Matemática II Clase Nº 14-15

Transcripción

1 LA DERIVADA La derivación es una de las operaciones que el Análisis Matemático efectúa con las funciones, permite resolver numerosos problemas de Geometría, Economía, Física otras disciplinas. En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Interpretación geométrica de la derivada. Si la función f() es continua, se considera un punto P= que pertenece al dominio de la función, se incrementa en un tal que el punto incrementado M = + pertenezca también al dominio, entonces se tiene el valor que determina la función: es f() + es si se unen el punto M P se obtiene una recta PM el incremento correspondiente de la función es: Se forma un triángulo rectángulo con las variaciones en e, con este triángulo se puede hallar la pendiente de la recta PM, para ello aplicamos conocimientos de trigonométricas o sea fijándonos en la figura podemos designar por o sea ; Si acercamos el punto M hacia el curva f() punto P, será cada vez más pequeño por lo tanto, cuando sea igual a 0, el punto M coincidirá con P, se tendrá una recta tangente a la 1

2 Por definición, llamaremos derivada de una función o pendiente de la curva correspondiente en un punto al límite del cociente incremental cuando 0, de otra manera: TÉCNICA DE LA DERIVACIÓN 1 Dar a la variable un incremento (positivo o negativo), a partir de, con lo que se obtiene un punto nuevo + Calcular el nuevo valor de (o sea de la función) Calcular el incremento de la función ( ), para ello debemos restar de la función incrementada la función inicial. Formar el cociente incremental. 5 Calcular el límite del cociente incremental cuando tiende a 0. Ejemplo 1 Halla la deriva de, aplicando la técnica de la derivación. Para ello tendremos en cuenta los 5 pasos descriptos anteriormente , antes de realizar el punto, debemos desarrollar toda la función incrementada. debemos de restar a esta función incrementada la función inicial para hallar el incremento - para formar el cociente incremental debemos dividir toda la epresión anterior por

3 - realizando las correspondientes simplificaciones obtenemos: aplicando límite a la epresión obtenida se tiene: 5 -, reemplazando por 0 se tiene: REGLAS DE LA DERIVACIÓN 1 Derivada de una constante: La derivada de una constante es nula. Demostración: Sea obtiene: ; siendo C una constante si aplicamos la técnica de la derivación se si dividimos por hallamos el límite del cociente incremental se tiene: Derivada de una variable independiente: La derivada de la variable independiente es la unidad Demostración: sea aplicando la técnica de la derivación se demuestra: buscando el cociente incremental aplicando límite se obtiene el límite de una constante es la misma constante Derivada su derivada es igual al producto de la potencia por la función disminuida en un eponente., incrementando tanto e se tiene; ; desarrollando

4 ; restando la función inicial para obtener la función incrementada dividiendo por hallando el límite de la función resultante:, por tanto Derivada de una constante por una variable: la derivada de una constante por una variable es igual al producto de la constante la derivada de la variable ; incrementando tanto la variable como la función se tiene: ; hallando el límite del cociente incremental 5 Derivada de una suma algebraica: La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones sumandos. Se tiene la función Aplicando las reglas anteriores, su derivada es: 6 Derivada de una función elevada a otra función: la derivada de una función elevada a otra función es igual al producto del eponente de la función, por la función disminuida en uno, por la derivada de la función interna. Función interna 6 6 La derivada de la función interna El eponente la función disminuida en un eponente

5 7 Derivada de un producto: la derivada de un producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda, más la primera función por la derivada de la segunda función. Sean dos funciones:, considerando la regla anterior se tiene: u v u v Ejemplo Sacando factor común obtenemos; ( ) reduciendo términos 8 8 Derivada de un cociente la derivada de un cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividida esta diferencia por el cuadrado del denominador. Sean dos funciones, aplicando la regla anterior se tiene u v u v v Ejemplo [ ] [ ] = [ ] = 5

6 9 Derivada de un logaritmo neperiano (ln) la derivada del logaritmo neperiano o natural de una función es igual a la reciproca de la función, por la derivada de la función. Ejemplo = Y = ( ) 10 Derivada de una función eponencial: la derivada de una función eponencial es igual al producto de la función, por el logaritmo neperiano de la base, por la derivada del eponente. Ejemplo: 6 11 Derivada de funciones trigonométricas: A) La derivada de la función es igual a la función Demostración: si el cociente incremental es, el numerador puede transformarse en un producto de acuerdo a las formulas trigonométricas, con lo que tenemos ( ) = ( ) si ahora se hace tender a 0, el cociente [ ] tendrá a la unidad, de acuerdo a lo visto en trigonometría en los cursos anteriores como ( ) tiende a, resulta B) Derivada de la función cos : la derivada de una función es la función C) Derivada de la función tg : la derivada de una función Demostración: por identidades trigonométricas, aplicando la derivada de un cociente: por identidades trigonométricas se obtiene sc 6

7 D) Derivada de la función ctg : la derivada de una funcón Demostración aplicando derivada de un cociente se tiene: ; factoreando el signo (-), aplicando identidades trigonométricas se tiene: csc E) Derivada de la función sc : la derivada de una función es Demostración: por identidades trigonométricas se tiene:, aplicando reglas de la derivación por identidades trigonométricas tg sc F) Derivada de una función cs : la derivada de una función es la función Demostración Por identidades trigonométricas se tiene o aplicando regla de la derivación obtenemos: por identidades trigonométricas ctg csc Ejercicios Deriva utilizando las reglas correspondientes luego llévala a su más mínima epresión ) ) ) ) o 7

8 1 1 5) 1 6) ) 8) 9) ) ) ( ) 1 1) 1 a 1) 5 1 1) 1 15) 16) 17) 18) 19) 0) 1 ( ) 1) 6 ) ) ) 1 5) a a a a 6) ( ) 7) 8

9 b 8) a a b a 9) 0) ( ) ( ) 1). ln 1 ln ln ) 1 ln ) ln 1 ) 1 5) 6) 7) 8) 9). cos.cos. sen 0) sen csc 1. ctg cos sen 1) cos sen ) ) [ ] ) 5) 1 sen 1 sen cos 1 cos cos 1 sen 1 6) sen sen cos 7) 8) sen 1 cos 9