TEMA 12. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
|
|
- Ricardo Blanco Correa
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 TEMA 12. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora consideraremos el sistema de referencia ortonormal formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y la base, y. ECUACIONES DE LA RECTA. Una recta en el espacio queda determinada por un punto por el que pasa y por un vector no nulo que tenga su misma dirección. A éste se le llama vector director de la recta. Hallemos la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto como vector director al vector. y que tiene Para ello consideramos un punto cualquiera de r, X, de modo que. Como además y tienen la misma dirección, sus coordenadas son proporcionales ( ), con lo que la ecuación de la recta es: En coordenadas: si O(0,0,0), X(x,y,z), y, se tiene que: Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta: Por último, si despejamos el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores e igualamos se obtiene la ecuación continua de r:
2 ECUACIONES DEL PLANO. Un plano queda determinado en el espacio por un punto A y dos vectores paralelos al plano, no nulos y no paralelos entre sí. Hallemos la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto vectores directores y. y que tiene como Para ello consideramos X un punto cualquiera del plano, de modo que. Como además, y so coplanarios, es combinación lineal de y, se tiene que, con lo que la ecuación vectorial del plano es: En coordenadas: Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas del plano: Los vectores, y son coplanarios, por tanto linealmente dependientes, es decir, el determinante formado por ellos es nulo: Desarrollando el determinante se obtiene una expresión de la forma que es la ecuación general del plano. El vector es perpendicular al plano, se llama vector normal o asociado al plano.
3 PROBLEMAS DE INCIDENCIA. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Consideremos las rectas y y la matriz Si y son paralelos las rectas son paralelas o coincidentes. - Si son coincidentes, y tienen la misma dirección con lo que rg(a)=1. - Si son paralelas la dirección de es distinta de la de y, luego rg(a)=2. Si y no son paralelos las rectas se cortan o se cruzan. - Si se cortan los vectores, y son coplanarios, es decir, linealmente dependientes, pero y no son paralelos con lo que rg(a)=2 - Si se cruzan los vectores, y son linealmente independientes y rg(a)=3. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS. Consideremos los planos y. Si y son proporcionales los planos coinciden o son paralelos. - Si los planos coinciden. - Si los planos son paralelos. (Condición de paralelismo) Si y no son proporcionales los planos son secantes. A las ecuaciones de dos planos que al cortarse definen una recta se les llama ecuaciones implícitas de la recta. POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO. Consideremos la recta. y el plano de ecuación Si y son perpendiculares son paralelos o la recta está contenida en el plano. - Si el punto pertenece al plano, la recta está contenida en el plano. - Si el punto no pertenece al plano, la recta es paralela al plano.
4 Si y no son perpendiculares son secantes. Si además y son proporcionales el plano y la recta son perpendiculares. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Consideremos los planos, y, el sistema de ecuaciones que forman sus ecuaciones y sus matrices asociada y ampliada: Estudiando las posibles soluciones del sistema puede ocurrir: Si rg(a)=rg(m)=3 el sistema es compatible determinado, la solución es única, luego los tres planos se cortan en un punto. Si rg(a)= 2 y rg(m)=3 el sistema es incompatible y hay dos casos:
5 - Los planos se cortan dos a dos siendo las caras laterales de un prisma triangular. - Dos planos son paralelos y el otro los corta. Si rg(a)=rg(m)=2, el sistema es compatible indeterminados, hay infinitas soluciones que dependen de un parámetro, con lo que la intersección es una recta. En este caso: - Los tres planos son distintos. - Dos planos coinciden y el otro los corta. Si rg(a)=1 y rg(m)=2, el sistema es incompatible. Pude ocurrir: - Los planos son distintos y paralelos dos a dos. - Dos planos coinciden y el otro es paralelo a ellos. Si rg(a)=rg(m)=1, el sistema es compatible indeterminado, es decir, hay infinitas soluciones que dependen de dos parámetros, con lo que la intersección es un plano. O lo que es lo mismo los tres planos son coincidentes.
TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora
Más detallesEcuaciones de rectas y planos. Un punto O y una base B B = { i, j,
Ecuaciones de rectas y planos. Coordenadas en el espacio. Planos coordenados. El vector OP tiene unas coordenadas( x, y, z ) respecto de la base B, que se pueden tomar como coordenadas del punto P respecto
Más detallesVeamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta:
T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director,
Más detallesEL ESPACIO AFÍN. se distinguen, además de su origen A y su extremo B, las siguientes
VECTOR FIJO Y VECTOR LIBRE. Sea E el espacio ordinario. EL ESPACIO AFÍN Llamaremos vector fijo a cualquier segmento orientado dado por dos puntos A y B del espacio E. Al punto A lo llamamos origen del
Más detallesTEMA 6 Ejercicios / 3
TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores
Más detallesGEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN
GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN.- ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO..- Ecuación vectorial Sea Pab (, ) un punto de la recta r, v = ( v, v) dirección que r, y, sea (, ) en el siguiente dibujo: un vector, no nulo,
Más detallesMATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA TEMA 2: Puntos, rectas y planos del espacio.
MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA TEMA 2: Puntos, rectas y planos del espacio. 2.1 SISTEMA DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN PUNTO Elegimos un punto del espacio que llamamos origen
Más detallesRectas en el espacio
Tema 5: Rectas y planos en el espacio February 1, 2017 Part I Rectas en el espacio Para determinar una recta en el espacio, al igual que en el plano, hace falta un punto cualquiera de la recta y un vector,
Más detallesPara localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia. R es una cuaterna { O,i, j, k}
Geometría afín del espacio MATEMÁTICAS II 1 1 SISTEMA DE REFERENCIA. ESPACIO AFÍN Para localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia. Definición: Un sistema de referencia
Más detallesTEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA
TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA 6.1. Ecuaciones de la recta. - Vector director. - Ecuación vectorial. - Ecuaciones paramétricas. - Ecuación contínua. - Ecuación general. - Ecuación punto-pendiente. - Ecuación
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesEstudia la posición relativa de los planos siguientes según los distintos valores de m: ; A b = m 1 m 1
Problema 1 Estudia la posición relativa de los planos siguientes según los distintos valores de m: π 1 x + y + z = m + 1 π 2 mx + y + ) z = m π 3 x + my + z = 1 Si vemos los tres planos como un sistema
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (POSICIONES RELATIVAS)
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (POSICIONES RELATIVAS) POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Dos rectas en el espacio: (r) { A (a 1, a 2, a ) v (v 1, v 1, v ) y (s) {B (b 1, b 2, b ) u (u 1, u 2, u ) cuatro
Más detallesUnidad 5: Geometría analítica del plano.
Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación
Más detallesA. VECTORES 1. VECTORES FIJOS Y VECTORES LIBRES
RESUMEN DE GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II A. VECTORES 1. VECTORES FIJOS Y VECTORES LIBRES Un vector fijo de origen A y extremo B, siendo A y B puntos del espacio, es un segmento orientado caracterizado por:
Más detallesGEOMETRIA EN EL ESPACIO
GEOMETRIA EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO EN EL ESPACIO Una recta queda determinada por un punto conocido P, y un vector director. Luego, si X es un punto genérico de la recta, se obtiene
Más detallesGEOMETRÍA VECTORES. Sean: u = (1,0, 1); v = (2, 3,0); w = ( 1,2,2) Producto escalar u v. u v = (1,0, 1) (2, 3,0) = ( 3) 1 0 = 2
º bachillerato MATEMÁTICAS II Sean: u = (1,0, 1); v = (, 3,0); w = ( 1,,) Producto escalar u v Aplicaciones: - Cálculo de ángulos. cos(u, v ) = VECTORES u v = (1,0, 1) (, 3,0) = 1 + 0 ( 3) 1 0 = u v u
Más detallesEspacio Euclídeo. a b = a b. a b = b a c)
.- Un hiperplano de R es: a) Una recta. b) Un plano. c) {0}..- Sean a y b dos vectores de R, si a es ortogonal a b, entonces: a) a b = 0 b) a b = b a c) a b = a b.- Sea F una recta vectorial de R y F un
Más detallesEcuación de la Recta en el Espacio
PreUnAB Clase # 21 Octubre 2014 Definición Un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio está determinado por tres planos mutuamente perpendiculares, Los ejes generalmente son identificados por
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detalles1. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado:
CAPÍTULO. GEOMETRÍA AFÍN.. Problemas. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado: a) A(,, ), v = (,, ) ; b) A(0,
Más detalles1. Operaciones con vectores.
Geometría. ÍNDICE: 1. Operaciones con vectores. Producto escalar. Producto vectorial. Producto mixto. Coordenadas del punto medio de un segmento. 2. Ecuaciones de las rectas. Vectorial. Paramétricas. Continua.
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de innovación didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Puntos y vectores en En R 3, conviene distinguir
Más detalles1 VECTORES EN EL ESPACIO
1 VECTORES EN EL ESPACIO 1.1 OPERACIONES CON VECTORES El vector AB, definido entre los puntos A y B tiene las siguientes características: Módulo AB : Distancia de A a B. Dirección: es la recta sobre la
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 1. PUNTOS Y VECTORES OPERACIÓN TEORÍA Y FORMULACIÓN EJEMPLO Coordenadas de un punto Punto medio de un segmento Dividir un segmento en n partes iguales Coordenadas de un vector (
Más detallesProblemas de Geometría Analítica del Espacio
1) Dados los vectores u(4, 4, 8), v( 2,, 5), w(3, 5, 8) y a(22,, 11). Hallar los valores de x, y, z que verifican la combinación lineal a = x u + y v + z w. 2) Dados los vectores a( 5, 19, n) y b( h, 3,
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos.
Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: { x ay = 2 se pide: ax y = a + 1 a) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la
Más detallesSeis problemas resueltos de geometría
Problema 1 a) Dados los puntos P(4, 2, 3) y Q(2, 0, 5), da la ecuación implícita del plano π de modo que el punto simétrico de P respecto a π es Q. b) Calcula el valor del parámetro λ R para que el plano
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS º BACHILLERATO ÍNDICE. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.... 4.. SISTEMAS DE REFERENCIA... 4.. COORDENADAS DE UN PUNTO... 4.3. COORDENADAS
Más detallesPUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Página 153 REFLEIONA Y RESUELVE Puntos alineados en el plano Comprueba que los puntos A (5,, B (, 3 y C (13, 5 no están alineados. C (13, 5 A (5, B (, 3 AB = (3, 1;
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
VECTORES EN EL ESPACIO Página 133 REFLEXIONA Y RESUELVE Relaciones trigonométricas en el triángulo Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo a: cm a cm Área = sen a = 40 sen a cm Halla
Más detallesGEOMETRÍA (Selectividad 2014) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2014
GEOMETRÍA (Selectividad 014) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 014 1 Aragón, junio 014 Dados el punto P (1, 1, 0), y la recta: x+ z 1= 0 s : 3x y 3= 0 Ax + By
Más detallesy la matriz ampliada B λ λ 1
a) La matriz de los coeficientes es 0 A λ 0 λ λ y la matriz ampliada B λ 0 0. λ λ λ Estudiemos sus rangos según los posibles valores de λ : En la matriz A, el mayor rango posible es : 0 λ 0 λ λ λ λ λ λ
Más detallesen t erminos de coordenadas; si las coordenadas de P, P 0 y u son, respectivamente, (x, y, z), (x 0, y 0, z 0 ) y (u 1, u 2, u 3 ) obtenemos:
Ecuaciones Cartesianas y Paramétricas de la Recta en R 3 Distintas formas de la ecuación de la recta En R 3 1. Denimos una recta de R 3 eligiendo un vector no nulo (o dirección) u R 3 jo, y un punto de
Más detallesRECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 4 6 7 8 9 0 Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(7,, ) y tiene la dirección del vector k. ACTIVIDADES x 7 y z Halla la ecuación continua
Más detallesMATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA
1 MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA Ejercicio 1. (Junio 2006-A) Considera el plano π de ecuación 2x + y z + 2 = 0 y la recta r de ecuación x 5 z 6 = y =. 2 m (a) [1 punto] Halla la posición
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesBoletín de Geometría Analítica
Boletín de Geometría Analítica 1) Si las coordenadas de los vectores a y b son (3,5) y (-2,1) respectivamente, obtén las coordenadas de: a) -2 a + 1/2 b b) 1/2 ( a +b ) - 2/3 ( a -b ) 2) Halla el vector
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detallesC/ Fernando Poo 5 Madrid (Metro Delicias o Embajadores).
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS, MADRID PRUEBA DE ACCESO PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS II AÑO 2013 OPCIÓN A Ejercicio 1 a) (1 punto) Hallar los valores del parámetro para los que la siguiente matriz
Más detalles- sen(x) cos(x) cos(x) sen(x)
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: 7-X-4 CURSO 4- Opción A.- a) [ punto] Si A y B son dos matrices cuadradas y del mismo orden, es cierta en general la relación
Más detallesTema 4: Los vectores en el espacio
Tema 4: Los vectores en el espacio 1. El conjunto R 3 Este conjunto está formado por todas las ternas de números reales (x, y, z) 2. Vectores fijos Un vector es un segmento orientado que parte de A (origen)
Más detallesPROPUESTA A. 3A. a) Despeja X en la ecuación matricial X A B = 2X donde A, B y X son matrices cuadradas
PROPUESTA A 1A a) Calcula el valor de a R, a > 0, para que la función sea continua en x = 0. b) Calcula el límite 2A. Calcula las siguientes integrales (1 25 puntos por cada integral) Observación: El cambio
Más detallesNO TIENE TRAZA HORIZONTAL PORQUE ES PARALELA AL PH
EJERCICIO 1 Determinar las trazas de las rectas r y s. r" H''=H'=V''=V' r' s" V'' s' V' NO TIENE TRAZA HORIZONTAL PORQUE ES PARALELA AL PH EJERCICIO 1 x + 3y = 13 Determinar la intersección de las rectas
Más detallesBLOQUE II GEOMETRÍA. Resolución a) Para que los tres vectores formen una base, han de ser L.I. Veámoslo:
II BLOQUE II GEOMETRÍA Página 6 Considera los vectores u(3,, ), v ( 4, 0, 3) y w (3,, 0): a) Forman una base de Á 3? b) Halla m para que el vector (, 6, m) sea perpendicular a u. c) Calcula u, ì v y (
Más detallesCapítulo 8. Geometría euclídea. 8.1 Problemas métricos
Capítulo 8 Geometría euclídea 81 Problemas métricos Espacios vectoriales El plano: R 2 = { (x,y : x,y R } El espacio: R 3 = { (x,y, z : x, y, z R } Si u = λv para algún λ 0 diremos que son proporcionales:
Más detalles2. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de los vectores u, v y w u = (1,0,-2) v = (-1,1,0) w = (2,-1,1)
2011 ÁLGEBRA II (L. S. I. P. I.) Guíía de Trabajjos Prácttiicos Nºº 4 Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO Prroducctto Veeccttorriiall.. Reecctta.. Pllano
Más detalles12 POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS
Tema:2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS 2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS 2. Posiciones relativas de dos planos. Tradicionalmente se habla de que las posiciones relativas entre dos planos son tres:
Más detallesObserva que : OA + AB = OB a + AB = b AB = b a
.- PUNTOS EN EL ESPACIO Sistema de referencia Un sistema de referencia en el espacio es un conjunto formado por un punto de referencia O y la base ortonormal canónica B = i, j, k. Se representa así:. En
Más detallesUNIDAD 8 Geometría analítica. Problemas afines y métricos
UNIDAD Geometría analítica. Problemas afines y métricos Pág. 1 de 5 1 Se consideran los puntos A (, ) y B (4, 6). a) Calcula las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en dos partes 1 tales
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es
Más detallesProyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones
Proyecciones La proyección de un punto A sobre una recta r es el punto B donde la recta perpendicular a r que pasa por A corta a la recta r. Con un dibujo se entiende muy bien. La proyección de un segmento
Más detallesEcuación Vectorial de la Recta
Ecuación Vectorial de la Recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r, el vector tiene
Más detallesVectores. 2)Coordenadas y base Combinación lineal Vectores linealmente dependiente Bases. Bases canónica
Vectores 1) Vectores en R 2 Vector fijo en el plano Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo) Vectores equipolentes Vector libres Propiedad fundamental de los vectores
Más detallesMATEMÁTICAS II. Apuntes
MATEMÁTICAS II. Apuntes Curso preparatorio para el acceso a la universidad para mayores de 25 años Tema 4 Arturo de Pablo Elena Romera Open Course Ware, UCM http://ocw.ucm.es/matematicas 4 GEOMETRÍA Este
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas
Más detallesRELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.
RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - Explica cómo se puede hallar el área de un triángulo, a partir de sus coordenadas, en el espacio
Más detallesLíneas y Planos en el Espacio
Líneas y Planos en el Espacio Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM de enero de Índice..Introducción.................................................Ecuación paramétrica de la recta.....................................ecuación
Más detallesJUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones
Más detallesTEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA
TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera
Más detallesMatemáticas Febrero 2013 Modelo A
Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de 0 0 0. 0 a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las
Más detallesSistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas
Más detalles2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 2.1. RELACIONES ENTRE LOS PUNTOS DEL ESPACIO Y LOS VECTORES. AXIOMAS DEL ESPACIO AFÍN Entendemos por espacio afín tridimensional como el conjunto de puntos del espacio intuitivo
Más detallesGEOMETRÍA (Selectividad 2016) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2016
GEOMETRÍA (Selectividad 6) ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 6 Aragón, junio 6 ( puntos) a) ( punto) a) (,5 puntos) Si los vectores w y s verifican que w = s =,
Más detallesRectas y planos en el espacio
Rectas y planos en el espacio 1. 2. 3. Discute el siguiente sistema según el valor del parámetro a: ax 4y z 1 y az a x 14y 2az 8 Dada la recta x 4 y z 1, 5 2 averigua si el punto P(6, 2, 2) está contenido
Más detallesTeoría Tema 9 Posición relativa de dos rectas
página 1/8 Teoría Tema 9 Posición relativa de dos rectas Índice de contenido Posiciones relativas si las rectas vienen dadas en forma paramétrica...2 Ejemplos de posiciones relativas de rectas en forma
Más detallesDepartamento de matemáticas
Geometría con solución Problema 1: Sea r y s las rectas dadas por: a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s Problema 2:
Más detallesESPACIO AFÍN 2.- SISTEMAS DE REFERENCIA: COORDENADAS DE UN PUNTO. 3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO.
ESPACIO AFÍN 1.- CONCEPTO DE ESPACIO AFÍN. 2.- SISTEMAS DE REFERENCIA: COORDENADAS DE UN PUNTO. 3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO. 4.- PROBLEMAS DE INCIDENCIA. 5.- POSICIONES RELATIVAS
Más detallesTEMA 4. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 4. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. En coordenadas: Dos vectores son equipolentes si
Más detallesC/ Fernando Poo 5 Madrid (Metro Delicias o Embajadores).
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS, MADRID PRUEBA DE ACCESO PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS II AÑO 2010 OPCIÓN A Ejercicio 1 a) (1 punto) Hallar los valores del parámetro para los que la siguiente matriz
Más detallesTEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Más detallesTema 3.2. Espacio afín eucĺıdeo. Problemas métricos
Tema 3.2. Espacio afín eucĺıdeo. Problemas métricos Definición: Un espacio afín es una terna A = (P, V, f) en la que P es un conjunto no vacío, V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo
Más detallesPuntos, rectas y planos
UNIDAD 5 Puntos, rectas y planos i en la Unidad anterior estudiamos los S vectores y las operaciones con vectores, en ésta y en la siguiente estudiaremos algunos de los conceptos fundamentales de la Geometría
Más detallesTema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Eva Ascarza-Mondragón Helio Catalán-Mogorrón Manuel Vega-Gordillo Índice 1 Definición 3 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales 4 21 Tipos de sistemas ecuaciones
Más detallesTEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. y una base de vectores de V cualquiera
TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.- PUNTOS Y VECTORES. ESPACIO AFÍN y una base de vectores de V cualquiera {,, B = u1 u2 u} A cada punto del espacio, P, le asociamos el vector OP, que tendrá unas
Más detallesLas ecuaciones de estas rectas pueden venir dadas de las formas siguientes:
Geometría Analítica 8-9 RECTAS EN EL ESPACIO En la figura se muestran varias rectas en el espacio, cuas posiciones son las siguientes: a) r r3 se cortan en un punto P cuas coordenadas se obtienen resolviendo
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II LOGSE Antonio López García Juan Fernández Maese Angeles Juárez Martín GEOMETRÍA GEOMETRÍA Índice Temático.- VECTORES... 5..- VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES...
Más detallesTEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo
Más detallesRECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II 2º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas I. ECUACIÓN PARAMÉTRICA Y CONTINUA DE LA RECTA Determinación principal de una recta:
Más detallesPara localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia.
Rectas y planos en el espacio MATEMÁTICAS II 1 1 SISTEMA DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL ESPACIO Para localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia. Definición:
Más detallesMatrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m
Más detallesEjercicios resueltos de geometría analítica
Ejercicios resueltos de geometría analítica 1) Calcula el volumen del prisma determinado por los vectores v (0,-2,3), w (1,3,-4) y z (-2,1,0). 2) Calcula a para que los vectores (1,a,-1), (-4,2,0) y (a,2,-1)
Más detallesESPACIO AFÍN Ecuaciones de recta y plano
ESPACIO AFÍN Ecuaciones de recta y plano CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Se denomina sistema de referencia del espacio afín, E, al conjunto, (O,u 1,u 2,u 3 ), constituido por un punto, O, del espacio afín
Más detallesLas ecuaciones de los elementos geométricos
Las ecuaciones de los elementos geométricos 1 Las ecuaciones de los elementos geométricos La suma de un punto más un vector si P es un punto y v es un vector, la suma del punto P más el vector v es otro
Más detallesPrimer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución
Primer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución Respuestas a la versión 1: (La versión 1 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Un sistema lineal de m ecuaciones
Más detallesTEMA 16 Geometría analítica del plano *
TEMA 6 Geometría analítica del plano * Relación entre los puntos del plano y los vectores del plano E ={ puntos del plano} P, Q E,,, R EspacioVectorial P, Q E Existeun v V tal que PQ = v Dado P E y v V
Más detalles11.1. SISTEMA DE REFERENCIA Ecuaciones de los ejes coordenados Ecuaciones de los planos coordenados
TEMA 11 11.1. SISTEMA DE REFERENCIA... 1 11.1.1. Ecuaciones de los ejes coordenados... 1 11.1.2. Ecuaciones de los planos coordenados... 2 11.2. COMPONENTES DE UN VECTOR DADOS DOS PUNTOS... 4 11.3. ECUACIONES
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 9 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detalles13. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R 3
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA 13. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R 3 I. Generalidades sobre Geometría analítica en R 3 - II. Ecuaciones
Más detallesExamen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A
Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO 5 - ndalucía OPCIÓN.- [,5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada
Más detallesCAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Parte A: determinantes. A.1- Definición. Por simplificar, consideraremos que a cada matriz cuadrada se le asocia un número llamado determinante que se
Más detalles1 1 m m m 1 1 m 1 m 2 1 m m 1 m 1 m 1 m 2 1 m 2 m m 1 m 1 0 m
a) La matriz de los coeficientes es m A m m m m y la matriz ampliada B m m. Estudiemos sus rangos según los posibles valores de m : En la matriz A, el mayor rango posible es 3: m m m m m m m m m m m m
Más detallesUNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
UNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 3.A.1 Características de un lugar geométrico 3.A ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA Se denomina lugar geométrico a todo conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad o que
Más detallesPROPUESTA A. 1A a) Enuncia el teorema de Bolzano.
PROPUESTA A 1A a) Enuncia el teorema de Bolzano. (0,5 puntos) b) Razona que las gráficas de las funciones f(x) = 3x 5 10x 4 + 10x 3 + 3 y g(x) = e x se cortan en algún punto con coordenada de abcisa entre
Más detallesTema 6: Ángulos y distancias en el espacio
Tema 6: Ángulos y distancias en el espacio February, 017 1 Ángulos entre elementos del espacio Los ángulos entre elementos del espacio, es una aplicación sencilla del producto escalar. Recuerdo las condiciones
Más detalles8.- GEOMETRÍA ANÁLITICA
8.- GEOMETRÍA ANÁLITICA 1.- PROBLEMAS EN EL PLANO 1. Dados los puntos A = (1, 2), B = (-1, 3), C = (3, 4) y D = (1, 0) halla las coordenadas de los vectores AB, BC, CD, DA y AC. Solución: AB = (-2, 1),
Más detallesa) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes. 1 2 = 3 x = 1, y = 2 3 No tiene solución, luego no se puede.
Ejercicios y problemas propuestos Página Para practicar Dependencia e independencia lineal. Base y coordenadas Dados estos vectores: u(,, ), v (,, ), w (,, ), z (,, ) a) Cuántos de ellos son linealmente
Más detalles