BLOQUE IV Geometría. 11. Semejanza. Teoremas de Thales y Pitágoras 12. Cuerpos en el espacio 13. Áreas y volúmenes

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1 LOQUE IV Geometrí 11. Semejnz. Teorems de Thles y Pitágors 12. uerpos en el espio 13. Áres y volúmenes

2 ontenidos del loque El loque omienz on el estudio de l semejnz y dos de los teorems más importntes de ls Mtemátis: el de Thles y el de Pitágors, y sus pliiones. Los ontenidos del loque ontinún introduiendo los elementos ásios del espio y el estudio de los uerpos geométrios en el espio. Finliz el loque on el estudio de ls uniddes de volumen y el álulo de ls áres y los volúmenes de uerpos en el espio. El ordendor y los progrms GeoGer y ri se onvierten en este loque en uns uens herrmients pr relizr diujos geométrios y resolver prolems. En este sentido, y sin perder de vist su uso moderdo, se filit su empleo omo herrmient instrumentl ási pr el estudio de los ontenidos del loque. Pinelds de histori unque en l ultur egipi y en l mesopotámi se resolvieron prolems geométrios notles, fue en l ultur grieg donde se onsiguió un myor vne. Se desrien tres etps: En l primer (siglos VI y V..) soreslen mtemátios omo Thles, Zenón, Hipórtes y Pitágors. En este tiempo se introdujeron y perfeionron los métodos de demostrión geométri. Se onsiderron, en prtiulr, el teorem de Pitágors, los prolems sore l udrtur del írulo, l triseión de un ángulo y l dupliión del uo. En l segund etp (siglos IV..) se fundn ls dos esuels más importntes de tens: l demi de Pltón y el Lieo de ristóteles. Los dos mtemátios más fmosos son Pltón, on sus poliedros regulres llmdos «pltónios», y Eudoxo. En l terer etp (siglos III - I..) se lleg l ulminión mtemáti en Grei, on los tres geómetrs más fmosos de l ntigüedd: Eulides, rquímedes y polonio. L or más onoid es Elementos, de Eulides. En est or se reogen un serie de xioms o postuldos que sirvieron de se pr el posterior desrrollo de l geometrí. De l épo del dominio romno hy que destr l fórmul de Thles de Mileto Herón pr lulr el áre del triángulo, onoidos los tres ldos. (S. prox ) Durnte el Imperio musulmán es importnte l otenión del número π on 17 ifrs exts, relizd por Kshi (s. XV) medinte polígonos insritos y irunsritos en l irunfereni. Después de más de 150 ños, en 1593, Viète enontró solmente nueve ifrs exts. Huo que esperr fines del siglo XVI y omienzos del XVII pr repetir el álulo de Kshi. En el ontinente europeo se puede onsiderr l or Prti Geometrie, de Fioni, el punto de rrnque de l geometrí renentist. Est or está dedid resolver espeilmente prolems geométrios de medid de áres de polígonos y volúmenes de uerpos. Desde el siglo XIX se produe un trnsformión en l geometrí por l influeni del álger, de l mno de Guss, Riemnn o Lohesvski. Es destle el trjo de lii oole Stott sore l geometrí utridimensionl. Introdujo l plr «polytope» pr desriir un uerpo sólido onvexo utridimensionl e hizo dos importntes lii oole Stott ( ) desurimientos reltivos l onstruión de poliedros. Grupo Editoril ruño, SL. Mtemátis de 2º ESO. utores José Mrí ris ezs e Ildefonso Mz Sáez

3 11 Semejnz. Teorems de Thles y Pitágors

4 En este tem se desrrolln dos de los teorems más importntes de ls Mtemátis: el de Thles y el de Pitágors. En primer lugr se estudin ls figurs semejntes, omo son ls mpliiones y ls reduiones. ontinuión se exponen ls pliiones del teorem de Thles ómo dividir geométrimente un segmento en prtes proporionles otros, los riterios de semejnz de triángulos y pliiones l vid rel. on refereni l teorem de Thles, se estudi tmién l relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes, y los plnos, mps y mquets. Finliz el tem on l introduión l teorem de Pitágors y sus pliiones l resoluión de prolems. ORGNIZ TUS IDES SEMEJNZ es un d origen l relión de proporionlidd entre figurs que pueden ser mpliiones reduiones Hllr: lturs áres volúmenes teorem de Thles que se pli los riterios de semejnz de triángulos que permiten resolver prolems de l vid rel Prolems de esl: plnos mps mquets teorem: de l ltur del teto que dn origen l teorem de Pitágors que permite hllr longitudes en un triángulo retángulo: tetos hipotenuss se pli Pr resolver prolems de l vid rel. Hllr: digonles ltur potems rdios 215

5 1. Figurs semejntes P I E N S Y L U L Si l Torre del Oro mide proximdmente 20 m de lto, uánto mide proximdmente de lto l Girld de Sevill? 1.1. Figurs semejntes rné lulist 25,6 : 0,68 Evitr errores En l rzón de semejnz r siempre se divide ' entre Dos figurs son semejntes si tienen l mism form, unque el tmño se distinto. En dos figurs semejntes ls longitudes de segmentos orrespondientes son proporionles. Se llm rzón de semejnz o esl l oiente entre dos longitudes orrespondientes: ' r = En dos figurs semejntes, los ángulos orrespondientes son igules. Son semejntes un plno y el ojeto que represent, un mp y el terreno que represent, un mquet y el ojeto que represent, un foto y l imgen que represent mpliión y reduión Un mpliión es un figur semejnte otr, pero myor; es deir, r > 1 Un reduión es un figur semejnte otr, pero menor; es deir, r < 1 En un fotoopidor hen mpliiones y reduiones de los originles. Un reduión l 50% es r = 50% = 50 = 1 = 1: :2 quiere deir que 2 uniddes se onvierten en onstruión de figurs semejntes medinte udríul Se puede onstruir un figur semejnte otr medinte un udríul. ) Se diuj un udríul en el ojeto iniil. ) Se diuj un udríul en lno on l esl orrespondiente. ) Se diuj en d nuev eld el reudro orrespondiente. Hz el diujo del mrgen esl 1:2, es deir, on un reduión l 50% 216 LOQUE IV: GEOMETRÍ

6 1.4. onstruión de figurs semejntes medinte proyeiones Se puede onstruir un figur semejnte otr medinte un proyeión: ) Se tom el ojeto iniil. ) Se tom un punto exterior ulquier, que se llm entro de proyeión. ) Se diujn semirrets desde el entro de proyeión que psen por d uno de los vérties del ojeto iniil. d) L distni desde el entro de proyeión d vértie del ojeto iniil se tom omo unidd y se multipli por l rzón de semejnz. El resultdo otenido se llev desde el entro de proyeión. e) Se unen los puntos otenidos. Ddo el polígono DE, diuj otro polígono D E medinte un mpliión l 150% Se tom un punto ulquier O omo entro de proyeión, se une on d uno de los vérties del polígono DE y se prolong. omo l mpliión es del 150%, se multipli el segmento O por 1,5 y el resultdo se llev desde el entro de proyeión y es el punto. O ' ' ' E D E' D' 1 De ls figurs siguientes, hy dos semejntes. uáles son? 3 P L I L T E O R Í Medinte l téni de udriuldo, hz un vión semejnte l siguiente, pero on el dole de tmño. 2 De ls figurs siguientes, es l originl. uál de ls siguientes es mpliión y uál es reduión? Hll el tnto por iento de mpliión y reduión orrespondientes. 4 Medinte un proyeión que teng omo entro el vértie, diuj otro triángulo retángulo que se un mpliión l 150%. uánto mide d uno de los ldos? = 3 m = 5 m = 4 m 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS 217

7 2. Teorem de Thles P I E N S Y L U L Si un person que mide 1,75 m proyet un somr de 1,75 m, y en el mismo lugr, el mismo dí y l mism hor l somr de un árol mide 6,5 m, uánto mide l ltur del árol? r 1.44 ' ' ' Dividir el segmento en prtes proporionles los segmentos, y d d rné lulist : ' ' d' d = r s 2, Teorem de Thles El teorem de Thles die que si se trz un onjunto de rets prlels entre sí,,,, que ortn otrs dos rets, r y s, los segmentos que se determinn sore ls rets r y s son proporionles: = Siendo que = 1,8 m, = 1,2 m y = 1,44 m, hll l longitud del segmento = = 1,44 = 2,16 m 1,8 1, División de un segmento en prtes proporionles Pr dividir un segmento en prtes proporionles otros segmentos,, d se pli el siguiente proedimiento: ) Se diuj un semirret oliu, r, por uno de los extremos del segmento ) Se llevn on el ompás, sore dih semirret, los segmentos ddos,, d, uno ontinuión de otro. ) Se diuj l ret que une el extremo del último segmento on el otro extremo del segmento d) Se trzn prlels dih ret por los extremos de los segmentos,, d, respetivmente Triángulos en posiión de Thles ' Dos triángulos están en posiión de Thles si tienen un ángulo omún, y los ldos opuestos ese ángulo son prlelos: = = Dos triángulos en posiión de Thles son semejntes, es deir: ) Los ángulos son igules. ) Los ldos orrespondientes son proporionles. 5 2,8 m 3 m 5 m = 4,67 ' Siendo que = 3 m, = 5 m y = 2,8 m, hll l longitud del ldo y redonde dos deimles el resultdo. = 5 = = 4,67 m 3 2,8 218 LOQUE IV: GEOMETRÍ

8 1 er riterio Dos triángulos son semejntes si tienen dos ángulos igules riterios de semejnz de triángulos 2º riterio Dos triángulos son semejntes si tienen un ángulo igul y los ldos que los formn son proporionles. 3 er riterio Dos triángulos son semejntes si tienen sus tres ldos proporionles. ' ' ' ' ' ' ' ' = y = = y = = = = 2,4 m = 2 m ' Los triángulos y del mrgen son semejntes. Hll: ) L rzón de semejnz. ) L medid del ldo ) r = = 3 = 1,25 ) = r = 1,25 = 1,25 2 = 2,5 m 2,4 2 ' = 3 m ' ' 1,75 m ' 2 m ' somr del plo ' ' x 2.5. pliiones de los riterios de semejnz de triángulos álulo de lturs midiendo l somr. Un plo vertil que mide 1,75 m proyet un somr de 2 m. uánto mide de lto un árol uy somr mide 8 m el mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr? Redonde el resultdo dos deimles. 2 1,75 = 8 x = 7 m = 7 x 5 8 m somr del árol Siendo que = 9 m, = 12 m y = 7,5 m, hll l longitud del segmento. Qué teorem hs plido? r s ' ' 7 8 P L I L T E O R Í Diuj un triángulo retángulo uyos tetos midn 3 m y 4 m. Diuj otro triángulo retángulo en posiión de Thles, de form que el teto menor mid 6 m. uánto mide el otro teto? Dos ángulos de un triángulo miden 55 y 65, y dos ángulos de otro triángulo miden 55 y 60. Son semejntes mos triángulos? 6 Divide el segmento en prtes proporionles los segmentos, y d d ' 9 En un fotogrfí están Plo y su pdre. Se se que Plo mide en l relidd 1,50 m. Ls medids en l fotogrfí son: Plo, 6 m, y su pdre, 7,2 m. uánto mide su pdre en l relidd? 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS 219

9 3. Reliones en figurs semejntes P I E N S Y L U L Un udrdo tiene 9 m 2 de áre. lul el áre de otro udrdo uyo ldo mide el dole. rné lulist 36,89 : 5, Reliones entre longitudes, áres y volúmenes de figurs semejntes Rzón de ls longitudes L rzón de ls longitudes de dos figurs semejntes es igul l rzón de semejnz. Rzón de ls áres L rzón de ls áres de dos figurs semejntes es igul l udrdo de l rzón de semejnz. Rzón de los volúmenes L rzón de los volúmenes de dos uerpos semejntes es igul l uo de l rzón de semejnz. r r r r r L L = r = r 2 V V = r 3 Evitr errores Si un figur es semejnte otr y ls medids son el dole, el áre no es el dole, sino el uádruplo, porque: r = 2 r 2 = 2 2 = 4 Si un uerpo es semejnte otro y ls medids son el dole, el volumen no es el dole, sino 8 vees myor, porque: r = 2 r 3 = 2 3 = 8 Evitr errores L esl en un plno es myor que en un mp. s Esl de un piso: 1:200 = 0,005 Esl de un mp: 1: = 0, Un retángulo tiene 12 m de perímetro. lul el perímetro de otro retángulo semejnte siendo que l rzón de semejnz es r = 1,5 P = r P = 1,5 P = 12 1,5 = 18 m P 12 Un retángulo tiene 7 m 2 de áre. lul el áre de otro retángulo semejnte siendo que l rzón de semejnz es r = 1,5 = r 2 = 1,5 2 = 7 1,5 2 = 15,75 m Esls x 2 = 15,75 L esl de un ojeto es el oiente entre un longitud medid en el diujo y l medid de l longitud orrespondiente en el ojeto, es deir, es l rzón de semejnz. Siempre se esrie en un oiente en el que el dividendo es uno; por ejemplo, 1:200, y se lee «uno es dosientos». Hll l esl l que está onstruido un plno en el que 6 m equivlen 18 m en l relidd. 6 m : m = 1:300 6 / 1800 = Esto quiere deir que 1 m en el plno orresponde 300 m = 3 m en l relidd. 220 LOQUE IV: GEOMETRÍ

10 3.3. Plnos Un plno es l representión de un s, un piso, un terreno, un piez, et., en l que l esl es superior 1: Slón oin El plno de un piso está onstruido esl 1:200. Si l longitud de un psillo mide en el plno 4 m, uánto mide en l relidd? = 800 m = 8 m Dormitorio 3.4. Mps Esl 1:200 6 O 8 O 10 O 4 O Lugo Pontevedr 38 N ntri Nvrr Álv León urgos Hues Geron L Rioj Pleni Lérid Zmor Vlldolid relon Sori Zrgoz Orense Segovi Gudljr P O R T U G L 40 N Un mp es l representión de tod l Tierr o prte de ell, en l que l esl es inferior 1: E 2 E F R N I sturis 42 N 0 2 O Vizy Guipúzo L oruñ Slmn Ávil Teruel Mdrid stellón Vleni iudd Rel órdo Huelv Sevill 40 N uen áeres Toledo djoz 42 N Trrgon leres lete linte Jén 38 N Muri Grnd lmerí Málg ádiz 36 N 36 N 29 N nris El mp del mrgen está esl 1: Hll l distni que hy en líne ret desde Mdrid Sevill. l medir on l regl l distni que hy en el mp, ést es proximdmente de 1,6 m 1, = m = 400 km 400 km 28 N 18 O 16 O 14 O 2 O Esl 1: E 3.5. Mquets Un mquet es l representión de un ojeto rel en tres dimensiones. L mquet del vión del mrgen está onstruid esl 1:800. uánto mide de lrgo en l relidd? Midiendo on l regl l longitud del vión del mrgen, se otiene 3,5 m 3,5 800 = m = 28 m PLI L TEORÍ 10 Un ldo de un triángulo mide 3,5 m, y el ldo orres- 13 Un terreno tiene form retngulr y mide 3 km pondiente de otro triángulo semejnte mide 8,75 m. Si el perímetro del primer triángulo mide 12 m y el áre mide 4,6 m2: de lrgo. Se diuj un retángulo semejnte de 6 m de longitud. ) uánto mide el perímetro del triángulo semejnte? ) El ojeto diujdo es un plno o un mp? ) uánto mide el áre del triángulo semejnte? 11 Un rist de un ortoedro mide 2,5 m, y l rist orrespondiente de otro ortoedro semejnte mide 3,75 m. El áre del primer ortoedro mide 71,5 m2, y el volumen, 39,375 m3. Hll en el ortoedro semejnte: ) El áre. ) El volumen. ) Hll l esl. 14 En el plno de l prte superior de l págin, el slón mide 3 m 2 m. lul sus dimensiones y el áre en l relidd. 15 Midiendo on l regl en el mp de l prte supe- rior, lul l distni que hy en líne ret entre: ) relon y L oruñ. ) ilo y ádiz. ) Huelv y Oviedo. d) Vleni y Mdrid. 16 Ls dimensiones de un mquet de un ohe 12 Qué esl es myor, 1:200 o 1:20 000? uál orresponde un mp y uál un plno? 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS esl 1:50 son 9 m 3,6 m 3 m. lul sus dimensiones en l relidd. 221 Grupo Editoril ruño, SL. Mtemátis de 2º ESO. utores José Mrí ris ezs e Ildefonso Mz Sáez

11 4. Teorem de Pitágors P I E N S Y L U L Sustituye los puntos suspensivos por el signo de iguldd, =, o de desiguldd, : ) ) ) d) rné lulist 1 ( 2) : h 4.1. Teorem de l ltur El teorem de l ltur die que, en un triángulo retángulo, el udrdo de l longitud de l ltur reltiv l hipotenus es igul l produto de ls longitudes de los segmentos determindos sore ell: h 2 = ' = 3,6 m Evitr errores ' = 6,4 m Los teorems de l ltur, del teto y de Pitágors se pueden plir únimente undo el triángulo es retángulo. h ' = 3,6 m ' = 6,4 m = 10 m h 2 = = 3,6 6,4 = 23,04 h = 23,04 = 4,8 m 4.2. Teorem del teto El teorem del teto die que, en un triángulo retángulo, el udrdo de l longitud de d teto es igul l produto de l longitud de l hipotenus por l longitud de l proyeión de diho teto sore ell: 2 = 2 = 2 = = 10 3,6 = 36 2 = = 10 6,4 = 64 = 36 = 6 m = 64 = 8 m ( ) = 4,8 = 6 m 5 2 = = 9 = 8 m 4 2 = = Teorem de Pitágors El teorem de Pitágors die que, en un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos: 2 = En un triángulo retángulo un teto mide 6 m, y el otro, 8 m. Hll uánto mide l hipotenus. 2 = = = = 100 = 100 = 10 = 10 m ( 6 x x 2 ) = Interpretión geométri del teorem de Pitágors El áre del udrdo onstruido sore l hipotenus de un triángulo retángulo es igul l sum de ls áres de los udrdos onstruidos sore los tetos. 222 LOQUE IV: GEOMETRÍ

12 Reonoimiento de triángulos retángulos Ddos los tres ldos de un triángulo, éste es retángulo si el udrdo del myor es igul l sum de los udrdos de los otros dos. Si es el ldo myor, se tiene: T. retángulo si: 2 = T. utángulo si: 2 < T. otusángulo si: 2 > d = 13 m = 12 m H = 7 m G R = 4 m 4.5. Terns pitgóris En un triángulo retángulo, l ltur reltiv l hipotenus divide ést en dos segmentos on longitudes de 3 m y 12 m. Hll l longitud de dih ltur y diuj el triángulo retángulo. En un triángulo retángulo, l hipotenus mide 5 m y l proyeión del teto sore ell mide 1,8 m. Hll: ) L longitud del teto ) L longitud de l proyeión del teto sore l hipotenus. ) L longitud del teto d) L longitud de l ltur reltiv l hipotenus h e) Diuj el triángulo retángulo. Un tern pitgóri son tres números enteros que verifin el teorem de Pitágors. Si un tern es pitgóri, todos sus múltiplos tmién lo son. ) 3, 4 y = 5 2 ) 6, 8 y = pliiones del teorem de Pitágors L pliión del teorem de Pitágors es l resoluión de triángulos retángulos en los que se onoen dos ldos y hy que hllr el terero. Hll l ltur de un retángulo siendo que l se mide 12 m, y l digonl, 13 m = = = 25 = 25 = 5 m Hll l genertriz de un ono en el que el rdio de l se mide 4 m, y l ltur, 7 m. Redonde el resultdo dos deimles. G 2 = = = 65 G = 65 = 8,06 m ( 4 x x 2 ) = 8,06 21 ( 13 x 2 12 Diuj l interpretión geométri del teorem de Pitágors en el so en que los ldos midn 6 m, 8 m y 10 m 22 uáles de ls siguientes terns son pitgóris? ) 2, 3 y 4 ) 3, 4 y 5 ) 4, 5 y 6 d) 5, 12 y En un pirámide udrngulr, l rist de l se mide 6 m, y l ltur, 8 m. lul uánto mide l potem de dih pirámide. Redonde el resultdo dos deimles. x 2 ) = 5 P L I L T E O R Í 19 En un triángulo retángulo, los tetos miden 3,5 m y 2,5 m. Hz el diujo y hll l longitud de l hipotenus. Redonde el resultdo dos deimles. 8 m h 8 m h 20 En un triángulo retángulo, l hipotenus mide 4,5 m, y un teto, 3 m. Hz el diujo y hll l longitud del otro teto. Redonde el resultdo dos deimles. 6 m 3 m 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS 223

13 Ejeriios y prolems 1. Figurs semejntes De ls figurs siguientes, l es l originl. uál de ls otrs es mpliión y uál es reduión? Hll el tnto por iento de mpliión y reduión orrespondientes. Medinte l téni de udriuldo, hz un ro semejnte l siguiente, pero que teng el dole de tmño. Medinte un proyeión que teng omo entro el entro del romo, diuj otro romo que se un mpliión l 250%. uánto miden ls nuevs digonles? 2. Teorem de Thles 27 Siendo que = 15 m, = 20 m y = 24 m, hll l longitud del segmento. Qué teorem hs plido? s ' ' ' D = 3 m d = 2 m r Divide el segmento en prtes proporionles los segmentos y Siendo que = 1,5 m, = 3 m y = 2,25 m, hll l longitud del ldo. ómo están los triángulos y? ' Un ángulo de un triángulo mide 47, y los ldos que lo formn, = 5 m y = 7 m. En otro triángulo semejnte, se se que un ángulo mide 47 y que uno de los ldos que lo formn mide = 12 m. uánto mide el otro ldo del ángulo de 47? Un árol de 1,5 m proyet un somr de 1 m. En el mismo lugr, el mismo dí y l mism hor, l somr de un edifiio mide 12 m. uánto mide de lto el edifiio? 3. Reliones en figurs semejntes 32 El perímetro de un pentágono regulr mide 12 m, y el de otro pentágono regulr mide 42 m. ) lul l rzón de semejnz. ) Si el áre del primero es de 9,91 m 2, uál es el áre del segundo? m 3,5 m 2,5 m 2,25 m 1,5 m 3 m L rist de un tetredro mide 3 m, y l rist de otro tetredro semejnte mide 4,5 m. Si el áre del primer tetredro es 15,59 m 2,y el volumen, 3,18 m 3, hll del segundo tetredro: ) El áre. ) El volumen. Qué esl es myor, 1: 500 o 1: ? Di uál orresponde un mp y uál un plno. Un terreno tiene form de trpeio retángulo y l longitud de l se myor mide 50 km. Se diuj un trpeio semejnte en el que l se myor mide 5 m de longitud. ) Hll l esl. ) El terreno diujdo es un plno o un mp? ' 224 LOQUE IV: GEOMETRÍ

14 Ejeriios y prolems 36 El plno siguiente orresponde l plnt de un fro. Hll uánto mide en l relidd el diámetro del fro. 4. Teorem de Pitágors 39 En un triángulo retángulo, l hipotenus mide 3,75 m, y uno de los segmentos en que l divide l ltur orrespondiente mide 3 m. Hll l longitud de dih ltur y diuj el triángulo retángulo. 40 En un triángulo retángulo, l ltur reltiv l hipotenus divide ést en dos segmentos que miden = 16 m y = 9 m. Hll: ) el teto Esl 1:250 ) el teto 37 Midiendo on l regl en el mp siguiente, l- ul l distni que hy en líne ret entre: ) Mdrid y rusels. ) Mdrid y Rom. ) Londres y Rom. d) Londres y Prís. REINO UNIDO PÍSES JOS RUSELS ÉLGI LEMNI PRÍS LUXEMURGO LONDRES FRNI PORTUGL ESPÑ MDRID 4 m y 3 m. Hz el diujo y hll l longitud de l hipotenus. 42 En un triángulo retángulo l hipotenus mide 5 m, y un teto, 4,5 m. Hz el diujo y hll l longitud del otro teto. Redonde el resultdo dos deimles. DINMR IRLND 41 En un triángulo retángulo los tetos miden 43 uáles de ls siguientes terns son pitgó- USTRI ris? ITLI ROM GREI Esl 1: Ls dimensiones de l mquet de un vgón de un tren esl 1:50 son 24 m 5 m 6 m. lul sus dimensiones en l relidd. ) 5, 7 y 9 ) 6, 8 y 10 ) 7, 9 y 11 d)10, 24 y Diuj un udrdo de 5 m de ldo y su digo- nl. Hll l longitud de l digonl, redonde el resultdo un deiml y omprue el resultdo midiendo on un regl. Pr mplir 45 Se tiene un retángulo insrito en un triángulo isóseles, omo se indi en l siguiente figur: 46 Diuj dos triángulos equiláteros distintos. Rzon si son semejntes. 47 Los ldos de un triángulo miden = 7 m, = 8,5 m y = 12 m. Hll l medid de los ldos, y de un triángulo semejnte en el que r = 1,75 48 Un plo de 1 m de longitud olodo vertil- Siendo que l se del triángulo es = 2 m, y l ltur h = 3 m, y que l ltur del retángulo es H = 2 m, hll uánto mide l se del retángulo. 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS mente proyet un somr de 1 m. Siendo que el mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr l somr de l torre Eiffel de Prís mide 320 m, lul mentlmente lo que mide de lto l torre Eiffel. 225 Grupo Editoril ruño, SL. Mtemátis de 2º ESO. utores José Mrí ris ezs e Ildefonso Mz Sáez

15 Ejeriios y prolems Diuj un segmento de 5 m y divídelo en tres prtes igules. El rdio de un irunfereni mide x metros, y el rdio de otr irunfereni es el triple. lul uánts vees es myor l longitud de l segund irunfereni y el áre del írulo orrespondiente. L rist de un uo mide x metros, y l rist de otro uo mide 5x metros. lul uánts vees son myores el áre y el volumen del segundo uo respeto l primero. De los siguientes triángulos, uáles son retángulos? 53 ) = 1 m, = 1,5 m, = 2 m ) = 1,5 m, = 2 m, = 2,5 m ) = 2 m, = 2,5 m, = 3 m d) = 2,5 m, = 6 m, = 6,5 m Hll el rdio de l irunfereni irunsrit l siguiente hexágono: R = 7 m Prolems 54 Medinte l téni de udriuldo diuj un perro semejnte l siguiente, pero que teng el dole de tmño. 58 En el siguiente diujo, uántos triángulos semejntes hy? Nómrlos por ls letrs de los vérties y esrie los ángulos que son igules. H Diuj un pentágono semejnte l siguiente medinte un proyeión que teng omo entro el entro de diho pentágono, y uy rzón de semejnz se 3 Ddo el siguiente diujo, lul l medid de l ltur H del ono grnde. Los ldos de un triángulo miden = 4 m, = 5 m y = 7 m. Siendo que en otro triángulo semejnte = 6 m, hll l medid de los ldos y D h = 6,5 m O E r = 3 m R = 5 m Se tiene un retángulo insrito en un irunfereni, omo se indi en l siguiente figur: Siendo que el diámetro de l irunfereni es R = 3 m y que l ltur del retángulo es h = 2,5 m, hll uánto mide l se del retángulo. Ddos los segmentos, y 3 m 4 m 6 m resuelve los siguientes prtdos: ) Hll el urto proporionl de ls medids 6 m, 4 m y 3 m ) Hll el urto proporionl geométrimente. 226 LOQUE IV: GEOMETRÍ

16 Ejeriios y prolems ) Mide on l regl el segmento urto proporionl y omprue que su longitud es el vlor otenido en el prtdo ) Diuj un segmento de 7 m y divídelo en ino prtes igules. En un triángulo retángulo, l ltur reltiv l hipotenus divide ést en dos segmentos que miden = 1,8 m y = 3,2 m. Hll: ) L longitud de l hipotenus ) L longitud de l ltur reltiv l hipotenus. ) El teto d) El teto e) El áre de diho triángulo retángulo. Un retángulo mide 40 m de perímetro y su áre mide 100 m 2. Hll el áre de otro semejnte en el que el perímetro mide 80 m En el plno siguiente: lul l distni que hy en líne ret entre: ) Sevill y lmerí. ) Jén y Huelv. ) órdo y ádiz. d) Málg y Grnd. Se quiere her l mquet de un urnizión en l que los 500 m de longitud de un lle equivlgn 2 m en l mquet. ) lul l esl de l mquet. ) Si un edifiio mide 12 m de lto en l relidd, uánto medirá en l mquet? ) Si un lle mide en l mquet 3 m de nho, uánto medirá en l relidd? lul l digonl de un retángulo en el que los ldos miden 6 m y 2,5 m Hll l ltur de un triángulo equilátero de 6 m de ldo. Redonde el resultdo dos deimles. Hll l longitud del ldo de un romo siendo que ls digonles miden 3 m y 5 m. Redonde el resultdo dos deimles. Dormitorio 2 Slón 70 Hll el áre del siguiente romoide: Dormitorio 1 3 m urto de ño oin 1,5 m 3 m Esl 1:200 lul l superfiie: ) Del slón. ) De l oin. ) Del urto de ño. d) Del dormitorio 1 e) Del dormitorio 2 71 Hll el áre del siguiente trpeio retángulo: 1,5 m 3,2 m 65 En el siguiente mp de ndluí: 3,5 m Huelv órdo Sevill Jén 72 Hll l potem de un hexágono regulr de 9 m de ldo. Redonde el resultdo dos deimles. ádiz Málg Grnd lmerí Esl 1: SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS 227

17 Ejeriios y prolems 73 Un esler de omeros que mide 20 m se poy sore l fhd de un edifiio. L se de l esler está seprd 5 m de l pred. qué ltur llegrá? 79 Se tiene un triángulo isóseles insrito en un irunfereni, omo se indi en l siguiente figur: 80 Siendo que el diámetro de l irunfereni es D = 3,5 m y que l ltur del triángulo es h=3m,hll uánto mide l se del triángulo. Un esfer uyo rdio es r = x m tiene un áre de 314,16 m 2 y un volumen de 523,60 m 3. Hll el áre y el volumen de otr esfer uyo rdio es R = 2,5x Un torre de telefoní móvil proyet un somr de 23 m. El mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr,n, que mide 1,72 m, proyet un somr de 2,10 m. lul l ltur de l nten de telefoní móvil. Hll el rdio de l irunfereni irunsrit l siguiente udrdo: R = 6 m Hll el ldo de un udrdo de 6 m de digonl. Redonde el resultdo dos deimles. Hll l digonl de un uo de 5 m de rist. Redonde el resultdo dos deimles. Un fro proyet un somr de 53 m. El mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr, un árol de 1,5 m proyet un somr de 2,05 m. lul l ltur del fro. Hll el rdio de l irunfereni irunsrit l siguiente triángulo equilátero: R = 5 m Hll l ltur de un ono reto en el que el rdio de l se mide 5 m, y l genertriz, 9 m. Redonde el resultdo dos deimles. lul l digonl de un hitión uys dimensiones son 6 m 4 m 3 m Pr profundizr 78 Medinte l téni de udriuldo diuj un elefnte semejnte l siguiente, pero que teng el dole de tmño L potem de un hexágono regulr mide 5 m. lul uánto mide el ldo. Un triángulo retángulo tiene los siguientes ldos: = 5 m, = 4 m y = 3 m. mi el udrdo por un semiírulo en l interpretión geométri del teorem de Pitágors, lul el áre de los tres semiírulos y omprue si se sigue verifindo = 5 m l interpretión geométri. = 4 m = 3 m 228 LOQUE IV: GEOMETRÍ

18 pli tus ompetenis Medid de lturs inesiles Un edifiio proyet un somr de 25 m. El mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr, un plo vertil de 2 m proyet un somr de 2,5 m. lul l ltur del edifiio. Un árol proyet un somr de 29,75 m. El mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr, un plo vertil de 1,5 m proyet un somr de 2,15 m. lul l ltur del árol. Un nten proyet un somr de 43 m. El mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr, un plo vertil de 1,75 m proyet un somr de 2,5 m. lul l ltur de l nten. Un ntildo proyet un somr de 35 m. El mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr, un plo vertil de 1,25 m proyet un somr de 1,5 m. lul l ltur del ntildo. omprue lo que ses 2 m 1 2 Esrie el enunido del teorem de Pitágors. Pon un ejemplo de un tern pitgóri. Medinte un proyeión que teng omo entro el entro del romo, diuj otro romo que se un mpliión l 250%. uánto miden ls nuevs digonles? D = 3 m d = 2 m r s ' 3 Siendo que = 18 m, = 24 m y = 15 m, hll l longitud del segmento. Qué teorem hs plido? ' 4 Divide el segmento en prtes proporionles los segmentos, y d = 5 m = 2 m = 1,5 m d = 1 m ' En un s, un psillo mide 6 m, y en su plno, 2,4 m. Hll l esl. En un triángulo retángulo l hipotenus mide 13 m, y un teto, 12 m. Hll uánto mide el otro teto. Hll el áre del siguiente trpeio retángulo: 1,5 m 3,2 m 3,5 m 8 Un fro proyet un somr de 55 m. El mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr, un plo vertil de 1,5 m proyet un somr de 1,75 m. lul l ltur del fro. 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS 229

19 Pso pso 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS Elige en l rr de menús Visuliz y destiv l opión Ejes 91 Diuj tres puntos 94 Diuj un semirret horizontl de origen O Elige Nuevo Punto y hz li en tres lugres diferentes. Diuj un ret ) Elige Ret que ps por 2 puntos y hz li en dos puntos y ) olo el puntero del rtón sore l ret y puls el otón dereho pr otener su menú ontextul. Luego, en Propieddes /olor, elige olor zul. ) Elige Desplz y rrstr el punto, o el, o l ret. Verás ómo v mindo l ret. Diuj dos rets prlels, y, y un perpendiulr, ) Elige Semirret que ps por dos puntos y hz li en un extremo, y luego en otro punto ) rrstr uno de los puntos; verás ómo v mindo l semirret. Diuj un segmento y muestr su longitud. ) Elige Segmento entre dos puntos y hz li en el extremo, y luego en el extremo )En el menú ontextul del segmento, en Propieddes /ásio/expone rótulo, elige Nomre & vlor ) rrstr uno de los extremos; verás omo v mindo l medid del segmento. Diuj un segmento de 5 m ) Diuj l ret de olor zul. ) Elige Ret Prlel, hz li en l ret y, luego, en otro punto ulquier, que no esté en l ret ) Elige Ret Perpendiulr, hz li en l ret y, luego, en un punto ulquier que no esté en d)rrstr un punto de l ret ; verás ómo vn mindo l ret prlel y l perpendiulr ) En el mpo de Entrd, rr inferior, esrie = 5 y puls [Intro] )Elige Segmento ddos su longitud y punto extremo iniil. Hz li en el punto. En l ventn que pree, esrie y hz li en el otón plir ) En el menú ontextul del segmento, en Propieddes /ásio/expone rótulo, elige Nomre & vlor d)en el mpo de Entrd, esrie = 10 y puls [Intro] 230 LOQUE IV: GEOMETRÍ

20 Linux/Windows GeoGer 97 e) Elige Desplz, y en l ventn lgeri hz li sore l medid = 10. Puls reiterdmente en el teldo numério ls tels [+] y [ ]; verás ómo el vlor de v mindo de 0,1 en 0,1. Pr mir de 1 en 1, puls [trl] [+] o [trl] [ ] Diuj un ángulo y muestr su mplitud. 99 d)en el mpo de Entrd esrie = 45 y puls [Intro] e) Elige Desplz y en l ventn lgeri, hz li sore l mplitud = 45. Puls reiterdmente en el teldo numério ls tels [+] y [ ]; verás ómo el vlor de v mindo de 1 en 1. Pr mir de 10 en 10 puls [trl] [+] o [trl] [ ] Diuj un triángulo semejnte de rzón de semejnz 2 98 ) Elige Semirret que ps por dos puntos. Luego hz li en el origen y en otro punto pr indir l direión. ) Diuj otr semirret de origen ) Elige Ángulo, hz li suesivmente en, y d)rrstr uno de los puntos o ; verás omo v mindo l medid del ángulo. Diuj un ángulo de 50 ) En el mpo de Entrd, rr inferior, esrie = 50, y los puedes elegir en l prte dereh. Puls [Intro] )Elige Ángulo dd su mplitud. Hz li en el punto y en el punto. En l ventn que pree, introdue y hz li en el otón plir ) Diuj los ldos del ángulo. ) En el mpo de Entrd, rr inferior, esrie k = 2 y puls [Intro] )Diuj el punto O. En su menú ontextul, elige Renomr y mi l letr por O ) Diuj el triángulo, elige Polígono y hz li en los vérties,,. Luego puls otr vez en pr errrlo. d)elige Dilt ojeto desde el punto indido, según ftor. Hz li dentro del triángulo y en el punto O. En l ventn que pree, esrie k y hz li en el otón plir e) rrstr un vértie del triángulo y verás ómo v mindo el triángulo semejnte. f)rrstr el punto O y verás ómo se desplz el 2º triángulo. g) Elige Desplz, y en l ventn Álger hz li sore l onstnte k = 2. Puls reiterdmente en el teldo numério ls tels [+] y [ ]; verás ómo mi el 2º triángulo. 100 Internet. re: y elige Mtemátis, urso y tem. 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS 231

21 sí funion 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS Prtes de l ventn de GeoGer rr de menús rr de herrmients Ventn lgeri Zon gráfi mpo de Entrd Símolos omndos Letrs griegs rr de herrmients d uno de los ionos tiene vris opiones; los ionos de est rr vn mindo según l últim opión elegid. Seleionr un ojeto: se elige Desplz y se he li sore el ojeto. Quitr seleión: se puls l tel [Es], o se he li on Desplz en ulquier prte de l Zon gráfi, en l que no hy ojetos. Mover ojeto: se seleion y se rrstr on el rtón, o ien se seleion y se mueve on ls tels ursors. Si se mntiene pulsd l tel [trl] l pulsr ls tels ursors, el desplzmiento se multipli por 10, y si se mntiene pulsd l tel [lt], se multipli por 100. Si un ojeto depende de otro, no se puede mover diretmente. Tmién se pueden mover ls etiquets; se deen mover undo están ml olods; por ejemplo, undo se montn on otro ojeto. orrr ojeto: se seleion y se puls l tel [Supr] orrr todos los ojetos: en l rr de menús se seleion rhivo/nuevo y se elige No Desher/Reher ls últims iones: se pulsn ls tels [trl][z], o ien, l dereh de l rr de herrmients, se elige Deshe o Rehe. Menú ontextul: es el menú soido d ojeto. Pr otenerlo se punt on el rtón l ojeto y se puls el otón dereho. Este menú se llm ontextul porque es reltivo l ojeto elegido. Por ejemplo, el menú ontextul de un ret es el de l prte dereh. lguns de sus opiones son omunes vrios ojetos. Oultr ojetos o rótulos: en su menú ontextul se destiv l opión Expone. En l ventn lgeri preen destivdos, y medinte su menú ontextul se pueden volver mostrr, tivndo Expone ojeto Propieddes de un ojeto: primero se diuj el ojeto, después en su menú ontextul se elige Propieddes y se modifin. Ls propieddes de d elemento, omo son el olor, grosor, tipo de líne, no se indin en los ejeriios; se ven diretmente en el diujo que hy que relizr. Modifir vlores: undo un medid o un mplitud se define trvés del mpo de Entrd, se puede modifir volviendo introduir un nuevo vlor. Pr modifir de form ontinu un medid o mplitud, se elige Desplz y en l ventn lgeri se he li sore l medid o mplitud; l pulsr reiterdmente del teldo numério ls tels [+] y [ ] se v mindo de 0,1 en 0,1 si es un medid, y de 1 en 1, si es un mplitud. Pr mir de 1 en 1 en so de un medid, o de 10 en 10 si es un mplitud, se puls [trl] [+] o [trl] [ ] 232 LOQUE IV: GEOMETRÍ

22 Linux/Windows GeoGer Prti 101 omprue el teorem de Thles. 102 ) Diuj tres rets prlels, y ) Diuj dos rets sentes d y e ) Hll los puntos de interseión de l ret d on ls tres rets prlels, y d)renomr los tres puntos de interseión omo, y e) Hll los puntos de interseión de l ret e on ls tres rets prlels, y f) Renomr los tres puntos de interseión omo ', ' y ' g) Mide los segmentos y '' h)hll el oiente de dividir '' entre ; será g/f i) Insert el texto que está entre ls rets prlels y. Pr ello, elige Insertr texto, hz li en l zon gráfi, y en l ventn Texto esrie: ''/ = + h j) Mueve el texto pr que quede entre ls dos rets y k) Mide los segmentos y '' l) Hll el oiente de dividir '' entre ; será j/i m) Insert el texto orrespondiente y muévelo pr que quede entre ls rets y n)rrstr un de ls rets sentes o un de ls rets prlels; verás ómo vn mindo los oientes, pero siguen siendo igules. omprue el teorem de Pitágors. 103 ) Diuj dos rets perpendiulres. )Diuj un triángulo retángulo que teng un teto en d un de ls rets perpendiulres. ) Pr diujr los udrdos sore los tetos y sore l hipotenus, seleion l opión Polígono regulr. d)oult tods ls rets. e) rrstr los vérties orrespondientes los ángulos gudos y oserv que mi l longitud de los tetos y de l hipotenus, pero se sigue verifindo el teorem de Pitágors. Diuj dos triángulos semejntes, lul ls rzones entres sus perímetros y entre sus áres, y omprue que l segund rzón es el udrdo de l primer. ) Elige Desplz, y en l ventn Álger hz li sore l onstnte k = 2. Puls reiterdmente en el teldo numério ls tels [+] y [ ]; verás ómo l rzón de los perímetros oinide on l rzón de semejnz, y que l rzón de ls áres es el udrdo. 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS 233

23 Pso pso 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS ) En l rr de menús elige yud; en l prte inferior pree l desripión de d orden. Déjl siempre tiv. ) En l rr de menús elige Opiones/Mostrr los triutos. Déjlos siempre visiles. ) orrr todos los ojetos: puls ls tels [trl] [] pr seleionr todo, y luego puls l tel [Supr] pr orrr. d vez que termines un ejeriio, y ntes de psr l siguiente, orr todo Diuj un punto Elige Punto, hz li en el lugr desedo y esrie l letr Se nomr on un letr un punto, un ret o un irunfereni. Se puede esriir diretmente l terminr de rer el ojeto, o ien elegir Nomrr, errse l ojeto, her li y esriirl. Diuj un ret r Elige Ret, seleion en l rr de triutos olor zul, hz li en dos puntos y esrie l letr r Diuj dos rets prlels, r y s, y un perpendiulr, t s r r ) Diuj l ret r de olor zul medio. ) Elige Ret prlel, hz li en l ret r y, luego, en otro punto ulquier, que no esté en l ret r ) Elige Ret perpendiulr, seleion olor rojo, hz li en l ret r y, luego, en otro punto ulquier. t d) rrstr l ret r; verás ómo vn mindo l ret prlel s y l perpendiulr t Diuj un semirret horizontl de origen O ) Elige Semirret, hz li en el origen y esrie l letr O ) Pr que l semirret se horizontl, mntén pulsd l tel [ ] Myúsuls y hz li en otro punto su dereh. Diuj un segmento y mide su longitud. ) Elige Segmento, hz li en un extremo y esrie l letr ) Hz li en el otro extremo del segmento y esrie l letr ) Elige Distni o longitud y hz li en el segmento. d) rrstr uno de los extremos; verás ómo v mindo l medid del segmento. Hz que mid extmente 7 m Diuj un segmento de 5 m O 7 m 5 m ) Elige Número y esrie, en l prte superior izquierd, LOQUE IV: GEOMETRÍ

24 Windows ri 97 ) Diuj un semirret de origen ) Elige Trnsfereni de medids. Hz li en l medid 5, en un punto de l semirret y esrie l letr d) Elige Oultr/Mostrr y hz li en l semirret. e) Diuj el segmento y mídelo. f ) Elige puntdor, hz dole-li sore el número iniil pr editrlo. Modifílo por un 8,7; verás ómo mi utomátimente el segmento. Diuj un ángulo, márlo y mídelo. 99 ) Diuj un semirret horizontl de origen O ) Elige Rotión. Hz li en l semirret, en el punto O y en el número 50 d) Mr el ángulo y mídelo. e) Edit el 50 iniil y ámilo por un 30; verás ómo mi utomátimente el ángulo. Diuj un triángulo semejnte de rzón de semejnz 2 2 ' 98 ) Elige Semirret, hz li en el origen y esrie l letr O y hz li en otro punto pr indir l direión. ) Diuj otr semirret de origen O ) Elige Mrr un ángulo; hz li en un punto de un ldo; luego, en el vértie; y, por último, en un punto del otro ldo. d) Elige Medid de ángulo y hz li en l mr. e) rrstr uno de los ldos; verás ómo v mindo l medid del ángulo. Hz que su mplitud se extmente 45 Diuj un ángulo de O 45 O 50 ) Elige Número y esrie, en l prte superior izquierd, 50 O ) Esrie, medinte ediión numéri, 2 ) Diuj el punto O ) Elige Triángulo, hz li en tres puntos, y d) Elige Llenr, seleion olor mrillo y hz li en el orde del triángulo. e) Elige Homotei, hz li en el orde del triángulo, en el entro O de homotei y en el número 2 f) Elige Nomrr, hz li en el punto y esrie l letr. Hz lo mismo on y g) rrstr un vértie del triángulo y verás ómo v mindo el triángulo semejnte. h) rrstr el punto O y verás ómo se desplz el 2º triángulo. i) mi el vlor 2 y verás ómo mi el 2º triángulo. 100 Internet. re: y elige Mtemátis, urso y tem. ' ' 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS 235

25 sí funion 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS rr de menús rr de triutos rr de herrmients Zon de trjo Prtes de l ventn de RI rri l dereh hy tres ionos: El entrl puede mir de form. Iono minimizr Iono resturr Iono mximizr Iono errr Ventn de yud rr de menús d un de ls opiones tiene otro sumenú. Mnipulión Línes onstruiones Mros Medid triutos Puntos urvs Propieddes Trnsformiones Texto y símolos rr de herrmients d uno de los ionos tiene vris opiones; los ionos de est rr vn mindo según l últim opión elegid. Seleionr: hy utro forms distints de seleionr ojetos en RI ) Señlr diretmente on el puntdor en el orde del ojeto. )Señlr vrios ojetos. Primero uno on el puntdor, y luego, mnteniendo pulsd l tel [ ] Myúsuls, se he li en todos los ojetos que se quiern seleionr. ) Reudro de seleión. on el puntdor se he li en un prte de l pntll en l que no hy ojetos, y se rrstr el rtón. Todos los ojetos que estén dentro del reudro quedn seleiondos. d)seleionr todos los ojetos. Se pulsn ls tels [trl] [], o ien se elige en el menú Ediión/Seleionr todo Quitr seleión: Se he li on el puntdor en ulquier prte de l Zon de trjo en l que no hy ningún ojeto. [ ] Myúsuls: mnteniendo pulsd est tel, se onsigue: ) Seleionr vrios ojetos hiendo li sore d uno de ellos. ) undo se diujn segmentos, rets y semirrets, su inlinión mi de 15 en 15 Mover ojeto: se seleion y se rrstr. Si un ojeto depende de otro, no se puede mover diretmente. orrr ojetos: se seleionn y se puls l tel [Supr] orrr todo: se seleion todo pulsndo ls tels [trl] [] y luego se puls l tel [Supr] Desher/Reher l últim ión: se pulsn ls tels [trl] [Z], o ien se elige en l rr de menús Ediión/Desher o Reher Plet de triutos: l plet de triutos permite modifir el speto de los ojetos: olor, grosor, puntedo, et. Pr rir l plet de triutos, en l rr de menús se elige Opiones/Mostrr triutos. Pr rer un ojeto on un triuto, se elige primero l herrmient y luego el triuto, y se onstruye el ojeto. Pr mir los triutos de un ojeto, se seleion el ojeto y se elige el triuto. 236 LOQUE IV: GEOMETRÍ

26 Windows ri Prti omprue el teorem de Thles. r ' 1,83 m ' 2,15 m 4,20 m ) Diuj tres rets prlels, y ) Diuj dos rets sentes r y s ) Elige Punto(s) de interseión, hz li en l ret y en l ret r. Esrie l letr. Hz lo mismo on ls letrs,,, y d) Mide los segmentos,, y e) Hll medinte l luldor de ri los oientes / y /. Pr utilizr l luldor elige luldor, hz li en l medid, puls l tel de dividir /, hz li en l medid, hz li en el signo =, rrstr el resultdo de l luldor l ldo dereho y rri del diujo, edit l plr Resultdo: y sustitúyelo por / f) Hz lo mismo pr los segmentos y de l prte de jo. g) rrstr un de ls rets sentes o un de ls rets prlels; verás ómo vn mindo los oientes, pero siguen siendo igules. omprue el teorem de Pitágors. ) Diuj dos rets perpendiulres y un triángulo retángulo que teng un teto en d un de ells. 3,59 m ' s ''/ = 0,85 ''/ = 0, ) Pr diujr los udrdos sore los tetos y sore l hipotenus, tienes que utilizr rets prlels o perpendiulres y diujr irunferenis uxilires. ) Pr diujr un udrdo, elige Polígono y hz li en los utro vérties de form ordend. Pr errr l figur, hz li otr vez en el primer vértie elegido. d) Oult tods ls rets y irunferenis. rrstr los vérties orrespondientes los ángulos gudos y oserv que mi l longitud de los tetos y de l hipotenus, pero que se sigue verifindo el teorem de Pitágors. Diuj dos triángulos semejntes, lul ls rzones entre sus perímetros y entre sus áres, y omprue que l segund rzón es el udrdo de l primer. 2 O = 9 m 2 P'/P = 2 '/ = 4 P = 9,36 m = 4,06 m 2 = 16 m 2 + = 25 m 2 ' = 25 m 2 Modifi l rzón de semejnz; verás ómo l rzón de los perímetros oinide on l rzón de semejnz, y l rzón de ls áres es el udrdo. ' P' = 18,72 m ' = 16,24 m 2 ' 11. SEMEJNZ. TEOREMS DE THLES Y PITÁGORS 237

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