FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA MATERIAL CON FINES DIDÁCTICOS UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA PRODUCTOS NOTABLES.

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1 PRODUCTOS NOTABLES. Productos Notbles: So poliomios que se obtiee de l multiplicció etre dos o más poliomios que posee crcterístics especiles o expresioes prticulres, cumple cierts regls fijs; es decir, el su resultdo puede se escrito por simple ispecció si ecesidd de efectur l multiplicció. 1. Cudrdo de u sum de dos térmios o ctiddes. ( ) = + b. Cudrdo de u difereci de dos térmios o ctiddes ( b) = b 3. Producto de u sum de dos térmios por su difereci. ( )( b) = b 4. Producto de dos biomios que tiee u térmio e comú. ( + m)( m) = + ( m + ) + m 5. Producto de dos biomios de l form: ( x + c)( bx d ) ( x + c)( bx d ) = bx + ( d c) x + cd 6. Cubo de u biomio ( ) = + 3 b + 3b ( b) = 3 b + 3b b Biomio de Newto: Elevr u biomio u poteci eter y positiv. Siedo el biomio, l multiplicció os d: ( ) = + b ( ) 3 = b + 3b 3 ( ) 4 4 = b + 6 b + 4b 3 4 Elbordo por Ig. Leordo Romero 1

2 E estos desrrollos se cumple ls siguietes leyes: 1) Cd desrrollo tiee u térmio más que el expoete del biomio. ) El expoete de e el primer térmio del desrrollo es igul l expoete del biomio, y e cd térmio posterior l primero, dismiuye 1. 3) El expoete de b e el segudo térmio del desrrollo es 1, y e cd térmio posterior éste, umet 1. 4) El coeficiete del primer térmio del desrrollo es 1 y el coeficiete del segudo térmio es igul l expoete de e el primer térmio del desrrollo. 5) El coeficiete de culquier térmio se obtiee multiplicdo el coeficiete del térmio terior por el expoete de e dicho térmio terior y dividiedo este producto por el expoete de b e ese mismo térmio, umetdo e 1. 6) El último térmio del desrrollo es b elevd l expoete del biomio. Todos estos resultdos e cojuto costituye l Ley del Biomio, que se cumple pr culquier expoete etero y positivo, como lo probremos e seguid. Est Ley geerl se represet por medio de l siguiete fórmul: ( ) = + 1 b + ( 1) b + ( 1)( ) b + ( 1)( )( 3) 4 4 b + b 3 4 (1) Est fórmul descubiert por Newto os permite elevr u biomio u poteci culquier, directmete, si teer que hllr ls potecis teriores. Elbordo por Ig. Leordo Romero

3 DESARROLLO DE ( - b ) : Cudo el segudo térmio del biomio es egtivo, los sigos del desrrollo so ltertivmete + y -. E efecto: ( - b ) = [ + (- b )] y l desrrollr [ + (- b )] los térmios o., 4o., 6o., etc., de cuerdo co l fórmul (1) cotedrá el segudo térmio (- b ) elevdo u expoete impr, y como tod poteci impr de u ctidd egtiv es egtiv, dichos térmios será egtivos, y los térmios 3o., 5o., 7o., etc. cotedrá (- b ) elevd u expoete pr, y como tod poteci pr de u ctidd egtiv es positiv, dichos térmios será positivos. Por tto, podemos escribir: ( b) ( 1) 1 = b + b ( 1)( ) 3 3 b ( b) El último térmio será positivo si es pr y egtivo si es impr. E el desrrollo de u poteci culquier de u biomio los deomidores de los coeficietes puede escribirse, si se dese, como fctoriles. De tl modo, 1 puede escribirse!; 1 3 = 3!, etc. Ejemplos 1) Desrrollr (x + y ) 4 Aplicdo l ley del biomio teemos: (x + y ) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4x y 3 + y 4 El coeficiete del primer térmio es 1 y el del segudo es 4, igul que el expoete de x e el primer térmio del desrrollo. Elbordo por Ig. Leordo Romero 3

4 El coeficiete del tercer térmio 6 se hll multiplicdo el coeficiete del térmio terior 4 por el expoete que tiee x e ese térmio 3, o se 4 3 = 1, y dividiedo este producto por el expoete de y e dicho segudo térmio umetdo e 1, o se por y, se tiee 1 = 6. El coeficiete del curto térmio se ecuetr multiplicdo el coeficiete del térmio terior 6 por el expoete de x e ese térmio: 6 = 1, y dividiedo este producto por el expoete de y e ese térmio umetdo e 1, o se por 3 y, se tiee 1 3 = 4, y sí sucesivmete. ) Desrrollr ( - x ) 5 Ddo que el segudo térmio es egtivo, los sigos se lter: ( - x ) 5 = (x ) (x ) - 10 (x ) (x ) 4 - (x ) 5 (efectudo) = x x - 80 x x 4-3x 5 Los coeficietes se obtiee del mismo modo que se explicó e el ejemplo terior. E l práctic bst ecotrr l mitd, o l mitd más 1 de los coeficietes, segú el expoete del biomio se impr o pr, pues los coeficietes se repite (e cuto se repite uo, se repite los demás). 3) Desrrollr (x + 3y 4 ) 5 (x + 3y 4 ) 5 = (x ) 5 + 5(x ) 4 (3y 4 ) + 10(x ) 3 (3y 4 ) + 10(x ) (3y 4 ) 3 + 5(x )(3y 4 ) 4 + (3y 4 ) 5 = 3x x 8 y x 6 y x 4 y x y y 0 4) Desrrollr b b ( ) 6 ( ) b 15 ( ) b 0 ( ) b = ( ) b 6( ) b b + + Elbordo por Ig. Leordo Romero 4

5 = 3 b + b b + b b TRIÁNGULO DE PASCAL: Los coeficietes de los térmios del desrrollo de culquier poteci de u biomio se puede obteer grcis l Triágulo de Pscl: Pr formr este triágulo se sigue este procedimieto: E l primer fil horizotl se poe 1. E l segud fil se poe 1 y 1. Desde l tercer e delte se empiez por 1 y cd úmero posterior l 1 se obtiee sumdo e l fil terior el 1er. úmero co el o., el o. co el 3o., el 3o. co el 4o., el 4o. co el 5o., etc., y se termi co 1. Los coeficietes del desrrollo de culquier poteci de u biomio so los úmeros loclizdos e l fil horizotl dode después del 1 está el expoete del biomio. Elbordo por Ig. Leordo Romero 5

6 Así, los coeficietes del desrrollo de (x + y ) 4 so los úmeros que está e l fil horizotl dode después del 1 está el 4, o se, 1, 4, 6, 4, 1. Los coeficietes del desrrollo de (m + ) 5 so los úmeros de l fil horizotl dode después del 1 está el 5, o se, 1, 5, 10, 10, 5, 1. Los coeficietes del desrrollo de (x - 3y ) 7 so los úmeros de l fil horizotl dode después del 1 está el 7, o se, 1, 7, 1, 35, 35, 1, 7, 1. E l práctic, bst formr el triágulo hst l fil horizotl dode después del 1 viee el expoete del biomio. Los úmeros de est últim fil so los coeficietes que se ecesit. Hy quiees tribuye este triágulo l mtemático Trtgli. Ejemplo Desrrollr (x - 3y 5 ) 6 por el Triágulo de Pscl. Se form el triágulo hst l fil horizotl dode después del 1 viee el 6, o se: Al tomr los coeficietes de est últim fil teemos: (x - 3y 5 ) 6 = (x ) 6-6(x ) 5 (3y 5 ) + 15(x ) 4 (3y 5 ) - 0(x ) 3 (3y 5 ) (x ) (3y 5 ) 4-6(x )(3y 5 ) 5 + (3y 5 ) 6 = x 1-18x 10 y x 8 y x 6 y x 4 y x y y 30 Elbordo por Ig. Leordo Romero 6

7 Elbordo por Ig. Leordo Romero 7

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