RESUMEN TEÓRICO. 8 Colaterales externos: 2 y 7, 1 y 8. Son suplementarios

Transcripción

1 RSUMN TÓRI Águlos * Águlos opleetrios so dos águlos uy su vle u águlo reto. * Águlos supleetrios so dos águlos uy su vle u águlo llo. * Águlos dyetes (1ª figur) so dos águlos oseutivos uyos ldos o oues está liedos: y ; so supleetrios. Ls isetries de dos águlos dyetes so perpediulres. * Águlos opuestos por el vértie (ª figur) so los águlos o dyetes fordos por dos rets que se ort (ª figur): y, y ; so igules. * Prlels ortds por u sete, udo dos rets prlels se ort por u sete, se for oho águlos, que reie los siguietes ores: orrespodietes: 1 y 5, y 6, 4 y 8, 3 y 7. So igules. 1 lteros iteros: 3 y 5, 4 y 6. So igules. 3 4 lteros exteros: 1 y 7, y 8. So igules olterles iteros: 3 y 6, 4 y 5. So supleetrios. 8 olterles exteros: y 7, 1 y 8. So supleetrios 1 4 * Águlos de ldos prlelos. os águlos que tiee sus ldos respetivete prlelos so igules si los dos so gudos o los dos otusos, y supleetrios si uo es gudo y otro otuso. * Águlos de ldos perpediulres. os águlos que tiee sus ldos respetivete perpediulres so igules si los dos so gudos o los dos otusos, y supleetrios si uo es gudo y otro otuso. 1

2 Triágulos * Meditries de u triágulo so ls editries de sus ldos. Ls editries de u triágulo se ort e u puto que equidist de los tres vérties. s el etro de l iruferei irusrit l triágulo y se ll iruetro. * Medis de u triágulo so los segetos que ue d vértie o el puto edio del ldo opuesto. Ls tres edis de u triágulo se ort e u puto G, lldo rietro. ' G ' l rietro divide d edi es dos segetos tles que G'= 1 G, G'= 1 G, G'= 1 G ' * lturs de u triágulo so ls perpediulres trzds desde d vértie l ldo opuesto. ' Ls tres lturs se ort e e puto, lldo ortoetro. * isetries iteriores (exteriores) de u triágulo so ls isetries de sus águlos iteriores (exteriores). Ls tres isetries iteriores se ort e u puto I, lldo ietro, que es el etro de l iruferei isrit. Ls isetries de dos águlos exteriores y l del águlo ' G ' iterior o dyete se ort e u puto, lldo exietro. y tres exietros. I ' * Iguldd de triágulos. os triágulos so igules si tiee respetivete igules: 1. os ldos y el águlo opredido.. U ldo y dos águlos. 3. Los tres ldos. os triágulos retágulos so igules si tiee respetivete igules: 1. L hipoteus y u águlo gudo.. U teto y u águlo gudo. 3. L hipoteus y u teto. 4. Los dos tetos.

3 h * todo triágulo, ldos igules se opoe águlos igules, y águlos igules se opoe ldos igules; yor ldo se opoe yor águlo, y yor águlo se opoe yor ldo. * U ldo ulquier de u triágulo es eor que l su de los otros dos y yor que su diferei. * L su de los águlos iteriores de u triágulo es igul dos retos. * todo triágulo u águlo exterior es igul l su de los dos iteriores o dyetes. * L su de los águlos exteriores de u triágulo es igul utro retos. * todo triágulo retágulo los águlos gudos so opleetrios. * d águlo de u triágulo equilátero es igul 60º. * l segeto que ue los putos edios de dos ldos de u triágulo es prlelo l terer ldo e igul su itd. * L edi orrespodiete l hipoteus de u triágulo retágulo es igul l itd de l hipoteus. * todo triágulo retágulo I h - Teore de l ltur: l ltur orrespodiete l hipoteus es edi proporiol etre los segetos que su pie deteri sore l hipoteus : h = h h = - Teore del teto: ulquier teto es edi proporiol etre l hipoteus y l proyeió del teto sore l hipoteus : = = = = - Teore de Pitágors: el udrdo de l hipoteus es igul l su de los udrdos de los tetos: = +. * todo triágulo: - l udrdo del ldo opuesto u águlo gudo es igul l su de los udrdos de los otros dos, eos el dole de uo de ellos por l proyeió del otro sore él (1ª figur). = + 3

4 - l udrdo del ldo opuesto u águlo otuso es igul l su de los udrdos de los otros dos, ás el dole de uo de ellos por l proyeió del otro sore él (ª figur). = + + * todo triágulo: - L isetriz de u águlo iterior (1ª figur) divide l ldo opuesto e dos segetos ditivos proporioles los ldos que for el águlo: =. - L isetriz de u águlo exterior (ª figur) divide l ldo opuesto e dos segetos sus- trtivos proporioles los ldos que for el águlo: udriláteros =. * L su de los águlos iteriores de u udrilátero vle utro retos. * L su de los águlos exteriores de u udrilátero vle utro retos. * Los udriláteros se lsifi e: - Prlelogro: udrilátero que tiee dos pres de ldos prlelos. - Trpeio: udrilátero que tiee u pr de ldos prlelos. - Trpezoide: udrilátero que o tiee ldos prlelos. * Propieddes de los prlelogros: - Los ldos opuestos so igules. - Los águlos opuestos so igules. - Los águlos otiguos so supleetrios. - d digol lo divide e dos triágulos igules. 1 - Ls digoles se ort e su puto edio l puto de iterseió de ls digoles es etro de sietrí. 6 5 * Prlelogros espeiles: Retágulo es el prlelogro que tiee los águlos retos (equiágulo) Ls digoles so igules. - Ls editries de los ldos so ejes de sietrí. 4

5 Roo es el prlelogro que tiee sus ldos igules (equilátero). - Ls digoles so perpediulres. - Ls digoles so isetries de los águlos. - Ls digoles so ejes de sietrí. - udrdo es el prlelogro que tiee los águlos retos, oo el retágulo, y los ldos igules, oo el roo (equilátero y equiágulo, por tto regulr). Tiee tods ls propieddes del retágulo y del roo. * Trpeio es el udrilátero que tiee sólo u pr de ldos prlelos (ses). trpeio t. isóseles t. retágulo - Trpeio isóseles es el que tiee igules los ldos o prlelos. - Trpeio retágulo es el que tiee dos águlos retos. - l segeto que ue los putos edios de los ldos o prlelo es prlelo ls ses e igul l seisu de ésts (prlel edi). iruferei * u iruferei o e irufereis igules: - ros igules deteri águlos etrles igules. - uerds igules sutiede ros igules. - ros igules sutiede uerds igules. - uerds igules equidist del etro. - Ls uerds equidisttes del etro so igules. * U diáetro perpediulr u uerd ise ést y sus ros orrespodietes. * L editriz de u uerd ps por el etro de l iruferei. * Tod ret tgete u iruferei es perpediulr l rdio que ps por el puto de tgei. * Los segetos de tgetes trzds desde u puto exterior u iruferei so igules. * L ret que ue el etro de u iruferei o u puto exterior es isetriz del á- 5

6 gulo que for ls tgetes trzds desde ese puto. * Águlo etrl e u iruferei es el que tiee el vértie e el etro. Su edid es igul l del ro que r sus ldos. * Águlo isrito e u iruferei es el que tiee su vértie e l iruferei y sus ldos so setes. retágulo L edid del águlo isrito es l itd del ro que r sus ldos: ág = 1 r * u iruferei o e irufereis igules: - águlos isritos igules r ros igules - los águlos isritos que r ros igules so igules. * Todo águlo isrito e u seiiruferei es reto. * Los águlos opuestos de u udrilátero isrito e u iruferei so supleetrios. * ro pz de u águlo sore u segeto ddo es el lugr geoétrio de los putos desde los ules se ve ese segeto jo u águlo igul l ddo. esde los putos y se ve el segeto jo el iso águlo. ' G * Águlo seiisrito es el que tiee el vértie e l iruferei, uo ' de los ldos es tgete y el otro sete. L edid del águlo seiisrito es l itd del ro que r sus ldos: ág = 1 ' r G ' * Águlo iterior es el fordo por dos setes que se ort e u puto iterior. L edid del águlo iterior es l seisu de los ros que r los ldos del águlo y su opuesto por el vértie: ág = 1 r + r * Águlo exterior es el que tiee su vértie fuer de l iruferei y sus ldos so dos setes, o u sete y u tgete, o dos tgetes. 6

7 ' I L edid de u águlo exterior es igul l seidiferei de los ros rdos: ág = 1 (r r ) * Si desde u I puto se trz setes u iruferei, h el produto de ls distis de diho puto los de iterseió de d sete es u ostte. ste produto se ll potei del puto respeto de l iruferei. P P P = P P = d r siedo d l disti del puto l etro de l iruferei y r el rdio de ést. * Si el puto es exterior, l potei es tié el udrdo del segeto de tgete opredido etre el puto y el puto de otto. * je rdil de dos irufereis es el lugr geoétrio de los putos del plo que tiee igul potei respeto de s irufereis. s u ret perpediulr l que ue los e- I tros. * etro rdil de tres irufereis es el puto que tiee igul potei respeto de ls tres irufereis. h * Si dos rets se ort por u siste de prlels, los segetos deteridos por los putos de iterseió sore u de ells so proporioles los deteridos por los putos o- rrespodietes e l otr (teore de Thles). ' ' '' = '' = '' ' * Triágulos seejtes so los que tiee sus águlos respetivete igules y sus ldos hoólogos (opuestos águlos igules) proporioles. 0,6 ' * os triágulos so seejtes si: ' ' = ' = ' =' '' = '' = '' - os águlos de uo de ellos so igules sus orrespodietes e el otro. ' 7

8 - U águlo de uo es igul u águlo del otro y los ldos que los for so proporioles. - Los ldos hoólogos so proporioles. * Tod ret prlel uo de los ldos de u triágulo deteri u triágulo seejte l ddo. * Los segetos hoólogos de triágulos seejtes so proporioles. * os polígoos so seejtes si puede desopoerse e el iso úero de triágulos seejtes y seejteete dispuestos. * L rzó de los períetros de dos figurs seejtes es igul l rzó de seejz. Polígoos * L su de los águlos iteriores de u polígoo de ldos es águlos llos. * L su de los águlos exteriores es igul utro retos. * l úero de digoles de u polígoo de ldos es ( 3). * Polígoo regulr es el que tiee igules los ldos (equilátero) y los águlos (equiágulo). * todo polígoo regulr se le puede irusriir u iruferei. * pote de u polígoo regulr es el segeto que ue el etro o el puto edio de u ldo. * todo polígoo regulr se puede isriir u iruferei. * l águlo etrl de u polígoo regulr es supleeto del águlo iterior. * l ldo del triágulo equilátero isrito e u iruferei de rdio r vle r 3. * l ldo del hexágoo regulr es igul l rdio de l iruferei e que está isrito. * l ldo del udrdo isrito e u iruferei de rdio r vle r. Áres * l áre del retágulo es igul l produto de l se por l ltur. * l áre del udrdo es igul l udrdo del ldo. * l áre de u prlelogro es igul l produto de l se por l ltur. * l áre de u triágulo es igul : - L itd del produto de l se por l ltur. - l seiperíetro por el rdio del írulo isrito. - p(p )(p )( p ), siedo,, ls logitudes de los ldos y p el seiperíetro. * U edi divide l triágulo e dos triágulos equivletes. * l áre del trpeio es igul l produto de l seisu de ls ses por l ltur, o l pro- 8

9 duto de l prlel edi por l ltur. * l áre del roo es igul l seiproduto de ls digoles. * l áre de u polígoo regulr es igul l produto del seiperíetro por l pote. * l áre de u írulo es igul l produto de π por el udrdo del rdio. * l áre de u setor irulr de grdos e u iruferei de rdio r es igul πr 360, o tié l seiproduto del rdio por l logitud del ro. * L rzó de ls áres de dos polígoos seejtes es igul l udrdo de l rzó de seejz. Trsforioes geoétris * Trslió de vetor v : todo puto del plo soi el puto tl que ' = v. - l produto de dos trslioes es otr trslió de vetor su de los vetores de quells. *Giro o rotió de etro y plitud : todo puto soi el puto tl que =' y ág ' =. - l produto de dos giros del iso etro es otro giro del iso etro y plitud su de ls plitudes de quellos. * Sietrí de etro : todo puto soi el puto, tl que es el puto edio del segeto.. - l produto de dos sietrís etrles es u trslió. * Sietrí de eje r: todo puto soi el puto tl que r es l editriz del segeto - l produto de dos sietrís de ejes prlelos es u trslió. - l produto de dos sietrís de ejes ourretes es u giro. * Ls trslioes, los giros y ls sietrís etrles so igulddes direts (oserv ls distis, los águlos y el setido de éstos); ls sietrís xiles so igulddes iverss (ivierte el setido de los águlos). * ootei de etro y rzó h: d puto soi el, liedo o y, tl que ' = h. - l produto de dos hooteis del iso etro es otr hootei del iso etro y rzó el produto de ls rzoes de quells. 9