Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Transcripción

1 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n =. Si l ecución no tiene solución no tiene ríz n esim. siempre que se verifique Si Si Si n =, es l ríz cudrd se costumr omitir el índice n =, es l ríz cúic n =, es l ríz curt sí sucesivmente Como consecuenci de ls regls sore los signos de ls potencis de eponente nturl se negtiv tenemos que no tiene ríz en (Conjunto de números reles) En generl se cumple: ) Si n es pr, todo número rel positivo tiene dos ríces un positiv otr negtiv. Los números reles negtivos no tienen ríz n esim cundo n es pr. ) Si n es impr, todo número rel tiene un ríz n esim del mismo signo que. Ejemplos Resultdos No eiste en el conjunto de números reles Págin 1 de 1

2 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Propieddes 1) Pr hllr l ríz enésim de un potenci, se divide el eponente entre el índice, siempre que l ríz se ect. ) Ríz enésim de un producto, es igul l producto de ls ríces enésims de cd uno de los fctores, siempre que ls operciones sen posiles ) El producto de rdicles de igul índice es igul l ríz del mismo índice, cuo rdicndo es el producto los rdicndos de los rdicles ddos. ) Ríz enésim de un cociente, es igul l cociente de ls ríces enésims de cd uno de sus términos, siempre que ls operciones sen posiles. 5) El cociente de rdicles de igul índice es igul l ríz del mismo índice cuo rdicndo es el cociente de los rdicndos de los rdicles ddos. ) El vlor de un rdicl no lter si se multiplicn o dividen ectmente por un mismo número el eponente. Págin de 1

3 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso 7) L ríz enésim m de l ríz enésim n de un número es igul l ríz de índice mn de dicho número. m n mn Hllr ls ríces plicndo l propiedd 1: 1) 5 ) 8 ) 7 ) z ) 8 n 7 ) 8 1 ) 15m n 8 ) 9 m n Rdicles semejntes Dos o más rdicles son semejntes cundo tienen el mismo índice el mismo rdicndo Reducción de rdicles semejntes: se reliz l sum de dos o más rdicles semejntes es otro rdicl semejnte cono ellos, cuo coeficiente signo result de l sum de los coeficientes de los rdicles ddos, con sus respectivos signos Reducir los rdicles semejntes 1) ) 5 c c ) ) ) ) 5 8 7) ) ) 10) 5 Págin de 1

4 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Simplificción de Rdicles Simplificr un rdicl es reducirlo su más simple epresión. Reducir un rdicl es cmir su form sin cmir su vlor. Un rdicl qued reducido su más simple epresión sí: ) El rdicndo no contiene fctores con eponentes igul o mor que el índice. ) El eponente del rdicndo el índice del rdicl no tienen otro fctor común prte del 1 (uno) c) No prece ningun frcción dentro del rdicl, d) No prece ningún rdicl en el denomindor de un frcción. Simplificción Cundo l cntidd surdicl o rdicndo tiene fctores con eponentes mores o igules l índice. En este cso se etren del rdicl los fctores posiles Ejemplos se procede escriir ls potencis de tl form que el cociente entre el eponente el índice se ecto = se plic l regl del producto pr etrer los fctores del rdicndo (quelos que sen igules o mores que el índice) es l simple epresión ) 8 5 Se procede descomponer en sus fctores se plic l regl del producto, l descomponer se disponen los fctores de tl form que el cociente entre eponente e índice sen enteros Se plic l regl del producto pr etrer fctores del rdicndo, quellos que son mores o igules l índice 1 multiplicndo los fctores Págin de 1

5 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Simplificr 1) 81 ) ) 0 1 ) 8 c 5) 5 n 5 15m ) ) z Cundo eiste un fctor común entre el índice de l ríz todos los eponentes de los fctores de l cntidd rdicl. En este cso se dividen el índice los eponentes por el fctor común (se plic l propiedd número ) Ejemplo 8 1) 5 se relizn los mismos psos que en el ejercicio nterior 5 5 como eiste entre el índice los eponentes de los fctores del rdicndo un fctor común dos, se divide entre el fctor común Simplificr 1) ) ) 15 5) 5 c 10 ) 1 9 7) c 8 ) 8 1 Págin 5 de 1

6 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Cundo dentro del rdicl eiste un frcción 1) no es l form más simple ddo que prece dentro de l ríz un frcción, por lo que se procede mplificr l frcción por un epresión conveniente de tl form que el denomindor pued etrerse de l ríz se etre de l ríz como en los csos nteriores Simplificr los siguientes rdicles 8 1 1) ) ) 9 ) 5) 1 ) 5 8 7) Simplificr 1) ) 7 ) 7 ) 5) ) 9) 10) 11) 1) 1) z z 8 10 z 8 15) 1) 17) 18) z 9 7 z z z 5 5 7) 8) 5 1) c 9 Págin de 1

7 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Sum rest con rdicles Lo primero que hrá que hcer es simplificr todos los rdicles que sen posiles. Finlmente se reducen los rdicles semejntes (si los h) Simplificr: + Primermente se simplificn los términos + No olvidemos, que cd signo de sum rest me sepr un término de otro + se etren lgunos de los fctores de ls ríces + se reducen los rdicles semejntes ( + ) + Ejercicios 1) + + ) + ) + ) 5) ) + 7) 8) + 9) + 10) 11) + Ejercicios de repso. Simplific los siguientes rdicles 1) ) ) 7 5 ) 5) 7 9 ) ) ) Págin 7 de 1

8 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso 9) 9 5z 9 1z 10) 5 1c 5 c Multiplicción de rdicles Si los rdicles tienen el mismo índice se multiplicn los coeficientes entre sí ls cntiddes surdicles simplificndo el resultdo si es posile; se multiplicn los coeficientes ls cntiddes surdicles. luego se simplific Oservción, si no se dese descomponer 1, el producto resultnte de 8. Se puede descomponer cd uno de los fctores luego multiplicr Hll el producto 1) ) 1 5 ) ) m m n n 10 m n ) 50 9 ) 7 Si los rdicles son compuestos se puede resolver plicndo l propiedd distriutiv o como el producto entre polinomios Ejemplo 1 Multiplicr Simplificndo El producto qued: 10 1 = Págin 8 de 1

9 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Ejemplo Multiplicr + 18 Reduciendo términos semejntes nos qued Resuelve 5 = 1) ) c ) 5 = = ) 5 5 5) ) 5 7) 8) Hll el áre de: ) Un cudrdo cuo ldo mide cm ) Un rectángulo siendo que l se mide 7 cm l ltur es de 7 cm c) Un trpecio rectángulo siendo que ls ses miden cm 1cm respectivmente su ltur es de cm d) Un tringulo cu se mide cm l ltur cm 9) 10) ) 5 8 Págin 9 de 1

10 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso División de rdicles Si los rdicles tienen el mismo índice se dividen los coeficientes entre sí los rdicndos simplificndo el resultdo si es posile. Dividir se dividen los coeficientes los rdicndos: se simplificn los rdicles Resolver 5 1) ) ) 15 8 c 1 7 c ) 1 z 5) Potenci de un rdicl Se elev el coeficiente el rdicndo dich potenci luego se simplific si es posile. Ejemplo 1: ( ) Elevndo l curt el coeficiente cd fctor rdicndo Se puede simplificr el rdicl, descomponiendo en fctores 1 8 Págin 10 de 1

11 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Ejemplo : Se plic l regl del cudrdo de un inomio Elevndo simplificndo Recuerd: el cudrdo de l sum de un inomio es igul l cudrdo del primer término más el dole producto del primero por el segundo más el cudrdo del segundo término Resolver 1) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( + ) 5) ( ) ) ( ) Rcionlizción de denomindores Rcionlizr signific hcer rcionl un epresión que es irrcionl Recuerd un epresión lgeric es rcionl cundo l prte literl no está fectd del símolo de rdicción, es irrcionl cundo eiste prte literl que está fectd por el signo rdicl. Rcionlizción del denomindor de epresiones lgerics Dd un epresión lgeric cuo denomindor involucr rdicles, se llm rcionlizción del denomindor de dich epresión l proceso por el cul se determin otr epresión lgeric que no involucr rdicles en el denomindor que es equivlente l epresión lgeric dd Pr rcionlizr se mplific l frcción por un epresión llmd fctor rcionliznte. Págin 11 de 1

12 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Ejemplo 1 Se descompone el rdicndo se mplific l frcción por un epresión conveniente, de tl mner que el denomindor quede un epresión rcionl. Fctor rcionliznte Product o Hllmos l ríz del denomindor Simplificndo el Entonces Rcionlizr los denomindores 1) ) ) Ejemplo. 1 1 Se descompone el polinomio Fctor rcionliznte Simplificndo ( + 1), se otiene Págin 1 de 1

13 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rcionlizr los denomindores 1) ) Ejemplo : En este cso el fctor rcionliznte es ; se consider que el índice es, tendiendo que ; es decir se complet el fctor que flt pr que su producto se un diferenci de cudrdos. 1 1 Se multiplicn los numerdores los denomindores en tre sí, Rcionlizr 1) 5 ) 5 7 ) Simplificr 7 1) 5) ) ) ) 7) ) Págin 1 de 1

14 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Práctico Nº Simplificr 1) 5 5) 9 ) 81 8 ) ) ) 9 7) 5 9 8) ) 9 5z 9 1z 10) ) 75 c 5 c 1) 1) 5 5 1) 1 z 5 15) 5 c 5 c 1) Hll el perímetro el áre de un rectángulo siendo que l se mide 5 cm l ltur mide cm 17) Clcul el volumen de un prlelepípedo cus dimensiones son 10 cm; 8 cm cm c 18) 19) - 0) 1) 5 ) 5 ) ) - 5) ) 5 7) 5 8) 5 Págin 1 de 1

15 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Ecuciones con rdicles A ls ecuciones donde l incógnit prece jo un signo rdicl, se ls conoce como ecuciones irrcionles. Ejemplos 7 ; 10 9 Resolver l ecución 7 Pr resolver primermente es necesrio rcionlizr l epresión irrcionl, es decir, hcer que se rcionl. Pr ello se despej l epresión irrcionl, dejándol en culquier de los miemros rdicl. 7 Luego se elev mos miemros un eponente igul l índice del 7 Se resuelve ls operciones (con este proceso qued rcionlizd l ecución) 7 1 Se resuelve l ecución resultnte 1 7 Despejndo l incógnit 1 Reduciendo términos semejntes 1 Simplificndo Solución de l ecución, l cul es necesrio verificr Pr l verificción se reemplz el vlor otenido en l ecución dd, se verific si mos miemros son igules 7 Reemplzmos el vlor de 7 9 Resolvemos Verific l iguldd. Entonces se puede decir que es l solución de l ecución Págin 15 de 1

16 Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Resolver l siguiente ecución 10 9 Resuelve ls siguientes ecuciones 1) ) 5 ) 5 10 ) 9 8 5) 9 ) 8 8 7) z 1 7 z 5 8) ) ) 9 Al fin terminé l unidd de rdicles Págin 1 de 1