TEMA 2: POLINOMIOS IDENTIDADES NOTABLES. Ejercicios: 1. Desarrolla las siguientes identidades: 2. Expresa como producto de factores:

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1 IDENTIDADES NOTABLES TEMA : POLINOMIOS a b a b ab a b a b ab a ba b a b Ejercicios:. Desarrolla las siguientes identidades: a y 5 b 5 4y c 5 5. Epresa como producto de factores: 4 a b 9 6 c 5 9y 0y DIVISIÓN DE MONOMIOS El cociente entre dos monomios es otro monomio cuyo grado es la diferencia de los grados de los monomios que intervienen. a b m n Por ejemplo 5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división de polinomios es semejante a la de los números enteros. Se ordenan el polinomio dividendo y el polinomio divisor de mayor a menor grado si en el dividendo falta algún término se deja un hueco o se pone 0 n. Después, se sigue una sucesión de los siguientes pasos: - Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor. El resultado se pone en el cociente. - Se multiplica el resultado de la división anterior por todo el polinomio divisor. El resulta-do se escribe debajo del dividendo, cambiado de signo. Se obtiene el resto, sumando el dividendo con el polinomio que hemos escrito debajo. La división termina cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. Veamos un ejemplo y dividamos : -4+5 a b mn

2 Una vez finalizada la división se cumple como en la división de números que: R C Q p o bien Q R C Q P Ejercicios:. Efectúa las siguientes divisiones y epresa el resultado de la forma Q R C Q P a : -+ b : +

3 REGLA DE RUFFINI Esta regla solo es válida para dividir polinomios entre otros del tipo -a. Este procedimiento emplea sólo los coeficientes del polinomio dividendo y del binomio divisor. Veamos un ejemplo: :-5 Cociente= Resto= Ejercicios 4. Efectúa las divisiones: a -5+6:+ b 4-5:-4

4 APLICACIONES DE LA REGLA DE RUFFINI Si la división de P entre Q da como resto cero podremos decir que P es múltiplo de Q o que Q es divisor de P. Por ejemplo es --6 múltiplo de -? Criterio de divisibilidad por -a. Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por -a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar epresiones -a que sean divisores de un polinomio probaremos con valores de a positivos y negativos que sean divisores del término independiente. Por ejemplo dado el polinomio P= --4, sus posibles divisores son -, +, -, +, -4 y +4 Vamos a comprobar cuáles son: Ejercicios: 5. Dado el polinomio encuentra dos divisores del tipo -a

5 Valor numérico de un polinomio para =a es el número que se obtiene al sustituir la por la a y efectuar las operaciones indicadas. Cuando el valor numérico de un polinomio para =a es cero decimos que =a es una raíz del polinomio Teorema del resto. El valor numérico de un polinomio, P, para =a, es igual al resto de la división de P entre -a EL RESTO DE P: -a = Pa Veamos ejemplos con el polinomio P= a Calculamos P= Ahora dividimos P: - b Calculamos P-= Ahora dividimos P:+ Para entender este teorema, al aplicar la regla de Ruffini dejaremos indicadas las operaciones. Para ello hagamos P:-

6 Ejercicios; 6. Calcula el resto de la división de : +5 sin hacer la división 7. Calcula el valor del polinomio P= para = sin sustituir la por tres 8. La división P:-5 es eacta. Cuánto vale P5? FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios factores del menor grado posible. Para factorizar un polinomio seguiremos los siguientes pasos: º Etraer factor común º Aplicar identidades notables º Si el polinomio es de grado, igualarlo a cero y si las soluciones son y entonces los factores serán X- y - Si el polinomio es de grado mayor que entonces aplicamos Ruffini. Veamos un ejemplo: P= Ejercicios: 9. Factoriza e indica las raíces de los siguientes polinomios: a P=

7 b Q=4-8+ c R= -+6 d S= Razona si eiste alguna relación de divisibilidad entre + y Y entre + y +? FRACCIONES ALGEBRÁICAS Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios o monomios: 4 Por ejemplo, son fracciones algebraicas,, P Q Simplificación. Para simplificar fracciones algebraicas se descomponen numerador y denominador en factores y se simplifican los factores iguales del numerador y el denominador.

8 Por ejemplo: Cálculo del m.c.m. y del M.C.D. Para calcularlos se descomponen los polinomios en factores y: - se toman los factores comunes y no comunes al mayor eponente para el m.c.m. - se toman los factores comunes elevados al menor eponente para el M.C.D. Por ejemplo dados los polinomios: P= -+5 Q= +5- R= +5 El m.c.m. será : El M.C.D. será : Suma y resta. Para sumar o restar fracciones algebraicas se procede como en las fracciones numéricas. Veamos algunos ejemplos: Producto y cociente. Se procede como con las fracciones numéricas. A la hora de operar seguiremos estos Pasos: º Marcamos las operaciones. º Descomponemos al máimo todos los factores. º Simplificamos. 4º Operamos. Vamos algunos ejemplos:

9 . Opera y simplifica las siguientes epresiones: EJERCICIOS Sol: a b 0 77 c -4/ 5/ -8 + /. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: a y + y + + y y + b + y y + + yy c y + + y + y y Sol: a 5y + y b + 8y c y. Opera y simplifica las siguientes epresiones: Sol: a b Halla el cociente y el resto de cada una de estas divisiones: a : + b : c : + Sol: a COCIENTE: 7 RESTO: 9 4 b COCIENTE: RESTO = c COCIENTE: 4 RESTO: Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes: a : + b : + c : + Sol: a COCIENTE: + 4 RESTO: + 5 b COCIENTE: 5 RESTO: 8 c COCIENTE: RESTO: Epresa como cuadrado de un binomio. a b 6 + 5y + 60y c y + 6 y d y 4 y + 7. Epresa como producto de dos binomios. a 49 6 b 9 4 y c d 5 e 00 f 5 8. Saca factor común e identifica los productos notables a b c 7 y d + 6 y + y e y 9. Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones: a 5 + : b : + c + 4 : d : + Sol: a COCIENTE: RESTO: 8 b COCIENTE: RESTO: c COCIENTE: 5 RESTO: 5 d COCIENTE: RESTO: Utiliza la regla de Ruffini para calcular P, P 5 y P7 en los siguientes casos: a P = b P = Sol: a P = P 5 = 407 P7 = 49 b P = 6 P 5 = 557 P7 = 6. Averigua cuáles de los números,,,,, son raíces de los polinomios siguientes: a P = bq = + Sol: a Son raíces de P:, y. b es una raíz de Q. Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por o +. a P = + b P = c P = Sol: a P es divisible por. b P es divisible por. c P es divisible por +.. El polinomio 4 4 es divisible por a para dos valores enteros de a. Búscalos y da el cociente en ambos casos. Sol: Es divisible por + 4 y por Prueba si el polinomio es divisible por a para algún valor entero de a. 5. Calcula m para que el polinomio P = m + 5 sea divisible por +. Sol: m = 8 6. El resto de la siguiente división es igual a 8: 4 + k : Cuánto vale k? Sol: k = 4 7. Halla el valor que debe tener m para que el polinomio m m sea divisible por +. Sol: m = 8. Comprueba si eiste alguna relación de divisibilidad entre los siguientes pares de polinomios: a P = 4 4 y Q = bp = y Q = 5 c P = + y Q = Sol: a Q es divisor de P. b No hay relación de divisibilidad. c Q es divisor de P. 9. Tenemos un polinomio P = +. Busca un polinomio de segundo grado, Q, que cumpla las dos condiciones siguientes: a má.c.d. [P, Q] = b mín.c.m. [P, Q] = 9

10 0. Calcula el valor de k para que el polinomio P = + + k sea múltiplo de Q = +. Sol: k =. Factoriza los siguientes polinomios: a b c 7 80 d e 9 5 f 5 g h Saca factor común en las siguientes epresiones: a + b c ya + b a b y. Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: a b c d e 6 6 f Completa la descomposición en factores de los polinomios siguientes: a b Descompón en factores y di cuáles son las raíces de los siguientes polinomios: a + b 5 + c d Sol: a Sus raíces son, y. b Sus raíces son 0, y 4. c Sus raíces son y 7. d Sus raíces son,, y. 6. Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces: a + b c d e f 5 6 g 4 5 h Sol: Las raíces son: a,, b,,, c,, 0/4 d,, 5 e,,/, / f 0,, g 5/, -5/ h -/ 7. Factoriza los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces: a b c 6 d Sol: a Raíz: b Raíces:, 4 y 5/ c Raíz: d Raíces:, y -/ 8. Descompón factorialmente los siguientes polinomios: a b c Descompón en factores a y + a. Sol: a = a + a + a ; a = a + a + a 0. Factoriza las siguientes epresiones como en el ejemplo. Ejemplo: a ay + b by = a y + b y = ya + b a a ay + b by b y + y + + c y + y + y + y dab ab + b. Escribe en cada caso un polinomio de segundo grado que tenga por raíces: a 7 y 7 b 0 y 5 c y d4 doble. Escribe, en cada caso, un polinomio que cumpla la condición dada: a De segundo grado sin raíces. b Que tenga por raíces, 0 y. c De tercer grado con una sola raíz.. Halla, en cada caso, el mínimo común múltiplo y el máimo común divisor de los polinomios siguientes: a ; ; b ; 9 ; c + ; + 6 ; + d ; + ; 4 Sol: a m.c.m. = + M.C.D. = b m.c.m. = + M.C.D. = c m.c.m. = + M.C.D. = + d m.c.m. = 4 M.C.D. = 4. Halla, en cada uno de los siguientes casos, el M.C.D. [A, B] y el m.c.m. [A, B]: a A = + ; B = 9 b A = + ; B = c A = 6 ; B = + Sol: a M.C.D. = m.c.m. = b M.C.D. = + m.c.m. = + c M.C.D. = + m.c.m. = Cuál es el mín.c.m. de los monomios A = b; B = a b ; C = 5a? Escribe otros tres monomios D, E, F tales que: mín.c.m. A, B, C, D, E, F = 0a b 6. Inventa dos polinomios de segundo grado que cumplan la condición indicada en cada caso: a mín.c.m. [P, Q] = + b má.c.d. [P, Q] = + 7. Las raíces de P son 0, y. a Escribe tres divisores de P de primer grado. b Escribe un divisor de P de segundo grado.

11 8. a Si la división P : es eacta, qué puedes afirmar del valor P? b Si 5 es una raíz del polinomio P, qué puedes afirmar de la división P : + 5? c En qué resultado te has basado para responder a las dos preguntas anteriores? 9. Comprueba, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes: Sol: a sí b no c sí d sí 40. Descompón en factores y simplifica. 5 Sol: a b c d e 5 y 4. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: f y y y b a Sol: a b c b 5 a ac a 4. Simplifica las fracciones: b Sol: a b 4 4. Reduce a común denominador y opera. 5 6 Sol: a b Efectúa. c d 4 4 Sol: a 45. Opera. 6 6 b c 9 d 9 4 Sol: a b c 46. Opera y simplifica si es posible. d Sol: a b Efectúa estas operaciones: Sol: a 9 0 b 7 5 6

12 48. Descompón en factores el dividendo y el divisor, y, después, simplifica. 4 Sol: a b 49. Opera y simplifica. 6 c d Sol: a b c 50. Opera y simplifica el resultado: d Sol: a /4 b 5. Calcula: c 0 d e Sol: a b - 5. Efectúa. Sol: a 4 5. Opera y simplifica. b 4 c Sol: a 54. Efectúa. b 4 c Sol: a b 55. Efectúa y simplifica. c 9 a Sol: a b c - b 56. Opera y simplifica.

13 Sol: a b b c d 57. Opera y simplifica: y Sol: a / b c Traduce a lenguaje algebraico empleando una sola incógnita: a El cociente entre dos números pares consecutivos. bun número menos su inverso. c El inverso de un número más el inverso del doble de ese número. d La suma de los inversos de dos números consecutivos. 59. Epresa mediante polinomios el área y el volumen de este ortoedro. Sol: Área = Volumen = Epresa, en función de, el área total de este tronco de pirámide. Sol: Área total = Un grifo tarda minutos en llenar un depósito. Otro grifo tarda minutos menos en llenar el mismo depósito. Epresa en función de la parte del depósito que llenan abriendo los dos durante un minuto. 6. Se mezclan kg de pintura de 5 /kg con y kg de otra de /kg. Cuál será el precio de kg de la mezcla? Eprésalo en función de e y. 6. En un rectángulo de lados e y inscribimos un rombo. Escribe el perímetro del rombo en función de los lados del rectángulo. Sol: y Sol: Área parte sombreada = 4y En el rectángulo ABCD de lados AB = cm y BC = 5 cm, hemos inscrito el cuadrilátero A'B'C'D' haciendo AA' = BB' = CC' = DD' =. Escribe el área de A'B'C'D' en función de. Sol: A PARALELOGRAMO = 8 + 5

14 65. En el triángulo de la figura conocemos BC = 0 cm, AH = 4 cm. Por un punto D de la altura, tal que AD =, se traza una paralela MN a BC. Desde M y N se trazan perpendiculares a BC. a Epresa MN en función de. Utiliza la semejanza de los triángulos AMN y ABC. b Escribe el área del rectángulo MNPQ mediante un polinomio en. Sol: a 5 5 MN b A RECTÁNGULO =. Resuelve: AUTOEVALUACIÓN 4. Calcula el cociente y el resto de esta división utilizando el método de Ruffini: 5 4. Calcula el cociente y el resto de esta división: 5 4. Simplifica la siguiente fracción algebraica: Opera: a 5 5 b 9 6. a Calcula dos polinomios que cumplan que su mínimo común múltiplo sea:. -.+ b Hallar a y b para que el polinomio 5 a + b sea divisible por , encuentra un polinomio de º grado que sea divisor de él. 7. a Dado el polinomio: b Calcula el valor de m para que - sea una raíz del polinomio: 4 m 8. a Razona por qué +, -, +, - son posibles divisores del polinomio Puede serlo también +? b Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por 4 y tenga por raíces = y = 5. Epresa el resultado operado 9. a Opera y simplifica: b Opera y simplifica: 0.Epresa algebraicamente el área de la parte coloreada utilizando e y.