación de la Distribución Binomial a la Distribución Hipergeométrica Si n es pequeña en relación con N, la probabilidad de cada extracción cambiará sólo ligeramente y en esencia se tendrá un experimento binomial. En tal caso la distibución hipergeométrica se puede aproximar utilizando la distribución binomial con p = k/n. La media y la varianza pueden aproximarse mediante las fórmulas np nk N y 2 npq n k 1 N k N donde puede verse que la media es la misma, mientras que la varianza difiere en (N-n)/(N-1), lo que se conoce como factor de corrección por población finita. Tal factor es despreciable cuando n es pequeña en relación con N.

11 Aproximación de la Distribución Poisson a la Distribución Binomial Sea X una variable aleatoria binomial con distribución de probabilidad Bin(n,p). Cuando n, p 0 y = np permanece constante, Bin(n,p) P() Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución Binomial La distribución de probabilidad binomial se aproxima utilizando una curva normal, con y = np 2 = npq La aproximación será adecuada cuando n es grande y el intervalo np 2 npq está entre 0 y n (las fronteras binomiales ).

12 Experimento Binomial Negativo Experimento que consiste en ensayos independientes repetidos, cada uno con dos posibles resultados que se denominan éxito y fracaso, donde la probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo. Los ensayos se realizan hasta obtener un número fijo de éxitos. Un experimento binomial negativo posee las siguientes características: 1. El experimento consiste de x ensayos repetidos hasta obtener un número fijo de éxitos, m. 2. Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como éxito o fracaso. 3. La probabilidad de éxito, designada como p, permanece constante de un ensayo a otro. 4. Los ensayos son independientes.

13 Variable Aleatoria Binomial Negativa El número X de ensayos requeridos para obtener m éxitos de un experimento binomial negativo. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria lleva el nombre de distribución binomial negativa. Con objeto de obtener la fórmula de la distribución de probabilidad se debe hallar: - La probabilidad de m-1 éxitos y x-m fracasos en un orden específico por la probabilidad de un éxito al final (dado que son ensayos independientes el resultado es p m-1 q x-m p = p m q x-m ). - El número total de puntos muestrales en el experimento que tiene m-1 éxitos y x-m fracasos (esto es, el número de particiones de x-1 resultados en dos grupos, uno con m-1 y el otro con x-m, dado por x 1. m 1 - Dado que las particiones son mutuamente excluyentes, se suman las probabilidades de todas las diferentes x 1 m particiones, que es lo mismo que p m q x. m 1

14 Distribución Binomial Negativa Si un ensayo puede resultar en un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1-p, entonces la distribución de la variable aleatoria binomial negativa X, el número de ensayos independientes necesarios para obtener m éxitos, es x 1 Bneg(m,p) = m m q x p, x = m, m+1, m+2,.... m 1 Media y Varianza (Binomial) La media y la varianza de la distribución binomial negativa Bneg(m, p) son mq p y 2 m 1 1 p p