AB CH. Área del PQR ABC AB CH. Área del ABC QR PA. Área del. El área de un triangulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos.
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- María Mercedes Valdéz Fuentes
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1 AREAS L noción de áre está socid l extensión o superficie de un figur. El áre es un número que nos dice que tn extens es un región y l expresmos en kilómetros cudrdos (Km ); metros cudrdos (m ); centímetros cudrdos (cm ); etc. 1 AREA DE UN TRIANGULO El áre de un tringulo es igul l producto de un ldo por su ltur correspondiente, sobre. El ldo que se escoge se llm bse. Áre del ABC AB CH Áre del ABC AB CH QR PA Áre del PQR El áre de un tringulo rectángulo es igul l semiproducto de sus ctetos. AREA DE UN RECTANGULO: El áre de un rectángulo es igul l producto de l bse por l ltur. El áre de un cudrdo es igul l ldo l cudrdo. AREA DE UN PARALELOGRAMO Es igul l bse por l ltur.
2 AREA DE UN TRAPECIO: Es igul l semisum de ls bses por l ltur. ( AB DC) h AREA AREA DE UN CÍRCULO AREA = R SECTOR CIRCULAR R El áre del sector circulr es: AREA DE UN POLIGONO REGULAR Are perimetro potem
3 TEOREMA Un medin de un tringulo lo divide en dos triángulos de igul áre. HIPÓTESIS: AM es un medin TESIS: Áre de ABM Áre de AMC AH BC B H M C 1. Se trz ;. Áre ABM BM AH. Áre AMC MC AH 4. BM MC 1. Construcción. áre de un tringulo.. Áre de un tringulo 4. De hipótesis. M es punto medio por definición de medin de un tringulo. 5. Sustitución de 4 en. BM AH 5. AMC 6. Áre ABM = Áre AMC 6. De y 5. Propiedd trnsitiv TEOREMA Ls medins de un tringulo lo dividen en 6 triángulos de igul áre. (Demostrrlo) EJERCICIOS 1. Demostrr que ls áres de dos triángulos que tienen un ángulo congruente son entre ells como los productos de los ldos que comprenden el ángulo. HIPOTESIS: CH y FG son lturs A D TESIS: ABC DEF AB DE AC DF
4 1. ABC AB CH. DEF DE FG ABC AB CH. DEF DE FG 4. A D 5. AHC DGF AB AC CH 6. DE DF FG ABC AB CH 7. DEF DE FG ABC AB AC AB AC 8. DEF DE DF DE DF NOTA: Colocr l frente ls rzones 4. Se tiene un cudrdo ABCD de ldo. Se prolong l digonl AC de A hci C y se tom en l prolongción un punto E, tl que CE =. Encontrr el áre del tringulo BCE, en términos de Se trz l digonl BD que cort AC en P. AC BD (Ls digonles de un cudrdo son perpendiculres) PC = PB = x. En el tringulo rectángulo PCB se tiene: x x x x x Áre del tringulo BCE = Áre del tringulo BPE menos el áre del tringulo BPC BPE PE PB ( )
5 Se siguen ls operciones y se lleg : El áre de BPC es 4 BPE 5 4 porque es l curt prte del áre del cudrdo BPE BPC =. 4 Desde los vértices del cudrdo ABCD y con rdio igul l ldo, se describen rcos. Clculr el áre de l región ryd en función del ldo del cudrdo que es Respuest: Are 9 El áre de l figur es igul l áre del cudrdo menos el áre de los sectores circulres BEA y CED y menos el áre del tringulo equilátero AED. AD = AE = ED = 4. En el cudrdo ABCD se inscribe un circunferenci y desde los vértices del cudrdo se describen rcos con rdios igules l mitd del ldo del cudrdo. Clculr el vlor del áre de región ryd en función del ldo del cudrdo que es Respuest: ( ) 5.
6 6. 6 HIPOTESIS: ABCD es un prlelogrmo P es un punto culquier de l digonl AC TESIS: Are del DPC = Are del Are del DPA = Are del PBC APB 7. RESPUESTA: 8. ( b) Respuest: ( 1) 4 9. FC 6; AD AB BC. F es el centro de l semicircunferenci y C es un punto de tngenci. Hllr el áre de l región ryd. Respuest: 6(16 - )
7 Respuest: ABCD es un cudrdo de ldo 4 cm. Hllr el áre de l prte ryd RESPUESTA : 8( 1. ) Clculr el áre del tringulo equilátero inscrito en l circunferenci, si el rdio de l circunferenci es. 7 RESPUESTA: (4 RESPUESTA : 14. ) ABCD es un cudrdo de ldo 1 cm. Por cd vértice se trzn rcos de 4 cm. de rdio. Hllr el áre de l región ryd. RESPUESTA: 96-16
8 15. 8 RESPUESTA: El rdio de l circunferenci es R. Hllr el áre de l región ryd en función de R RESPUESTA: R (4 - ) 17. El tringulo ABC es equilátero de ldo. Encontrr el áre de l región ryd en función de. M, N, P son puntos medios de los ldos del tringulo. ( ) RESPUESTA: El tringulo ABC es equilátero de ldo. P es el punto donde se cortn ls meditrices de los ldos. Hllr el áre de l región ryd en función de. RESPUESTA: 6 19.
9 Ls circunferencis son tngentes en B. O y P son los centros. OA = 1.4 m. m EOD 60. L circunferenci pequeñ est inscrit en el EOD. Hllr el áre de l circunferenci pequeñ.. AB AD O es el centro de l circunferenci de rdio R Si el áre de l región ryd es 16 4, hllr el rdio R de l circunferenci.
10 . 10 ABCD es un cudrdo de ldo. m ( BAE) = 0 ; m ( FBC) = 0. Hllr el áre del tringulo BPE. Respuest: 4 4. Se d un tringulo rectángulo ABC donde l hipotenus BC. El ángulo C mide 0. Se trz l medin AM. Por los puntos A y B se trzn prlels BC y AM, que se cortn en N. Clculr el áre del cudrilátero AMBN. Respuest: 5. ABCD es un rectángulo. AB 4 cm.; BC 1 cm. E es el punto medio de CD.. Clculr el áre del rectángulo ABCD b. Clculr el áre del tringulo BCE c. Se tom un punto F sobre AB de tl mner que el áre del tringulo FEB se los 1 4 4,50 cm. del áre del cudrilátero ABED. Si AF x. Clculr el vlor de x. Respuest: 6. Sobre el segmento AB, se tom un punto M tl que AM. Sobre AM se construye un tringulo equilátero AMC, sobre MB se construye un tringulo equilátero MBD, se trz CD. Se trz CH perpendiculr AB. Clculr el áre del polígono ABCD. 7. Respuest: 7 4 El áre del circulo de centro O es 60 cm. AB y CD son diámetros perpendiculres. AO y OB son diámetros de ls circunferencis pequeñs. OE es bisectriz. Clculr el áre de l región ryd. 8. Ddo un tringulo culquier MQR, se trzn ls medins RS y MT, que se cortn en P. Demostrr que el áre del tringulo PMS es igul l áre del tringulo PRT.
11 11 9. En el tringulo ABC rectángulo en A, m C 0 y AB. Sobre cd ldo se construyen exteriormente los cudrdos ABDE, ACHF y BCIJ. Hllr el áre del polígono DEFHIJ. RESPUESTA: 8 0. Se trzn tres circunferencis de igul rdio de tl mner que cd un ps por el centro de ls otrs dos. Hllr en función del rdio R, el áre de l región circulr común. RESPUESTA: R 1. En el tringulo ABC, CE es un ltur. Si AE, m A 60 ; m B 45.Hllr el áre del tringulo en función de. Respuest:. En un tringulo rectángulo de ldos 6, 8, 10 centímetros, se inscribe un circunferenci. Hllr el áre del círculo. Respuest: 4 cm.. ABCD es un trpecio isósceles y en el se inscribe un circunferenci. Si ls bses del trpecio miden respectivmente y 6 cm y si m( A) 60º. Hllr el áre de l región ryd. RESPUESTA: 8 4. Ls circunferencis son concéntrics y l cuerd AB de l circunferenci myor es tngente l circunferenci menor. Si l cuerd mide 8 cm. Hllr el áre del nillo determindo por ls dos circunferencis. RESPUESTA: 16
12 1 5. AB es un diámetro de un circunferenci de rdio 6 centímetros y centro K. Este diámetro se prolong hst C, un longitud igul l rdio. Por C se trz un perpendiculr ABC. L cuerd AD prolongd cort l perpendiculr nterior en P. Si m( CAP) 0º. 1) Hllr el áre interior l semicircunferenci y exterior l tringulo. ) Hllr el áre exterior l semicircunferenci e interior l tringulo. RESPUESTAS: 1) (4 ) cm ) 46,59 cm. Ayud: trzr el rdio OD 6. Encontrr el áre del tringulo rectángulo CDB Triángulos ACB y CDB rectángulos CA 8 m( A) 0º 7. Hllr el áre de l región ryd. C es el centro de l circunferenci de rdio 1 cm. T es un punto de tngenci. 8. Hllr el áre del tringulo DOC de l siguiente figur. ABCD es un trpecio isósceles BD AD AC = BD = 0 AB = 5
13 9. 1 ABC es un tringulo equilátero inscrito en un circunferenci de rdio. Hllr el áre de l región ryd. Ejercicios tomdos de los siguientes textos: Geometrí Euclidin de Nelson Londoño Geometrí Euclidin de Hemmerling Curso de Geometrí. Reunión de profesores Geometrí de Clemens y otros, de l serie Awli Geometrí de Edwin E. Moise Recopildos por: José Mnuel Montoy Miss. SOLUCION DE ALGUNOS EJERCICIOS: SOLUCION DEL EJERCICIO # 4 AM (L medin sobre l hipotenus mide l mitd de est. AB. El cteto opuesto un ángulo de 0 grdos mide l mitd de l hipotenus. BM Definición de medin AMBes equilátero. AM NB; BM NA De hipótesis. AMBN es un prlelogrmo AM NB; AN MB AM NB AN MB y se tiene que AMB ANB (L L L) Áre AMBN = áre AMB. Hllmos el áre del tringulo equilátero AMB y l multiplicmos por dos.
14 SOLUCION DEL EJERCICIO # 14 CE CD x; AD AF y; BF BE z Porque? AFOD es un prlelogrmo ( Por qué?) y = OF = rdio x z 10 y z 8 x y 6 Se resuelve el sistem y se lleg que y rdio y por lo tnto el áre del círculo es 4 En un cudrdo ABCD se d: D C F y A E D tles que BE es perpendiculr BF. Si EBF = 00 cm y ABCD = 56cm, hllr el vlor de CF. Ldo del cudrdo: BE BF 00 BE BF 400 (1) 1, por tener el mismo complemento el, por lo tnto BCF BAE por ser triángulos rectángulos con un ángulo gudo congruente. BF BC BF 16 1 BF BE y BE BA BE 16 reemplzndo en 1 tenemos que: BF 400 BF 0 En x BF BC x x x cm el BCF: En un trpecio isósceles ABCD con AD = CB = cm, ls digonles que miden 4 cm, son perpendiculres los ldos no prlelos. Hllr el áre de trpecio ABCD. CH = DK = h HB = KA = x Por Pitágors se hll que AB 5 cm. En el tringulo rectángulo CHB, se tiene: h 9 x (1) En el tringulo rectángulo CHA, se tiene:
15 15 h 16 (5 x) h 16 (5 10 x x ) h x x h 9 10 x x () Igulmos (1) y (): Reemplzmos en (1): 9 x 9 10x x 18 10x x 1,8 h 9 (1,8) h 9.4 h.4 CHB DKA Por qué? y por lo tnto HB = KA = 1,8 KH AB HB 5 (1,8) 1, 4 KH DC 1,4 Áre del trpecio ( AB DC) CH ,68cm Otr form de hcerlo: Áre del trpecio = Áre CHB + Áre KHCD + Áre DKA Áre CHB = Áre DKA 1,8,4,16 cm Áre KHCD 1,4.4.6cm Áre del trpecio,16,6,16 7,68cm El tringulo ABC es isósceles con AB AC; BN ycm son medins y se cortn en O. Demostrr que ls áres del cudrilátero ANOM y del tringulo COB son equivlentes. (Dos figurs tienen áres equivlentes cundo sus áres son igules) 1. Áre del tringulo CMB = Áre del 1. En un tringulo un medin determin tringulo CMA dos triángulos de igul áre.. Áre del tringulo COB + Áre tringulo. De 1. Sum de áres. BOM = Áre ANOM + Áre tringulo CON. BN CM. En un tringulo isósceles ls medins trzds los ldos congruentes son congruentes.
16 Teorem de ls medins en un tringulo. CO CM ; OM CM 4. 1 BO BN; ON BN 5. OM ON 5. De y 4. Por medir lo mismo. 6. OC OB 6. De y 4. Por medir lo mismo. 7. CN BM 7. De hipótesis, por ser mitdes de segmentos congruentes 8. CON BOM 8. De 5, 6, 7. L L L 9. Áre tringulo CON = Áre tringulo BOM 9. De Áre del tringulo COB = Áre ANOM 10. De 9 y. Ley cnceltiv Demostrr que el áre de un tringulo es igul l producto de su semiperimetro por el rdio de l circunferenci inscrit HIPOTESIS: r es el rdio de l circunferenci inscrit Continúe con l demostrción. pr TESIS: A p=perimetro Unimos el centro O de l circunferenci inscrit con los vértices del tringulo. El tringulo ABC qued dividido en los triángulos AOC, AOB, COB. Recordr que un rdio es perpendiculr l tngente en su punto de tngenci.
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