UNIDAD I Números Reales CONJUNTOS

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1 UNIDAD I Números Reles CONJUNTOS Definición: Un conjunto es un colección bien definid de objetos. Denotremos los conjuntos con letrs myúsculs A, B, C, etc. Los objetos que componen el conjunto reciben el nombre de elementos o miembros del conjunto y los denotremos por letrs minúsculs, b, c, etc. Un conjunto puede epresrse: Por etensión por l que podemos determinr el conjunto listndo todos sus elementos. Por comprensión por l que podemos determinr un conjunto, identificndo sus elementos medinte un propiedd común de ellos. Pr escribir un conjunto por etensión, listmos todos sus elementos seprdos por coms, y finlmente, encerrdos entre llves. Por ejemplo A{,,,4,5,6,7,8,9,0}. Pr escribir un conjunto por comprensión elegimos un elemento rbitrrio y señlmos que cumple un determind propiedd P(). Finlmente, encerrmos tod l epresión entre llves: A {: P()} y en el lenguje nturl se lee A es el conjunto de todos los elementos tles que cumplen l propiedd P(). Not : es un mner simbólic de escribir tl que ). Ejemplos:. El conjunto A {, e, i, o, u} está epresdo por etensión. Si desemos epresr el conjunto A por comprensión debemos buscr un propiedd ó crcterístic en común que contengn cd uno de sus elementos, en este cso sbemos que los elementos son vocles, por lo tnto el conjunto A se puede epresr por comprensión como sigue: A {: es un vocl}.. Se B {: es un número entero positivo menor que cinco}, este conjunto está epresdo por comprensión, pr epresr B por etensión debemos determinr el conjunto listndo todos sus elementos, es decir B {,,,4}. Conjunto Vcío Si C es un conjunto que crece de elementos, entonces es llmdo conjunto vcío. El conjunto vcío se denot por C { } o C Φ. Ddo el conjunto C {: es un profesor de mtemátic con más de trescientos ños de edd}, epresdo por comprensión, se dese epresr el conjunto por etensión, entonces debemos encontrr todos los elementos del conjunto; es evidente que C crece de elementos, debido que no eiste ctulmente un profesor con dich crcterístic. Por lo tnto, En culquier plicción de l teorí de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos pertenecen usulmente un grn conjunto fijo llmdo conjunto universl (U). Por ejemplo si trbjmos en el conjunto de números reles, denotdo por R, el universo son todos los números. Conjunto Unitrio Un conjunto unitrio es quel que está formdo por un solo elemento. Por ejemplo A {} { / } RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: entre dos conjuntos se estblecen ls siguientes relciones: Iguldd de Conjuntos Decimos que dos conjuntos A y B son igules si tienen los mismos elementos. Pr denotr que A y B son igules, escribimos: A B Inclusión de conjuntos Si cd elemento de un conjunto A es tmbién elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Se dice tmbién que A está contenido en B o que B contiene A. L relción de subconjunto viene dd por: A B Crtill de Ingreso Págin

2 Ejemplo: Consideremos los siguientes conjuntos A{,,4,5,8,9}, B{,,,5,7} y C{,5}. Podemos observr que todos los elementos del conjunto C están en el conjunto A, por tnto C A. De l mism mner podemos observr que C B. Sin embrgo, no todos los elementos del conjunto B están en A, por lo que podemos decir que B no está incluido en A. Propieddes: Sen A y B dos conjuntos culesquier se cumple siempre:. Φ A U (el conjunto vcío está contenido en el conjunto A ). A A (culquier conjunto está incluido en sí mismo). Si A B y B C, entonces A C 4. AB si y solo si A B y B A OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión de Conjuntos Ejemplo: Ddos los conjuntos: A {/ es un estudinte que prctic ntción} y B {/ es un estudinte que jueg l fútbol} El Conjunto que result de l Unión entre A y B cumplirá con l propiedd P() estudintes que prcticn ntción o juegn l futbol Por lo tnto AUB { : es un estudinte que prctic ntción o jueg l fútbol} Notción: C A B En este cso decimos que C es l unión de los conjuntos A y B, y pr describir sus elementos: A B / { A B} Y se lee A unión B es el conjunto de elementos tles que pertenece lguno de los dos conjuntos, es decir, pertenece A o pertenece B. Notemos que en l unión se encuentrn todos los elementos de A y todos los elementos de B. Es decir: A A B y B A B Gráficmente se represent medinte digrm de Venn: Observciones: Si A B entonces A B B. Si A B entonces A B A B. Si A B entonces pertenece A, pertenece B o pertenece mbos. Ejemplo: Si A {,4,5,6} y B {,6}, encontrr A B. Solución: Como todos los elementos de B pertenecen l conjunto A (B A) entonces l unión será el conjunto A. A B {, 4, 5, 6} Propieddes de l Unión: Sen A y B dos conjuntos culesquier se verific que:. Idempotenci: A A A. Asocitividd: ( A B) C A ( B C). Conmuttividd: A B B A 4. Elemento neutro: A Φ Φ A A Crtill de Ingreso Págin

3 Intersección de Conjuntos Ddos los conjuntos: A {/ es un estudinte que prctic ntción} y B {/ es un estudinte que jueg l fútbol} El Conjunto que result de l Intersección entre A y B cumplirá con l propiedd P() estudintes que prcticn ntción y juegn l futbol Por lo tnto el conjunto que result de l intersección entre mbos conjuntos se epres ; en el ejemplo C { : es un estudinte que prctic ntción y jueg l fútbol} En generl, cundo desemos obtener los elementos que pertenecen tnto l conjunto A como l conjunto B, lo denotmos : C En este cso decimos que C es l intersección de los conjuntos A y B, y se define formlmente como: { } A B / A B Y se lee A intersección B es el conjunto de elementos tles que pertenece A y pertenece B l vez. De cuerdo con l definición, culquier elemento de A B es un elemento de A y tmbién de B, es decir: (A B) A y (A B) B. Gráficmente se represent medinte digrm de Venn: : A B Cundo no hy elementos que pertenezcn mbos conjuntos A y B, decimos que l intersección es vcí o que el conjunto obtenido es el conjunto vcío. Observciones: Si A B entonces A B A. Si A B entonces A B A B. Propieddes de l Intersección. Sen A y B dos conjuntos culesquier se cumple que:. Idempotenci: A A A. Asocitividd: ( A B) C A ( B C). Conmuttividd: A B B A 4. Elemento neutro: A U U A A Diferenci entre Conjuntos Sen A y B dos conjuntos culesquier. L diferenci de conjuntos se denot C A B y se define formlmente como: A B / { A B} Y se lee, los elementos que pertenecen l diferenci de conjuntos A B son quellos elementos que pertenecen A y no pertenecen B. Crtill de Ingreso Págin

4 Ddos los conjuntos: A {/ es un estudinte que prctic ntción} y B {/ es un estudinte que jueg l fútbol} El Conjunto que result de l Diferenci entre A y B cumplirá con l propiedd P() estudintes que prcticn ntción y no juegn l futbol, o bien P() estudintes que sólo prcticn ntción. El Conjunto que result de l Diferenci entre B y A cumplirá con l propiedd Propieddes i. ii. iii. iv. v. P() estudintess que juegn l futbol y no prcticn ntción. o bien P() estudintes que sólo juegn l fútbol. A A A A A A B A B C A B A B A (A B) A B vi. A (B C) (A B) (A C) Complemento de un conjunto Ddo un conjunto A, su complemento es el conjunto formdo por los elementos que no pertenecen A: El complementrio de A es otro conjunto A cuyos elementos son todos quellos que no están en A: A C { / A C A} Conjunto de los Números Nturles ( N ) Los números que se emplen pr contr,,,, 4, constituyen el conjunto de los Números Nturles (o enteros positivos). Lo simbolizmos con N y podemos escribirlo como: N {,,, 4,.} Propieddes de N:. El conjunto N es infinito. Tiene primer elemento (el ) y no tiene último elemento. Todo número nturl tiene un sucesor: n N, n+ + N, donde n + es el sucesor de n 4. Todo número nturl tiene un ntecesor ecepto el : n N n n N, donde n es el ntecesor de n 5. Entre dos números nturles hy un número finito de números nturles. Se dice que N es discreto Not: En este conjunto l sum de dos números nturles d como resultdo otro nturl (Ley de cierre pr l sum), pero no ocurre lo mismo pr l diferenci (no vle l ley de cierre), por ejemplo 5 no tiene solución en este conjunto, por lo tnto ecuciones del tipo 5 + no tienen solución en el conjunto N, de llí l necesidd de introducir un nuevo conjunto de números. Crtill de Ingreso Págin 4

5 Conjunto de los Números Enteros ( Z ) Si l conjunto N se greg el número 0 y los enteros negtivos se obtiene un nuevo conjunto llmdo Enteros. Lo simbolizmos con Z. Z {,,, 0,,,, 4,..} Propieddes de Z:. El conjunto Z es infinito. El conjunto Z no tiene ni primero ni último elemento. Todo número entero tiene un ntecesor y un sucesor 4. Entre dos números enteros hy un número finito de números enteros. Se dice que Z es discreto Not: L sum y diferenci de dos números enteros es otro entero (vlen ls leyes de cierre pr sum, diferenci y producto) pero no ocurre lo mismo con l división de dos números enteros, por ejemplo :5 no tiene solución en este conjunto (no vle l ley de cierre pr l división), por lo tnto ecuciones del tipo no tienen solución en Z, de llí l necesidd de introducir un nuevo conjunto de números. Conjunto de los Números Rcionles ( Q ) Es el conjunto de números formdo por quellos números que pueden epresrse como cociente de dos números enteros, como un frcción. Es decir: b Q si con b y c Z c 0 c A este conjunto lo simbolizmos con Q, donde Q Z Frccionrios Los números nturles y enteros son rcionles con denomindor. Propieddes de Q:. Q es infinito. El conjunto Q no tiene ni primero ni último elemento. Entre dos números rcionles eisten infinitos números rcionles, entonces se dice que Q es denso. Trnsformción de un Frcción en un Epresión Deciml: Se divide numerdor por denomindor. Si el resto es 0, l epresión será deciml ect (por ejemplo /5 0,4), cso contrrio, l epresión será periódic, en l cul se repiten indefinidmente lgun o lguns cifrs decimles llmds período (por ejemplo / 0,, se epres 0, ) ) Not: El conjunto de los números rcionles puede definirse tmbién como el conjunto de los números decimles periódicos. Eisten dos tipos de epresiones decimles periódics: - Epresión deciml periódic pur: el período prece inmeditmente después de l com. ) - Ejemplo:,..., - Epresión deciml periódic mit: el período prece luego de un prte no periódic que tmbién ) está detrás de l com. Ej:, ,46 - Trnsformción de un Epresión Deciml en un Frcción A continución se present lgunos ejemplos del procedimiento que se reliz pr determinr l frcción correspondiente un epresión deciml: ) Se 0, 6 ) 0, Multiplicndo por 0 0 6, restndo 0, Crtill de Ingreso Págin 5

6 9 6 ) Se,8 y, multiplicndo por , 8 restndo 0, Pr fcilitr est trnsformción podemos ocupr l siguiente regl: Regl Tod epresión deciml periódic pur se puede trnsformr en un frcción tl que: El numerdor se obtiene restndo l número sin l com l prte enter. El denomindor se obtiene colocndo tntos 9 como cifrs periódics teng. 6 9 Ejemplo:, 4, 6 Regl Tod epresión deciml periódic mit se puede trnsformr en un frcción tl que: El numerdor se obtiene restndo l número deciml sin l com l prte enter seguid de l prte no periódic. El denomindor se obtiene con tntos nueves como cifrs teng el periodo seguido de tntos ceros como cifrs teng l prte no periódic. Ejemplos:, , Frcciones Equivlentes: Dos frcciones son equivlentes cundo representn el mismo número, por ejemplo, y 5 son equivlentes porque tods representn el número 0, Pr psr de l primer l segund se multiplic numerdor y denomindor por, o por el contrrio si se quiere reducir l segund frcción l primer se divide numerdor y denomindor por. Operciones en Q: Sum o Rest: c. d ± b. c ± b d b. d Ejemplos: ) Frcciones de igul denomindor: se pone el mismo denomindor y se sumn o restn numerdores b) Frcciones de distinto denomindor: se obtienen frcciones equivlentes de igul denomindor ntes de sumr o restr equivlentes Crtill de Ingreso Págin 6

7 Producto: c b d. c b. d Es conveniente simplificr ls frcciones su mínim epresión y recién relizr el producto. L simplificción se hce entre numerdor y denomindor Ejemplos: 6/ / 5/ 5/ / 5 / / 5 8/ 4/ Cociente: c b. d : b d c b. c d En este cso l simplificción se hce entre numerdores o bien entre denomindores. Ejemplos: 4 / 4/ : : / 9/ 4/ 5 / / : : / / : : Not: El conjunto de los números rcionles no es cerrdo pr l rdicción, por ejemplo,44.. no es un número rcionl porque es un número deciml no periódico, no se puede epresr como un frcción, por lo tnto ecuciones del tipo 0 no tienen solución en Q. De llí l necesidd de introducir un nuevo conjunto de números. Conjunto de los Números Irrcionles ( I ) Es el conjunto formdo por los números que tienen infinits cifrs decimles no periódics. Lo simbolizmos con I. Ejemplos:, ; π,4... ;, Propieddes de I:. I es infinito. El conjunto I no tiene ni primero ni último elemento. Entre dos números irrcionles eisten infinitos números irrcionles, entonces se dice que I es denso Conjunto de los Números Reles ( R ) Es el conjunto formdo por l unión de los rcionles y los irrcionles: R Q I Resumiendo: N {0} Z Enteros Z Rcionles Q Frccionrios Reles R Irrcionles I Representción Gráfic de R: Los números reles se pueden representr sobre un rect, llmd rect rel, de modo que todo número rel le corresponde un punto de l rect y todo punto de l rect le corresponde un número rel. Crtill de Ingreso Págin 7

8 Ley de Tricotomí: Llmmos P l conjunto de números reles myores que cero: P {/ R > 0}. Ddo un número R y un conjunto P llmdo positivo, tl que P R y P cerrdo pr l sum y el producto, es válid solo un de ls proposiciones siguientes: i) P ii) 0 iii) - P Orden en Reles: Si y b R, es menor que b si se cumple que b es positivo. Operciones en los Reles. Propieddes < b b P Ls operciones binris usules en R son l dición, producto, diferenci y división Propieddes de l Adición (Sum): Sen, b, c R. Ley de Cierre:, b R se cumple que +b R. Ley Conmuttiv:, b R se cumple que +b b+. Ley Asocitiv:, b, c R se cumple que + (b+c) (+b)+c 4. Eistenci del elemento neutro pr l sum: R, 0 R; Eistenci del elemento opuesto (inverso ditivo) R, - R; + (- ) (- ) + 0 Propieddes del Producto: Sen, b, c R. Ley de Cierre:, b R se cumple que.b R. Ley Conmuttiv: C, b R se cumple que.b b.. Ley Asocitiv:, b, c R se cumple que. (b.c) (.b).c 4. Eistenci del elemento neutro pr el producto: R, R;.. 5. Eistenci del elemento inverso R, 0 - R; Distributiv:, b, c R se cumple que.(b + c).b +.c Todo conjunto que cumple con ls propieddes nteriores se denomin Cmpo, por lo tnto el conjunto de los Reles con ls operciones de sum y producto usules constituye un cmpo numérico. Otros cmpos numéricos son los Rcionles y los Complejos. Observción: Si el producto de dos números reles es cero entonces uno de los dos números es cero., b R, si. b 0 0 b 0 Regls pr l resolución de ejercicios Regls de Supresión de Préntesis: + (b + c) + b + c (b + c) b c (b c) b + c Regl de los Signos pr: el Producto y l División: Crtill de Ingreso Págin 8

9 Leyes Cnceltivs y Uniformes: ) De l Adición: + b c + b c (cnceltiv) c + b c + b (uniforme) Potenci en R Sen R, n entero positivo, definimos n R donde : bse de l potenci n: eponente Z c : se denomin potenci R ) Del Producto:.c b. c b, c 0 b. c b. c c n veces (cnceltiv) (uniforme) Si 0 -n 7 0, y : (4) n Ejemplo 7 4 Propieddes de l Potenci. Producto de potencis de igul bse: n. m n+m Ejemplo: Cociente de potencis de igul bse: n : m n-m si 0 Ejemplo: 9 : 5 4. Potenci de potenci: ( n ) m n.m Ejemplo: ( 9 ) 5 45 Observción 4. Distributiv de l potenci respecto del producto: (. b) n n. b n Ejemplo: (. ) Distributiv de l potenci respecto del cociente: ( : b) n n : b n si b Ejemplo: L potencición no es distributiv respecto l sum o l diferenci. Es decir ( n n ± b) ± b n Rdicción en R L ríz enésim de un número rel es otro número b cuy potenci enésim es. n n b b, n N : se denomin rdicndo n: se denomin índice del rdicl - Si > 0 n es pr n 0 (resultdo positivo). Ej: Si < 0 n es pr n / (no eiste solución rel) Ej: 4 R - Si > 0 n es impr n 0 (resultdo positivo) Ej: 8 - Si < 0 n es impr n 0 (resultdo negtivo) Ej: L rdicción puede epresrse como potenci de eponente frccionrio: n n Crtill de Ingreso Págin 9

10 Propieddes de l Rdicción:. Ríz de un producto es igul l producto de sus ríces: n. b n. n b. Ríz de un cociente es igul l cociente de ls ríces: n b n n b. Ríz de ríz es igul l ríz del número cuyo índice es el producto de los índices ddos: m n. n.m n m n m n.m o Ej: 5 5 m m m. n n n n n o m m 4. ( ) ( ) L rdicción no es distributiv respecto l sum o l diferenci. Es decir: Cuiddo l simplificr! n n n ± b ± b./ Si tenemos un potenci, como rdicndo en un ríz de índice pr, podemos escribir: ( ) ( ) que es equivlente simplificr índice con eponente y esto no es correcto porque si opermos sin simplificr, el resultdo obtenido es (positivo) Operciones con Rdicles:. Etrcción de Fctores fuer del Rdicl: Pr etrer un fctor fuer del rdicl se divide el eponente del fctor por el índice, el resultdo es el eponente del fctor fuer del rdicl y el resto de l división es el eponente del fctor que qued dentro del rdicl. 0 9 Ejemplo: p.q q.p 5 5 p ;.b.b 6 Not: Si se quiere introducir un fctor dentro del rdicl se reliz el proceso inverso: se multiplic el eponente del fctor por el índice, el resultdo es el eponente del fctor dentro del rdicl. Rcionlizción de Denomindores: Dd un frcción cuyo denomindor se un rdicl, rcionlizr dicho denomindor es trnsformr l frcción dd en otr equivlente l primer, en cuyo denomindor no figuren rdicles. º Cso: Cundo figur un solo rdicl en el denomindor, se multiplic y divide por un ríz con el mismo índice, y el eponente del rdicndo es l diferenci entre el índice y el eponente del rdicl originl. Ejemplos:.... ( ). m. m. m. m m m m.m m m º Cso: Cundo se tiene un binomio con rdicles en el denomindor de l frcción, se multiplic y divide por el binomio conjugdo (cmbi el signo) Ejemplos: ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Crtill de Ingreso Págin 0

11 b ) 6. ( 6 + ( 6 ).( ) ) ( ) ( ) Relción de Menor:, b, c R. En l dición: < b + c < b + c. En el producto: < b c > 0. c < b. c < b c < 0. c > b. c ( se invierte l desiguldd). En el cociente: < b c > 0 < b c c < b c < 0 > b ( se invierte l desiguldd) c c Vlor Absoluto: Se define vlor bsoluto de un número rel : si 0 0 si 0 - si 0 Ejemplo: 4 4 y 4 4 Propieddes del Vlor Absoluto: ) 0 ). b. b 5) + b + b 7) - ) 4) b b 6) - b b 8) - Intervlos Reles: Un intervlo rel es un subconjunto de R y se represent como un segmento de l rect rel. Sen, b R, tl que < b, se define: - Intervlo Cerrdo [, b]: [, b] {/ R b } - Intervlo Abierto (, b): (, b) {/ R < < b} - Intervlo Semibiertos o Semicerrdos: i) [, b ) {/ R < b} ii) (, b ] {/ R < b} - Intervlos sin Cot Inferior o Superior (, ) {/ R > } (-, ] {/ R } [, ) {/ R } (-, ) {/ R < } Crtill de Ingreso Págin

12 Se llm epresión lgebric todo conjunto de términos representdos por letrs y números, relciondos entre sí por medio de ls siguientes operciones: dición, sustrcción, multiplicción, división, potencición y rdicción. Ejemplos:. y ) + y b) + y c) d) + ( ) + Epresioness Algebrics Enters: Se llmn sí ls epresiones lgebrics en que ls letrs están sometids únicmente ls operciones de sum, rest y multiplicción (incluye l potenci con eponente nturl). Ejemplo: + y 4 Monomio: Es l epresión lgebric enter en l que no intervienen ni l sum ni l rest. Ejemplo: y 4 El número que multiplic ls letrs se llm coeficiente numérico y ls letrs se llmn prte literl Monomios Semejntes: Dos monomios son semejntes cundo tienen l mism prte literl. Grdo de un Monomio: Es l sum de los eponentes de l prte literl. Ejemplo: 8 4 y tiene grdo 7 Sum de Monomios Es inmedito sumr o restr monomios semejntes: UNIDAD II Epresiones Algebrics. Polinomios EXPRESIONES ALGEBRAICAS Epresioness Algebrics Rcionles o Frccionris: Son ls epresiones lgebrics que involucrn l operción de l división. Ejemplos: ; r p t Ejemplo: 6 y 4 es semejnte con y 4 L sum de monomios no semejntes, por ejemplo: cso prticulr, l sum nos d un binomio. Not: Un binomio es l sum de dos monomios no semejntes, un trinomio, de tres y en generl, un polinomio es l sum lgebric de un número finito de monomios no semejntess (en prticulr, un monomio tmbién es un polinomio). Multiplicción de Monomios: El producto de dos o ms monomios es otro monomio cuyo signo result de plicr l regl de los signos del producto, cuyo coeficientee numérico es el producto de los coeficientes numéricos de los fctores, y cuy prte literl se obtiene escribiendo un sol vez cd un de ls letrs que figurn en los monomios ddos, con un eponente igul l sum de todos los eponentes con que dich letr figur en los fctores. Ejemplo: 5 m. ( 5.. b )... m m.5. 5 nunc es otro monomio, considerndo este m. b. Respuest: 5. b.. m 4 Crtill de Ingreso Págin

13 División de dos Monomios: El resultdo es otro monomio cuyo signo result de plicr l regl de los signos de l división, cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes de los monomios y cuy prte literl se obtiene escribiendo un vez tods ls letrs que figuren en los monomios ddos, con un eponente igul l diferenci entre el eponente de l letr del dividendo y el que tiene l mism en el divisor. Ejemplo: Respuest: 9 z 5 z z 4 4 z 4 4 z POLINOMIO Polinomio: Es l sum lgebric de monomios, llmdos términos del polinomio. Un polinomio con dos términos se llm binomio Un polinomio con tres términos se llm trinomio Un polinomio con cutro términos se llm cudrinomio Grdo de un Polinomio: El grdo del polinomio es igul l del término de myor grdo Ejemplo: El siguiente polinomio es de grdo y z y + y z Un polinomio de grdo cero es un constnte no nul. Por lo tnto culquier número rel distinto de cero se puede considerr como un polinomio de grdo cero. Polinomio Nulo: Se llm sí l polinomio que tiene todos los coeficientes numéricos nulos y se dice que crece de grdo. Polinomio Homogéneo: Es quel polinomio que tiene todos los términos de igul grdo. Ejemplo: y + 4 y - 5 z Polinomios Ordendos: Un polinomio se dice ordendo con respecto ls potencis decrecientes de un de sus letrs, cundo est figur en cd término elevd un potenci menor o igul que en el término nterior. Ejemplo: 5 z - + / z 5 está ordendo con respecto ls potencis decrecientes de. Not: Puede ordenrse el polinomio en form creciente con respecto un de sus letrs. Ejemplo: + / z z está ordendo con respecto ls potencis crecientes de. Polinomio Completo: Un polinomio en (o en un indetermind culquier) se dice completo cundo figurn tods ls potencis menores de es letr que l de más lto grdo con que es letr figur en el polinomio. En cso contrrio el polinomio se dice incompleto. Ejemplos: / - 8 (incompleto en porque flt 4 ) (completo) Pr completr un polinomio se deben gregr los términos que fltn pero con coeficiente numérico cero pr no lterr el polinomio originl. Ejemplo: Completr el polinomio 5 z 4-7 z 5 z 4 +0 z + 0 z 7 z + 0 (completo) Iguldd de Polinomios: Dos polinomios son igules si todos sus términos son igules Crtill de Ingreso Págin

14 OPERACIONES CON POLINOMIOS ) Sum de Polinomios: Se reliz grupndo los términos semejntes y sumndo sus coeficientes. El grdo del polinomio resultnte será igul o menor l myor grdo de los polinomios ddos. Ejemplo: Sumr los polinomios siguientes: y + 7 y 4, 6 y + 4 y 4, y y + y + 7 y 4 4 y 6 y 4 y y 9 y y 4 Respuest: 9 y y 4 ) Diferenci de Polinomios: Se reliz sumndo l minuendo el opuesto del sustrendo (el opuesto de un polinomio se obtiene cmbindo el signo de todos sus términos). Ejemplo: Restr y y del polinomio 8 0 y + y 8 0 y + y ( y y) 8 0 y + y y + y 0-5 y + y Respuest: 0 5 y + y ) Multiplicción de Polinomios: I) Multiplicción de un Monomio por un Polinomio: Se reliz multiplicndo cd término del polinomio por el monomio Ejemplo: y. ( 5z y y + 8 yz) 5 4 y z 9 y z y Respuest: 5 4 y z 9 y z y II) Multiplicción de dos Polinomios: Se obtiene multiplicndo cd término del polinomio por cd término del otro polinomio. O se que se plic l propiedd distributiv. El grdo del polinomio resultdo es igul l sum de los grdos de los polinomios ddos Ejemplo: ( 5 b+ b ). b.. b 5.. b+ 5b + b b b b+ 5 b + b b b+ b b b+ b b Otr Form de Multiplicr: Se colocn los polinomios como si fuer producto de dos números y se reliz los productos entre los términos de uno con término del otro, esos resultdos se colocn de mner que queden en columns los términos semejntes pr poder sumrlos. En el ejemplo nterior: 5 b + b b 5 b + b + b + 5 b b 9 b + b b Crtill de Ingreso Págin 4

15 4) División de Polinomios: División de Polinomios: Pr efectur l división de polinomios el grdo del dividendo debe ser myor o igul que el grdo del divisor. Deben ordenrse en form decreciente, y el polinomio dividendo debe estr completo. Regl: Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que result el primer término del cociente. Se multiplic el primer término del cociente por el divisor y se lo rest del dividendo, obteniéndose un resto de grdo menor que el dividendo. Se repite el procedimiento entre el resto y el divisor hst llegr obtener un resto de menor grdo que el divisor. Ejemplo: Dividendo Divisor Cociente ( 4 ) + 5 Resto Polinomios en un Vrible: Un polinomio de grdo n en un vrible (o indetermind) se epres: P () n. n + n. n- + n. n donde n es entero no negtivo y los coeficientes i pertenecen un cmpo numérico (en nuestro cso R) y se lee P de. Si n 0, n se denomin coeficiente principl. Si n diremos que el polinomio es mónico y n es el grdo del polinomio. Si todos los coeficientes del polinomio son ceros, entonces se denomin polinomio nulo el cul no posee grdo. Si P() es igul un constnte, el grdo es nulo. - Llmmos Z[] l conjunto de polinomios cuyos coeficientes son números enteros. - Llmmos Q[] l conjunto de polinomios cuyos coeficientes son números rcionles. - Llmmos R[] l conjunto de polinomios cuyos coeficientes son números reles. Algoritmo de l División de Polinomios en R[]: Ddos P(), Q() R[], con Q() 0, eisten C() y R() R[] que verificn: i) P() Q().C() + R() ii) R() 0 grdo R() < grdo Q() P() Q() donde: - P() es el dividendo R() C() - Q() es el divisor - C() es el cociente - R() es el resto Regl de Ruffini: Se plic en el cso especil de división de un polinomio en por un binomio de l form ±. El resultdo se obtiene medinte un disposición práctic llmd Regl de Ruffini : En l primer fil se escriben los coeficientes del dividendo completo y ordendo decrecientemente. En l segund fil se escribe hci l izquierd el opuesto del número. En l tercer fil se escriben los coeficientes del resultdo que se vn obteniendo sí: Crtill de Ingreso Págin 5

16 - El primer coeficiente es igul l primer coeficiente del dividendo - El segundo coeficiente se obtiene multiplicndo el coeficiente nterior por (cmbido de signo) y sumndo este producto el coeficiente del segundo término del dividendo, luego se repite este procedimiento pr obtener los siguientes coeficientes; el último corresponde l resto de l división y todos los nteriores son los coeficientes del polinomio resultdo quien tiene un grdo menor que el dividendo. Ejemplo: C() C() R - 0 Cero o Ríz de un Polinomio: Se dice que un número es un cero o ríz del polinomio P() cundo este se nul pr. Ejemplo: P() P() + + P() 0 es ríz de P() Teorem Fundmentl del Álgebr: Todo polinomio de grdo n tiene ectmente n ríces. Por ejemplo un polinomio de grdo tiene ríces, uno de grdo tiene ríces, etc. Teorem del Resto: El resto R() de l división de un polinomio P() por un binomio (+) es el vlor numérico que tom dicho polinomio cundo en él se sustituye por. Demostrción: Por lgoritmo de l división entre P() y (+) se tiene: P() (+). C() + R Evlundo el polinomio en - P (-) (-+). C (-) + R 0 P (-) R Ejemplo: Clculr el resto de l siguiente división: ( ) (+) Resto P (-) 4(-8)+5.4 (-) + R Not: - Si el resto de l división es cero, l división es ect - Si el cociente P ( ) Q ( ) es fctor de P() es ecto, se dice que P() es divisible por Q() y Q() Cálculo de los Ceros de un Polinomio Ceros Enteros: Se P() Z[] el polinomio de l form: P() n. n + n-. n- + n-. n con coeficientes enteros y n 0 Supongmos que el entero p es un cero del polinomio P(), es decir: n. p n + n-. p n- + n-.p n p +.p Despejndo 0 y scndo fctor común p: Crtill de Ingreso Págin 6

17 0 p (- n. p n- - n-p n-.-+ ) lo que signific que p divide 0, y que el préntesis es un número entero, por lo tnto se puede concluir que: Los únicos ceros enteros posibles son los divisores del término independiente Ejemplo: Ddo el polinomio P() + + +, los únicos ceros enteros posibles de este polinomio son los divisores enteros de, es decir ± y ± Aplicndo Ruffini se tiene es ríz P() ( + ) ( + +), y - no son ceros del polinomio porque no verificn el polinomio ( + +), por lo tnto los otros ceros seguro que no son enteros. Ceros Frccionrios: Ddo un polinomio P(), si p/q (con p y q primos entre si) es un cero del polinomio necesrimente debe ser p divisor del término independiente y q divisor del coeficiente principl. Ejemplo: Hllr los ceros enteros y frccionrios de P () Posibles ceros enteros: ±, ±, ±, ± 6 se verific por Ruffini hst que se obtiene resto cero solo con C() Posibles ceros frccionrios: los divisores del término independiente son ±, ± divisores del coeficiente principl son ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ± entonces los posibles ceros frccionrios son: ±/,±/, ± /4 ±/6, ±/ ± / Medinte Ruffini se obtiene que: / / -/ / -/ / Los ceros buscdos son {-, /, -/, -/} FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Hy números que se pueden fctorer; es decir epresr como producto de números primos llmdos fctores, por ejemplo 5. 5 donde y 5 son los divisores (fctores) de 5, o bien se dice que 5 es divisible por y por 5. Algo nálogo ocurre con los polinomios. Algunos polinomios se pueden epresr como el producto de otros polinomios primos, por cd uno de los cules es divisible. Definición: Fctorer un polinomio es trnsformrlo en un producto de otros polinomios primos, llmdos fctores. Crtill de Ingreso Págin 7

18 Cundo un polinomio no se puede fctorer se dice que el polinomio es irreducible o primo. Ejemplo: Fctorizr el polinomio (-). (+) Polinomios primos Un polinomio P() n. n + n-. n- + n-. n de grdo n tiene n ríces (indicds por i ), entonces se puede epresr fctorizdo como: P() n. ( ). ( ) ( ). ( n ) Si lgún vlor de I se repite k veces se dice que es ríz es un cero con orden de multiplicidd k. Si no se repite se dice que es un cero simple. Por ejemplo en el polinomio P(). ( + ).( -). ( + 5 ) el - es un ríz de multiplicidd, el es ríz de multiplicidd y el -5 es un cero simple. CASOS DE FACTOREO ) Fctor Común: Un número o un epresión lgebric es fctor común de todos los términos de un polinomio cundo figur en todos ellos como fctor. Regl: Si en todos los términos de un polinomio figur un fctor común, dicho polinomio es igul l producto de ese fctor común por el polinomio que result l dividir cd término por ese fctor. Ejemplo: ( + ) Fctor común cociente Observción: El polinomio que result l scr fctor común debe tener igul número de términos que el polinomio ddo ) Fctor Común por Grupos: Regl: Si los términos del polinomio pueden reunirse en grupos de igul número de términos, con un fctor común en cd grupo, se sc en cd uno de ellos el fctor común. Si qued l mism epresión en cd uno de los préntesis, se lo sc su vez como fctor común, quedndo el polinomio como un producto de fctores comunes. Ejemplo: P().m. + n. -.m.y - n.y P() (.m. -.m.y) + (n. - n.y) P().m ( y) + n ( y) P() (.m + n ) ( y ) Not: Puede ocurrir que eistn fctores comunes entre lgunos términos pero no en todos Ejemplo: P ( ) + + ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( + ) ) Trinomio Cudrdo Perfecto: Definición: Se llm trinomio cudrdo perfecto l trinomio tl que dos de sus términos son cudrdos perfectos y el otro término es el doble producto de ls bses de esos cudrdos. Al trinomio cudrdo perfecto se lo puede escribir como el cudrdo de un binomio formdo por l sum o diferenci de sus bses. Crtill de Ingreso Págin 8

19 El Trinomio Cudrdo Perfecto equivle l desrrollo del Cudrdo de un Binomio Ejemplos: ) ( ) + + () ( + ) b) 6 4 y + 9 y + ( y) + ( y) 4) Cutrinomio Cubo Perfecto: ( ) ( ) +. b. + b + b. b. + b b 5 y Definición: Todo cutrinomio de l form + b+ b + b en el que dos términos son cubos perfectos ( y b ), otro término es el triplo del cudrdo de l bse del primer cubo por l bse del segundo cubo ( b ) y el otro término es el triplo del cudrdo de l bse del segundo cubo por l bse del primer cubo ( b ) se llm cutrinomio cubo perfecto y se lo puede escribir como el cubo de un binomio, formdo por l sum de ls bses de los cubos, con sus respectivos signos. El Cutrinomio Cubo Perfecto equivle l desrrollo del Cubo de un Binomio m + m + 6m + m + m +. m + m 8 Ejemplo: ( ) ( ) ( ) 5º) Diferenci de Cudrdos: Tod diferenci de dos cudrdos es igul l producto de l sum de sus bses por l diferenci de sus bses. Ejemplos: ) 9 ( ) ( + ) 4 y y y + y ) 6 ( ) 6º) Sum o Diferenci de Potencis de Igul Grdo: Pr fctorizr los polinomios de l form ( n ± n ) se debe recordr que binomios lo dividen ectmente. De es mner l hcer l división se encuentr el otro fctor. Recordr: Sum de Potencis de Igul Grdo. L sum de dos potencis de igul grdo pr no es divisible por l sum de ls bses de dichs potencis ni por su diferenci. Consecuenci: Tles binomios no son fctorizbles.. L sum de dos potencis de igul grdo impr solmente es divisible por l sum de ls bses de dichs potencis. Ejemplo: ( ).( ) b + b b ( ) + b+ b + b + b : Luego l sum de potencis de igul grdo impr quedrá fctorizd de l siguiente mner: Crtill de Ingreso Págin 9

20 Diferenci de Potencis de Igul Grdo. L diferenci de potencis de igul grdo pr es divisible tnto por l sum de ls bses de dichs potencis como por l diferenci de ls misms. Ejemplos: ) El binomio es divisible por : 9 7 Luego l diferenci de potencis de igul grdo pr quedrá fctorizd de l siguiente mner: b) El binomio es divisible por. 9 7 : 9 7 Luego l diferenci de potencis de igul grdo pr quedrá fctorizd de l siguiente mner: L diferenci de dos potencis de igul grdo impr solmente es divisible por l diferenci de ls bses de dichs potencis. Ejemplo: El binomio es divisible por : Luego l diferenci de potencis de igul grdo impr quedrá fctorizd de l siguiente mner: Ejemplo plicndo Ruffini: y + 7 y + es divisible por y +, entonces hcemos l división plicndo l Regl de Ruffini y obtenemos el otro fctor y + 7 ( y + ).( y y + 9 ) Not: Pr fctorizr un polinomio debemos fijrnos primero que form tiene pr plicr el cso correspondiente. Muchs veces un mismo polinomio se le plicn vrios csos de fctores pr llegr l epresión fctorizd. Ejemplo: 4 4 y + y y y y ordenndo: y + y y + y y 4 4 grupndo: ( y ) + (y y ) + ( y y ) fctor por grupos: ( y ) y( y ) + y ( y ) ( y + y ).( y ) Binomio l cudrdo Diferenci de cudrdos ( y).( y).( + y) ( y).( + y) MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS (MCD) El MCD de dos o más polinomios es el polinomio de myor grdo y myor coeficiente numérico que es fctor o divisor de los polinomios ddos. Crtill de Ingreso Págin 0

21 Pr hllr el MCD: ) Se fctorizn los polinomios ) El MCD es el producto de los fctores comunes elevdos l menor potenci con que figurn. Ejemplo: Hllr el MCD de 8-6 y +8 y y 4 4 y ) 8-6 y +8 y 8 ( - y + y ) 8 ( y ) 4 4 y 4 ( y ) 4 ( y ) ( + y ) ) MCD 4 ( y) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS (mcm) El mcm de dos o más polinomios es el polinomio de menor grdo y coeficiente numérico que es múltiplo de todos los polinomios ddos. Pr hllr el mcm: ) Se fctorizn los polinomios ) El mcm es el producto de todos los fctores, comunes y no comunes, con el myor eponente con que figurn. Ejemplo: Hllr el mcm de: 5m + 5mb 5n -5nb y m m b -nm +nmb + n n b ) 5m + 5mb 5n -5nb 5m ( +b) 5n ( + b) (5m-5n)(+b) 5 (m n ) ( + b ) m m b -nm +nmb + n n b m ( b )-nm( -b ) + n ( b ) (m -nm + n ) ( b ) (m n) ( b) ( + b) ) El mcm 5 (m n) ( b) ( + b) Ejercicio: Hllr el MCD y mcm de los siguientes polinomios: z + z ) 9 ( ) ( + ) ) MCD ( + ) ( + ) mcm ( + ) ( ) z z + z z ( + ) Relción entre Ceros y Coeficientes de un Polinomio º) Polinomio de º Grdo: P () + b + c ( + b/ + c/) sen α, β sus ceros, entonces l descomposición fctoril del polinomio es: P () (-α).(-β) distribuyendo se obtiene: P () [ ( α + β ) + αβ ] debe ser el mismo P() ddo por iguldd de polinomios se tiene: b α + β c α. β º) Polinomio de º Grdo: P () + b + c + d [ + b/ + c/ + d/] sen α, β, γ sus ceros, entonces l descomposición fctoril del polinomio es: P () (-α).(-β).(-γ) distribuyendo se obtiene: Crtill de Ingreso Págin

22 P() [ ( α + β + γ ) + ( αβ +αγ + βγ ) -αβγ ] debe ser el mismo P() ddo por iguldd de polinomios se tiene: b α + β + γ c α. β + α. γ + β. γ d α. β. γ Ests relciones son útiles cundo se conoce lgun relción dicionl sobre los ceros, por ejemplo se quiere hllr los ceros del polinomio P () sbiendo que sus ceros están en progresión ritmétic. Solución: usndo el dto dicionl, sbemos que los ceros se pueden escribir sí: α - r, α, α + r ( progresión ritmétic de rzón r) L sum de los ceros es: α - r + α + α + r - 9 α - 9 α - por lo tnto y tenemos un cero Verificmos por Ruffini: es riz Los otros ceros son los ceros del polinomio Aplicndo fórmul de º grdo se obtienen - y -5, entonces los ceros buscdos son -, -, - 5 y están en progresión ritmétic de rzón igul -. EXPRESIONES ALGEBRÁICAS FRACCIONARIAS O RACIONALES Ddos dos polinomios P() y Q(), tl que Q() 0 se denomin epresión lgebráic rcionl tod P( ) epresión de l form Q( ) Ejemplos: : Definición: Un epresión lgebráic rcionl P( ), con Q() 0, se dice que es irreducible si P() y Q() no Q( ) tienen fctores en común. Simplificción de Epresiones Algebráics Rcionles: Pr convertir un epresión lgebráic rcionl en irreducible se debe simplificr, es decir se deben fctorer numerdor y denomindor y luego suprimir todos los fctores comunes mbos. Ejemplo: Simplificr : - ( ).( + + ) ( ( ).( + ) + + ) + Común Denomindor: Pr reducir dos o más epresiones rcionles un mínimo común denomindor, se trbj de l mism form que en l sum de frcciones, es decir se tom el mcm de los denomindores, y los numerdores se obtienen dividiendo el mcm por el denomindor correspondiente y el resultdo se lo multiplic por el respectivo numerdor. Ejemplo: Reducir ls siguientes epresiones rcionles mínimo común denomindor y b ; ( + b) b + b ; 5 + b Crtill de Ingreso Págin

23 º) Fctorer los denomindores: b ( b).( + b) b + b ( b) + b + b º) El mcm de los denomindores es el producto de todos los fctores comunes y no comunes con el myor eponente con que figurn, por lo tnto: El mcm es : ( + b).( b) º) Obtener los respectivos numerdores: Pr y b y ( b).( + b) y( b) ( b).( + b) Pr ( + b) b + b ( + b) ( b) ( + b)( + b) ( + b) ( b).( + b) ( b).( + b) Pr 5 + b 5( b) ( b) ( + b) Operciones con Epresiones Algebrics Rcionles ) Sum: ) Primer Cso: Cundo ls frcciones tienen igul denomindor, l sum es otr frcción de igul denomindor y cuyo numerdor es l sum de los numerdores ddos. A ( ) B( ) A( ) + B( ) + C( ) C( ) C( ) Ejemplo: 5y + 5y y y y y b) Segundo Cso: Cundo los denomindores son distintos, ls frcciones deben reducirse previmente un mínimo común denomindor y luego se procede como en el cso nterior. Ejemplo: ( + ) - Primero hllmos el mcm de los denomindores: - (+) mcm (-)(+) - (-).(+) - Hllmos los nuevos numerdores: - Relizmos l sum: 4 ( + ).( + ) 4( + ) ( )( + ) ( )( + ) 4 ( + ) 4 4 ( + )( + ) ( + )( + ). 6.( )( + ).( )( + ) 4( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) (5 / + ) ( )( + ) ( / )( + ) 5 + ) Diferenci: Se procede igul que en l sum Crtill de Ingreso Págin

24 Crtill de Ingreso Págin 4 ) Multiplicción: El producto de dos o más epresiones rcionles es otr frcción que tiene por numerdor el producto de los numerdores y por denomindor el producto de los denomindores. ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) (. ) ( ) ( D C B A D B C A En l práctic conviene fctorer previmente los numerdores y denomindores con el objeto de hcer tods ls simplificciones posibles ntes de clculr el producto. Ejemplo: ) )( ( ) ( ) ( 4 4) División: El cociente de dos epresiones rcionles es el producto del dividendo por el recíproco del divisor. ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) (. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C B D A C D B A D C B A Ejemplo: 4. 4 ) )( ( + +. ) ( ).( ) )( ( ) ( + + ) ).( ( + +

25 UNIDAD III Ecución, Inecución y Función Linel. Función Vlor Absoluto. Sistems de Ecuciones Lineles. ECUACIÓN LINEAL Dd un iguldd entre dos epresiones lgebrics, se trt de un identidd, si l iguldd es válid pr todos los vlores posibles de ls vribles en juego. Por ejemplo se en R l siguiente iguldd: - ½ ( ). Es un identidd porque se verific pr todos los vlores de l vrible que pertenecen R. Un iguldd es un ecución, si solo es válid pr determindos vlores de l vrible o pr ningún vlor de ls vribles. Resolver un ecución signific hllr el vlor de ls vribles que verificn l iguldd., es decir encontrr el conjunto solución. Ejemplos: ) + 0 no tiene solución en el conjunto de los números reles. Se dice que el conjunto solución es vcío C s b) tiene un solución que es - entonces C s { R/ -} o C s {-} c) + y 0 tiene infinits soluciones, son todos los vlores de ls vribles e y que verificn l iguldd, por lo tnto -y, entonces C s {(, y) R / -y} o C s {(-y, y)}. d) + + ( + ), como el primer término es un trinomio cudrdo perfecto de l form ( + ) se obtiene l siguiente iguldd: ( + ) ( + ) que es un identidd, por lo tnto dmite infinits soluciones y que se verific pr culquier vlor rel de, entonces C s R Ecuciones Equivlentes: Dos ecuciones son equivlentes si dmiten el mismo conjunto solución. Ecución de Primer Grdo o Linel: Un ecución linel en un vrible es un ecución de l form + b 0 con 0, donde el primer miembro es un epresión polinómic de grdo uno. Pr hllr l solución de un ecución se utilizn ls siguientes propieddes (bsds en ls propieddes de l sum y producto en R). Propiedd : Si mbos miembros de un ecución se sum o rest un mismo número o un mism epresión lgebric se obtiene un ecución equivlente l primer Propiedd : Si mbos miembros de un ecución se multiplic o divide un mismo número o un mism epresión lgebric se obtiene un ecución equivlente l primer. Clsificción de l Solución de un Ecución: ) Solución Únic: L ecución dmite un único vlor de l vrible como solución. Ejemplo: - +6 Vmos construir un sucesión de ecuciones equivlentes l primer pr determinr el conjunto solución se rest en mbos miembros y se sum (propiedd uniforme de l sum y rest en R) ( ) + (- +) ( ) + (6 + ) por propiedd socitiv de l sum y eistenci del opuesto y del neutro ditivo 8 8 se divide mbos miembros por (propiedd uniforme del producto y cociente) 4 El conjunto solución de l ecución dd es: Cs {4} Crtill de Ingreso Págin 5

26 ) Infinits Soluciones: L ecución dmite como solución infinitos vlores pr l vrible. (En l búsqued de ecuciones equivlentes se rrib un identidd). Ejemplo: + ( - ) + 4 ( -/ ) por propiedd distributiv 5 5 por propiedd socitiv de sum Est últim ecución es un identidd, pr culquier vlor rel de se cumple por lo tnto l ecución tiene infinits soluciones, entonces C s R ) Ningun Solución: No eisten vlores de l vrible que verifiquen l ecución. (En l búsqued de ecuciones equivlentes se lleg un contrdicción). Ejemplo: ( + ) por propiedd cnceltiv de l sum 6 5 Se obtiene un fls iguldd por lo tnto no eiste solución pr l ecución dd, entonces C s Aplicciones: hy muchos problems que pueden resolverse medinte un ecución linel con un vrible (en mtemátic, físic, químic, biologí, entre otrs). Ejemplos: ) El triplo de un número umentdo en 5 es igul l número disminuido en. Cuál es el número? Al nº que no se conoce se lo llm Al triplo del nº se lo llm El triplo del nº umentdo en El nº disminuido en Con todo esto se plnte l ecución: + 5 Se resuelve C s {-4} ) Un poste tiene pintd de negro /5 de su longitud (dd en metros), ¾ de lo que qued de zul y el resto, que mide 0,45 m, está pintdo de blnco. Cuál es l longitud del poste? Se ltur del poste en metros: Prte pintd de negro: /5 Prte restnte. /5 Los ¾ de l prte restnte: ¾ ( /5 ) es zul Si se sum prte negr + blnc + zul se obtiene l longitud del poste, entonces se tiene l siguiente ecución: + ( ) + 0, , , 45 0, 45 0, Rt: el poste mide metros ) Al relizr un ensyo de lbortorio, un Ingeniero Químico debe medir l tempertur de un muestr. Pr ello utiliz un termómetro de fbricción ingles con el que determin dich tempertur en grdos Fhrenheit. Sin embrgo, en su informe l tempertur debe estr epresd en grdos Celsius. El Ingeniero sbe que el vlor de l tempertur epresd en Celsius es cinco novenos de l tempertur epresd en Fhrenheit disminuid en. Qué ecución debe plnter el Ingeniero pr psr de un escl de temperturs otr? Crtill de Ingreso Págin 6

27 Llmemos T C l tempertur en grdos Celsius y T F l tempertur en grdos Fhrenheit. Entonces, T C (5/9) (T F ) Ecuciones con Vlor Absoluto: Son quells ecuciones en ls cules l vrible se ve fectd por el vlor bsoluto. Pr resolver este tipo de ecuciones se recurre l definición de vlor bsoluto. Ejemplos: ) si 0 C s {-, } - si 0 ) 5 por definición de vlor bsoluto hy dos posibiliddes: C s { -, 7} Gráficmente los vlores que cumplen con l ecución son quellos números que distn 5 uniddes del número. INECUACIÓN LINEAL Un inecución en l vrible es un desiguldd en l que está involucrd l vrible. Inecución Linel: Es un inecución que tiene lgun de ls siguientes forms:. + b 0 con 0 ;. + b 0 con 0. + b > 0 con 0 ;. + b < 0 con 0 Resolver un inecución linel es hllr los vlores de l vrible que stisfcen l desiguldd. Pr encontrr el conjunto solución de un inecución linel se procede en form nálog l resolución de un ecución linel, pero con el cuiddo de recordr que en un desiguldd cundo mbos miembros se multiplicn o dividen por un mismo número negtivo entonces el sentido de l desiguldd cmbi. El conjunto solución se epres medinte intervlos reles. En el primer tipo de inecución se tiene. + b 0 restndo b en mbos miembros:. -b se presentn dos opciones: - si > 0 -b/ (no cmbi l desiguldd) C s [-b/, ) - si < 0 -b/ (cmbi l desiguldd) C s (-, b/] Ejemplos: Encontrr el conjunto solución en R de: ) (-) (-) / C s [ /, ) ) 5 + > > 0 > 0 est desiguldd es verdder pr culquier vlor de C s R ) + 6 < < 0 < 0 est desiguldd es fls pr culquier vlor de C s Inecuciones con Vlor Absoluto Son quells inecuciones en ls cules l vrible se ve fectd por el vlor bsoluto. Pr resolver este tipo de ecuciones se recurre l definición de vlor bsoluto y ls siguientes propieddes: b b b b + b + C > b < b > b < b + s [ b +, b + ] > b + C s (, b + ) ( b +, ) Crtill de Ingreso Págin 7

28 Ejemplo: Hllr el conjunto solución de: < 4 4 < < < < 4 + < < 6 C (,6) s FUNCIÓN Definición de Pr Ordendo: Se llm pr ordendo l conjunto de dos elementos e y simbolizdo por (,y). Es ordendo porque (,y) (y,) En el pr (,y), es el primer elemento del pr e y es el segundo elemento Definición en Función: dd un relción R entre dos conjuntos A y B, decimos que R es un función de A en B, si cd elemento de A le corresponde un único elemento de B. En símbolos f: A B. Al conjunto A se lo llm dominio de l función, siendo B el rngo de l función. L imgen o codominio de l función es el subconjunto de B, cuyos elementos se corresponden con lgún elemento del dominio. Si A e y B entonces se escribe y f () Ejemplos: ) y es un función, cuyo Dominio es R y cuy Imgen (en este cso coincide con el rngo) es R ) y + no es función porque pr cd vlor de le corresponden dos vlores de y, por ejemplo pr y ±. ) y es un función, cuyo Dominio es R y cuy Rngo es R, l Imgen es (en este cso l Imgen no coincide con el rngo) Representción Gráfic de un Función: Todo punto del plno se epres como un pr ordendo ( 0, y 0 ) donde 0 es l primer componente e y 0 es l segund componente y se pueden representr en un sistem de ejes coordendos crtesinos, en el que el eje horizontl es el eje de ls bsciss y se lo llm eje, mientrs que el eje de ls ordends (verticl) se lo llm eje y. y y 0 ( 0, y 0 ) 0 Como l función es el conjunto de todos los pres ordendos (,y) tl que y f(), entonces un función y f() se puede representr en el sistem de ejes coordendos crtesinos grficndo los pres ordendos que pertenecen l función como puntos del plno. En el eje se representn los elementos del dominio de l función y en el eje y los vlores de l imgen. Ejemplo: y Crtill de Ingreso Págin 8

29 Interpretción del Gráfico de un Función: Consideremos el siguiente gráfico de un función y f() En el gráfico se observ que y se increment pr los vlores de que vn de 0 0, donde y lcnz el máimo vlor que es 0 y luego empiez decrecer cortndo l eje pr el vlor de 0, hst llegr un vlor mínimo de -0 cundo es 40. Luego prtir de 40 el vlor de y vuelve incrementrse cortndo nuevmente l eje pr el vlor de 50, hst llegr un vlor de 0 pr 60. Tod est informción se puede detllr teniendo en cuent los siguientes conceptos: Función Creciente: Dd un función f() definid en un intervlo [,b], decimos que l función es creciente si se cumple f( ) < f( ), [,b], siendo < Función Decreciente: Dd un función f() definid en un intervlo [,b], decimos que l función es decreciente si se cumple f( ) > f( ), [,b], siendo < Máimo: Dd un función f() definid en un intervlo [,b], tl que c (,b) decimos que en c hy un máimo locl o reltivo si l función es creciente l izquierd de c y decreciente l derech de c. Si l función es decreciente l derech de, decimos que en hy un máimo reltivo. Si l función es creciente l izquierd de b, decimos que en b hy un máimo reltivo. Un máimo (c, f(c)) es bsoluto si f(c) f() [,b] Mínimo: Dd un función f() definid en un intervlo [,b], tl que c (,b) decimos que en c hy un mínimo locl o reltivo si l función es decreciente l izquierd de c y creciente l derech de c. Si l función es creciente l derech de, decimos que en hy un mínimo reltivo. es Si l función decreciente l izquierd de b, decimos que en b hy un mínimo reltivo. Un mínimo (c, f(c)) es bsoluto si f(c) f() [,b] Cero: Dd un función f, definid en c, se dice que c es un cero de f si f (c) 0 En el ejemplo nterior hor detllmos l informción de l siguiente mner: - L función es creciente en los intervlos (0,0) y (40,60) - L función es decreciente en el intervlo (0,40) - L función tiene dos ceros en 0 y en 50 - L función tiene un máimo bsoluto en 0 - L función tiene un mínimo bsoluto en 40 - L función tiene un máimo reltivo en 60 - L función tiene un mínimo reltivo en 0 Crtill de Ingreso Págin 9