La Circunferencia y el círculo

Transcripción

1 La ircunferencia y el círculo La ircunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo que se llama centro de la circunferencia. l círculo es la superficie del plano limitado por una circunferencia omo se puede observar, la circunferencia es una línea y por ello sólo tiene longitud, mientras que el círculo es una superficie y por tanto tiene área. La circunferencia o círculo se representan por el símbolo, la diferencia se obtiene del contexto. Líneas Notables :cuerda : diametro F : secante GH : tangente I: radio uerda: s el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia iámetro: s la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Secante: s la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. (partes) Tangente: s la recta que toca a la circunferencia en un punto. ste punto único se llama punto de tangencia o punto de contacto. Radio: s el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. bservación: l radio, la cuerda y el diámetro son segmentos de recta, mientras que la secante y la tangente son rectas. : arco : arco : arco : arco : arco rco: s una parte de la circunferencia. Un rco se representa con el símbolo el que se lee "arco". Semicircunferencia : s un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia l uso de tres letras, en el segundo caso, es indispensable para distinguir los dos arcos. es una semicircunferencia. Semicírculo: s la región del plano comprendida entre un diámetro y la semicircunferencia correspondiente. Ángulos Notables - 1 -

2 La ircunferencia y el círculo ngulo central: s aquel que está formado por dos radios, el intercepta o subtiende al o a la cuerda, también se dice que el arco está comprendido entre los dos lados del ángulo. ngulo inscrito: s aquel que está formado por dos cuerdas y tiene su vértice sobre la circunferencia. Un ángulo está inscrito en un arco, cuando tiene su vértice en el arco y los lados pasan por los extremos de este. l es un ángulo inscrito sus lados son las cuerdas y. ste ángulo subtiende el. ngulo interior: es aquel que está formado por dos cuerdas que se cortan. l (o bien su opuesto por el vértice ) es un ángulo interior donde y son los arcos comprendidos entre sus lados. l (o bien su opuesto por el vértice ) es un ángulo interior y son los arcos comprendidos entre sus lados. ngulo exterior: s aquel que está formado por dos secantes que se cortan en un punto fuera del círculo. l o es un ángulo exterior, y son los arcos comprendidos entre sus lados. Teorema relativos a los Ángulos notables en la Ángulo entral Ángulo Inscrito ngulo de Vértice Interno ngulo de Vértice xterno Importante: n un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. TNI UN UNT RST UN IRUNFRNI Si desde un punto, exterior a una circunferencia, trazamos dos rectas secantes a una circunferencia, se cumple que: x = x este producto se le llama TNI del punto respecto de la circunferencia. Si dos cuerdas se cortan en un punto, los segmentos que se forman cumplen la siguiente relación: x = x - 2 -

3 La ircunferencia y el círculo jemplos: 1.- Los ángulos inscritos en una que subtienden el mismo arco son congruentes. m( ) = m( ) = m( ) = m ( ) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. m ( ) = 180 m = m ) = m ( ) 2 m = m = Si = 4 cm; = 12 cm; = 7 cm; uánto mide? x = x 4 m 12cm= 7cm 4 cm 12 cm = = 6, 85cm 7cm 4.- Si = 8cm ; = 3cm y = 4cm uánto mide? Llamemos: = x = 8 x (porque = 8cm ) x = x x (8 x) = 3 4 8x x 2 = 12 x 2 8x + 12 = 0 (x 6) (x 2) = 0 x 1 = 6 ^ x 2 = 2 Luego: = 6cm = 8 6 = 2cm (o bien = 2cm = 6cm ) jercicios de desarrollo: ncuentra los ángulos marcados 1) 2) 3) 4) 5) 6) - 3 -

4 La ircunferencia y el círculo 7) 8) 9) 10) 11) 12) jercicios de selección múltiple: 1. n la circunferencia de centro y diámetro. Si = 120, entonces =? a) 12,5 b) 25 c) 30 d) 50 e) n la figura m, es punto medio del arco. ntonces, arco m =? a) 22,7 b) 54 c) 127,5 d) n la figura m, es punto medio del arco. ntonces, arco m=? a) 2q b) 2/3q -90 c) q d) 180 -q/2 4.- ada la siguiente figura, donde es centro de la circunferencia. x=? a) 30 b) 45 c) 40 d)

5 La ircunferencia y el círculo 5.- ada la siguiente figura, donde es centro de la circunferencia. x=? a) 37,5 b) 45 c) 30 d) rco es 1/6 de la circunferencia. es punto medio de. x=? a) 120 b) 12 c) 60 d) rco = 30º de la circunferencia. : =2:3. x=? a) 56 b) 6 c) 12 d) ada la siguiente figura, con diámetro, cuál es la medida del x =? a) 54 b) 36 c) 18 d) n la figura, centro de las, cuál es la medida del x=? a) 90 b) 45 c) 30 d) n la figura, centro de la, cuál es la medida del x =? a) 160 b) 150 c) 154 d) 172 e) n la figura. centro de la, cuál es la medida del x=? a) 30 b) 40 c) 50 d) ada la siguiente figura. centro de. = 15º. arco = arco = arco = arco,, cuál es la medida del x=? a) 15 b) 45 c) 30 d)

6 La ircunferencia y el círculo 13.- n la de centro, arco = arco = arco = arco, cuál es la medida del x? a) 80 b) 50 c) 30 d) centro de la circunferencia. uál es la medida del x? a) 410 b) 260 c) 50 d) centro de la circunferencia. cuál es la medida del x? a) 70 b) 80 c) 90 d) centro de la circunferencia. Los arcos ==, cuál es la medida del x? a) 2β+90 b) β c) β/2 d) β 17.- centro de la circunferencia. uál es la medida del x? a) 360 α + β b) 2 (α + β) c) α + b d) 2 α + β/ centro de la circunferencia. Los arcos Q=QR=RS. uál es la medida del x? a) 40 b) 60 c) 80 d) centro. MN tangente a la circunferencia. uál es la medida del x? a) 140 b) 70 c) 60 d) centro. rco = 2arco. uál es la medida del x? a) β b) 90 -β/3 c) 2β d) (4/3) β - 6 -

7 La ircunferencia y el círculo 21.- n la circunferencia de centro de la figura 1, se han dibujado tres diámetros. on los datos dados, determina el valor del x? a) 75º b) 35º c) 20º d) 70º e) 110º 22.- ada la siguiente circunferencia F = 85º x=? a) 15 b) 40 c) 20 d) ada la siguiente circunferencia. arco F=135º, x= a) 12,5 b) 25 c) 75 d) 37,5 24. uál es el total de los trapecios isósceles dentro del pentágono regular en donde se ha inscrito una estrella? a) 4 b) 5 c) 10 d) n la figura L//L ; si = 120 y Q = 3cm, entonces la medida de es: a) 12 L b) 48 c) 3 d) 6 12 e) 2 Q L 26. n la circunferencia de centro y radio r, MN es diámetro, si M = r y Q punto medio de M, entonces QN= N a) r 3 r 3 b) 2 r 13 c) 2 d) r 21 e) No se puede determinar 27. n la figura el es equilátero uánto mide el x?. Si es el centro de la circunferencia M x Q a) 100º b) 30º c) 120º d) 60º e) falta información - 7 -

8 La ircunferencia y el círculo 28. n la figura es el centro de la circunferencia // F, // F rco() = rco(), entonces es(son) verdadera(s) I. G = F II. GF es trapecio rectángulo III. ángulo G = ángulo a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III G F 29. l triángulo está trazado en la mitad de la circunferencia. Si h c = 4cm y el lado = 5cm. l radio de la circunferencia es: a) 3 cm a) cm b) cm c) cm d) Ninguna de las anteriores. 30. n la figura se tiene circunferencia de centro, M bisectriz del MN. Si MN = 40º, entonces x =? a) 25º b) 30º c) 35º d) 40º e) 45º M x 31. un círculo de 5 cm de diámetro se traza desde un punto una tangente y una secante que pasa por el centro como lo indica la figura. Si la cuerda mide 4 cm y mide 4 cm. alcular la tangente. a) 3 cm b) 6 cm c) 7 cm d) 8 cm e) 9 cm 32. n la semicircunferencia de centro, = 40º y //, entonces el vale: a) 10º b) 15º c) 20º d) 30º e) 45º 33. n la figura, es el centro de la circunferencia. Si // RT y = 94º; la medida del ángulo α es: α 4 5 N β a) 47º b) 94º c) 123º d) 133º e) 152º - 8 -

9 La ircunferencia y el círculo 34. = 16; = ; entonces T es : 4 a) 8 b) 4 48 c) 4 3 d) 8 3 e) = diámetro = 12; = 2; = 5; =? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n la misma figura anterior: = 8; = 6; = 12; =? a) 17 b) 9 c) 15 d) 10 e) triangulo inscrito en la circunferencia de centro, tangente a la circunferencia en. ntonces siempre se cumple: I) α + β = 90º II) β α = 25º III) = a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Solo II y III e) I, II y III 38. = 10 ; = 8; = 9, entonces la medida del segmento =? a) 16 b) 10 c) 7 d) 8 e) n la figura, es un punto exterior; = y arco = 2 arco, entonces el ángulo x, mide: a) 24º b) 36º c) 48º d) 54º e) tro valor 40. MN es diámetro de la circunferencia. uánto mide el radio? a) 7 b) 8 c) 10 d) 11 e) uál es la medida del diámetro MN, si M = 40 ; T = 60 y es centro? a) 36 b) 40 c) 45 d) 50 e)

10 La ircunferencia y el círculo 42. = 2 = 12cm; = 4cm, entonces la medida del segmento =? a) 16 b) 10 c) 7 d) 8 e) N n el Δ T ; T tangente a la circunferencia en T; T = r y centro de la de radio r. ntonces el valor del ángulo x es: a) α b) 2α / 5 c) α / 2 d) 2α / 3 e) 45º α / Si los puntos, Q, R y S pertenecen a la circunferencia, entonces la medida del ángulo x es: a) 55º b) 54º c) 33º d) 27º e) 20º 45. y son diámetros. ntonces el valor del ángulo x es: a) α / 2 b) α / 3 c) α 90º α + 90º d) 2 e) 180 º α 46. es diámetro de la circunferencia de radio 3 cm. Si = 8cm, entonces =? a) 6 cm b) 4,8 cm c) 6,4 cm d) 3 cm e) 3,6 cm 47. l triángulo está inscrito en la circunferencia de centro. si es un diámetro, entonces el ángulo x, mide: a) α b) β c) ( α + β ) / 2 d) 90 º α e) 90 º β 48. y son tangentes a la circunferencia de centro, cuánto mide el ángulo x? a) 30º b) 65º c) 130º d) 135º e) N centro de las circunferencia. =6, =8 cuánto mide el radio de la circunferencia? a) 20 b) 5 c) 10 d)

11 La ircunferencia y el círculo 50. α = 40º, cuanto mide x? a) α b) 2 α c) 180º 2α d) 90º 2α e) N Los ángulos 1, 2 y 3 son congruentes en los trazos. F, G y son alturas y bisectrices cada una de ellas. ntonces, x mide: a) 30 1 b) 45 c) 60 d) 90 2 x e) Falta información F 3 G 52. Si α es el doble de β entonces sus medidas son respectivamente: ) 80 y 40 ) 60 y 30 ) 40 y 20 ) 20 y 10 ) tros ángulos 30 o α 40 o 50 o β 53. uál debe ser la longitud del trazo F si y Q son puntos medios? ( trapecio) a) 7,5 b) 8 c) 2,5 d) 3,5 e) N.. F 5 10 Q 54. Sea, y bisectrices de los ángulos interiores del triángulo ; además = =, y < = 30º, de las siguientes afirmaciones es FLS: I. Triángulo es equilátero. II. Los triángulos que tienen como vértice el punto son isósceles. III. Todos los triángulos que se observan son acutángulos. IV. = = a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo IV e) N n la figura es el centro de la circunferencia, además arco() : arco() = 2:3, entonces x=? a) 60 b) 40 c) 100 d) 80. F 80 x 56. n la figura, si todas las líneas son paralelas, el máximo de paralelogramos es: a) 2 T R b) 6 c) 5 d) 8 e) 9 Q S 57. Si el trazo F = G y el ángulo FG vale 60, el triángulo de la figura es: a) Isósceles b) quilátero c) scaleno d) cutángulo e) y F 60 G

12 La ircunferencia y el círculo 58. n la figura =72. Si rco() = rco(f), entonces cuánto vale x + y? a) 94 b) 86 c) 188 d) 172 e) 36 y x 50 o F 59. n la circunferencia de centro, al arco() = 1 5 de la circunferencia, cuánto mide el arco()? a) 72 b) 96 c) 120 d) 168 e) N n la figura, circunferencia de centro y radio r. triángulo equilátero, si, Q, T son tangentes a la circunferencia en, y respectivamente, entonces α + β + γ =? a) 360 b) 180 c) 90 d) 60 e) 45 Q β α + γ T SLUINS