Enteras Polinómicas Racionales Algebraicas Fraccionarias Racionales Irracionales Funciones Trigonométricas Trascendentes Exponenciales Logarítmicas

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1 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real Conocimientos previos Para poder seguir adecuadamente este tema, se requiere que el alumno repase y ponga al día sus conocimientos en los siguientes contenidos: Funciones elementales: gráfica, dominio, imagen, simetría y traslaciones. Definición de derivada. Tabla de derivadas. Problemas de optimización 1.- Clasificación de las funciones reales de variable real. Enteras Polinómicas Racionales Algebraicas Fraccionarias Racionales Irracionales Funciones Trigonométricas Trascendentes Eponenciales Logarítmicas Las funciones elementales se clasifican de acuerdo con el siguiente esquema: Funciones algebraicas son aquellas en las que la variable está afectada de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación de eponente racional. Funciones polinómicas (o racionales enteras) son de la forma: n f( ) a... a a a, a,, a, a, a, n n 1 0 n 1 0 Funciones racionales (o racionales fraccionarias) son cociente de dos funciones polinómicas: n a n a aa f( ) m b b bb m Funciones irracionales. Cuando la variable independiente aparece bajo el signo radical o elevada a eponente racional no entero: f, ( ) 4 3 g ( ) 1 5 Funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas: Pág.1

2 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real f( ) sen 3 tg cos, g ( ) 1/ e, h ( ) log( 4).- Funciones simétricas. Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas (función par) si verifica: f ( ) f( ), Dom f Una función f es simétrica respecto del origen de coordenadas (función impar) si verifica: f ( ) f( ), Dom f 3.- Funciones periódicas. Una función f es periódica, de periodo T siendo T 0 si verifica: f T f, Dom f Llamaremos periodo principal de la función al menor valor positivo T que verifica f T f Dom f. Es fácil ver que si T es periodo también lo será cualquier múltiplo de T. 4.- Función inversa. La función inversa de una función inyectiva f en un dominio D es una función que se denotará por que cumple 1 f 1 y Im f f ( y) siendo f ( ) y Una función y su inversa verifican las siguientes propiedades: 1) La composición de ambas es la función identidad 1 1 f f f f I 1 ) Las gráficas de f y de f, referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. 3) Im Im 1 1 Dom f f f Dom f 4) Si f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, su inversa gozará de la misma propiedad. Pág.

3 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real Ejemplo: La función f tiene por función inversa verifica: ; f 1 ( ), ya que se f f f f f f 5.- Resumen de las cónicas. En la figura siguiente representamos gráficamente cómo se generan la cónicas, curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica mediante un plano. A continuación mostramos sus ecuaciones generales y las gráficas: CIRCUNFERENCIA radio = r centro = hk, h yk r si el centro es (0, 0) y r Pág.3

4 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real ELIPSE Semiejes = a y b centro = hk, si el centro es (0, 0) a y b 1 PARÁBOLAS vértice = 0,0 Pág.4

5 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real HIPÉRBOLAS 6.- Propiedades de las funciones elementales. En las figuras siguientes recogemos las gráficas de las funciones elementales, junto con sus ecuaciones y propiedades correspondientes. Función eponencial y e Dominio = ; Imagen = 0, ; no es ni par ni impar; no es periódica; es monótona estrictamente creciente; no está acotada (inferiormente está acotada por 0); no es suprayectiva. Pág.5

6 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real y e 1 e Dominio = ; Imagen = 0, ; no es ni par ni impar; no es periódica; es monótona estrictamente decreciente; no está acotada (inferiormente está acotada por 0); no es suprayectiva. Función logarítmica y log Dominio =0, ; Imagen = ; no es ni par ni impar; no es periódica; es monótona estrictamente creciente; no está acotada; es biyectiva (inyectiva y suprayectiva). La función logarítmica, y log, y la función eponencial, y e, son inversas entre sí. Pág.6

7 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real Funciones trigonométricas circulares y sus inversas y sen Dominio = ; Imagen = 1,1 ; es impar; es periódica de período= ; no es monótona; está acotada (inferiormente por -1 y superiormente por 1); no es inyectiva; no es suprayectiva. Restringiéndose al intervalo, si es inyectiva (luego se puede definir su inversa) y es monótona estrictamente creciente. y arcsen Dominio = 1,1 ; Imagen =, ; es impar; no es periódica; es monótona estrictamente creciente; está acotada: inferiormente por ; es inyectiva; no es suprayectiva. y superiormente por Pág.7

8 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real y cos Dominio = ; Imagen = 1,1 ; es par; es periódica de período ; no es monótona; está acotada (inferiormente por -1 y superiormente por 1); no es inyectiva; no es suprayectiva. Si nos restringimos al intervalo 0, si es inyectiva (luego se puede definir su inversa) y es monótona estrictamente decreciente. y arccos Dominio = 1,1 ; Imagen = 0, ; no es ni par ni impar; no es periódica; es monótona estrictamente decreciente; está acotada (inferiormente por 0 y superiormente por ); es inyectiva; no es suprayectiva. Pág.8

9 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real y tg k 1 Dominio = /, k ; Imagen = ; es impar; es periódica de período= ; no es monótona; no está acotada; no es inyectiva; es suprayectiva. Si nos restringimos al intervalo, si es inyectiva (luego se puede definir su inversa) y es monótona estrictamente creciente. y arc tg Dominio = ; Imagen =, ; es impar; no es periódica; es monótona estrictamente creciente; está acotada: inferiormente por y superiormente por ; es inyectiva; no es suprayectiva. Pág.9

10 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real 1. DERIVADA: DEFINICIÓN Resumen teórico La epresión f f es la fórmula de la pendiente de la secante a la gráfica de la función f que une los puntos, f y, el punto. f. Se denomina cociente incremental de f en f(+ ) f() f(+ )-f() + Definición (Derivada).- La derivada de una función límite del cociente incremental, lim 0 f f y f en un punto es el Este valor representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto, f. Se denota por f ó dy d ó df d f(+ ) f() f(+ )-f() tg lim 0 f f + Pág.10

11 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN ' Regla del producto por una constante ' Regla de la suma f g f ' g' af af', a ' Regla del producto f g f ' g f g' Regla del cociente ' ' ' g f g f f g g Derivada de la función compuesta: Regla de la cadena Si y f u es derivable en g y u función compuesta y f g f g g es derivable en, entonces la es derivable en, siendo la derivada f g f g g que se puede epresar también con la siguiente notación dy d dy du du d y u g f g() f(g()) Derivada de la función implícita y f Cuando la función viene dada en forma eplícita, es decir, de la forma calcular la derivada de f se reduce a aplicar la definición o alguna de las reglas de derivación estudiadas. Sin embargo, muchas veces una función viene dada a través F, y 0 en la que no es fácil, o resulta imposible, de una ecuación de la forma obtener eplícitamente y en función de. Este tipo de funciones reciben el nombre de funciones implícitas de una variable. Pág.11

12 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real Definición (Ecuación implícita).- Una ecuación de la forma F, y 0 define a la variable y como función implícita de en un dominio D si para todo en D eiste y f de forma que se verifica F, f 0 para todo en D. Para este tipo de funciones se debe proceder de la siguiente manera para obtener la derivada de y respecto de : 1. Se derivan ambos miembros de la epresión con respecto a, aplicando la regla de la cadena, teniendo en cuenta que y es función de.. Se despeja la epresión dy d. Por ejemplo, si se considera la función dada mediante y 3 y se tendrá: 1. Derivando ambos lados de la igualdad y aplicando la regla de la cadena suponiendo que y es función de. Despejando dy dy y y y d d dy 3 3 y d y 8y 3 7 Si Derivada de la función inversa y f es una aplicación inyectiva y derivable en a y además entonces la función inversa, 1 f, también es derivable en f ' b f ' 1 1 a b f a f ' a 0,, verificándose f f -1 f() Pág.1

13 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real Derivada enésima Si y f es derivable en un dominio D queda definida la función derivada: Si esta función '' y f f ': D f ' y f ' a su vez es derivable se puede calcular su derivada,, que recibe el nombre de derivada segunda. Se denota, f '' d y d Este proceso puede continuar y se tendría la derivada de orden n o derivada enésima que consistiría en derivar la función n veces. Si la función es y f se denotará: f ( n n d y d n FÓRMULA DE LEIBNIZ (Derivada enésima de un producto).- Si f y g son derivables hasta el orden n entonces la función h f ges derivable hasta el orden n y además ( h f g ( n n n n n n f g f g f g f g 0 1 n1 n ( n ( n1 ( n1 ' ( n ' RECTA TANGENTE. APROXIMACIÓN LINEAL Definición (Diferencial).- Sea abierto que contiene al número, y f una función derivable en un intervalo - La diferencial de es igual al incremento de, d - La diferencial de y se define como ' dy f d Pág.13

14 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real Interpretación geométrica: La diferencial de y para un incremento de, d, es igual al incremento de la ordenada de la recta tangente correspondiente a ese incremento de. Diferencial segunda ( ) ( ) ( ) d y d dy d f d df d f d d f ( dd ) f( d ) f( ) d f( d ) y f derivable en Aproimación lineal: Consideremos la gráfica de una función el punto a. Si dibujamos la tangente en el punto a, f a vemos que para valores próimos al punto a, los valores que toma la ordenada de la recta tangente y la función casi coinciden. Diremos por ello que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto a es una linealización (aproimación lineal) de la función en ese punto. Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta tangente en el punto tiene por pendiente f a se tendrá que su ecuación es: y f a f a a y f a f a a a, f a La epresión L f a f a a lineal) de f en a se denomina linealización (aproimación f L f a f a a Pág.14

15 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real 4. POLINOMIOS DE TAYLOR Definición (Polinomio de Taylor).- Supongamos que f es una función derivable n veces en el punto a. Se define el polinomio de Taylor de grado n correspondiente a la función f en el punto a como k 0 a n ( k f k Tn f ; a a k! '' ( n... f ' a f a f a f a a a a 1!! n! n En el caso en que a 0 el polinomio se llama de MacLaurin. Veamos algunas propiedades que nos permitirán obtener polinomios de Taylor a partir de otros conocidos Sean f y g funciones que admiten polinomio de Taylor hasta el grado n en el punto a entonces se cumplen las propiedades siguientes: Linealidad: T f g; at f; a T g; a n n n Derivación, integración: T f; a' T f '; a n n1 Otras operaciones: Se puede obtener el polinomio de productos y cocientes de funciones a partir de los correspondientes a cada una de las funciones involucradas. Pág.15

16 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real Definición (Resto n-ésimo de Taylor).- Sea f una función para la que eiste Tn f ; a. Se define el resto n-ésimo de Taylor correspondiente a la función f en el punto a, y lo escribiremos Rn f ; a como Rn f ; a f Tn f ; a La epresión se llama fórmula de Taylor de f Tn f ; a Rn f ; a f de grado n en el punto a. En las proimidades del punto a se verifica no sólo que el resto enésimo es pequeño (infinitésimo) sino que se hace pequeño en comparación con a n. Esto se epresa en el siguiente resultado TEOREMA DE TAYLOR: Si f es derivable n veces en el punto a y Rn f ; a es su correspondiente resto de Taylor entonces a Rn ; lim f a 0 a n EXPRESIONES DEL RESTO: Sea f es una función derivable n 1 veces en un intervalo abierto I, que contenga al punto a. Si Rn f ; a es el resto enésimo de Taylor correspondiente a la función f en el punto a entonces: (1) Resto de Cauchy t n ( n1 f Rn f ; a t a n! siendo t un punto intermedio entre a y. () Resto de Lagrange ( n1 f t n 1! Rn f ; a a siendo t un punto intermedio entre a y. n1 Pág.16

17 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real (3) Resto Integral t ( n1 f n Rn f ; a t dt n! a definido si la derivada n 1 de f es integrable en el intervalo I. 5. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR Aproimación del valor de la función en un punto Una de las aplicaciones de los polinomios de Taylor es la de aproimar el valor de una función en un punto por el valor que toma el polinomio de Taylor de cierto grado en un punto próimo. La acotación del resto permite además cuantificar el error cometido en la aproimación. Cálculo de límites indeterminados En el cálculo de límites de funciones surgen las mismas indeterminaciones que en el caso de sucesiones y se aplican las mismas técnicas para su resolución. Una de esas técnicas consiste en la comparación los órdenes de infinitud o los órdenes de magnitud de los infinitésimos que producen estas indeterminaciones. Definición (Infinitésimo).- Una función a cero cuando se aproima al punto a, es un infinitésimo para a si tiende lim 0 a PROPOSICION.- (a) La suma, diferencia y producto de infinitésimos para a es un infinitésimo para a. (b) El producto de un infinitésimo para a por una función acotada en un entorno del punto a es un infinitésimo para a. Definición (Infinitésimos del mismo orden, orden superior y orden inferior).- Se dice que y son dos infinitésimos del mismo orden para a si Pág.17

18 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real lim con 0, a En este caso se escribe O y. son equivalentes para a si lim 1 a es de orden superior a En este caso se escribe o para a si lim 0. a Definición (Infinitésimos de orden p).- Decimos que un infinitésimo es de orden p p para a si O a es decir, si a lim con 0, a p PROPOSICION.- El orden de un infinitésimo para a no varía al sumarle o restarle otro de orden superior para a. Consideremos ahora que un infinitésimo de orden p para a, esto significa a lim con 0, a p En este caso se tiene que: p p p p a o a a o a Definición (Parte principal de un infinitésimo).- Si para a y se cumple un infinitésimo de orden p Pág.18

19 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real La epresión p Nótese que a lim con 0, a p a se llama parte principal de dicho infinitésimo. es un infinitésimo equivalente a su parte principal. PRINCIPIO DE SUSTITUCION.- Si en la epresión de un límite se sustituye un factor o divisor por su parte principal o por otro equivalente el valor del límite no se ve alterado. IMPORTANTE: Cuando los infinitésimos aparezcan como sumandos la sustitución de un infinitésimo por otro equivalente puede conducir en general a errores Tabla de equivalencias (1) Si 0 entonces sen () Si 0 entonces 1cos (3) Si 0 entonces tg (4) Si 0 (5) Si 0 log 1 entonces entonces log 1 k k k 0 (6) Si 0 entonces a 1 loga (7) Si 0 entonces arcsen (8) Si 0 entonces arctg (9) Si 0 (10) Si 0 entonces a 1 1 a entonces P término de menor grado n Definición (Infinitos).- Una función infinito cuando se aproima al punto a, es decir, si es un infinito para a si tiende a lim a Pág.19

20 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real OBSERVACION.- Todo lo visto anteriormente para infinitésimos puede aplicarse a infinitos teniendo en cuenta que si es un infinito para a entonces 1 es un infinitésimo para a En particular, la sustitución de infinitos en la epresión de un límite se rige por las mismas reglas que las de los infinitésimos. Definición (Infinitos de orden inferior, superior).- Sean para a se dice que: es un infinito de orden inferior a lim 0 a es un infinito de orden superior a lim a es un infinito del mismo orden que y para a si lim con 0, a para a si para a si dos infinitos En el caso particular de que 1 entonces se dice que son equivalentes. Definición (Infinito de orden p).- Decimos que un infinito orden p si para a es de lim con 0, a 1 a p A continuación, se dan en la tabla los denominados órdenes fundamentales de infinitud para tendiendo a infinito. Según se avance de izquierda a derecha en las columnas los órdenes van decreciendo. Pág.0

21 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real Potencial - Eponencial a Eponencial Potencial Logaritmo b a 0 b 1 c 0 c p log q1 p0 q DETERMINACIÓN DE LA PARTE PRINCIPAL DE UN INFINITÉSIMO APLICANDO POLINOMIOS DE TAYLOR: Sea y f una función que es un infinitésimo para a con todas sus derivadas nulas hasta el orden k 1 en el punto a y ( k cumpliendo f a 0. Utilizando la fórmula de Taylor se tendrá: a k ( k f f a o a k! De esta epresión se deduce que el orden del infinitésimo k y su parte principal es f ( k a k! k a. k y f para a es Estudio local de una función Definición (Etremo relativo).- Sea dominio D. Decimos que f tiene y f una función real definida sobre un si eiste un intervalo ar, a r contenido en D de forma que f f a para ar, a r, a. un mínimo relativo en un punto a D si eiste un intervalo ar, a r contenido en D de forma que f f a para ar, a r, a. un máimo relativo en un punto a D Si un punto es mínimo o máimo relativo se dice que es un etremo relativo o local. Definición (Etremo absoluto).- Sea dominio D. Decimos que f alcanza y f una función real definida sobre un Pág.1

22 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real su valor mínimo absoluto en un punto a D a. su valor máimo absoluto en un punto a D a. si f f a si f f a para D, para D, Si un punto es mínimo o máimo absoluto se dice que es un etremo absoluto o global. PROPOSICIÓN.- Consideremos una función n 1 en el punto a entonces se podrá escribir y f con derivadas hasta el orden ( n n f '' a f a f f a f ' aa a... a o a! n! ( n1 Supongamos que f a f a f a ( n Si n es par y local. ( n Si n es par y local. ' ''... 0, entonces f a 0 entonces en el punto a la función tiene un mínimo f a 0 entonces en el punto a la función tiene un máimo Si n es impar en el punto a hay un punto de infleión. n Cálculo de derivadas Calcular la derivada primera de las siguientes funciones: 1. y y 4 5 (3 ) (6 ) (3 ) y y y y y 34 log (3 4) log 5 3log 5 5 (3log 5) Pág.

23 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real y log( 7 ) y cos y cos3 7 y 7 y cos sen y 6sen3 6. y tg7 y 7 cos 7 También se puede resolver aplicando la derivada del cociente a la función sen 7 y. cos7 7. y 3 1 y ( 1) (3 ) ( 1) ( 1) 8. 1 sen y 3 (Sugerencia: utilizar derivación logarítmica) 1 sen Se toman logaritmos, Se deriva, 1 1 log y log(1 sen ) log(1 sen ) 3 3 y 1 cos 1 cos 4 cos 4 y 3 1 sen 31 sen 3 1 sen 3cos 4 1 sen y 3 3cos 1 sen 9. y y Pág.3

24 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Tema : Funciones reales de una variable real 10. y 1 1/ log y 1 1/ 1/ 1 1 1/ log y ' log 1/ 1 4 y ' og l Pág.4