Funciones. Domf = {x R f(x) B} Ranf = {f(x) x Domf} x (, 4) (4, ) 4y + 1 y. 4y + 1. > 4 = y y. > 0 = y

Transcripción

1 Funciones Una función real de variable real es una aplicación f : A B donde A,B son conjuntos de números reales. Domf = x R f(x) B Rango: El rango o imagen de la función f es un conjunto que se define como Ranf = f(x) x Domf Ejemplo: Encontrar el dominio rango de la función f(x) = Solución: Domf = x X R = (, 4) (4, ) Obs: Domf R 0 x 4 x (, 4) (4, ) Ranf = f(x) x Domf = Tenemos que = 4 + = > 4 = < 4 x = 4 + < x (, 4) (4, ) 4 + (, 4) > 4 = > 0 = < 0 (4, ) < > 0 4 > 0 < 0 > 0 = (, 0) (0, ) Función acotada Se dice que f : A B está acotada; es decir, existe k > 0 tal que f(x) k x A Función Lineal Es la aplicación lineal T : R R, es decir, se cumple ) T (x + ) = T (x) + T () ) T (αx) = αt (x)

2 Función Par Una función f : A B se dice que es par si f(x) = f( x) x R la gráfica de una función tal es simétrica respecto al eje Y Función Impar Una función f : A B se dice que es impar si f(x) = f( x) x R la gráfica de una función tal es simétrica respecto al origen ejemplo Vamos a ver que pasa con la suma de funciones pares e impares Suma de funciones pares Sean f, g tal que ambas son funciones pares, entonces f + g es par Demostración. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = f( x) + g( x) = (f + g)( x) Suma de funciones impares Sean f, g tal que f es funcion par g es función impar, entonces f + g es impar Demostración. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = f( x) g( x) = (f( x) + g( x)) = (f + g)( x) Suma de funciones par e impar Sean f, g tal que f es funcion par g es función impar entonces f + g no es ni par ni impar f + g( x) P ar Demostración. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = f( x) g( x) (f + g))( x) Impar Función Periódica Una función f : A B se dice que es periódica si T > 0 tal que f(x + T ) = f(x) x A. El número T es el periodo de la función Función Constante Una función f : A B se dice que es constante si f(x) = c x A Función Identidad Es una función f : A A tal que f(a) = a a A Función Característica Si S es un subconjunto de A se define en A una función real llamada función característica del conjunto S x S X S : A R como X S (x) = 0 x / S Composición de funciones Sean f : A B g : B C entonces h : A C es la función compuesta h = g f si se verifica h(x) = (g f)(x) = g (f(x)) x A Función Inectiva Una función f : A B se dice que es inectiva ó uno-uno si: Dados x, x Dom f tal que f(x ) = f(x ) x = x Función Supraectiva Una función f : A B se dice que es supraectiva si: B x A tal que = f(x)

3 Función Biectiva Una función f : A B se dice que es biectiva si es inectiva supraectiva simultaneamente. Ejemplo.- Sea f : N N dada por f(x) = x. Para ver que f es inectiva Sean x, x Dom f tal que f(x ) = f(x ) x = x x = x f es inectiva Para ver que f es supraectiva tenemos que f no es supraectiva pues los elementos impares de N no provienen de ningun x N Ahora bien si consideramos la misma función pero ahora la definimos f : N P f(x) = x Por lo anterior f es inectiva Para ver que es supraectiva teneoms que si P = x = x f(x) = f( ( ) ) = = por lo tanto f es supraectiva Ejemplo.-Sea f : R R definida por f(x) = x 3 Para ver que f es inectiva Sean x, x Dom f tal que f(x ) = f(x ) es decir x 3 = x 3 (x 3 x 3 ) = 0 (x x ) ( x + x x + x ) = 0 x x = 0 o x + x x + x = 0 Si x x = 0 x = x, ahora bien si x + x x + x = 0 se tiene que x = x ± x 4x = x ± ( ) 3x = x ± i 3 por lo tanto si x = 0 entonces x = 0 por tanto x = x Composición de funciones inectivas Teorema. Si f : A B g : B C son funciones inectivas, entonces g f : A C es inectiva Demostración. sean x, x Dom f tal que g f(x ) = g f(x ) se tiene entonces que g f(x ) = g f(x ) g(f(x )) = g(f(x )) como g es inectiva se tiene que f(x ) = f(x ) como f es inectiva entonces x inectiva = x g f es Teorema. Si f : A B g : B C son funciones supraectivas, entonces g f : A C es supraectiva Demostración. Ha que probar que z C x A tal que g f(x) = z, se tiene que por ser g : B C sobre B tal que z C g() = z dado que f es supraectiva B x A tal que f(x) = por lo tanto g f(x) = g(f(x)) = g() = z. Por lo tanto dado z C x A tal que g f(x) = z Teorema 3. Si f : A B g : B C son tales que g f : A C es inectiva entonces f es inectiva Demostración. Sean x, x A tal que f(x ) = f(x ) aplicando g se obtiene g(f(x )) = g(f(x )) por ser g f inectiva se tiene x = x en consecuencia f es inectiva 3

4 Teorema 4. Si f : A B g : B C son tales que g f : A C es supraectiva entonces g es supraectiva Demostración. Sea c C como g f es supraectiva, existe α tal que esto prueba que c Im g c = g f(α) = g(f(α)) Teorema 5. Sea f la función f : A B, entonces a) f es inectiva si solo si existe g : B A tal que g f = I A Demostración. Sea f inectiva. Para cada f(a) existe un único x A tal que f(x) =. Sea a A fijo definimos g : B A asi x si f(a) g() = a si / f(a) es claro que (g f)() = g(f()) = I A Teorema 6. Sea f la función f : A B, entonces a) f es supraectiva si solo si existe h : B A tal que f h = I B Demostración. Sea f supraectiva. Para cada B f (), para B escogemos x f () definimos la función h : B A como h() = x en consecuencia f h = I B La función g se llama inversa izquierda de f la h es la inversa derecha de f. Si una función f : A B tiene las dos inversas, entonces ambas coinciden g = g I B = g (f h) = (g f) h = I A h = h g=h se llama inversa de f. Ejemplo.-La función f : R R definida por f(x) = x + admite inversa g : R R tal que g(x) = x pues g f(x) = g(f(x)) = g(x + ) = (x + ) = x = Id R f g(x) = f(g(x)) = f(x ) = (x ) + = x = Id R Teorema 7. Una función admite inversa si es biectiva Demostración. Sean x, x A tal que f(x ) = f(x ) aplicamos g obtenemos g(f(x )) = g(f(x )) (g f)(x ) = (g f(x )) x = x f es uno-uno Para ver que es upraectiva sea B aplicando la función identidad = Id B () = f g() = f(g()) por lo tanto si hacemos x = g() A se tien que f(x) = al ser f inectiva supraectiva entonces f es biectiva 4

5 Teorema 8. Una función que es biectiva admite inversa Demostración. Definimos una función g : B A mediante g() = x si f(x) =, tenemos que ver que g satisface la definición de función. En efecto todo elemento del domino B tiene un correspondiente x en A, a que, por se f sobreectiva, todo en B proviene de algún x en A. El correspondiente x asociado a es único, por ser f inectiva. En efecto si x, x fueran distintos de por f se tendría x x f(x ) = f(x ) =, lo cual es absurdo pues f es inectiva Ha que ver que g f = Id A. Cualquiera que sea A se tiene (g f)(x) = g(f(x)) = g() = x = Id A (x) Ahora probaremos que (f g)() = Id B se tiene que (f g)() = f(g()) = f(x) = = Id B () Al tener inversa izquierda e inversa derecha entonces la función admite inversa ademas es única pues si g fuera inversa se tendría que g = g Id B = g (f g) = (g f) g = Id A g = g x +x Ejemplo.-Probar que la función f(x) = admite inversa para x > Para ver que es inectiva se tiene que dados x x Dom f tal que f(x ) = f(x ) se tiene entonces que x + x = x + x x + x x = x + x x x = x por lo tanto f es inectiva Para ver que f es supraectiva sea Im f tenemos que ver que existe x Dom f tal que f(x) =. Si f(x) = entonces x + x = x = por lo tanto para Im f se tiene que existe x = Dom f tal que f(x) = Por tanto al ser f inectiva supraectiva entonces f es biectiva por tanto admite una inversa 5