Aplicación de la Mecánica Cuántica a sistemas sencillos

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Aplicación de la Mecánica Cuántica a sistemas sencillos"

Transcripción

1 Aplicción de l Mecánic Cuántic sistems sencillos Antonio M. Márquez Deprtmento de Químic Físic Universidd de Sevill Curso 15- Problem 1 Clcule los vlores promedio de x y x pr un prtícul en el estdo n = 5 moviéndose en un cj monodimensionl de longitud = m. Es x = x? Explique su respuest. El vlor esperdo de observble p socido un operdor ˆP puede clculrse como p = Ψ ˆPΨdτ donde l integrl se extiende todo el espcio y Ψ es l función de onds del sistem. En nuestro cso nπx x = x nπx dx = x nπx dx hciendo el cmbio de vrible nos qued t = nπx, x = n π nπ x = t, y dx = nπ nπ dt t t dt = l integrl que nos qued puede resolverse usndo nπ n π t t dt x bxdx = x 4 x 4b bx 1 cosbx +C 8b siendo b = 1 y teniendo en cuent los límites de integrción, nos qued x = [ x n π 4 x 4 x 1 8 cosx nπ] = = n π n π = 4 = m y que los términos en x son cero y los términos en cosx se nuln entre sí. Procediendo de form similr obtenemos el vlos esperdo de x x = nπx x nπx dx = 1 x nπx dx

2 hciendo el cmbio de vrible nos qued t = nπx, x = n π nπ x = t, y dx = nπ nπ dt t t dt = nπ n π t t dt l integrl que nos hce flt es de l form ( x bxdx = x x 6 4b 1 ) 8b bx x cosbx +C 4b con b = 1 nos qued [ ( x = x x n π )x x4 nπ] 8 cosx = [ = n n π π 6 nπ ] [ 4 cosnπ = n n π π 1 ] = = n π 6n π =.7 1 m Problem Supong que l función de ond de un sistem se puede escribir como Ψ(x) = 4 φ 1(x) + φ (x) + + i φ (x) 4 Y que φ 1 (x), φ (x) y φ (x) son funciones propis normlizds del operdor energí cinétic T, con vlores propios E 1, E 1 y 4E 1, respectivmente. ) Compruebe que Ψ(x) está normlizd. b) Cuáles son los vlores que se pueden obtener l medir l energí cinétic en sistems que se encuentrn en el mismo estdo descrito por l función Ψ(x)? c) Cuál es l probbilidd de obtener cd uno de esos vlores? d) Cuál es el vlor medio de l energí cinétic que se obtendrí l relizr un grn número de medids en sistems idénticos? ) Pr comprobr que l función de ond está normlizd tenemos que comprobr que Ψ (x) Ψ(x)dx = 1 utilizndo l expresión de Ψ(x), tenemos Ψ (x) Ψ(x)dx = [ 4 φ 1 (x) + φ (x) + i ] φ (x) 4 [ 4 φ 1(x) + φ (x) + + i ] φ (x) dx = 4

3 = φ1 (x)φ 1 (x)dx + 8 φ1 (x)φ (x)dx + + i φ1 (x)φ (x)dx + 8 φ (x)φ 1 (x)dx + φ (x)φ (x)dx + + i 8 8 φ (x)φ (x)dx+ + i φ (x)φ 1 (x)dx + i 8 φ (x)φ (x)dx+ + ( i)( + i) φ (x)φ (x)dx ls integrles φ i (x)φ j(x)dx pueden evlurse fácilmente, puesto que son funciones propis de un mismo operdor hermítico, formrán prte de un conjunto completo de funciones ortonormles y φ i (x)φ j (x)dx = δ i j con lo que Ψ (x) Ψ(x)dx = = 1 quedndo comprobdo que l función de ond propuest está normlizd. b) Bsándonos en el postuldo de cuntizción los únicos vlores que se pueden obtener son los vlores propios del operdor socido cuys funciones propis prticipen en l descripción del estdo del sistem. En este cso, los vlores posibles son los vlores propios socidos φ 1, φ y φ, es decir E 1, E 1 y 4E 1 c) Bsándonos en el postuldo de descomposición espectrl podemos identificr l probbilidd de obtener cd uno de esos vlores con el cudrdo del modulo del coeficiente que multiplic l función propi socid en el desrrollo de l función de ond del estdo del sistem. Es decir, en generl, si Ψ = c i φ i i es l función de ond del sistem y ls φ i son funciones propis del operdor en cuestión, l probbilidd de obtener el vlor propio socido φ i es c i c i. En nuestro cso: p 1 = c 1 = l problibidd de obtener E 1 p = c = 8 l problibidd de obtener E = E 1 p = c c = 7 l problibidd de obtener E = 4E 1 d) Utilizmos el postuldo de descomposición espectrl pr expresr el vlor medio de l energí cinétic como T = c i c i T i i donde c i son los coneficientes de l funciones propis del operdor energí cinétic (φ i ) y T i sus correspondientes vlores propios. Con esto T = c 1 E 1 + c E + c c E = = E E E 1 = = E E E 1 = 4 E 1

4 Problem Deduzc un ecución pr l probbilidd de que un prtícul crcterizd por el número cuántico n esté en el primer curto ( x.5) de un cj de predes de potencil infinito, de dimensión. Demuestre que est probbilidd se proxim l límite clásico cundo n. L probbilidd de encontrr un prtícul descrit por l función de ond φ(x) en el intervlo [,b] viene dd por en nuestro cso b p = φ (x)φ(x)dx p = /4 hciendo el cmbio de vrible tenemos utilizndo tenemos p = /4 nπx nπx dx = /4 nπx dx t = nπx x = nπ t dx = nπ dt nπx dx = nπ/4 t nπ dt = nπ/4 t dt nπ kxdx = x 1 4k kx p = [ t nπ 1 ] nπ/4 4 t = [ nπ nπ nπ = nπ nπ Fácilmente podemos ver que se proxim l límite clásico (1/4) cundo n, y que en el segundo término l función trigonométric está cotd ( x 1) y el denomindor crece con n, por tnto el segundo término tiende cero, sólo nos qued el primero y ] = p n = 1 4 Problem 4 Demuestre que los vlores propios de l energí de l prtícul libre, E = h k /m, son consistentes con el resultdo clásico, E = mv /. L función de ond de l prtícul libre es donde Ψ ± (x) = A ± e ±ikx k = π λ 4

5 y λ es l longitud de ond socid l prtícul. Teniendo en cuent l relción de de Broglie λ = h p tenemos k = π p h = p h y E = h k m = p m = 1 mv Problem 5 Clcule l longitud de ond de l luz emitid cundo un electrón en un cj monodimensionl de longitud 5. nm reliz un trnsición desde un estdo de número cuántico n = 7 l estdo de n = 6. L energí de los niveles en el problem de l prtícul en l cj vienen ddos por E n = h 8mL n en nuestro cso m = m e (ms del electrón) y l diferenci de energí entre los niveles indicdos serí E 7 6 = h ( 7 8m e L 6 ) = 1h 8m e L ddo que nos piden l longitud de ond de l luz emitid E = hν = h c λ y λ = hc E = hc 8m el 1h = 8m ecl = m 1h Problem 6 Clcule ) el vlor del punto cero de energí de un átomo de He en un cj monodimensionl de longitud 1 cm y b) el cociente entre est energí y el vlor k B T K. ) L energí de punto cero es l energí del primer nivel posible en un sistem. En el cso que se nos indic podemos suponer que ls predes de l cj son de potencil infinito e identificr l energí de punto cero con E = h 8m He L n = h 8m He L = ( ) = = J b) El cociente de dich energí con k B T T = K será E k B T = = Problem 7 Cules son ls energí de los cinco niveles de energí más bjos en un cj tridimensionl de dimension = b = c? Cuál es l degenerción de cd nivel? 5

6 Los niveles de energí de un cj tridimensionl vienen ddos por l expresión generl [ ] E = h n x 8m Lx + n y Ly + n z Lz si L x = L y = L z = E = h [ n 8m x + n y + n ] z h Podemos expresr ls energís en uniddes de energí dndo vlores consecutivos n x, n y y n z 8m n x n y n z E/ h degenerción 8m Problem 8 Considere un prtícul en un cj definid por si x, V (x) = si < x <, si x. y obtener los primeros niveles de Explique por qué cd un de ls siguientes funciones no normlizds es o no ceptble como función de ond, sobre l bse de criterios tles como ser consistente con ls condiciones límite y con l definición de probbilidd socid l producto Ψ (x)ψ(x)dx: ) Acos nπx + A nπx b) B(1 + nπx ) c) Cx (x ) d) D( x)x E e) cos nπx Tenemos que tener en cuent que Ψ(x) debe ser contínu y que Ψ(x) = si x = o si x =. Deber tmbién ser finit, pr que l densidd de probbilidd se finit e integrble. ) No es válid, puesto que l función no se nul en x = ni en x =. Puede ser válid si A =. b) No es válid, y que no se nul en x = ni en x =. 6

7 c) Es válid. Se nul en x = y x = y es contínu y finit en todo el intervlo. d) Es válid. Se nul en x = y x = y es contínu y finit en todo el intervlo. e) No es válid, y que tom el vlor Ψ(x) = en x = / pr vlores impres de n. Problem 9 Clcule l probbilidd de que un prtícul en un cj monodimensionl de longitud se encuentre entre. y.5 cundo está descrit por ls siguientes funciones de ond. ) πx b) πx Qué resultdo cbrí esperr pr un prtícul clásic? Compre sus resultdos con los del límite clásico. L probbilidd de encontrr un prtícul en el intervlo [b 1,b ] puede clculrse como b P = Ψ (x)ψ(x)dx b 1 nuestrs funciones de ond son de l form nπx Ψ n = con n = 1 en el cso ) y n = en el cso b). Resolveremos el problem de form generl y sustituiremos los vlores de n l finl. P = = b b 1 donde hemos usdo nπx [ x nπx 4nπ nπx dx = ] b = b b 1 b 1 b b 1 1 nπ kxdx = x 1 4k kx sustituyendo b 1 =. y b =.5 tenemos nπx dx = [ nπb nπb 1 P =. 1 [ ] (.199n) (.n) nπ y pr n = 1 tenemos p = y pr n = tenemos p =.417. Problem 1 Ls funciones propis del Hmiltonino Ĥ de l prtícul en un cj monodimensionl son tmbién funciones propis del operdor momento linel, ˆp x? Clcule el vlor promedio de ˆp x pr el cso n =. Repit el cálculo pr n = 5 y, prtir de estos dos resultdos, sugier un expresión válid pr todos los vlores de n. Cómo compr su resultdo con l predicción bsd en l físic clásic? ] 7

8 Comprobemos primero ls funciones de ond de l prtícul en l cj son funciones propis del operdor momento linel. Pr que eso ocurr debemos tener siendo p un esclr (el vlor propio). Tenemos ˆp x Ψ n = i h d dx Ψ n = i h d dx ˆp x Ψ n = p Ψ n nπx = i hnπ nπx cos que no es un ecución de vlor propio. Por tnto ls funciones de ond de l prtícul en un cj no son funciones propis del operdor ˆp x. Podemos obtener el vlor esperdo de p x de form generl, pr culquier vlor de n como ( nπx p x = Ψ n ˆp x Ψ n dx = i h d ) nπx dx = dx nπx = i h nπ nπx cos dx = = i h nπx ( ) nπ nπx cos dx = i h nπx = independientemente del vlor de n. Este resultdo concuerd perfectmente con l físic clásic, puesto que tenemos l mism probbilidd de encontrr l prtícul vijndo hci l derech como l izquierd, con el mismo momento linel, por lo que el vlor promedio del mismo será cero. 8

Aplicación de la Mecánica Cuántica a sistemas sencillos

Aplicación de la Mecánica Cuántica a sistemas sencillos Aplicción de l Mecánic Cuántic sistems sencillos Antonio M. Márquez Deprtmento de Químic Físic Universidd de Sevill Curso -17 Problem 1 Clcule los vlores promedio de x y x pr un prtícul en el estdo n =

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES

TEMA 1. NÚMEROS REALES TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior

Más detalles

3.- Matrices y determinantes.

3.- Matrices y determinantes. 3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Curso de Mecánica Cuántica. Enero-Mayo de 2017

Curso de Mecánica Cuántica. Enero-Mayo de 2017 Curso de Mecánic Cuántic. Enero-Myo de 7 Tre Ejercicios del cpítulo (págin 76) del libro Quntum Mechnics. Concepts nd pplictions. Second edition. Nouredine Zettili........6..9 6.. 7.. 8..7 9..9....8..

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Extensiones de la Integral

Matemáticas Empresariales I. Extensiones de la Integral Mtemátics Empresriles I Lección 9 Extensiones de l Integrl Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 19 Integrles impropis - Definición Definición Integrl

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid

Más detalles

Funciones ortogonales y series de Fourier

Funciones ortogonales y series de Fourier Funciones ortogonles y series de Fourier Ls series e integrles de Fourier constituyen un tem clásico del Análisis Mtemático. Desde su prición en el siglo XVIII en el estudio de ls vibrciones de un cuerd,

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Unidad Temática Integral definida

Unidad Temática Integral definida Integrl definid Unidd Temátic 5 5.2 Integrl definid Análisis Mtemático (Ingenierí Informátic) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Informátic Universidd Politécnic de Vlenci S. Cmp, J.A. Conejero y

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

3. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 625 d) 0, 25 e) c) ( ) 4 8

3. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 625 d) 0, 25 e) c) ( ) 4 8 POTENCIAS. Hll sin clculdor +.. Simplific utilizndo ls propieddes de ls potencis: b c ) 0 b c. Epres los siguientes rdicles medinte potencis de eponente frccionrio y simplific: ). Resuelve sin utilizr

Más detalles

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo:

METODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo: METODOS NUMERICOS 697 TALLER 7, SEMESTRE Tem: Derivción e integrción numérics Se recomiend relizr los ejercicios propuestos en el texto guí, en prticulr los siguientes: Sección :,,, 7, 8,, Sección :, 8

Más detalles

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 Los números reles 1 1.4 Orden de los números reles Un número que pertenezc los reles. 2 R / es positivo si está l derech del cero; esto se denot sí: > 0 o bien 0 < : 0 Un número que pertenezc

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

Aplicación de la mecánica cuántica a sistemas sencillos

Aplicación de la mecánica cuántica a sistemas sencillos Aplicación de la mecánica cuántica a sistemas sencillos Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Ultima actualización 7 de febrero de 05 Índice Referencias ] Atkins, P.W.,

Más detalles

Integrales Elipticas. Longitud de una Curva

Integrales Elipticas. Longitud de una Curva Unidd 3 Función Logritmo y Exponencil 3. Logritmo trvés de l integrl. Integrles Eliptics Longitud de un Curv Se f un función continu en [, b]. Si {t, t,..., t n } es un prtición de [, b] tenemos que en

Más detalles

[FACTORIZACION DE POLINOMIOS]

[FACTORIZACION DE POLINOMIOS] 009 CETis 6 Ing. Gerrdo Srmiento Díz de León [FACTORIZACION DE POLINOMIOS] Documento que enseñ como fctorizr polinomios Pr fctorizr polinomios hy vrios métodos: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Scr fctor común:

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

Integración numérica I

Integración numérica I Tems Regl del rectángulo. Regl del trpecio. Cpciddes Conocer y plicr l regl del rectángulo. Conocer y plicr l regl del trpecio. 1.1 Introducción Como y se h visto, pr clculr el vlor excto de un integrl

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn

Más detalles

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.) Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce

Más detalles

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu

Más detalles

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS Fundmentos de Químic Teóric SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS Se l ecución de Schrödinger del oscildor rmónico: d + kx

Más detalles

TEMA 3: ECUACIONES ECUACIONES DE 2º GRADO Las ecuaciones de 2º grado son de la forma ax 2 +bx+c=0 y su solución es:

TEMA 3: ECUACIONES ECUACIONES DE 2º GRADO Las ecuaciones de 2º grado son de la forma ax 2 +bx+c=0 y su solución es: TEMA : ECUACIONES ECUACIONES DE º GRADO Ls ecuciones de º grdo son de l form +b+c=0 y su solución es: b b 4c Cundo b=o o c=0 son incomplets y se resuelven de l siguiente form. Cso b=0, por ejemplo: 6 7=0

Más detalles

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS Se l ecución de Schrödinger del oscildor rmónico: d 1 + kx = E (1 m dx L solución de

Más detalles

Electromagnetismo II

Electromagnetismo II Electromgnetismo II Semestre: 25- TAREA 4 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Corondo Por: Pedro Edurdo Romn Tbod.- Problem: (5pts Clcul l fuerz sobre l crg +q de l figur que se muestr continución. El plno XY represent

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

1 Aproximación de funciones por polinomios.

1 Aproximación de funciones por polinomios. GEODESIA Y FUNCIONES OTOGONALES Enrique Clero Curso GPS en Geodesi y Crtogrfí Crtgen de Indis Aproximción de funciones por polinomios. Consideremos el conjunto de funciones S = ; x; x ; x 3 ; x ; :::::

Más detalles

El problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior

El problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Prticiones de un intervlo El problem del áre Tem 5: Integrción. Integrl de Riemnn El objetivo finl del tem es hllr el áre de

Más detalles

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática

Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Complementos de Mtemátics, ITT Telemátic Tem 3. Deprtmento de Mtemátics, Universidd de Alclá Índice 1 básic 2 Obtención de ls regls de cudrtur 3 Error de cudrtur 4 Regls compuests Introducción Integrl

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Se llmn ecuciones igulddes en ls que precen número y letrs (incógnits) relciondos medinte operciones mtemátics. Por ejemplo: - y = + Son ecuciones con un incógnit cundo prece un

Más detalles

P 1 P 2 = Figura 1. Distancia entre dos puntos.

P 1 P 2 = Figura 1. Distancia entre dos puntos. ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LONGITUD DE UNA CURVA PARAMÉTRICA. Ddos dos puntos P 1 = (x 1, x 2,..., x n ), P 2 = (y 1, y 2,..., y n ) R n (pensemos en puntos del espcio, de R 3 ) sbemos clculr l distnci

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice: 1. Derivd de un unción. 1.1. Derivd de un unción en un punto. 1.. Interpretción geométric 1.3. Derivds lterles. 1.4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd

Más detalles

Límite - Continuidad

Límite - Continuidad Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP Límite Definición (informl) Límite - Continuidd L función f tiende hci el ite L cerc de, si se puede hcer que f() esté tn cerc como quermos de L hciendo que esté suficientemente

Más detalles

Tema 6. Trigonometría (II)

Tema 6. Trigonometría (II) Tem. Trigonometrí II. Teorem de dición..... Rzones trigonométrics de l sum de dos ángulos...... Rzones trigonométrics de l diferenci de dos ángulos..... Rzones trigonométrics del ángulo doble mitd....

Más detalles

Función no Acotada en uno o en los dos extremos del Intervalo de Integración. f (x) d x = lim

Función no Acotada en uno o en los dos extremos del Intervalo de Integración. f (x) d x = lim Función no Acotd en uno o en los dos etremos del Intervlo de Integrción Si f () está definid sobre (, b] y si f () cundo, se define f () d = lim f () d ε + +ε Si f () está definid sobre [, b) y si f ()

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

Tipos de Catálisis. Hay dos tipos de catálisis:

Tipos de Catálisis. Hay dos tipos de catálisis: CATáLISIS Un ctlizdor es un sustnci que celer (ctlizdor positivo) o retrd (ctlizdor negtivo o inhibidor) l velocidd de un rección químic, permneciendo éste mismo inlterdo. Un ctlizdor bj l energí de ctivción

Más detalles

Electromagnetismo I. +q" #2q" d" 2d"

Electromagnetismo I. +q #2q d 2d Electromgnetismo I Semestre: 215-2 Prof. Alejndro Reyes Corondo Ayud. Crlos Alberto Mciel Escudero Ayud. Christin Esprz López Solución l Tre 4 Solución por Christin Esprz López 1.- Problem: (2pts Clcul

Más detalles

a (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3

a (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3 8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = 9 + 6 + 5 = 7 = 7 Volumen = 7

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

Profesor Francisco R. Villatoro 8 de Marzo de 1999

Profesor Francisco R. Villatoro 8 de Marzo de 1999 Octv relción de problems Técnics Numérics Profesor Frncisco R. Villtoro 8 de Mrzo de 1999 Ejercicios de los tems de derivción e integrción numérics. 1. Un regl de integrción gussin o de Guss se define

Más detalles

PARTÍCULA EN UNA CAJA

PARTÍCULA EN UNA CAJA LA PARTÍCULA EN UNA CAJA El problem más sencillo pr empezr plicr los postuldos de l mecánic cuántic es el de un sistem hipótetico constituido por un prtícul de ms m que está encerrd entre dos brrers de

Más detalles

1. Lección 9 - Extensiones de la Integral

1. Lección 9 - Extensiones de la Integral Apuntes: Mtemátics Empresriles I. Lección 9 - Extensiones de l Integrl.. Integrles impropis En l deinición de integrl deinid que hemos propuesto en l lección nterior, nos reerímos unciones cotds en intervlos

Más detalles

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ.

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ. Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Algebr Linel MA 0, 0/08/3, Profs. J. González, R. Gouet. Solución Exmen. Considere el siguiente sistem de ecuciones lineles,

Más detalles

Cálculo diferencial e integral 4

Cálculo diferencial e integral 4 Cálculo diferencil e integrl 4 Guí 2. emuestr el cso del teorem de Fubini que no se demostró en clse. Concretmente: se R = A B R n un rectángulo compcto con A y B rectángulos de dimensión menor. Supongmos

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

La Mecánica Cuántica

La Mecánica Cuántica L Mecánic Cuántic 1. L Químic Computcionl L Químic Computcionl estudi l plicción de cálculos numéricos l conocimiento de l estructur moleculr. Un vez conocid l estructur, es posible predecir crcterístics

Más detalles

Vectores en el espacio. Producto escalar

Vectores en el espacio. Producto escalar Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas: EXAMEN DE MATEMÁTICAS ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Dí: - XI- 4 CURSO 4-5. Hll el vlor de log log ), 4 log log b) log4 6 -log -log log 7 4 6. Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58.

Más detalles

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes

Más detalles

Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceño N.

Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceño N. Cálculo Diferencil e Integrl - Longitud de un curv. Prof. Frith J. Briceño N. Objetivos cubrir Longitud de un curv. Áre de un superficie de revolución. Ejercicios Código : MAT-CDI. resueltos Ejemplo :

Más detalles

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS.

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS. TEMA : CONCEPTOS BÁSICOS.. Intervlos:. Intervlos. 2. Propieddes de ls potencis.. Propieddes de los rdicles. Operciones con rdicles. Rcionlizción. 4. Conceptos de un polinomio. Fctorizción de polinomios..

Más detalles

0.1 Sustituciones trigonométricas.-

0.1 Sustituciones trigonométricas.- Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC.. Sustituciones trigonométrics.- Cso.- El integrndo contiene un epresión de l form +. Se sugiere l sustitución = tn u d = sec udu de donde Z + = sec u d ( +)

Más detalles

1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistems de ecuciones lineles Tem 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistems de ecuciones lineles tienen muchs plicciones en todos los cmpos y ciencis y y desde. C. se tenín métodos pr resolver los sistems.

Más detalles

CÁLCULO NUMÉRICO (0258) Tercer Parcial (20%) Jueves 27/09/12

CÁLCULO NUMÉRICO (0258) Tercer Parcial (20%) Jueves 27/09/12 Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Ingenierí Deprtmento de Mtemátic Aplicd CÁLCULO NUMÉRICO (58 Tercer Prcil (% Jueves 7/9/ Se l fórmul de diferencición numéric f(x f(x + + f(x + f ''(x Usndo series

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2017-2018 5.2.1. L integrl como medid de áres. L definición de integrl se hce con un procedimiento

Más detalles

Sumas Superiores e inferiores (ó Sumas de Riemann)

Sumas Superiores e inferiores (ó Sumas de Riemann) Unidd 1 Integrl denid 1.2 Sums superiores e ineriores (o sums de Riemnn). Sums Superiores e ineriores (ó Sums de Riemnn) Denición 1. Se : [, b] R. Se dice que est cotd superiormente sobre [, b], cundo

Más detalles

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1. DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)

Más detalles

Integrales de funciones de una variable.

Integrales de funciones de una variable. Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y f (x) y el eje OX desde un punto y fx fx hst

Más detalles

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd

Más detalles

1 Integrales impropias

1 Integrales impropias Integrles impropis Eliseo Mrtínez Herrer 3 de mrzo del 4 Abstrct Se estudin ls integrles impropis sobre l bse del cálculo de integrles definids y el límite de funciones Integrles impropis b Un integrl

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

Integrales de funciones de una variable.

Integrales de funciones de una variable. Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y fx) y el eje OX desde y f x f x un punto hst

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES ) Resolver el siguiente sistem de ecuciones lineles t t z emplendo el método de Guss utilizndo trnsformciones elementles de fils En qué csos es comptible? b) Relcionr ls mtrices

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

Integración numérica por Monte-Carlo

Integración numérica por Monte-Carlo Integrción numéric por onte-crlo Ptrici Svedr Brrer 1 16 de julio de 28 1 Deprtmento de temátics, Universidd Autónom etropolitn-iztplp, psb@xnum.um.mx 2 Introducción Se X un vrible letori continu que tom

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas Funciones cudrátics A l función polinómic de segundo grdo f() + b + c siendo, b, c números reles y 0, se l denomin función cudrátic. Los términos de l función reciben los siguientes nombres: y + b + c

Más detalles

(Chpter hed:)integrles MULTIPLES El concepto de integrl de un función de un sol vrible sobre un intervlo estudido en el Cálculo I, se extiende de mner nturl primero funciones de dos vribles sobre un región

Más detalles

Primitiva de una función.

Primitiva de una función. Primitiv de un función. 1 / 29 Definición. Un función derivble F es primitiv de l función f en el intervlo I si F (x) = f(x), pr todo x I. Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x)

Más detalles

Dpto. de Matemáticas. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13. Problemas. Hoja 3

Dpto. de Matemáticas. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13. Problemas. Hoja 3 Dpto. de Mtemátics. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13 Problems. Hoj 3 Problem 1. Escrib explícitmente l mtriz de iterción M del método de Jcobi. Acotndo el rdio espectrl de M por l norm infinito dé un condición

Más detalles

Parte 7. Derivación e integración numérica

Parte 7. Derivación e integración numérica Prte 7. Derivción e integrción numéric Gustvo Montero Escuel Técnic Superior de Ingenieros Industriles Universidd de Ls Plms de Grn Cnri Curso 006-007 Los problems de derivción e integrción numéric El

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Mtemático Tem: L integrl Integrl Herrmients digitles de uto-prendizje pr Mtemátics, Grupo de Innovción Didáctic Deprtmento de Mtemátics Universidd de Extremdur Mtemático Tem: L integrl Integrl Mtemático

Más detalles

Cálculo Diferencial e Integral - Teorema Fundamental. Prof. Farith J. Briceño N.

Cálculo Diferencial e Integral - Teorema Fundamental. Prof. Farith J. Briceño N. Cálculo Diferencil e Integrl - Teorem Fundmentl. Prof. Frith J. Briceño N. Objetivos cubrir Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo. Teorem del Vlor Medio. Teorem sobre simetrí. Código : MAT-CDI. Ejercicios

Más detalles

OPERACIONES CON FRACIONES

OPERACIONES CON FRACIONES LEY DE SIGNOS OPERACIONES CON FRACIONES SUMA Y RESTA: Si se sumn dos números con el mismo signo, se sumn los vlores solutos y se coloc el signo común (+) + (+) = + 8 (-) + (-) = - 8 Si se sumn dos números

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

5. Aplicación de la Integral de Riemann

5. Aplicación de la Integral de Riemann Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción

Más detalles

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles