Torres Diaz, César Augusto

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Enrique Guzmán y Valle Alma Máter del Magisterio Nacional FACULTAD DE CIENCIAS Escuela Profesional de Matemática e Informática MONOGRAFÍA MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Matrices. Suma y roducto de matrices. Oeraciones elementales sobre filas y columnas. Matriz reducida. Rango de una matriz. Inversas de matrices cuadradas. Determinante de matrices cuadradas. Transformaciones lineales y matrices. Sistema de ecuaciones lineales. Solución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Alicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Didáctica de las Matrices y roblemas de regularidad, equivalencia y cambio. Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº D-FAC Presentada or: Torres Diaz, César Augusto Para otar al Título Profesional de Licenciado en Educación Esecialidad: Matemática e Informática Lima, Perú 2019

2 ii

3 iii Dedicatoria A Dios, a mi esosa, a mi hijo y a mis adres or ser quienes imulsan mi vida ara ser una ersona de bien.

4 iv Índice de contenidos Portada... i Hoja de firmas de jurado... ii Dedicatoria... iii Índice de contenidos... iv Lista de figuras... viii Introducción... ix Caítulo I. Álgebra de matrices Matrices Suma y roducto de matrices Suma de matrices Producto de matrices Multilicación de un escalar or una matriz Multilicación de dos matrices Oeraciones elementales sobre filas y columnas Intercambio de dos filas o columnas Multilicación de una fila o una columna or un escalar no nulo Sumar a una fila otra fila multilicada or un escalar no nulo Sumar a una columna otra columna multilicada or un escalar no nulo Matriz reducida Matriz escalonada or filas Matrices equivalentes Matriz escalonada reducida or filas Rango de una matriz... 27

5 v 1.6 Inversas de matrices cuadradas Matriz identidad Matriz inversa Obtención de la inversa de una matriz or el método Gauss-Jordan Determinante de matrices cuadradas Determinante de orden Determinante de orden Determinante de orden Regla de Sarrus Determinante de orden β β Matriz inversa or determinantes Matriz transuesta Adjunta de una matriz Teorema de la inversa de una matriz or determinantes Transformaciones lineales y matrices Matriz de una transformación lineal Caítulo II. Sistema de ecuaciones lineales con matrices Sistema de ecuaciones lineales Clasificación de los sistemas de ecuaciones Sistema comatible o consistente Sistema incomatible o inconsistente Sistemas lineales Sistemas no lineales Métodos ara resolver un sistema lineal Método de reducción de Gauss... 44

6 vi Método de la matriz inversa de Arthur Cayley Método de Gabriel Cramer Método matricial de Gauss Jordan Teorema de Rouché Frobenius Solución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos Solución de sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos Alicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales Alicación en la química Alicación en la electricidad Alicación en la metalurgia Caítulo III. Didáctica de las matrices y su cometencia matemática Didáctica de las matrices Definición de cometencia Por qué arender matrices? Para qué arender matrices? Cómo arender matrices? Cometencia matemática Actúa y iensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio Caacidades de la cometencia matemática Matematiza situaciones Comunica y reresenta ideas matemáticas Razona y argumenta generando ideas matemáticas Elabora y usa estrategias Alicación didáctica de las matrices usando la tecnología... 62

7 vii MS Excel ara la enseñanza de matrices Suma de matrices con Excel Producto de matrices con Excel Determinante de una matriz cuadrada con Excel Problemas de regularidad, equivalencia y cambio Caso I. Baños termales de Churín Caso II. El CO2 de los vehículos en mi comunidad Alicación didáctica Síntesis Areciación crítica y sugerencias Conclusiones Referencias... 81

8 viii Lista de figuras Figura 1. Circuito eléctrico con resistencias y baterías Figura 2. Fórmula ara la suma de dos matrices en Excel Figura 3. Función ara la suma de dos matrices en Excel Figura 4. Resultado de la suma de dos matrices en Excel Figura 5. Fórmula del roducto de dos matrices en Excel Figura 6. Resultado del roducto de dos matrices en Excel Figura 7. Determinante de una matriz cuadrada en Excel Figura 8. Resultado del determinante de una matriz cuadrada en Excel... 65

9 ix Introducción El hombre, desde sus inicios, se ha interrogado sobre todos los fenómenos naturales que acaecían a su alrededor; observaba erlejo y ensayaba múltiles exlicaciones, retendiendo entender una imredecible naturaleza. Pronto emezó a encontrar resuestas, aarentemente válidas, en lo mágico y lo religioso; desrovisto de ciencia retendió exlicar sus orígenes y creó mitos. Pero ha sido caaz de suerar dificultades y trascender gracias al lenguaje y a su roia caacidad cognoscitiva. Entonces, ha creado otros lenguajes y, rogresivamente, ha encontrado exlicaciones a sus incógnitas y ha comrobado sus hiótesis; surgieron así los conocimientos, como las matemáticas y la lógica. Por esa razón, odemos decir que el hombre ha accedido a un conocimiento de carácter exonencial; es decir, no ha configurado límites ara adquirir sabiduría; así ha conseguido que la humanidad se desarrolle y, además, sea caaz de dominar su entorno. Pronto debió urbanizar, hacer sus rimeros estudios de carácter sociológico, decidir cómo organizar y distribuir su economía y, sobre todo, acceder a la tecnología. Para ello, se sirvió del álgebra lineal y de las matrices. Estas últimas han sido de gran utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Conviene recisar que fue en la antigua Babilonia donde se inició el estudio de los arreglos rectangulares o las matrices. Desde entonces, el hombre se ha servido de ella ara alcanzar un sostenido rogreso en cuanto a las matemáticas, las ciencias y la informática. La investigación monográfica que roonemos tiene como roósito esclarecer concetos relevantes acerca de las matrices, como arreglos rectangulares, y su imlicancia en lo cotidiano. No olvidemos que la teoría de matrices, como arreglos rectangulares, tiene alicación en diferentes ramas de las matemáticas. Asimismo, tiene como rioridad lograr

10 x que los estudiantes se aroien de destrezas, orientadas al desarrollo de roblemas y sean caaces de inferir las alicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. De otro lado, retende dejar en claro los niveles de comlejidad que imlica la enseñanza de matrices y alentar el ensamiento a través de la resolución de ejercicios que reflejen situaciones roias del entorno social. También retendemos, a través de esta rouesta, lograr que los estudiantes obtengan conclusiones y, en una rimera instancia, resuelvan oeraciones elementales con matrices; osteriormente, abordarán situaciones más comlejas. De esta forma, estaremos alentando el roceso de análisis y de creatividad. La investigación que onemos en consideración del magisterio nacional roone tres caítulos, convenientemente delimitados: el rimero aborda lo referido al Álgebra de matrices; el segundo describe El sistema de ecuaciones con matrices, e incluimos ejemlos rácticos seguidos de una adecuada secuencia didáctica; en el tercero resentamos la Didáctica de las matrices y su cometencia matemática. Este último caítulo es gravitante orque de ninguna manera el estudiante debe ser un mero recetor de un conocimiento, que otro, aarentemente un esecialista, le transmite. Se trata de hacer un arendizaje significativo; es decir, reconocer los saberes revios y las motivaciones del arendiz; de igual forma, reconocer los estilos de arendizaje. Quienes estamos inmersos en el quehacer educativo, conocemos diversas estrategias y metodologías y, ciertamente, onderamos su esencia, cual es, acceder al conocimiento, involucrando necesariamente la imaginación, la discusión, el análisis, la imrescindible reflexión, la observación o la exerimentación, la crítica y la creatividad; esto, sobre todo, cuando a la luz de los resultados vemos que nuestra educación aún conserva viejos lastres y sigue aelando a metodologías desfasadas.

11 xi Finalmente, tenemos la certeza de que la investigación no está necesariamente finiquitada, y menos cuando el tema de estudio reviste tanta imortancia a lo largo de los años y ha ermitido el rogreso del hombre en muchas áreas concernientes a su desarrollo científico, tecnológico y social. Por esta razón, nos reafirmamos en la idea de que todo conocimiento se renueva y la discusión alturada sigue vigente. Solo nos queda renovar nuestro viejo comromiso de imulsar nuestra educación junto a nuestros miles de colegas.

12 12 Caítulo I Álgebra de matrices 1.1 Matrices Una matriz es un objeto matemático reresentado or un ordenamiento rectangular de escalares organizados en filas y columnas (Hernández, 2018,. 28). El conjunto horizontal de escalares se llama fila y el conjunto vertical de escalares se llama columna además el número total de filas or el número total de columnas se llama tamaño de la matriz (Hernández, 2018,. 28). Los ordenamientos rectangulares se indican con letras caitulares como P y sus elementos en su interior con letras menores (Buitrago, 2009) β P= α1... αβ α β El tamaño de un ordenamiento rectangular es el roducto de conjuntos de escalares horizontales or conjuntos de escalares verticales, así, este ordenamiento rectangular es de magnitud α β (Asociación Fondo de Investigadores y Editores [AFINED], 2013).

13 13 Entonces P es un ordenamiento rectangular de magnitud α β donde ij es un elemento del ordenamiento rectangular P (AFINED, 2013). Sea P un ordenamiento cuadrado de escalares con una magnitud de tres or tres ya que tiene tres conjuntos de escalares horizontales y tres conjuntos de escalares verticales (Buitrago, 2009) P= Sea Q un ordenamiento rectangular de escalares con una magnitud de dos or tres ya que tiene dos conjuntos de escalares horizontales y tres conjuntos de escalares verticales (Buitrago, 2009) Q= De acuerdo a la forma de los ordenamientos de sus elementos estos ueden ser cuadrados o rectangulares, aquí veremos los más utilizados en el álgebra de ordenamientos de escalares (AFINED, 2013). La matriz fila es un ordenamiento rectangular con un solo conjunto de escalares horizontales y β conjuntos de escalares verticales (Buitrago, 2009,. 4). Son ordenamientos rectangulares con un solo conjunto de escalares horizontales P, Q, R y S (AFINED, 2013). P = Q = R = S =

14 14 La matriz columna tiene un solo conjunto de escalares verticales y α conjuntos de escalares horizontales (Buitrago, 2009,. 4). Son ordenamientos rectangulares con un solo conjunto de escalares verticales P y Q (AFINED, 2013). 1 6 P = 1 Q = La matriz triangular suerior es un ordenamiento de escalares de tio cuadrado, en la que los elementos or debajo de la diagonal rincial son ceros (Buitrago, 2009,. 5) P= Q= La matriz triangular inferior es un ordenamiento de escalares de tio cuadrado, en la que los elementos or encima de la diagonal rincial son ceros (Buitrago, 2009,. 5) P= Q= La matriz escalar es un ordenamiento de tio cuadrado diagonal, en la que los elementos de la diagonal rincial son iguales (Buitrago, 2009,. 5) P= Q=

15 15 La matriz ouesta es aquella que es la ouesta de un ordenamiento rectangular dado como P, y se denota or -P cuando tiene todos los términos iguales y contrarios (Buitrago, 2009,. 6) P= P= la matriz simétrica es un ordenamiento de escalares de tio cuadrado que es igual a su transuesta y viceversa (Buitrago, 2009,. 6) T P= P = T Q= Q = Suma y roducto de matrices Suma de matrices. Es osible realizar la suma entre dos ordenamientos rectangulares P y Q; siemre y cuando sean del mismo orden (P, Q)Mα β (Gutiérrez y Ochoa, 2014). Dados dos ordenamientos rectangulares P y Q se define la suma como otro ordenamiento rectangular P+Q de la misma magnitud (Buitrago, 2009).

16 P= ; Q= P+Q= = Se tiene dos ordenamientos rectangulares R y S de la misma magnitud se define la suma como otro ordenamiento rectangular R+S de la misma magnitud (Buitrago, 2009) R= 2 3 ; S= R+S= = = La suma de los ordenamientos rectangulares resenta las siguientes roiedades: Cerradura. Se cumle (P+Q)Mα β, la suma de dos matrices es otra matriz R (Gutiérrez y Ochoa, 2014,. 8) P= Q= R Conmutativa. Se cumle P+Q=Q+P (Gutiérrez y Ochoa, 2014,. 8) P= Q= Asociativa. Se cumle P+(Q+R) = (P+Q)+R (Gutiérrez y Ochoa, 2014,. 8) P= Q=

17 17 Existencia del neutro. Sea la matriz 0Mα β llamado elemento neutro ara la suma tal que ara todo PMα β se cumle P+0 = P, 0 es una matriz donde sus comonentes son ceros (Gutiérrez y Ochoa, 2014,. 8) P= 0= P+0= Inverso aditivo. Para cada elemento de P existe un elemento - P, llamado inverso aditivo de P, tal que P + (-P) = 0 (Gutiérrez y Ochoa, 2014,. 8) P= -P= Producto de matrices Multilicación de un escalar or una matriz. El roducto de un escalar kr or un ordenamiento rectangular PMα β está definido como otro ordenamiento rectangular Mα β (Gutiérrez y Ochoa, 2014). Dado un ordenamiento rectangular P de magnitud α β y una constante kr, se define la multilicación escalar de P or k como k P (Buitrago, 2009). Se dice que P, Q y R son múltilos de 3P, 4Q y 5R (Buitrago, 2009). 15 3(15) (30) 90 P= 10 3P= 3(10) = (25) (20) Q= 2 4 4Q= 4(2) 4(4) =

18 (1) 5(2) 5 10 R= 5R= = 3 4 5(3) 5(4) Multilicación de dos matrices. La multilicación de dos ordenamientos rectangulares P Q se define en términos del roducto interno entre los conjuntos de escalares horizontales del ordenamiento P con los conjuntos de escalares verticales del ordenamiento Q (Hernández, 2018) P= ; Q= R r 11= 3 2 = = r 21= 4 1 = =14 2 Este roducto está definido solo si el número de conjuntos de escalares verticales del rimer ordenamiento P es igual al número de conjuntos de escalares horizontales del segundo ordenamiento Q (Hernández, 2018) P= ; Q= R R= ; S= 1 T Nótese que la cantidad de filas de la rimera matriz y la cantidad de columnas de la segunda, determinan la magnitud de la matriz resultado (Hernández, 2018,. 32). P 3x3 Q 3x1 R3x1

19 19 R 4x4 S 4x2 T4x2 U 1X2 V 2x4 T1x4 El Producto de las matrices P Q será una matriz R de magnitud 2x1 distinto a los ordenamientos rectangulares originales (AFINED, 2013) P= ; Q= r R= = r r 11= 3 2 = = r 21= 4 1 = =14 2 r11 13 R= = r El roducto de los ordenamientos rectangulares U V dará como resultado un ordenamiento rectangular W de magnitud 2x1 (AFINED, 2013) U= ; V= w W= = w w 11= 8 6 = = w 21= 5 4 = =14 1

20 20 w11 22 W= = w La multilicación de ordenamientos rectangulares resenta las siguientes roiedades: Asociativa. La roiedad asociativa se cumle, si P Mα β, Q Mβ y R M, entonces P (Q R) = (P Q) R (Gutiérrez y Ochoa, 2014,. 13). P Q R = P Q R P S =T R V =U 2x3 3x1 1x3 2x3 3x1 1x3 2x3 3x3 2x1 1x3 2x3 2x3 Distributiva. La roiedad distributiva se cumle, si P Mα β, Q Mβ y R M, entonces P (Q + R) = (P Q) + (P R) (Gutiérrez y Ochoa, 2014,. 13) P= ; Q= R= P (Q+R)= PQ+P R= Elemento neutro multilicativo. Algunas matrices bajo ciertas condiciones del orden entre matrices tienen un elemento identidad (Gutiérrez y Ochoa, 2014,. 13) P= I= P I= = Oeraciones elementales sobre filas y columnas Cuando se hace una maniulación or conjuntos de escalares verticales u horizontales de un ordenamiento rectangular se está modificando el valor de uno o más elementos del mismo (Hernández, 2018).

21 Intercambio de dos filas o columnas. Dos conjuntos escalares horizontales diferentes del ordenamiento rectangular intercambian de osición, igualmente que los conjuntos escalares verticales ueden hacerlo (Hernández, 2018). Si al rimer conjunto de escalares horizontales lo intercambiamos or el tercer conjunto de escalares horizontales y viceversa esto se reresenta or h1h3 (AFINED, 2013) h1h Si al segundo conjunto de escalares verticales lo intercambiamos or el rimer conjunto de escalares verticales y viceversa esto se reresenta or v1v3 (AFINED, 2013) v2v Si al segundo conjunto de escalares verticales lo intercambiamos or el tercer conjunto de escalares verticales y viceversa esto se reresenta or v2v3 (AFINED, 2013) v2v

22 Multilicación de una fila o una columna or un escalar no nulo. A un conjunto de escalares horizontales se le afecta or un escalar diferente de cero roduciendo un nuevo conjunto de escalares igualmente sucede con el conjunto de escalares verticales (Hernández, 2018). Si al segundo conjunto de escalares horizontales lo afectamos or un escalar /2 y se reresenta or h2/2h2 (AFINED, 2013) π h2 h π π 2π 4π Si al segundo conjunto de escalares verticales lo afectamos or un escalar /2 y se reresenta or v2/2v2 (AFINED, 2013) π 5 7 π v2 v π π π Si al tercer conjunto de escalares verticales lo afectamos or un escalar y se reresenta or v 3 v 3 (AFINED, 2013) π v3πv π π Sumar a una fila otra fila multilicada or un escalar no nulo. A un conjunto de escalares horizontales se le suma el múltilo escalar de otro conjunto, lo que roduce un nuevo conjunto de escalares (Hernández, 2018).

23 23 Restarle al conjunto de escalares horizontales h1 otro conjunto de escalares horizontales h2, h1h1-h2 (AFINED, 2013) h1h1 -h2 P= Sumarle al conjunto de escalares horizontales h1 otro conjunto de escalares horizontales h2, h1h1+h2 (AFINED, 2013) h1h 1 +h2 P= Sumar a una columna otra columna multilicada or un escalar no nulo. A un conjunto de escalares verticales se le suma el múltilo escalar de otro conjunto, lo que roduce un nuevo conjunto de escalares (Hernández, 2018). Restarle al conjunto de escalares verticales v1 otro conjunto de escalares verticales v2, v1v1-v2 (AFINED, 2013) v1 v1 -v2 P= Sumarle al conjunto de escalares verticales v1 otro conjunto de escalares verticales v2, v1v1+v2 (AFINED, 2013) v1 v 1 +v Q=

24 Matriz reducida Matriz escalonada or filas. Un ordenamiento rectangular P es escalonado si el número de ceros aumenta de conjunto de escalares horizontales en conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013). Si existen conjuntos escalares horizontales nulos, son los últimos (Buitrago, 2009) P= Q= En cada conjunto de escalares verticales donde hay un elemento rincial, los elementos or debajo de este son ceros (Buitrago, 2009) R= Matrices equivalentes. Se dice que un ordenamiento rectangular P es equivalente, or conjuntos de escalares horizontales o or conjuntos de escalares verticales, a otro Q, si este último se ha obtenido de la rimera or medio de cálculos básicos (AFINED, 2013). El ordenamiento rectangular P es equivalente or conjuntos de escalares horizontales al nuevo ordenamiento rectangular, orque al rimer conjunto de escalares horizontales se le resto el segundo conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013).

25 h1h1 -h P= El ordenamiento rectangular Q es equivalente or conjuntos de escalares horizontales al nuevo ordenamiento rectangular, orque al rimer conjunto de escalares horizontales se le sumo el segundo conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013) h1h 1 +h 2 Q= El ordenamiento rectangular R es equivalente or conjuntos de escalares horizontales al nuevo ordenamiento rectangular, orque al rimer conjunto de escalares horizontales se le sumo el doble del segundo conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013) h1h 1 +2h R= Matriz escalonada reducida or filas. Alique cálculos básicos a los conjuntos de escalares horizontales ara transformar el siguiente ordenamiento a su forma escalonada reducida (Lay, 2007).

26 h1h 1 +h P= h2 h 2 +2h1 h3 h3-4h1 h4 h4 -h h3 h 3 +h h 3 P= h h1h1 -h P= Emiece con el conjunto de escalares verticales distinto de cero que se encuentra más a la izquierda (Lay, 2007). En este caso es conjunto de escalares verticales del elemento rincial. La osición del elemento rincial está en la arte suerior (Lay, 2007). Seleccione como elemento rincial una entrada distinta de cero del conjunto de escalares verticales del elemento rincial (Lay, 2007). Si es necesario, intercambie conjuntos de escalares horizontales ara mover esta entrada a la osición del elemento rincial (Lay, 2007). Use cálculos de reemlazo a los conjuntos de escalares horizontales ara crear ceros en todas las osiciones ubicadas debajo del elemento rincial (Lay, 2007). Cubra el conjunto de escalares horizontales que contiene la osición del elemento rincial y cubra todos los conjuntos de escalares horizontales (Lay, 2007).

27 27 Alique los asos anteriores realizados a la sub matriz restante. Reita el roceso hasta que no haya más conjuntos de escalares horizontales distintos de cero or modificar (Lay, 2007,. 18). Comience con el elemento rincial situado más a la diestra trabajando hacia lo alto y a la siniestra, cree ceros arriba de cada elemento rincial (Lay, 2007). Si un elemento rincial no es uno, hágalo uno mediante un cálculo escalonado horizontal o vertical (Lay, 2007). 1.5 Rango de una matriz El número máximo de conjuntos de escalares verticales se llama rango or conjunto de escalares verticales (AFINED, 2013). El número máximo de conjuntos de escalares horizontales se llama rango or conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013). Se demuestra que el rango or filas es igual al rango or columnas además se llama rango de una matriz al número de filas o columnas (AFINED, 2013,. 47). La submatriz cuadrada de mayor orden contenida en P, Q y R será el rango de P, Q y R (AFINED, 2013,. 47) h1h1 -h h2 h2 -h P= P= r(p)= h1h h2 h2-2h h1h1 -h Q= Q= r(q)=

28 28 1 h1h1 - h h 2 1h2 h2 h2-4h R= h2 h R= R= r(r)= Inversas de matrices cuadradas Matriz identidad. Es un ordenamiento cuadrado del tio escalar en la cual la constante es uno (Buitrago, 2009) P= = I Q= = I Matriz inversa. Un ordenamiento de escalares de tio cuadrado es invertible si se encontrase otro ordenamiento tal que: P P -1 =I y viceversa (Hernández, 2018). Encuentre el inverso del ordenamiento de escalares de tio cuadrado P si existe (Lay, 2007).

29 P= ; Q= PQ= = = QP= = = P Q =Q P =I Obtención de la inversa de una matriz or el método de Gauss-Jordan. Si el conjunto de todas las oeraciones fila necesarias ara convertir a un ordenamiento de tio cuadrado P en una identidad se alican a un ordenamiento identidad, esta se convierte en el ordenamiento inverso de P (Hernández, 2018,. 38). Si P e I se colocan lado a lado ara formar un ordenamiento escalonado [P I], entonces las oeraciones de fila en este ordenamiento roducen oeraciones idénticas sobre P e I (Lay, 2007,. 124) P= ; I= h2 h h 2 2 h2-3h P I = h1h1-5h P I = P =

30 Determinante de matrices cuadradas Es una función tal que, al ser alicada a un ordenamiento de escalares de tio cuadrado, la convierte en un escalar real o comlejo (AFINED, 2013,. 32). Sea P un ordenamiento de escalares del tio cuadrado; el determinante de P se reresenta or P o det(p) (AFINED, 2013) La determinante de un ordenamiento de escalares de tio cuadrado resenta las siguientes roiedades generales: Un ordenamiento de escalares de tio cuadrado y su transuesta tiene el mismo determinante; es decir, P = P T (AFINED, 2013). 3 6 P= P = = T T P = P = =0 2 2 Sean los ordenamientos de escalares cuadrados P y Q de la misma magnitud; entonces, se cumle que: P Q = P Q (AFINED, 2013). 3 5 P= P = = Q= Q = = PQ= = = PQ = = =1 0 1 P Q = P Q 1=1 1 1=1

31 31 Si un ordenamiento de escalares de tio cuadrado tiene los elementos de dos conjuntos de escalares horizontales o dos verticales, resectivamente roorcionales entre sí, entonces su determinante siemre será cero (AFINED, 2013). 3 6 P= P = = x 3x Q= Q =x 3y-3x y=3xy-3xy=0 y 3y 2 2 Si se intercambian dos conjuntos de escalares horizontales o dos conjuntos de escalares verticales de un ordenamiento de escalares del tio cuadrado, su determinante cambia de signo (AFINED, 2013). 3 6 P= P = = T Q= P = = El determinante de un ordenamiento de escalares del tio cuadrado, triangular inferior o triangular suerior es igual a multilicar los elementos de la diagonal rincial (AFINED, 2013) P = =1 2 3= Q = = =

32 R = =213 2= S = =44 4= Determinante de orden 1 1. Se llama determinante de un ordenamiento de escalares cuadrado de magnitud 1 1, formada or el elemento 11, que da como resultado al roio elemento 11, entonces el determinante será el mismo elemento del ordenamiento (AFINED, 2013). P= P =8 Q= Q =-10 R= senθ 1 1 R =senθ S= 1+i 1 1 S =1+i Determinante de orden 2 2. Sea el ordenamiento de escalares del tio cuadrado de magnitud 2 2 con elementos 11, 12, 21 y 22 entonces se define su determinante: P = (AFINED, 2013). 3 2 P= P = = x y Q= Q =x x-y y=x 2 -y 2 y x 2 2

33 R= Q = =18-18= Determinante de orden Regla de Sarrus. Se emlea en el ordenamiento de escalares del tio cuadrado de magnitud 3 3 trasladando los dos rimeros conjuntos de escalares verticales a la arte final y se efectúan multilicaciones en dirección cruzada, como se indica (AFINED, 2013). Sea: P= Para estimar su determinante escribimos (AFINED, 2013) P = P =( )-( ) Emlee este roceso ara estimar el determinante de P (Lay, 2007) P= P = P =( (-2)+3 (-1) 1)-((-2) (-1) 2) = = -13

34 Determinante de orden β β. El determinante de un ordenamiento de escalares del tio cuadrado P de orden β β es igual a la suma de los roductos obtenidos de multilicar a los elementos de cualquier fila (o columna) or sus resectivos cofactores (AFINED, 2013,. 36). Si elegimos la fila i, tenemos (AFINED, 2013,. 36). i+j β P = P + P P = (-1) P i1 i1 i2 i2 iβ iβ j=1 ij ij Si elegimos la columna j, tenemos (AFINED, 2013,. 36). i+j β P = P + P P = (-1) P 1j 1j 2j 2j βj βj i=1 ij ij Use el desarrollo or cofactores a lo largo del rimer conjunto de escalares horizontales ara calcular el determinante de P (Lay, 2007,. 188) P= P = P - P + P Donde: P 11= =0-4= P 12 = = = P 13= = = P = =1 (0-4)-2 (-5+8)+3 (-1+0)=

35 Matriz inversa or determinantes Matriz transuesta. Sea un ordenamiento de escalares del tio cuadrado P, Se llama transuesta de P a lo denotado or P T y definida or P T =(ij)β α (AFINED, 2013). Es decir, dado los ordenamientos P y Q, se determina su transuesta denotada or P T y Q T ermutando todas las filas or las columnas (AFINED, 2013,. 27) T P= P = T Q= Q = Dados los ordenamientos de tio cuadrado A, B y C indique el ordenamiento de escalares de tio cuadrado transuesto en cada caso (AFINED, 2013) A= ; B= ; C= T T T A = 3 4 ; B = ; C = Adjunta de una matriz. Sea Q un ordenamiento de escalares del tio cuadrado de cofactores de V; luego, a la transuesta de los ordenamientos de tio cuadrado de cofactores, denotada or Adj(V), se denomina adjunta del ordenamiento de tio cuadrado de V (AFINED, 2013,. 40).

36 Q= ij i+j Los cofactores son : V = -1 M ij 1+1 V 11=(-1) (2)=2 1+2 V 12 =(-1) (1)= V 21=(-1) (2)= V 22 =(-1) (4)=4 Luego, el ordenamiento de tio cuadrado de cofactores de P es: 2-1 cof(v)= -2 4 Entonces, la Adj V es: 2-2 Adj(V)= Teorema de la inversa de una matriz or determinantes. Un ordenamiento de escalares del tio cuadrado V tiene inversa si y solo si es una matriz no singular; en tal caso, se dice que es invertible (AFINED, 2013). Sea V un ordenamiento de escalares del tio cuadrado invertible, entonces el ordenamiento de escalares inverso está dada or V -1 =(Adj(V)/ V ) (AFINED, 2013). 4 3 V= ij i+j Los cofactores son : V = -1 M ij 1+1 V 11=(-1) (2)=2

37 V 12=(-1) (2)= V 21=(-1) (3)= V 22=(-1) (4)= cof(v)= Adj(V)= Hallando V : 4 3 V= V = = Entonces, el ordenamiento de escalares inverso será: -1 Adj(V) V = V V = V = Transformaciones lineales y matrices Las T.L se caracterizan orque conservan la estructura algebraica de los conjuntos entre los que se define (Buitrago, 2009,. 303). Una T.L es una función T: VW que asigna a cada vector vv un único vector uw denotado or T(v) (Buitrago, 2009,. 303). Para todo (u, v)v, T(u+v) =T(u)+T(v) (Buitrago, 2009,. 303). T(u+v)=k(x +x,y +y,z +z ) T(u+v)=k(x,y,z )+k(x,y,z ) T(u+v)=ku+kv T(u+v)=T(u)+T(v) Para todo uv y ara todo R T(u)=T(u) (Buitrago, 2009,. 333).

38 38 T( u) T( x, y, z ) k( x, y, z ) T( u) (kx,ky,kz ) T( u) T(u) Una T.L es una función entre esacios vectoriales que conservan su estructura (Buitrago, 2009,. 335). El núcleo de una T.L es el conjunto de vectores que tienen como imagen al vector nulo (Buitrago, 2009,. 335). La nulidad de una T.L de la función T es la dimensión del núcleo de la misma (Buitrago, 2009,. 335). La imagen de una T.L es el conjunto de vectores, que son imagen de otro vector (Buitrago, 2009,. 335). El rango de una T.L de la función T es la dimensión de la imagen de la misma (Buitrago, 2009,. 335) Matriz de una transformación lineal. Sea T: VW, T es lineal; donde v1, v2,, vn elementos de la base V y u1, u2,...,un son elementos de la base W (Buitrago, 2009,. 335). T(v )= u + u + u + + u α1 m T(v )= u + u + u + + u α2 m... T(v )= u + u + u + + u n 1β 1 2β 2 3β 3 αβ m Ahora generamos el ordenamiento rectangular PT: β β P= T... α1 α2 α3...αβ α β

39 39 Sea T:V(x)W(x); T(ax+bx+cx 2 )=ax+b+c; v=1; 1-x;1+x+x 2 ; u=1-x; 1+x (Buitrago, 2009,. 336). T(1)=1.x+0+0=x T(1-x)=1.x-1+0=x-1 2 T(1+x+x )=1.x+1+1=x+2 x= 11(1-x)+ 21(1+x) x=( )+x (21-11) = =1-1 1 ( 11= ; 21= ) 2 2 x-1= (1-x)+ (1+x) x-1=( + )+x ( - ) =-1 ( 12=-1; 22=0) =1 x+2= (1-x)+ (1+x) x+2=( + )+x ( - ) =2 1 3 ( 13= ; 23= ) =1 2 2 P= T

40 40 Caítulo II Sistema de ecuaciones lineales con matrices 2.1 Sistema de ecuaciones lineales Es un agruamiento de igualdades lineales o no lineales con diferentes interrogantes, que rovocan en forma sincronizada valores atribuidos a sus interrogantes de manera lógica (AFINED, 2013). Se tiene dos interrogantes en el sistema de dos igualdades y se cumlen conjuntamente ara x=3; y=1 (AFINED, 2013). 6x+10y=28 (x=3; y= 1) 4x-10y=2 Se tiene tres interrogantes en el sistema de tres igualdades y se cumlen conjuntamente ara x=2; y=2; z=2 (AFINED, 2013). 4x+2y-2z=8 x+y+z=6 (x=2; y =2; z=2) 6x-2y=8 Se tiene dos interrogantes en el sistema de dos igualdades y cumlen conjuntamente ara x=5; y=-5 (AFINED, 2013).

41 41 4x y= =2 x - 4 y + 2 x=5; y = -5 Cuando en el sistema una igualdad no es lineal, se dice que no es lineal dicho sistema (AFINED, 2013). 3x+3y=24 2x y 26 6x3y 35 4x y - 8=6 Si existe, la solución de un sistema de igualdades, recisa del número de interrogantes (AFINED, 2013,. 82). (x=2 y=6) (x=5 y=3) Si se tiene dos interrogantes en el sistema, una solución será (x0; y0), llamado ar ordenado (AFINED, 2013). C.S= (2;6),(5;3) Si se tiene tres interrogantes en el sistema, una solución será (x0; y0; z0), llamada terna ordenada (AFINED, 2013). 0x+4y-5z=0-4x+0y+7z=0 5x-7y+0z=0 Si se tiene n interrogantes, una solución será (x1; x2; ; xn) de n elementos, llamada n-ada ordenada (AFINED, 2013). Es el C.S formado or todas las resuestas del sistema; en el caso de existir solución, su conjunto solución es el conjunto (AFINED, 2013,. 82).

42 Clasificación de los sistemas de ecuaciones. Se organizan de acuerdo a ciertas cualidades (AFINED, 2013,. 82) Sistema comatible o consistente. Es aquel que tiene al menos una resuesta, es decir, su C.S tiene al menos un elemento (AFINED, 2013,. 82). 6x-2y=18 (x=4; y=3) CS= (4;3) x+2y=10 3x-3y=27 (x=3;y=1) C.S= (3;1),... 8x-8y=16 6x+2y=8 3 y y=-3x+4 C.S= (-2;10),... x+ = Sistema incomatible o inconsistente. Su cualidad es que no tiene resuesta; es decir, su conjunto solución es el (AFINED, 2013,. 83). 8x+4y=10 16x+8y=6 10=3, lo cual es absurdo C.S= Sistemas lineales. Se debe esta denominación a que, en el esacio euclideo, estas igualdades determinan rectas, lanos o hierlanos (AFINED, 2013,. 84). La forma general de un sistema de igualdades lineales es (AFINED, 2013).

43 43 x + x x =d x + x x =d x + x x =d β n β n β n 3.. x + x x =d m1 1 m2 2 αβ n m La forma articular de un sistema de igualdades es (AFINED, 2013). 6x+12y-6z=8 2x+4y-2z=12 12x-6y+10z=2 2x-2y+4z=6 2x- 3y= 5 3x+4y= Sistemas no lineales. Son aquellos sistemas donde al menos una de las igualdades es no lineal; es decir, uede ser olinomial de grado n 2, racional, irracional, etc (AFINED, 2013,. 84). Sistemas olinomiales de grado suerior (AFINED, 2013,. 84) x +xy+y=1 x +4y =25 x+y=3 ; x+2y= x +4y =25 x +xy+y=1 Sistemas no algebraicos no olinomiales (AFINED, 2013,. 84). x.logy=2 ; 3x+3y=1 3 x+y log3x-log x=1 3-2y=5 x+y x+y x 2-5y =5 x.logy =2

44 Métodos ara resolver un sistema lineal Método de reducción de Gauss. Radica en ir reduciendo igualdades e interrogantes logrando resentar una sola igualdad con la mínima cuantía de variables (AFINED, 2013). 6x+10y=28...(I) 4x-2y=10...(II) De la ecuación II y=2x-5...(α) Suliendo en la igualdad (I) 6x+10(2x-5)=28 6x+20x-50=28 26x=78 x=3 Suliendo en la igualdad () y=2(3)-5=1 CS= 3; Método de la matriz inversa de Arthur Cayley. Se basa en el emleo de los ordenamientos rectangulares de tio inverso ara la determinación de los sistemas lineales delimitados. Se emlea en sistemas lineales donde el número de igualdades es idéntico al número de interrogantes (AFINED, 2013). Para determinar el sistema lineal: x + x x =d x + x x =d β n β n 2. x + x x =d β1 1 β2 2 ββ n n

45 45 Este sistema genérico de igualdades lineales es encaminado a una igualdad matricial, de manera consecuente a: PX=D (AFINED, 2013) β x1 d β x 2 d β x 3 = d 3... x β1 β2 β3... ββ n d n Aislando la igualdad de ordenamientos rectangulares: x β d1 x β d 2 x 3 = β d -1 3 X = P D... x n β1 β2 β3... d ββ n -1 Este sistema articular de igualdades lineales es encaminado a una igualdad matricial, de manera consecuente a: PX=D (AFINED, 2013). 6x-2y=18 x+2y= x 18 = 1 2 y 10-1 x = y Averiguando el ordenamiento inverso de tio cuadrado de 2 2: h 1 h 2 h 2 h 2-6h1

46 h 2 h h 1 h 1-2h Oerando el roducto de ordenamientos rectangulares: x = = = (x=4;y=3) C.S= (4;3) y Método de Gabriel Cramer. La cantidad de igualdades de ciertas variables es idéntica a la cantidad de interrogantes, encima de que el determinante de los coeficientes de las interrogantes es diferente de cero (AFINED, 2013). Alicando el rocedimiento de Cramer (AFINED, 2013). x + x x =d x + x x =d... x + x x =d β n β n 2 β1 1 β2 2 ββ n n Estimamos: β β β1 β2 ββ β β β1...d β d 2...2β P = 0; P j = d... β2 n ββ β β En seguida, el resultado viene asignado or (AFINED, 2013). Pj x j= ;j=1;2;...;n P

47 47 Donde P es el ordenamiento de escalares de tio cuadrado del sistema de igualdades (AFINED, 2013) β β P= β... β1 β2 β3... ββ β β Con determinante no nulo: P 0 y Pj es el ordenamiento que se obtiene a artir del ordenamiento de escalares de tio cuadrado P, cambiando los elementos de la columna j or los términos indeendientes (AFINED, 2013,. 88). Emlee el roceso de Cramer ara cuantificar el sistema (Lay, 2007). 6x+10y=28 4x-2y= P = = = P 1 = = = P 2 = = = Determinando las interrogantes: P -156 P x=x 1= = =3 P -52 P y=x 2= = =1 (x=3;y=1) C.S= (3;1)

48 Método matricial de Gauss Jordan. Este rocedimiento es arecido al roceso de reducción y ermite cuantificar un sistema lineal de forma de ordenamientos rectangulares (AFINED, 2013). Se alica ara sistemas lineales donde la cantidad de interrogantes es diferente a la cantidad de igualdades (AFINED, 2013). Se basa en triangular un ordenamiento rectangular aumentado mediante algunas oeraciones elementales or filas ara desués obtener fácilmente las soluciones con solo desejar las incógnitas desde la última ecuación hasta la rimera (AFINED, 2013,. 89). Sea el sistema lineal (AFINED, 2013,. 89). 11x 1+12x βx n =d1 21x 1+22x βx n =d2 x + x x =d β n 3... α1x 1+α2x αβx n =dm Se llama ordenamiento rectangular aumentado al ordenamiento rectangular de la forma (AFINED, 2013).... d... d... d d β β β 3 α1 α2 α3 αβ m Descubra el sistema (Poole, 2018). 6x+10y=28 4x-2y=10 3x+5y=14 2x-y=5

49 49 Redacte el ordenamiento rectangular aumentado del sistema de igualdades lineales de dos interrogantes (Poole, 2011) h1h1 -h2 h2 h2-2h1 Estime el sistema equivalente que corresonda al ordenamiento de escalares reducido or conjuntos de escalares horizontales (Poole, 2018). x+6y=9 0x-13y=-13 (I) (II) Suliendo en la igualdad (II) -13y=-13 y=1 (II) en (I) : x+6(1)=9 x=3 (x=3;y=1) C.S= (3;1) Teorema de Rouché Frobenius. Sean C el ordenamiento rectangular de los coeficientes de las incógnitas y B el ordenamiento rectangular aumentado con los términos indeendientes como último conjunto de escalares verticales (AFINED, 2013). Del sistema de igualdades generamos los ordenamientos B y C (AFINED, 2013). 11x 1+12x βx n =d1 21x 1+22x βx n =d2... x + x x =d α1 1 α2 2 αβ n m β β C=... α1 α2 α3... αβ α β

50 β d β d 2 B= d α1 α2 α3 αβ m La cualidad necesaria e idónea ara que el sistema sea comatible, esto es, ara que tenga resultado, es que el rango de C sea idéntico al rango de B (AFINED, 2013). Si el r(c)=r(b)=n, el sistema tendrá solución única (comatible determinado) (AFINED, 2013,. 90). Si el r(c)=r(b)=k<n, el sistema tendrá infinitas soluciones y deenderá exactamente de (n-k) arámetros (comatible indeterminado) (AFINED, 2013,. 90). si el r(b) r(c), el sistema de ecuaciones no tendrá solución (sistema incomatible) (AFINED, 2013,. 90). Todo sistema con igual cantidad de igualdades que interrogantes tiene resolución o es incomatible (AFINED, 2013). x y 1 x y 2 Se tiene el ordenamiento rectangular aumentado (AFINED, 2013) h2h1 Como el rango del ordenamiento rectangular de coeficientes es diferente al rango del ordenamiento aumentado, en tal caso es incomatible (AFINED, 2013). Todo sistema con más interrogantes que igualdades tiene resuesta o no tiene resuesta (AFINED, 2013). x 2y 4z 3 2x 4y 8z 2

51 51 Se tiene el ordenamiento rectangular aumentado de magnitud dos or cuatro y se alica cálculos básicos de intercambio (AFINED, 2013,. 91) h22h1 Como el rango del ordenamiento rectangular de coeficientes es distinto al rango del ordenamiento aumentado, en tal caso no tiene resuesta (AFINED, 2013). 2.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos Son aquellos sistemas lineales donde cada ecuación tiene termino indeendiente nulo (AFINED, 2013,. 96). Todo sistema lineal homogéneo es comatible; al menos resenta una solución trivial de la forma. (0; 0; ;0) (AFINED, 2013,. 96). El estudio de los sistemas lineales homogéneos siemre se centrará en investigar si existen otras soluciones aarte de la trivial (AFINED, 2013,. 96). El sistema lineal homogéneo (AFINED, 2013,. 97). 11x 1+12x βx n=0 21x 1+22x βx n=0... x + x x =0 β1 1 β2 2 ββ n β β P = = β1 β2 ββ β β En este caso, el sistema tendrá infinitas soluciones (AFINED, 2013,. 97).

52 52 Un sistema de ecuaciones lineales se denomina homogéneo si el termino constante en cada ecuación es cero"(poole, 2011,. 82). 12x+15y=0 20x+25y=0 12 P = 15 = = En otras alabras, un sistema homogéneo tiene un ordenamiento aumentado de la forma [P 0] si su determinante es cero (Poole, 2011,. 82). 0x+4y-5z=0-4x+0y+7z=0 5x-7y+0z= P = =0+4 (0-35)+5(28-0)= Solución de sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos Una igualdad tíica del sistema reresentado or P (Barrera, 2014,. 21). i1x 1 + i2x inx n = b i...(i) Presumimos que el sistema tiene resuesta y señalemos a una de estas or: C=c1, c2, c3,, cn de la definición de la solución se tiene (Barrera, 2014,. 21). i1c 1 + i2c inc n = b i...(ii) Para todo i=1, 2,, m (Barrera, 2014,. 22). Sea P1 la matriz que tiene sus rimeras n columnas iguales a las de P, y la ultima es cero. Podemos considerar que P1 es un sistema homogéneo (Barrera, 2014,. 22). La ecuación número i de este sistema es (Barrera, 2014,. 22). i1x 1 + i2x inx n = 0...(III) Sea D=d1, d2, d3,, dn cualquier solución del sistema reresentado or P1 (Barrera, 2014,. 22). Es decir, i1d 1 + i2d ind n = 0...(IV)

53 53 Para todo i=1, 2,, m (Barrera, 2014,. 22). Adicionando (II) y (IV), se tiene que: C+D=(c1+d1, c2+d2, c3+d3,..,cn+dn) es la solución del sistema reresentado or P (Barrera, 2014,. 22). Si K=k1, k2, k3,, kn es otra solución del sistema reresentado or P (Barrera, 2014,. 22). Entonces: i1k 1 + i2k ink n = 0...(V). Para todo i=1, 2,, m (Barrera, 2014,. 22). Restando (II) de (V) y agruando or afinidad se tiene que: i1(k1 -c 1) + i2(k 2 -c 2) +... in(k n -c n) = 0...(VI). Es el resultado del sistema homogéneo referido or P1, es decir, K-C=(k1-c1, k2-c2, k3-c3,..,kn-cn) (Barrera, 2014). La controversia antes lanteada es la evidencia del siguiente ostulado: Sea la matriz P de un sistema de m ecuaciones en n variables, y P1 la matriz cuyas rimeras n columnas coinciden con las de P, y la última es cero (Barrera, 2014,. 22). Si el sistema de P tiene una solución articular C=c1, c2, c3,., cn y el sistema homogéneo de P1 tiene or conjunto solución a W, entonces el conjunto solución del sistema de P es: W+C=w+C/wW (Barrera, 2014,. 22). Proceda a desarrollar el sistema lineal no homogéneo (Barrera, 2014). x + 2x +3x + 4x +5x = x + 4x + 6x +8x +10x = x - 2x - 2x - x +3x =

54 54 En caso afirmativo, obténgalas íntegramente si tiene solución, así el ordenamiento de tio aumentado es (Barrera, 2014) Alicando oeraciones elementales se tiene: h2h2-2h1 h3h3+h h3h h1h1-3h El ultimo ordenamiento rectangular de escalares reresenta el sistema: x + 2x + 0x -5x -19x = x + 0x + x + 3x +8x = x + 0x + 0x + 0x + 0x = Es róximo corroborar que: C= (-32, 0, 14, 0, 0) es la resuesta de este sistema (Barrera, 2014). En concordancia con el ostulado, íntegramente las resuestas del sistema anterior se generan adicionando C= (-32, 0, 14, 0, 0) a los resultados del sistema homogéneo dado anticiadamente (Barrera, 2014). 0x + 0x + x + 3x +8x = x + 2x + 0x -5x -19x = Hay tres variables libres, x 2 ; x 4 y x 5, en este último sistema, or lo que sus soluciones están dadas or (Barrera, 2014).

55 55 x = x 2 2 x = x 4 4 x = x 5 5 x = -2x + 5x +19x x = -3x -8x A manera de agruamiento, estas se indican a través de: W = -2x +5x +19x,x,-3x -8x,x,x x,x,x R Sintetizando, las soluciones del sistema: x + 2x +3x + 4x +5x = x + 4x + 6x +8x +10x = x - 2x - 2x - x +3x = Están dadas or: W = -2x +5x +19x,x,-3x -8x,x,x / x,x,x R ( 32, 0, 14, 0, 0) W = -2x +5x +19x -32,x,-3x -8x +14,x,x / x,x,x R Alicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales Alicación en la química. La ignición del gas de amonio (NH3) en oxigeno genera nitrógeno (N2) y agua. Halle una igualdad química equilibrada ara esta solución (Poole, 2011). wnh +xo yn +zh O w=2y 3w=2z 2x=z w 2y /3 0 3w 2z / 3 0 2x z / 3 0

56 w z, x= z y= z w 4, x=3, y=2, z=6 w 8, x=6, y=4, z=12 w 12, x=9, y=6, z=18 4NH +3O 2N +6H O NH +6O 4N +12H O NH +9O 6N +18H O Alicación en la electricidad. Los entramados eléctricos son un modelo tecnificado de malla que brindan referencia resecto de semilleros de energía, como las ilas, y aaratos que funcionan or dichos semilleros, como las lámaras eléctricas e imulsores (Poole, 2011). El sumario de las inflexiones de corriente que circulan hacia cualquier nódulo es idéntico al sumario de las inflexiones de corriente que salen de él (Poole, 2011). El sumario de las caídas de tensión en torno de cualquier laca eléctrica es idéntica a la diferencia de otencial total en torno de ella (Poole, 2011). Halle las inflexiones de corriente K1, K2 y K3 en el circuito eléctrico que se muestra en la figura 1 (Poole, 2011). Figura 1. Circuito eléctrico con resistencias y baterías. Fuente: Poole, 2011.

57 57 I 1+I2-I 3=0 20I 1+0I 2+10I 3=21 0I +40I +10I = Alicando el rocedimiento de eliminación: (I 1=,I 2= ;I 3= ) Alicación en la metalurgia. Comuesta or los metales P, Q y R de una ligación (Rico, 2010). Los datos orcentuales de los metales vienen dados or el siguiente sistema de igualdades (Rico, 2010). P+Q+R= (I) P-2Q=0-4P+R=0

58 58 Desenrollando el orcentaje ara cada metal en la ligación (Rico, 2010). 4P=R... (II) P=2Q Q=...(III) 2 Suliendo (II) y (III) en la igualdad (I): P P+ +4P= P= P=...(IV) 11 Suliendo (IV) en la igualdad (II): R=4( )= Suliendo (IV) en la igualdad (III): Q= = (P=,Q= ;R= ) Conseguimos los datos orcentuales de los metales emleados en la ligación de los metales P, Q y R (Rico, 2010). 200 Met al P: =18.18% Met al Q: =9.09% Metal R: =72.72% 11

59 59 Caítulo III Didáctica de las matrices y su cometencia matemática 3.1 Didáctica de las matrices Definición de cometencia. Designamos cometencia a la adatación que osee un individuo ara roceder conscientemente en la resolución de un conflicto o el cumlimiento de rocesos comlejos (Ministerio de Educación del Perú [MINEDU], 2015). La cometencia es un arendizaje comlejo, que se da usando inconsistente y creativamente sus conocimientos y exeriencias adquiridas, así como sus valores y actitudes (MINEDU, 2015) Por qué arender matrices? Pues habitamos en un ambiente de eriódicos fenómenos e incertidumbres que demandan de una instrucción lógica (MINEDU, 2015). Están dados en distintos ambitos de la actividad del hombre, como son las económicas, sociales, culturales y tecnológicas. La alicación de los ordenamientos rectangulares nos ermite comrender el mundo que nos rodea (MINEDU, 2015).

60 60 La utilidad de estos ordenamientos rectangulares nos ermite entender el orbe que nos circunda, ya sea nativo o artificial (MINEDU, 2015) Para qué arender matrices? Para imulsar diversas maneras de conducirse y ensar lógicamente en distintas osiciones que concedan al educando el oder roceder y cooerar en la realidad a artir de la razón, rooniendo lenguajes algebraicos, efectuando suosiciones, evidencias, diferentes maneras de manifestarse, así como aroiarse de rocedimientos y actitudes válidas ara estimar, medir hechos y cambios de la realidad, y colaborar conscientemente sobre estos (MINEDU, 2015) Cómo arender matrices? A través de la determinación de roblemas y de la zona de dominio del educando, ya que autoriza establecer significados, disoner de objetos matemáticos en ordenamientos y fomentar nuevos arendizajes (MINEDU, 2015). 3.2 Cometencia matemática Actúa y iensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. Suone desenrollar gradualmente la lectura y divulgación de modelos, El conocimiento y el emleo de igualdades y desigualdades además del conocimiento y el manejo de relaciones y funciones (MINEDU, 2015). Esta habilidad se desenvuelve or medio de las cuatro facultades matemáticas, que se intercomunican ara resentar diversas maneras de roceder y ensar en el educando (MINEDU, 2015).

61 61 Esto comromete desenrollar estándares manifestando un idioma algebraico, alicar gráficos de figuras ara inseccionar las conexiones con datos, de igual manera declarar una norma de formación, disosición de igualdad o relaciones de sujeción, alicar rocesos algebraicos con técnicas ragmáticas ara solucionar roblemas, del mismo modo enunciar formas de ensamiento que generalicen roiedades además de exresiones algebraicas (MINEDU, 2015) Caacidades de la cometencia matemática Matematiza situaciones. Involucra atrones asociando roblemas diversos de igualdades, desigualdades además de relaciones (MINEDU, 2015) Comunica y reresenta ideas matemáticas. Emlea un lenguaje lógico ara las diversos símbolos matemáticos formulando el significado de modelos, igualdades, ordenamientos además de relaciones de forma verbal y textual (MINEDU, 2015) Razona y argumenta generando ideas matemáticas. Partiendo de resunciones y suuestos demuestra y valida sus resultados que rigen modelos resaldados or leyes, roiedades sobre corresondencia de igualdad y desigualdad además de las relaciones (MINEDU, 2015) Elabora y usa estrategias. A artir de diversos recursos de la naturaleza royecta, verifica y valora las tácticas ragmáticas con rocedimientos de cálculo y valoración, ara solucionar roblemas cotidianos (MINEDU, 2015).

62 Alicación didáctica de las matrices usando la tecnología MS Excel ara la enseñanza de matrices. Permite almacenar gran cantidad de información or su caacidad y memoria ya que es una hoja de cálculo muy otente creada or la emresa Microsoft (Uribe, 2017). Permiten crear tablas, efectuar cálculos, roducir gráficos y analizar una base de datos ya que el rograma osee una gran variedad de herramientas ráidas y sencillas (Uribe, 2017) Suma de matrices con Excel. Los oeradores matemáticos, como son los aritméticos ermiten ejecutar las oeraciones de suma devolviendo resultados de tio numérico ara ello es necesario trabajar con fórmulas (Uribe, 2017). Por consiguiente, la fórmula ara la adición de ordenamientos rectangulares es: D5=B1+F1=4 D6=B2+F2=9 E5=C1+G1=5 E6=C2+G2=5 Figura 2. Fórmula ara la suma de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría roia. En seguida, la función ara la adición de ordenamientos rectangulares es:

63 63 D5=SUMA B1;F1 =4 D6=SUMA B2;F2 =9 E5=SUMA C1;G1 =5 E6=SUMA C2;G2 =5 Figura 3. Función ara la suma de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría roia. Figura 4. Resultado de la suma de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría roia. Verificamos que cumle, ya que los valores encontrados son los mismos: P+Q= P+Q= P+Q=

64 Producto de matrices con Excel. Se uede utilizar referencias ubicadas en celdas diferentes al elaborar una fórmula (Uribe, 2017). Por consiguiente, la fórmula ara el roducto de ordenamientos rectangulares es: D5 B1* F1 C1* F2 13 D6 B2* F1 C2* F2 14 Figura 5. Fórmula del roducto de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría roia. Figura 6. Resultado del roducto de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría roia. Verificamos que cumle, ya que los valores encontrados son los mismos: r r R= = = r 11= 3 2 = = r 21= 4 1 = =14 2

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