CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. POTENCIA, EJERADICAL

Transcripción

1 TEM NSTRUINES GEMÉTRIS ÁSIS. ÁNGULS EN L IRUNFERENI. TENI, EJERIL - INTRUIÓN NET E LUGR GEMÉTRI.Histori de l Geometrí (Los elementos de Eulides).onepto de Lugr geométrio -LSES E MEIS E MUNIIÓN. Segmentos: opi, sum, rest y meditriz. erpendiulridd. rlelismo.. Rets ntirlels. Ángulos: opi, sum, rest y isetriz.5 Ángulos espeiles.6 ro pz.7 L irunfereni.7. onstruión ddos tres puntos.7. Retifiión.8 roporionlidd iret.8. urt roporionl.8. Terer roporionl.8. Medi roporionl.8. Teorem de Thles -ÁNGULS EN L IRUNFERENI -TENI Y EJE RIL. Eje Rdil.. irunferenis Sentes.. irunferenis Exteriores.. irunferenis Tngentes (exteriores/interiores).. irunferenis interiores. irunferenis oxiles. entro Rdil TEM (posiiones rof de Seundri, Esp. iujo) NSTRUINES GEMÉTRIS ÁSIS. ÁNGULS EN L IRUNFERENI. TENI, EJE RIL

2 INTRUIÓN L GEMETRI LN L geometrí, del griego geo (tierr) y métri (medid), es un rm de l mtemáti que se oup del estudio y ls propieddes de ls figurs geométris en el plno.tiene pliiónes prátis multitud de disiplins. Es un de ls más ntigus ienis. Iniilmente, onstituí un uerpo de onoimientos prátios en relión on ls longitudes, áres y volúmenes. Y en el ntiguo Egipto est muy desrrolld, se emple pr dividir y prelr ls tierrs de ultivo orills del nilo o pr onstruir edifiios emplendo el ángulo reto. r ello es onoido el "triángulo egipio": on un uerd divid on nudos en prtes onstruín un triángulo retángulo que les propordion los 90º.itgors, siglo VI.., onoedor de l ultur y onoimientos egipios fundó un set que se dedió l estudio de l los números y l geometrí. polonio (siglo II..) estudió en profundidd ls tngenis y ls urvs ónis. INTRUIÓN L GEMETRI LN Eulides fue un mtemátio y geómetr griego, que vivió lrededor del 00.. Se le onoe omo "El dre de l I. II. Geometrí". En su or "Los elementos" se present de mner forml, prtiendo únimente de ino postuldos, el estudio de ls III. IV. propieddes de línes y plnos, írulos y esfers, triángulos y onos, et.; es deir, de ls forms regulres. - or dos puntos diferentes sólo se puede trzr un líne ret. - Todo segmento retilíneo se puede prolongr indefinidmente. V. V'. - on un entro y un rdio ddo sólo se puede trzr un irunfereni. - Todos los ángulos retos son igules. 5- Si un ret ort otrs dos formndo un ldo ángulos +<80º internos, y l sum de estos es menor que dos retos, ls dos rets prolongds indefinidmente se enontrrán de ese ldo. prinipios del siglo XIX, de modo independiente, Guss, Lohevsky, János olyi y Ferdinnd Shweikrd logrron onstruir l geometrí hiperóli, prtir del intento de negr el quinto postuldo de Eulides y trtr de otener un ontrdiión. En lugr de otener un ontrdiión lo que otuvieron fue un urios geometrí en l que los tres ángulos de un triángulo sumn menos de 80º sexgesimles (en l geometrí eulíde los ángulos de ulquier triángulo sumn siempre extmente 80º). INTRUIÓN L GEMETRI LN NET E LUGR GEMÉTRI

3 r relizr operiones on segmentos se suele empler siempre el ompás pr tomr medids, opirls o trsldrls. Tmién se h de empler un regl que puede estr grdud o no, y que el ompás será l herrmient on l que se mide. I E UN SEGMENT: do el segmento, opirlo on l mism mgnitud. º- Trzmos un semiret desde un punto '. º- Tommos l medid on el ompás. º- Trsldmos l distni sore l semiret que hemos trzdo. on l medid tomd nteriormente on el ompás hremos entro en el punto ' de l semiret y l mrremos oteniendo '. º- Finlmente psmos tint el resultdo (IMRTNTE). ' ' ' ' ' ' SUM E SEGMENTS: dos los segmento, y EF, sumrlos gráfimente. º- Trzmos un semiret desde un punto '. º- Tommos l medid on el ompás y l opimos en l semiret, prtir de ', oteniendo '. (opir el segmento ) º- prtir de ' repetimos l operión on el siguiente segmento sumr (). º- En este so tenemos tres segmentos pr sumr, repetimos on el último. 5º- L soluión es l totlidd d elos segmentos opidos uno detrás de otro, es deir, 'F'. smos tint l soluión (IMRTNTE). E F E F E F E F ' ' ' ' ' ' 5 E F E F ' '' ' E' F' ' '' ' E' F' REST E SEGMENTS: -,restrlos gráfimente. º- Trzmos un semiret desde un punto '. º- Tommos l medid, el myor, on el ompás y l opimos en l semiret, prtir de ', oteniendo '. (opir el segmento ) º- prtir de ', de nuevo, repetimos l operión on el segmento. Es deir, opiremos el segmento menor dentro del myor que y hemos opido. º- L difereni entre los dos segmentos (distni de ' ') es l soluión. L psmos tint. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' periones on segmentos: opi, sum y rest

4 Meditriz de un segmento: do un segmento, hllr l meditriz. L meditriz de un segmento es un ret perpendiulr este por su punto medio. Tmién se puede definir omo "el lugr geométrio de los puntos del plno que equidistn de los extremos de un segmento" roedimiento: º- Se trzn dos ros de igul rádio on entro en mos extremos y. Se otienen sí los puntos y donde mos ros se ortn. º- Se unen los puntos y pr otener l meditriz. º- Se ps el resultdo tint. erpendiulr un segmento o semiret por un extremo: do un segmento, trzr l perpendiulr por el punto. º-on entro en se trz un ro (si un semiirunfereni) que ort l segmento en el punto. º-on entro en el punto se trz otro ro on el mismo rdio que ort l nterior ro en el punto. º-on entro en el punto y mismo rdio se trz otro ro que ort l primero en el punto. º-on entro en el punto trzmos otro ro, de mismo rdio, que ort l último en el punto. 5º-Se une el punto on el punto. smos tint l ret. 5 erpendiulr un ret por un punto exterior ell: º-on entro en se trz un ro de irunfereni que orte l ret en dos puntos: y. º-on entro en los puntos y, se trzn dos ros de rdio myor l mitd de l distni entre ellos.onde mos ros se ortn otenemos el punto. º-Se une el punto y el punto. erpendiulridd on regl y ompás

5 rlel un ret por un punto exterior, dos métodos: MET º- Se elige un punto X entrdo en l ret omo entro y se trz un semiirunfenerni de rdio X que l ort en dos puntos: y. º- on entro en el punto se tom el rdio y desde el punto se trz un ro que ort l primero en el punto. º- Seune el punto on. X X X MET º- on entro en se trz un ro que ort l ret en el punto º- on entro en el punto e igul rdio se trz un ro que ps por el punto y ort l ret en el punto. º- on el omps se mide l distni y se opi sore el otro ro desde el punto oteniendo sí el punto. º- Se une el punto on. rlel un ret un distni dd (d) : d L distni entre un ret y otr es l medid que se tom sore un ret perpendiulr ms. Si tenemos un ret (r), y un ret prependiulr (s), ulquier ret perpendiulr (p) (s) será prlel (r). p s p' r or lo tnto podemos empler ulquier de los metodos de "perpendiulridd" pr resolver este prolem. l dereh te mostrmos dos de ellos. d d rlelismo on regl y ompás

6 ÁNGUL INSRIT ÁNGUL: Es l porión de plno omprendid entre dos semirets llmds ldos que prten de un punto en omún llmdo vértie. UNIES E MEI: Existen vris uniddes pr medir los ángulos: - Rdines: un irunfereni enter mide rdines. - Grdos entesimles: Un irunfereni enter mide 00 g. - Grdos sexgesimles: Un irunfereni enter mide 60º. Generlmente en geometrí se emplen los grdos sexgesimles. TIS E ÁNGULS SEGÚN SU MGNITU Llno tuso Reto gudo = 80º + de 90º = 90º - de 90º ónvo - de80º y + de 0º 80º 00 g rd /rd 70º 00 g 90º 00 g /rd rd 60º 00 g onvexo + de 80º y - de 60º RELINES NGULRES Reliones ngulres SEGÚN SU SIIÓN Ángulos dyentes: Son quellos que omprten un ldo y el vértie, pero no tienen ningún punto en omún. Ángulos onseutivos: Son los que omprten un vértie y un ldo (se superponen). Ángulos puestos: Son los formdos por semirets opuests. YENTES NSEUTIVS UESTS Reliones ngulres SEGÚN SU MGNITU Ángulos omplementrios: Son quellos que sumn 90º Ángulos Suplementrios: Son los que sumn 80º. Ángulos onjugdos: Son los que sumn 60º. YENTES (no tienen por qué serlo) MLEMENTRIS SULEMENTRIS ÁNGULS EN LS LÍGNS Ángulo Interior (o interno):es el formdo, dentro del polígono, por los ldos dyentes o onseutivos. Ángulo Exterior(o externo):es el formdo, fuer del polígono por un ldo y l prolongión del dyente o onseutivo. ÁNGULS EN L IRUNFERENI Ángulo entrl:es el que tiene su vértie en el entro de l irunfereni y sus ldos l ortn en dos puntos. Su mplitud es igul l del ro que r Ángulo Insrito: Es quel que tiene su vértie en l irunfereni y sus ldos l ortn en dos ptos. Su mplitud es igul l mitd del ro que r Ángulo Semi-insrito: Su vértie está en l irunfereni, uno de sus ldos es tngente ell, siendo el vértie el pto. de tngeni, el otro ldo l ort. Su mplitud es l mitd de l del ro que r Ángulo interior: Su vértie está dentro de l irunfereni. Su mplitud es igul l sum de l mplitud del ro que rn sus ldos más l plitud del ro que rn sus prolongiones Ángulo Exterior: Su vértie está fuer de l irunfereni. Su mplitud es l mitd de l difereni de los dos ros que rn sus ldos sore dih irunfereni. ÁNGUL INTERIR ÁNGUL ENTRL ÁNGUL SEMI-INSRIT Ángulos, oneptos teoríos ÁNGUL EXTERIR

7 I E ÁNGULS N MÁS Y REGL: ddo un ángulo () trzr otro ángulo (') igul. º- Se trz un segmento o semiret y se indi v' que será el vertie del nuevo ángulo opido. º- on entro en el punto v se trz un ro de rdio ulquier que ort los ldos de este en los puntos y. on entro en v' se trz un ro de igul rádio que ortrá l ldo y diujdo en el punto '. º- esde el punto del ángulo ddo, se mide on el omps l distni desde hst. En el nuevo ángulo opido on entro en ' se trz un ro que orte l nterior oteniendo ' º- Se une v' on '. v v v v ' ' v' ' v' ' ' SUM E ÁNGULS N MÁS Y REGL: ddos los ángulos () y () trzr otro ángulo () = (+) Se trt de opir un ángulo enim del otro, omprtiendo mos un ldo que finlmente no será prte del resultdo. º- Se trz un segmento o semiret y se indi v' que será el vertie del nuevo ángulo resultdo +. º- on entros en los puntos (v) y (v), se trz un ro de rdio ulquier pero igul, que ort mos ldos de los ángulos en los ptos y. on entro en v' se trz un ro de igul rádio que ortrá l ldo y diujdo en el punto '. º- esde el punto, se mide on el ompás l distni desde -, oloándol en el resultdo desde ', oteniendo sí el pto. '. º- Se mide, on ompás, l distni -.esde ' trzmos un ro de rdio - pr otener '. 5º- Se une v' on '. v' ' ' 5 v' ' ' v v v v v v ' ' ' ' v' ' v' ' v' ' REST E ÁNGULS N MÁS Y REGL: ddos los ángulos () y () trzr otro ángulo () = (-) Se trt de opir el ángulo menor dento del myor, omprtiendo mos un ldo que finlmente no será prte del resultdo. º- Se trz un segmento o semiret y se indi v' que será el vertie del nuevo ángulo resultdo -. º- on entros en los puntos (v) y (v), se trz un ro de rdio ulquier pero igul, que ort mos ldos de los ángulos en los ptos. on entro en v' se trz un ro de igul rádio que ortrá l ldo y diujdo en el punto '. º- esde el punto, se mide on el ompás l distni desde -, oloándol en el resultdo desde ', oteniendo sí el pto. '. º- Se mide, on ompás, l distni -.esde ' trzmos un ro, situdo entre ' y ', de rdio - pr otener '. 5º- Se une v' on '. 5 v v v' ' v v ' ' v' ' v v ' ' v' ' periones ásis on Ángulos: I SUM Y REST

8 ISETRIZ E UN ÁNGUL: Es l semiret que divide un ángulo en dos prtes igules psndo por el vértie. Todos los puntos de l isetriz equidistn (están l mism distni)de los ldos del ángulo. L isetriz es el lugr geométrio de los puntos de un plno que equidistn de los ldos de un ángulo. TRZ E L ISETRIZ: do un ngulo, trzr su isetriz. º- on entro en el vértie y un rdio ulquier (sufiientemente mplio) se trz un ro que ort mos ldos del ángulo en los puntos y. º- on entros en los puntos y dos se trzn dos ros de igul rdio (myor l mitd de l distni entre y ) que se ortán en el punto. º- Se une el punto on el vértie del ángulo ddo. TRZ E L ISETRIZ E UN ÁNGUL EL QUE SE ESNE EL VÉRTIE: ds dos rets, no prlels: r y s, trzr su isetriz. Existen dos métodos pr resolver este prolem. MET : Ret que ort mos ldos del ángulo. º- Se trz un ret que ort mos ldos del ángulo en los puntos y. e este modo, y se onvierten en vérties de ángulos:, y d º- Se trzn ls isetries de los ngulos,, y d. Ls isetries se ortn en dos puntos: y º- Se une el punto on el. r d s MÉT : omprimir el ángulo pr otener el vértie. º- Se trzn dos rets prlels ls rets r y s, ms l mism distni de ls originles. sí otenemos un nuevo ángulo del que si vemos su vértie. º- Se trz l isetriz del nuevo ngulo. periones ásis on Ángulos: ISETRIZ

9 NSTRUIÓN E L ISETRIZ E UN ÁNGUL MIXTILÍNE. Un ángulo mixtilineo es quel on un ldo reto y un ldo urvo. tos: Ret y ro S de entro en. Inógnit: Line urv no irulr que ps por ', ' y '. roedimiento: º- Se trzn l perpendiulr l ret y se divide en n número de prtes igules señlndo los puntos,, por los ules se psrán prlels l ret. º- on entro en, se trz un rdio ulquier M y se prolong. º- prtir de S se llevn n número de divisiones igules ls nteriores,, por uyos puntos se trzn ros onéntrios l ddo. º- Los ros se ruzrn on ls prlels nteriores, determinndo los puntos ', ' y ', que unidos por un line urv no irulr, será l isetriz pedid. S M M ' ' ' M S S S S NSTRUIÓN E L ISETRIZ E UN ÁNGUL URVILÍNE. Un ángulo urvilineo es quel on dos ldos urvos. tos: ro de entro y ro de entro en. Inógnit: Line urv no irulr que ps por ', ' y '. roedimiento: º- esde se trz el rdio prolongndolo, dividiendo l prolongión en un número de prtes igules señlndo los puntos,, por los ules se psrán ros onéntrios l ret. º- on entro en, se trz un rdio ulquier y se prolong, prtir de se llevn un número de divisiones igules ls nteriores,, por uyos puntos se trzn ros onéntrios l ddo. º- Los ros se ruzrn on ls prlels nteriores, determinndo los puntos ', ' y ', que unidos por un line urv no irulr, será l isetriz pedid. ' ' ' Ángulos Espeiles: ISETRIZ

10 R Z: Es el lugr geométrio de los puntos del plno que ven los extremos de un segmento on l mism mgnitud ngulr. ro pz de 60º del seg. NSTRUIÓN: Hllr el ro pz de los ángulos de º del segmento ddo: º- Trzmos l meditriz del segmento ddo º- opimos el ángulo prtir on tomándo omo vértie un extremo del segmento. Lo opiremos en l prte posterior l segmento (hi jo, omo indi el diujo). º- Se trz el ángulo omplementrio l del enunido en l prte superior (90º-). º- El entro del ro pz se enuentr en l interseión entre el ldo del ángulo omplementrio y l meditriz del segmento ddo. on entro en diho punto y rdio hst los extremos del segmento trzmos el ro. 90º El plntemiento de l onstruión del ro pz está reliondo on los oneptos de ángulo entrl y ángulo insrito de l irunfereni. EL ÁNGUL INSRIT SIEMRE ES L MIT EL ÁNGUL ENTRL. ro pz de 60º del seg. ro pz de 90º del seg. es l irunfereni on entro pto. medio ro pz de 90º, l irunfereni,se emple en prolems de tngenis 90º 90º esde el ro (x) se ven los fros y on un mgnitud ngulr de 5º y los fros y on un mgnitud ngulr de 75º. ónde se enuentr el ro (x)? onoido el ldo, y l ltur h=0 mm trzr los dos posiles triángulos uyos vétries popuestos l ldo miden 5º. 0 mm x x r resolver este prolem hemos trzdo el ro pz de 5º del segmento y el ro pz de 70º del segmento TR E LS USS ÁSIS EL R Z ES L RESLUIÓN E RLEMS E TRIÁNGULS En este so h heho flt empler dos lugres geométrios: L prlel 0 mm de l se y el R Z de 5º. r este prolem existen dos soluiones. R Z

11 TEREM E THLES E MILET Tod ret prlel un ldo de un triángulo que ort los otros dos ldos, determin otro triángulo semejnte l triángulo iniil. /''=/'=/' ' ' Si se ortn dos rets onurrentes on un hz de rets prlels, l rzón de dos segmentos ulesquier de un de ells es igul l rzón de los orrespondientes de l otr. IVISIÓN E UN SEGMENT EN n (7) prtes igules: El proedimiento es el mismo unque vrie el númenro de prtes en ls que quermos dividir el segmento. º- esde un extremodel segmento ddo trzmos un ret uxilir. No import l ertur del ángulo que est forme on el segmento ddo. º- Tommos un rdio de ompás ( no import l ertur del ompás, solo que quep tnts vees omo divisiones nos pide el prolem sore l ret uxilir) y on entro en el vértie del ángulo trzmos un mr sore l ret uxilir. º- on entro en es primer mr, y on el mismo rdio de ompás repetimos l operion hst tener tnts prtes omo nos pide el prolem en l ret uxilir. 5º- Trzmos prlels l últim ret psd. ests psn por ls divisiones que hemos trzdo sore l rt uxilir y ortn l segmento ddo den el enunido del prolem. º- Trzmos un segmento que une l ÚLTIM IVISIÓN de l ret uxilir on EL EXTREM del segmento ddo º- Los puntos de orte de ls prlels on el segmento ddo son l soluión, ls divisiones del segmento en el nº de prtes que pedí el enunido. Teorem de Thles de Mileto y su pliión práti

12 Un prolem ásio de tngenis "irunfereni que ps por tres puntos" se resuelve trzndo dos segmentos emplendo omo extremos los puntos ddos y trzndo sus dos meditries pr otener el entro de l írunfeni y sí poder trzrl. Este prinipio se puede usr l invers pr determinr el entro no visile de un irunfereni dd. Es deir, trzr dos uerds de irunfernei y hllndo sus meditries, el punto donde ms meditries se ortn es el entro. RETIFIIÓN E L IRUNFERENI En geometrí pln entendemos por "retifiión" determinr sore un line ret l longitud de l irunfereni. Tmién se retifin los ros o poriones de irunferenis. L longitud de un irunfereni se expres de form ritméti omo L= r de form ext Sin emrgo este prolem no se puede resolver gráfimente de form ext, unque existen multitud de métodos proximdos ividimos el diámetro en siete prtes igules de modo que l retifiión es tres vees el diámetro más /7 prte de este. d d d /7d Método de Mesheroni: Insriimos un Triángulo equilátero y un udrdo en l irunfereni, l retifiión orresponde on dos ldos del udrdo más dos del tiángulo insritos. L L Lt Lt Método de Kohnskyi: Trzmos un diámetro vertil.or el punto trzmos perpendiulr l diámetro. on vértie el entro de l irunfereni trzmos un ángulo de 0º que ort en l perpendiulr l diámetro.esde opimos vees el rdio de l irunfereni pr otener. es l retifii'on de l SEMIIRUNFERENI. ' RETIFIIÓN E UN R() E IRUNFERENI MENR UN URNTE º- Enontrmos el entro del ro (dos uerds y dos meditriesd) y trzmos l irunfereni omplet. º- Trzmos el diámetro. º- ividimos el rádio opuesto en utro prtes igules. º- on entro en llevmos / prtes del rdio fuer de l irunfereni sore l prolongión del diámetro. 5º- Trzmos l ret. 6º- Trzmos desde un perpendiulr l diámetro. 7º- El segmento ' es l retifiión del ro. L irunferéni: entro y retifiión

13 Segmento urto proporionl (x) otros tres (,, ) dos tres segmentos, se us otro (d) que verifique l siguiente iguldd /=/x x Támien podremos disponer los segmentos de l siguiente form pr otener l mism soluión. x Segmento terero proporionl (x) otros dos (, ) undo los medios o los extremos son igules se usrá /=/x. x Segmento medio proporionl otros dos Result omo derivión del teorem de pitágors.dos los segmentos () y () usmos otro (x) que umpl: =x. Teorem de l ltur Teorem del teto x x Seg. ureo(,) de otro(,) ivisión ure(x) de un seg. (,) x roporionlidd

14 RRINLI INVERS: oteni de un punto respeto un irunfereni Si fijmos un punto en el plno y desde este trzmos sentes un irunfereni, l interseión de ls distints sentes produirá dos puntos -', -', -'... El produto de ls distnis de los otros dos puntos es onstnte e igul l udrdo de l distni de l punto de tngeni on l irunfereni. ' ' ' '= '= '=K=T ' EMSTRIÓN T ' Si desde trzmos dos sentes ulesquier ' y ', los triángulos ' y ' son semejntes y que los ángulos en ' y ' tienen l mism mgnitud. or tnto: / = '/', de donde ' = ' = K TENI NEGTIV ' ' ' Si situmos el punto en el interior de l irunfereni el produto de ls distnis del punto los extremos de ls sentes (uerds de l irunfereni) tmién ser onstnte, pero on vlor NEGTIV. ' '= '= '= -K RELIÓN E L TENI N L MEI RRINL ' ' En est osión situmos el punto en el interior de l irunfereni y est vez trzmos un sente que pse por el entro (un diámentro) oteniendo los puntos y ' y desde trzmos un uerd prependiulr l diámetro uyos puntos de interseión son y '. e este modo deduimos: '=.' '= Teorem de l ltur oteni

15 EJE RIL E S IRUNFERENIS El Eje Rdil es el lugr geométrio de los puntos del plno que tienen l mism poteni respeto dos irunferenis. - Es un ret perpendiulr l segmento que une los dos entros de ls irunferenis. - s por el punto medio del segmento determindo por los puntos de tngeni en un ret tngente ms irunferenis. EJE RIL E S IRUNFERENIS SENTES En este so el eje rdil se enuentr definido por los dos puntos de interseión de ls irunferenis. Est irunstni nos puede yudr hllr el eje rdil de irunferenis que no son sentes trzndo un irunfereni uxilir sente ms. EJE RIL E S IRUNFERENIS EXTERIRES Hy vris forms de hllr el eje rdil en estos sos, tods ells se poyn en ls dos rterístis priniples y en el método pr hllrlo undo ls irunferenis son sentes. s t odemos trzr dos irunferenis uxilires, sentes ms irunferenis dds L primer ir. uxlir nos drá dos ejes rdiles (s) y (t) que se ortrán en el punto (). L segund otros dos (r) y (v) que se ortrán en el punto (). L ret desrit por () y () es el eje rdil de ls ir. dds. r v Es un método que se prest l impreisión. Hy que ser muy uiddoso l trzr los ejes rdiles uxilires Este método es un hírido del nterior. onsiste en únimente trzr un irunfereni uxilir que nos drá dos ejes rdiles y un punto de l ret soluión. esde diho punto trzremos un perpendiulr l ret que une los entros de ls ir. dds. l izquierd hemos trzdo ls prlels exteriores ls dos irunferenis. los segmentos omprendidos entre los puntos de tngeni les hemos trzdo ls meditries pr ompror omo, EL EJE RIL, l ret definid por los dos puntos medios es perpendiulr l segmento que une los dos entros de ls irunferenis dds. unque pued preer onfuso, los proedimientos pr trzr el eje rdil de irunferenis interiores ES EXTMENTE EL MISM. L poteni y el eje rdil se plin en prolems de inversión (trnsformión geométri) y TNGENIS. Eje Rdil

16 Hz oxil de irunferenis HZ XIL: Es el onjunto de irunferenis que omprten el mismo eje rdil, tienen sus entros linedos. HZ SENTE Es un hz oxil de irunferenis sentes que omprten los dos puntos de interseión, HZ TNGENTE: Se llm sí l hz de irunferenis que son tngentes entre sí y que omprten el punto de tngeni situdo en el eje rdil. HZ N SENTE (hz ortogonl): HZ SENTE HZ TNGENTE HZ N SENTE / HZ RTGNL Los rdios de l irunfereni entrl son l representión gráfi de l poteni del eje respeto ls irunferenis del hz. entro Rdil Llmmos entro rdil l punto que tiene l mism poteni respeto tres irunferenis. Este punto se enuentr en l interseión de los tres ejes rdiles que produen ls irunferenis dos dos. ihos rádios son perpendiulres los rdios que vn los puntos de tngeni de ls irunferenis del hz. que su vez son tngentes l irunfereni deisontinu. jo l dereh el método más rápido pr hllr el entro rdil de tres irunferenis exteriores: Trzr un irunfereni uxilir que ort ls tres irunferenis nos proporionrá, junto on los segmentos que unen los entros, los tres ejes rdiles neesrios pr uir el entro rdil. Hz oxil de irunferenis. entro Rdil

17 entro Rdil de tres irunferenis tro método pr hllr el entro rdil: onsiste en trzr dos irunferenis sentes ls tres dds. Ests porduen, on d un de ls ir. dds, dos ejes rdiles uxilires que en sus interseiones on los otros dos ejes rdiles uxilires quedn definidos los ejes rdiles neesrios pr enontrr el ENTR RIL.. Es posilemente el método más limpio y direto, unque se neesit de ierto espio en el ppel. entro Rdil