Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas"

Carmen Juárez Vargas
hace 7 años
Vistas:

1 Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura

3 Índice Cálculo de áreas de superficies planas un de curva plana un sólido de

5 En muchos fenómenos físicos, económicos, sociales,... el área bajo la curva de una función representa una magnitud relevante que conviene saber medir. Por ejemplo, si representamos la velocidad de un móvil en función del tiempo, el área bajo la curva obtenida es el espacio recorrido. En esta lección usaremos el cálculo integral para formalizar conceptos sencillos e intuitivos como el de área de una región, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas planas.

Por ejemplo, si representamos la velocidad de un móvil en función del tiempo, el área bajo la curva obtenida es el

6 Cálculo de áreas de superficies planas

7 Cálculo de áreas de superficies planas I. Área determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x) Si f(x) 0, entonces el valor del área es b a f(x)dx. Si f(x) 0, entonces el valor del área es b a f(x)dx.

8 Cálculo de áreas de superficies planas I. Área determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x) Si la función tiene cambios de signo en [a, b], hay que separar los intervalos donde f(x) tiene signo constante y aplicar lo anterior. Por ejemplo, si f(x) 0 en [a, c] y f(x) 0 en [c, b], entonces el valor del área es: c a f(x)dx b c f(x)dx.

signo en [a, b], hay que separar los intervalos donde f(x) tiene signo constante y

9 Cálculo de áreas de superficies planas II. Área determinada por x = a, x = b, eje OX y las curvas y = f(x) e y = g(x) Si f(x) g(x), entonces el valor del área es: a b (f(x) g(x))dx. En otro caso, hay que separar [a, b] en intervalos y actuar como antes en cada intervalo.

10 Cálculo de áreas de superficies planas Ejemplo: Área del círculo Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el círculo tiene su centro en el origen de coordenadas. Gracias a la simetría de la figura, el área será igual a cuatro veces el área de la parte del círculo encerrado en el primer cuadrante. La curva que define el contorno de un círculo de centro (0, 0) y radio r es x 2 + y 2 = r 2, luego y = r 2 x 2 y el área será r r 4 r 2 x 2 dx = 4r 1 x2 Cambio de variable 0 0 r 2 dx = x r = sent dx = rcost = π π = 4r 2 2 cos 2 tdt = 4r ( 1 + cos(2t) t dt = 4r sen(2t) ) π = πr2

Gracias a la simetría de la figura, el área será igual a cuatro veces el área de la parte del círculo encerrado en el primer cuadrante.

11 un de curva plana

12 un de curva plana un de curva Sea f : [a, b] D R una función derivable en D y tal que su derivada f es continua en [a, b]. Entonces la longitud L del de curva L = {(x, y) R 2 : x [a, b]}, viene dada por L = b a 1 + f (x) 2 dx

13 un de curva plana Ejemplo Calculemos la longitud L del de curva y = x 3 entre los puntos (0, 0) y (4, 8). Se tiene que ( 3 2 x 1 2 ) 2 dx = x dx = 8 27 ( ).

14 un sólido de

15 un sólido de Sólidos de Los sólidos de son cuerpos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

16 un sólido de un sólido por secciones x [a, b], sea A(x) el área de la sección de obtenida al cortar un sólido como el de la figura por un plano transversal al eje OX. El volumen del mismo vendrá dado por V = b a A(x)dx

17 un sólido de un sólido de Sean f : [a, b] R una función continua en [a, b] A(x) la sección transversal al eje x del sólido generado al girar la función alrededor del eje OX. Se tiene que: A(x) = πf(x) 2 x [a, b]

18 un sólido de un sólido de Teniendo en cuenta que A(x) = πf(x) 2 x [a, b], se tiene que el volumen del sólido obtenido al girar y = f(x) alrededor del eje OX viene dado por V = π b a f(x) 2 dx

19 un sólido de Ejemplo El volumen del cuerpo de engendrado al girar el trozo de parábola y = x, para los valores x [0, 4], alrededor del eje OX, viene dado por: V = π 4 0 ( x) 2 dx = π 4 0 [ x 2 x dx = π 2 ] 4 0 = 8π

20 un sólido de Ejemplo: Cálculo del volumen de una esfera de radio r Sin pérdida de generalidad podemos suponer que su centro se encuentra en el origen de coordenadas. En ese caso la esfera es generada al girar el semicírculo y = + r 2 x 2, x [ r, r], en torno al eje OX, por tanto r π r ( ) 2 r r2 x 2 dx = π (r 2 x 2 )dx = π r ] r [r 2 x x3 = 4 3 r 3 πr3.

En ese caso la esfera es generada al girar el semicírculo y = + r 2 x 2, x [ r, r], en

Documentos relacionados

2 ln x dx. Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = 1 x dx dv = dx v = x y por tanto

2 ln x dx. Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = 1 x dx dv = dx v = x y por tanto Tema 6 Integración Definida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral definida ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = x dx dv