Problemas de 4 o ESO. Isaac Musat Hervás

Transcripción

1 Problemas de 4 o ESO Isaac Musat Hervás 5 de febrero de 01

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3 Índice general 1. Problemas de Álgebra Números Reales Los números Intervalos Ecuaciones Bicuadradas Números Racionales Operaciones con números racionales Ecuaciones Racionales Logaritmos Ecuaciones Logarítmicas Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas Exponenciales Ecuaciones Exponenciales: Sistemas de Ecuaciones Exponenciales: Ecuaciones Logarítmicas y Exponenciales Sistemas de Ecuaciones no Lineales Inecuaciones Inecuaciones Sistemas de Inecuaciones Polinomios Introducción Teorema del Resto Descomposición Polinómica Simplificación Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo Simplificación de expresiones racionales de polinomios Ecuaciones Polinómicas Problemas de Geometría Trigonometría Ángulos Razones Trigonométricas Resolución de Triángulos

4 4 ÍNDICE GENERAL.1.4. Aplicaciones Vectores Operciones con Vectores Distancia entre dos puntos División de un segmento Punto medio y simétrico Ángulo entre dos vectores Varios Geometría Analítica Ecuaciones de la Recta Intersección de dos rectas Distancias Ángulos Cónicas Circunferencia Elipse Hipérbola Problemas de Análisis Sucesiones Términos de una sucesión Sucesiones crecientes y acotadas: Progresiones aritméticas Progresiones geométricas Límites de sucesiones Idea intuitiva Definición Sucesiones que tienden a infinito Cálculo de Límites de sucesiones Número e Varios Funciones Concepto de función, Dominio y Recorrido Funciones definidas a trozos Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos Funciones acotadas. Funciones simétricas. Estudio gráfico de la continuidad. Puntos de corte con los ejes Operaciones con funciones. Funciones recíprocas Puntos de Corte Simetría Composición de Funciones Función Inversa Monotonía Límites de funciones

5 ÍNDICE GENERAL Límite de una función en un punto Límite de una función en el infinito Cálculo de límites de funciones racionales Continuidad Continuidad en un punto y en un intervalo Tipos de discontinuidad Continuidad y Operaciones: Problemas de Continuidad Asíntotas de una función Problemas de Límites Problemas Varios Problemas de Dominio Varios

6 6 ÍNDICE GENERAL

7 Capítulo 1 Problemas de Álgebra 1.1. Números Reales Los números Problema 1 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 7 ; 1 ; 0 ; π ;, ; 3 7 ;, es un número entero 7 Z. 1 es un número natural 1 N. 0 es un número natural 0 N. π es un número irracional., es un número racional, 3 Q. 3 7 es un número racional 3 7 Q., es un número irracional. Problema Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 1 ; 5 ; 7 ; 3 ; 7, 34 ; 5, ; 3, es un número entero 1 Z. 5 es un número racional 5 Q. 7 es un número irracional. 3 es un número natural 3 N. 7, 34 es un número racional 7, 34 Q. 5, es un número racional5, 7 Q. 3, es un número irracional. Problema 3 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 3 ; ; 4 3 ; 4, ; 4, ; 7 ; 7

8 8 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA π; 7, ; es un número natural 3 N. es un número entero Z. 4 3 es un número racional 4 3 Q. 4, es un número racional 4, Q. 4, es un número irracional. 7 es un número irracional. π es un número irracional. 7, es un número racional 7, Q + 5 es un número irracional. Problema 4 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 3 ; ; 4 3 ; 4, ; 4, ; 5 ; π; + 3 ; 7, es un número entero 3 Z. es un número natural N. 4 3 es un número racional 4 3 Q. 4, es un número irracional. 4, es un número racional 4, Q.

9 1.1. NÚMEROS REALES 9 5 es un número irracional. π es un número irracional. + 3 es un número irracional. 7, es un número racional 7, Q Problema 5 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 3 4 ; ; 5 ; 0, ; 0, ; 3 ; π; 0, ; 0; es un número racional 3 4 Q. es un número irracional. 5 es un número natural 5 N. 0, es un número racional 0, Q. 0, es un número irracional. 3 es un número entero 3 Z. π es un número irracional. 0, es un número irracional. 0 es un número natural 0 N. 5 es un número racional 5 Q Problema 6 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 1 4 ; 3 ; 7 ; 0, ; 0, ; ; π; 4 0, ; 0; 5.

10 10 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 1 4 es un número racional 1 4 Q. 3 es un número irracional. 7 es un número natural 7 N. 0, es un número racional 0, Q. 0, es un número irracional. es un número entero Z. π es un número irracional. 0, es un número irracional. 0 es un número natural 0 N. 4 5 es un número racional 4 5 Q Problema 7 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 3 ; 5 ;, ; 9 4 ; 1 3 es un número natural 3 N. 5 es un número irracional., es un número racional, 15 Q. 9 4 es un número racional 9 4 Q. 1 es un número entero 1 Z. Problema 8 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 3 ; 0, 56 ; 0 ; π ; 1, ; 3 4 ; ; 7, ; 3, ; 8,

11 1.1. NÚMEROS REALES 11 3 es un número entero 3 Z. 0, 56 es un número racional 0, 56 Q. 0 es un número natural 0 N. π es un número irracional. 1, es un número irrracional. 3 4 es un número racional 3 4 Q. es un número natural N. 7, es un número racional 7, 16 Q. 3, es un número irracional. 8, es un número racional 8, 6 Q Problema 9 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 1 ; 0, 71 ; 0 ; ; 1, ; 1 7 ; ; 9, ; 3, ; 3, es un número entero 1 Z. 0, 71 es un número racional 0, 71 Q. 0 es un número natural 0 N. es un número irracional. 1, es un número irrracional. 1 7 es un número racional 1 7 Q. 15 es un número natural 15 N. 9, es un número racional 9, 6 Q. 3, es un número irracional. 3, es un número racional 3, 3 Q Problema 10 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: ; 3 ; 3 4 ; 3, ; 5, ; 3 ; π; 3, ; 1 5 ; 0 es un número natural N. 3 es un número entero 3 Z. 3 4 es un número racional 3 4 Q. 3, es un número racional 3, Q.

12 1 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 5, es un número irracional. 3 es un número irracional. π es un número irracional. 3, es un número racional 3, 3017 Q 1 5 es un número irracional. 0 es un número natural 0 N. Problema 11 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 3 ; ; 1 4 ;, ; 6, ; 5 ; π; 4, ; 1 5 ; 0 3 es un número natural 3 N. es un número entero Z. 1 4 es un número racional 1 4 Q., es un número racional, Q. 6, es un número irracional. 5 es un número irracional. π es un número irracional. 4, es un número racional 4, 307 Q 1 5 es un número irracional. 0 es un número natural 0 N.

13 1.1. NÚMEROS REALES 13 Problema 1 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 3 ;, 71 ; 0 ; 5 ; 1, ; 13 7 ; 5; 11, ; 4, ; 5, Z;, 71 Q; 0 N; 5 irracional; 1, irracional; 7 Q; 5 N; 11, Q; 4, irracional; 5, Q Problema 13 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 7 3 ;, ; π ; 9 ; 3, ; ; 0; 3, ; 9 7, ; 6, N ;, Q ; π irracional; irracional ; 7 Q ; 0 N; 3, Q; 9 7, irracional; 6, Q 9 = 3 N ; 3, Problema 14 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: ; 4,88; ; 81 ; 3, ; ; 0; 1, ; 9 7, ; 4, N; 4, Q; irracinal 81 = 9 N; 3, irracinal; 5 Q; 0 N; 1, Q; 9 7, irracinal; 4, Q Problema 15 Indica el conjunto más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: 3 6 ; 7, ; π ; 36 ; 3, ; ; 1; 1, ; 4 7, ; 9, N ; 7, Q ; π irracionales ; irracionales ; 3 Q ; 1 Z; 1, Q; 4 36 = 6 N ; 3,

14 14 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 7, irracionales; 9, Q Intervalos Problema 16 Dibuja los siguientes intervalos en la recta real: 1. x 3 < 1. x 5 3 Recuerda la definición de entorno, Ea, r) = x R : x a < r}. 1. E3, 1) = x R : x 3 < 1} = E3, 1) = 3 1, 3 + 1) =, 4).. E[5, 3] = x R : x 5 3} = E[5, 3] = [5 3, 5 + 3] = [, 8]. Problema 17 Dibuja los siguientes intervalos en la recta real: 1. x 4 <. x 1 3 Recuerda la definición de entorno, Ea, r) = x R : x a < r}. 1. E4, ) = x R : x 4 < } = E4, ) = 4, 4 + ) =, 6).. E[1, 3] = x R : x 1 3} = E[1, 3] = [1 3, 1 + 3] = [, 4]. Problema 18 Dibuja los siguientes intervalos en la recta real: 1. x R : 3 x < 7}. x R : 4 < x < 8} 3. x R : x 3} 4. x R : x < 1} 5. x R : x 3 5} 6. x R : x + 1 < } Recuerda la definición de entorno, Ea, r) = x R : x a < r}.

15 1.1. NÚMEROS REALES x R : 3 x < 7} = [ 3, 7). x R : 4 < x < 8} = 4, 8) 3. x R : x 3} = [3, + ) 4. x R : x < 1} =, 1) 5. x R : x 3 5} = [3 5, 3 + 5] = [, 8] 6. x R : x + 1 < } = 1, 1 + ) = 3, 1) Problema 19 Dibuja los siguientes intervalos en la recta real: 1. x R : x < 6}. x R : 1 < x < 9} 3. x R : x 1} 4. x R : x < 3} 5. x R : x 5} 6. x R : x + 1 < 3} Recuerda la definición de entorno, Ea, r) = x R : x a < r}. 1. x R : x < 6} = [, 6). x R : 1 < x < 9} = 1, 9) 3. x R : x 1} = [1, + ) 4. x R : x < 3} =, 3) 5. x R : x 5} = [ 5, + 5] = [ 3, 7] 6. x R : x + 1 < 3} = 1 3, 1 + 3) = 4, ) Problema 0 Dados los intevalos A = 1, 4] B =, ] y C = 1, 3), calcular A B, A C, B C y B C A B = 1, ], A C = 1, 4], B C = 1, ], B C =, 3) Problema 1 Escribe de todas las maneras que conozcas los siguientes intervalos

16 16 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 1. x R : x 8}. x R : x + 1 < 9} Recuerda la definición de entorno, Ea, r) = x R : x a < r}. 1. x R : x 8} = E, 8) = x R : 6 x 10} = [ 6, 10]. x R : x + 1 < 9} = E 1, 9) = x R : 10 < x < 8} = 10, 8) Problema Dados los intevalos A =, 4] B =, ] y C = 1, 4), calcular A B, A C, B C y B C A B =, ], A C =, 4], B C = 1, ], B C =, 4) Problema 3 Escribe de todas las maneras que conozcas los siguientes intervalos 1. x R : x 5 5}. x R : x + < 8} Recuerda la definición de entorno, Ea, r) = x R : x a < r}. 1. x R : x 5 5} = E5, 5) = [0, 10] = x R : 0 x 10}. x R : x + < 8} = E, 8) = 10, 6) = x R : 10 < x < 6} Problema 4 Dados los intevalos A = 3, 4] B = 3, ] y C = 0, 4], calcular A B, A C, B C y B C A B = 3, ], A C = 3, 4], B C = 0, ], B C = 3, 4) Problema 5 Escribe de todas las maneras que conozcas los siguientes intervalos 1. x R : x 1 7}. x R : x + 4 < 10} Recuerda la definición de entorno, Ea, r) = x R : x a < r}. 1. x R : x 1 7} = E1, 7) = [ 6, 8] = x R : 6 x 8}

17 1.1. NÚMEROS REALES 17. x R : x + 4 < 10} = E 4, 10) = 14, 6) = = x R : 14 < x < 6} Problema 6 Dados los intevalos A = 3, 7] B =, 3] y C = 0, 7), calcular A B, A C, B C y B C A B = 3, 3], A C = 3, 7], B C = 0, 3], B C =, 7) Problema 7 Escribe de todas las maneras que conozcas los siguientes intervalos 1. x R : x 1}. x R : x + 3 < 11} Recuerda la definición de entorno, Ea, r) = x R : x a < r}. 1. x R : x 1} = E, 1) = [ 10, 14] = = x R : 10 x 14}. x R : x + 3 < 11} = E 3, 11) = 14, 8) = x R : 14 < x < 8} Ecuaciones Bicuadradas Problema 8 x 4 8x 9 = 0 Hacemos z = x = z 8z 9 = 0 = z = 9 y z = 1. z = 9 = x = x = ±3 Problema 9 z = 1 = x No Vale x 4 14x 3 = 0 Hacemos z = x = z 14z 3 = 0 = z = 16 y z =. z = 16 = x = x = ±4 z = = x No Vale

18 18 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 30 x 4 80x 81 = 0 Hacemos z = x = z 80z 81 = 0 = z = 81 y z = 1. z = 81 = x = x = ±9 z = 1 = x No Vale Problema 31 x 4 x 8 = 0 Hacemos z = x = z z 8 = 0 = z = 4 y z =. z = 4 = x = x = ± z = 1 = x No Vale Problema 3 x 4 4x 5 = 0 Hacemos z = x = z 4z 5 = 0 = z = 5 y z = 1. z = 5 = x = x = ±5 z = 1 = x No Vale Problema 33 x 4 + x 0 = 0 Hacemos z = x = z + z 0 = 0 = z = 4 y z = 5. z = 4 = x = x = ± z = 5 = x No Vale

19 1.. NÚMEROS RACIONALES Números Racionales Operaciones con números racionales Problema 34 Racionalizar las siguientes expresiones: ; ; = = 3 3 = = )1 5) = ) ) = = = 5 + 5) 5 5)5 + 5) = 5 + 5) 5 5) ) = Problema 35 Racionalizar las siguientes expresiones: ; ; = = 5 5 = = )1 7) = ) ) = = = ) 7 7)7 + 7) = ) 7 7) ) = ) =

20 0 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 36 Simplifica todo lo que puedas 4 a 3 a , 3, a = 7 3, a 3 a 3 = 1 a 7, a = 6 3 Problema 37 Racionalizar las siguientes expresiones: ; 3 3, = 1 7 ; = 3 9, Problema 38 Simplifica todo lo que puedas ,, 15 3 = = 6 3, = 5 6 5, = 3 Problema 39 Racionalizar las siguientes expresiones: = 1 5 ; ; 3 3, = , Problema 40 Simplifica todo lo que puedas , , 5 3 = = 18, = 9, = 3

21 1.. NÚMEROS RACIONALES 1 Problema 41 Racionalizar las siguientes expresiones: = + 11; ; 6 7 5, = 5 3 3, Problema 4 Simplifica todo lo que puedas , 6, = = 16 3, 6 = 18, = 13 6 Problema 43 Racionalizar las siguientes expresiones: = 1 + 5; ; 3 7 3, = 7 3 5, 1... Ecuaciones Racionales Problema 44 x 1 x = = x 1 = 4+ x = x 1 = 16+x+8 x = 17 = 8 x = x = Problema 45 + x 1 = x x 1 = x = x 1 = x + 4 4x = x 5x + 5 = 0 = x = 3, 618 x = 1, 38 No Vale no vale

22 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 46 x 1 + x + 1 = 3 x 1 = 3 x + 1 = x 1 = 9+x+1 6 x + 1 = 11 = 6 x + 1 = x = Problema 47 3 x + = x x + = x 3 = x + = x + 9 6x = x 7x + 7 = 0 = x = 5, 7919 No Vale x = 1, 0871 Problema 48 x 3 + x = 4 x 3 = 4 x = x 3 = 16 + x 8 x = 19 = 8 x = x = Problema 49 x + 4 = x 1 x + 4 = x + 1 x = x 3x 3 = 0 = x = 3, 791 x = 0, 7918 No Vale Problema 50 x 1 + x = 8 x 1 = 64 + x 16x = x 18x + 65 = 0 = x = 5 x = 13 No Vale

23 1.. NÚMEROS RACIONALES 3 Problema 51 x + 1 = x 1 Problema 5 x + 1 = 1 + x x = x 3x = 0 = xx 3) = 0 x = 3 x = 0 No Vale x + 3 x = x + 3 = + x = x+3 = 4+x +4 x = x+1 = 4 x x + x + 1 = 16x + 3 = x 14x + 33 = 0 Problema 53 x = 3 x = 11 3x 5 + x = 1 3x 5 = 1 + x x = x 5x + 6 = 0 x = 3 No Vale x = No Vale Problema 54 x 8 = x + x 8 = x + 4x + 4 = x = 3 No Vale Problema 55 Halla las soluciones reales de: x x = 4 x + 6) = 4 x)

24 4 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA x + 6 = 16 + x) 8 x x 1 = 8 x x 6 = 4 x x 6) = 4 x) x x = 16 x) x + 4x + 4 = 0 = x = 4 ± Problema 56 Halla las soluciones reales de: x 1 + x = = doble x 1) = x) x 1 = 4 + x) 4 x x x 1 4 = 4 x 5 = 4 x 5) = 4 x) 5 = 16x = x = 5 16 Problema 57 Hallar las soluciones reales de: x x = 7 x x = 7 = x + 7 = 7 x = x + 7) = 7 x) = x + 7 = 49 + x 14 x = 4 = 14 x = 3 = x = x = 9 Problema 58 Hallar las soluciones reales de: x x = 3 x x = 3 = x + 6 = 3 x = x + 6) = 3 x) = x + 6 = 9 + x 6 x = 3 = 6 x = 1 = x = x = 1 4

25 1.3. LOGARITMOS 5 Problema 59 Hallar las soluciones reales de: x + 1 x 1 = 1 x + 1 x 1 = 1 = x + 1 = 1 + x 1 = x + 1 = 1 + x 1) x 1 = 1 = x 1 = x = Logaritmos Ecuaciones Logarítmicas Problema 60 Resolver las ecuaciones: 1. log x + log 50 = log log x 3 = log log x 1. log x + log 50 = log log50x) = log x = 1000 x = = 0 log x 3 = log log x 6 log x = log log x 6 log x 3 log x = log 8 3 log x = log 8 log x 3 = log 3 x 3 = 3 x = Problema 61 Resolver las ecuaciones:

26 6 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 1. 3 log x + log x = log log x = log x 1. 3 log x + log x = log 18 3 log x + 4 log x = log 18 7 log x = log 18 log x 7 = log 7 x 7 = 7 x =. 3 log x = log x 6 log x 4 log x = 4 log x = 4 log x = log x = log 10 x = 10 = 100 Problema 6 Halla las soluciones de: log3x ) = 1 + logx 1) log3x ) = log 10 + logx 1) log3x ) = log 10x 1) 3x = 10x 1) 3x 10x + 8 = 0 = x = 10 ± x = 10 ± 6 = x =, x = 4 3

27 1.3. LOGARITMOS 7 Problema 63 Halla las soluciones de: logx + 6x + 7) = 1 + logx + 1) logx + 6x + 7) = log 10 + logx + 1) logx + 6x + 7) = log 10x + 1) x + 6x + 7 = 10x + 1) x 4x 3 = 0 = x = 3, x = 1 Problema 64 Hallar las soluciones reales de: log3x ) = 1 + logx 1) log3x ) = 1 + logx 1) = log3x ) = log 10 + logx 1) = log3x ) = log 10x 1) = 3x ) = 10x 1) = 3x 10x + 8 = 0 x = = x = 4 3 Problema 65 Hallar las soluciones reales de: logx + 699) = + logx + ) logx + 699) = + lgx + ) = logx + 699) = log logx + ) = logx + 699) = log 100x + ) = x + 699) = 100x + ) = x x = x = 0 = x = 49 Problema 66 Calcular logx 1) + = 1 + logx + 1) logx 1) + = 1 + logx + 1) = logx 1) + 1 = lgx + 1) = lg 10x 1) = lgx + 1) = 10x 1) = x + 1) = 9x x 11 = 0 x = 1 = x = 11 9 La solución x = 1 no es válida.

28 8 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 67 Resolver la siguiente ecuación: log1 + x ) 1 = logx ) log1 + x ) 1 = logx ) = log1 + x ) log 10 = logx ) = ) 1 + x log = logx ) x 10 = x = 1 + x = 10x 0 = x 10x + 1 = 0 = x = 7, x = 3 Problema 68 Resolver las ecuaciones: 1. log 10 x = log x. 3 log x = log x 1. log 10 log x = log x 1 log x = log x log x log x = 1 log x = 1 = x = log x = log x 3 log x log x = log x = = x = 10 = 100 Problema 69 Resolver las ecuaciones: 1. log 10x + ) logx ) = 1. log x + log x = 3

29 1.3. LOGARITMOS log 10x + ) x = log 10 10x + ) x = 10 10x + 0 = 10x x x = 0 = x =, x = 1 log x + log x = 3 Problema 70 3 log x = 3 log x = 1 = x = 10 log3x + 1) log x = ) 3x + 1 log = log 100 = 100x 3x 1 = 0 = x x = 0, x = 0, No Vale Problema 71 logx + 1) log x = 1 ) x + 1 log = log 10 = 10x x 1 = 0 = x x = 0, x = 0, 3166 No Vale Problema 7 logx + 1) log x = 1 ) x + 1) log = log 10 = x 8x + 1 = 0 = x x = 0, 17 x = 7, 873

30 30 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 73 log x log1 x) = ) x log = log 100 = 101x = 100 = x = x 101 Problema 74 logx + 1) logx 1) = 1 ) x + 1 log x = log 10 = 10x x 11 = 0 = 1 Problema 75 log x log1 x) = x = 1, 1 x = 1 No Vale ) x log = log 100 = 101x = 100 = x = x 101 Problema 76 Resolver las ecuaciones: 1. log x logx 1) + 1 = log x. logx + 1) logx 1) = 1 1. log x logx 1) + 1 = log x = log 10x x 1 = log x = x 11 x) = 0 = x = 11 y x = 0 no vale).. logx + 1) logx 1) = 1 = log x + 1 = log 10 = x 1) 10x 1x + 9 = 0 = x = 3 y x = 3 5 no vale Problema 77 Resolver las ecuaciones: 1. log10x ) 1 = logx + 1) + log x. log3x ) log1 x) = 1

31 1.3. LOGARITMOS log10x ) 1 = logx + 1) + log x = log 10x 10 = log xx + 1) = 10x = 10xx + 1) = x = 1 5. log3x ) log1 x) = 1 = log 3x = log 10 = 1 x) 7x 0x + 1 = 0 = x = 6 7, x = no vale) Problema 78 Resolver las ecuaciones: 1. logx 1) + 1 = logx 1). log10x 3 + x)) logx + 1) = 1 + log x 1. logx 1) + 1 = logx 1) = log 10x 1) = logx 1) = 9x 0x + 11 = 0 = x = 11 9 y x = 1 no vale).. log10x 3 + x)) logx + 1) = 1 + log x = log 10x3 + x) x + 1) = log 10x = x x = 0 = x = 1 y x = 0 no vale). Problema 79 Resolver las ecuaciones: 1. logx 1) + logx + 1) = log x 1. log x + 3 log x = 1. logx 1) + logx + 1) = log x 1 = logx 1) = logx 1) = 9x = 10 = x = , x = 3 no vale). log x + 3 log x = = log x 5 = log 100 = x = =, Problema 80 Resolver la siguiente ecuación: log + x) log x = 1 + log1 x) log + x) log x = 1 + log1 x) = log + x x = log 10 + log1 x)

32 3 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA log + x x = log101 x)) = 10x 9x + = 0 = x = 1, x = 5 Problema 81 Unos problemas para ejercitarse: 1. 5 log x = 0 Sol: x = log 5x = 9 Sol: x = 0, log x 4 5 = Sol: x = 5 4. logx + 1) = Sol: x = 9; x = log7x + 15) log 5 = 1 Sol: x = 5 6. log x 7. log 10 x = 1 + log1 x) Sol: x = 0 = log x Sol: x = 10; x = 0 8. log x logx x + 6) = 0 Sol: x = 3 9. logx 3) + log3x ) = log 5 Sol: x = ; x = log3x ) = 1 + logx 1) Sol: x = ; x = log x + 3 log x = Sol: x = log x log x = Sol: x = log x + 1 = log x 3 Sol: x = log1 x) + log x = 1 Sol: No tiene solución real. 15. log x log1 x) = 1 Sol: x = log x + = log x 3 Sol: x = log1 + x) + log1 x) = Sol: No tiene solución real. 18. logx + 7) logx 1) = log 5 Sol: x = log35 x ) log5 x) = 3 Sol: x = 3 : x = 0. log x log 10x = 1 Sol: x = 11; x = 1 1. logx + ) + logx + 3) = log 6 Sol: x = 0, x = 4. log +logx ) logx ) = Sol: x = 3. logx + 6) 1 logx 3) = log 5 Sol: x = 6; x = log x = log + logx 3) Sol: x = 9 ; x =

33 1.3. LOGARITMOS log x = + log x Sol: x = 0; x = 6. log 8 + x 5x + 7) log 3 = log 4 Sol: x = 3; x = 7. log x log 16 = log x Sol: x = 0; x = 8 8. logx+4)+log3x+1) log 4 = log8 x) Sol: x = 4 x = log35 x 3 ) log5 x) = 3 Sol: x = 3 x = log +log11 x ) log5 x) = Sol: x = 1 3 x = log5x + 4) log = 1 logx + 4) Sol: x = 0 3. x x + 3) log 4 = 3 log 1 4 Sol: No tiene solución Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas Problema 8 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: 3 log x+ log y = 1 log x y = 1 3 log x+ log y = 1 log x y = 1 = 3 log x+ log y = 1 log x log y = 1 Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: 3u+ v = 1 3u+ v = 1 u = u v = 1 = u v = = v = 3 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: log x = u = log x = log 10 log y = v = 3 = log y = log 10 3 = x = 100 y = 1000 Problema 83 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: log x+ log y = 4 log x y = 1 log x+ log y = 4 log x y = 1 = log x+ log y = 4 log x log y = 1

34 34 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u+ v = 4 u = 1 u v = 1 = v = Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: log x = u = 1 log y = v = = log x = log 10 1 log y = log 10 = x = 10 y = 100 Problema 84 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: log x 3 y = 1 logx y) = log x 3 = 1 y 3 log x log y = 1 logx y) = = log x+ log y = Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: 3u v = 1 3u v = 1 u = 5 u+ v = = 4u+ v = 4 = 7 v = 4 7 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: 5 log x = u = 5 7 x = 10 7 x = 5, log y = v = 4 = = 7 y = y = 3, Problema 85 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: log x 4 y = 1 logx y ) = log x 4 y = 1 4 log x log y = 1 logx y ) = = log x + log y = Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: 4u v = 1 4u v = 1 u = 4 u+ v = = 4u 8v = 8 = 9 v = 7 9 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: log x = u = 4 9 log y = v = 7 9 = x = y = = x =, y = 5,

35 1.3. LOGARITMOS 35 Problema 86 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: log x 3 y = 1 logx y) = log x 3 = 1 y 3 log x log y = 1 logx y) = = log x+ log y = Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: 3u v = 1 3u v = 6 u = 9 u+ v = = 4u+ 7v = 4 = 7 v = 4 7 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: log x = u = 5 7 log y = v = 4 3 = x = y = = x = 5, y =, Problema 87 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: log x 3 y = logx y) = 3 log x 3 = y 3 log x log y = logx y) = 3 = log x+ log y = 3 Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: 3u v = 3u v = u = 8 u+ v = 3 = 4u+ v = 6 = 7 v = 5 7 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: log x = u = 8 7 log y = v = 5 7 = x = y = = x = 13, y = 5, Problema 88 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: logx y) = 3 log x y = 1

36 36 logx y) = 3 log x = 1 = y CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA log x+ log y = 3 log x log y = 1 Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u+ v = 3 u = u v = 1 = v = 1 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: log x = u = x = 10 log y = v = 1 = = 100 y = 10 Problema 89 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: log x log y = 3 logx y) = 1 log x log y = 3 log x log y = 3 logx y) = 1 = log x+ log y = 1 Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u v = 3 u = 1 u+ v = 1 = v = 1 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: log x = u = 1 x = 10 log y = v = 1 = 1 = 10 y = 10 1 = 0, 1 Problema 90 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: log x y = 1 logx y) = log x = 1 y log x log y = 1 logx y) = = log x+ log y =

37 1.3. LOGARITMOS 37 Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u v = 1 u = 1 u+ v = = v = 0 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: log x = u = 1 x = 10 log y = v = 0 = y = 1 Problema 91 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: log x y = 3 logx y) = log x = 3 y log x log y = 3 logx y) = = log x+ log y = Haciendo el cambio de variables log x = u y log y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u v = 3 u = 7 u+ v = = 5 v = 4 5 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: log x = u = 7 5 log y = v = 4 5 = x = 10 7/5 = 5, y = 10 4/5 = 0, Problema 9 logxy ) = x log = 3 y log x+ log y = u+ v = log x log y = 3 = u v = 3 = u = log x = 8/5 = x = 39, 81 v = log y = 1/5 = y = 1, 5849

38 38 Problema 93 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA logx y) ) = 3 x log = y log x+ log y = 3 u+ v = 3 log x log y = = u v = = u = log x = 5/3 = x = 46, v = log y = 1/3 = y = 0, Problema 94 logxy) ) = 3 x log y = 5 log x+ log y = 3 u+ v = 3 log x log y = 5 = u v = 5 = u = log x = 8/3 = x = 464, 1588 v = log y = 7/6 = y = 0, Problema 95 log x+ log y = 3 log x log y = 0 log x+ log y = 3 u+ v = 3 log x log y = 0 = u v = 0 = u = log x = 1 = x = 10 v = log y = = y = 100 Problema 96 logx 3 y ) ) = 8 log x y = 1 3 log x+ log y = 8 3u+ v = 8 log x log y = 1 = u v = 1 = u = log x = = x = 100 v = log y = 1 = y = 10

39 1.3. LOGARITMOS 39 Problema 97 log x+ log y = 3 log x+ log y = 0 log x+ log y = 3 u+ v = 3 log x+ log y = 0 = u+ v = 0 = u = log x = 1 = x = 10 v = log y = 1 = y = 10 Problema 98 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: logxy) = 4 log ) x 3 y = 1 logxy) = 4 ) x 3 log = 1 y = log x + log y = 4 u + v = 4 3 log x log y = 1 = 3u v = 1 = u = log x = 1 x = 10 v = log y = 1 = y = 10 Problema 99 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: logxy) = 4 ) x log y = logxy) = 4 ) x log y = = log x + log y = 4 u + v = 4 log x log y = = u v = = u = = log x x = 100 v = 0 = log y = y = 1

40 40 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 100 Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas: logxy) = 8 ) x log y = 4 logxy) = 8 ) x log y u+ v = 8 = u v = 4 = 4 u = 4 = v = 0 log x+ log y = 8 = log x log y = 4 Problema 101 Unos problemas para ejercitarse: 1. u = 4 = log x = x = = v = 0 = log y = y = 1 log x 5 log y = 1 3 log x+ log y = Sol: x = 100; y = 10 Sol: x = 100; y = log x 3 log y = 1 logx y) = 5 log x + log y 3 = Sol: x = 100; y = 10 Sol: x = 10; y = 1 Sol: x = 10; y = 10 log x3 y = 4 logx y) = log x y = 1 log x 3 log y = 1 logx y ) = 3

41 1.4. EXPONENCIALES Sol: x = 10 5 ; Sol: x = 10 5 ; y = 10 4 y = 10 log x 3 log y = log x ) y = 3 log x log y = 7 log x + log y = 3 x y = 15 log x + log y = Sol: x = 5; y = 0 o bien x = 0; y = Sol: x = 100; y = 10 log x + 3 log y = 5 log x y = 3 log x log y = 4 log x + log y = Sol: x = 100; y = Exponenciales Ecuaciones Exponenciales: Problema 10 Halla las soluciones de: 3 x +5x 4 9 x+3 = 7 x 1 3 x +5x 4 3 x+3) = 3 3x 1) 3 x +5x 4+x+3) = 3 3x 1) x + 5x 4 + 4x + 6 = 3x 3 x + 6x + 5 = 0 = x = 6 ± x = 6 ± 4 = x = 1, x = 5

42 4 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 103 Halla las soluciones de: Problema 104 Calcular 3 x +5x 4 9 x+3 = 7 x 1 3 x +5x 4 3 x+3) = 3 3x 1) 3 x +5x 4+x+3) = 3 3x 1) x + 5x 4 + 4x + 6 = 3x 3 x + 6x + 5 = 0 = x = 6 ± x = 6 ± 4 = x = 1, x = 5 3 x x+1 1 = 0 = 3x 3 3 x x+1 1 = x 1 = 0 = 3 x x 3 = 0 Haciendo el cambio de variables u = 3 x la ecuación quedará de la siguiente forma: u + 9u 3 = 0 = u = 0, , u = 4, Deshaciendo el cambio de variable tenemos que u = 0, = 3 x = log 0, = log 3 x = x = x log 3 = log 0, = log 0, log 3 = 1, En el otro caso, u = 4, = 3 x no es posible obtener solución. Problema x x+1 1 = 0 7 x ) x 1 = 0 = t 7 + 7t 1 = 0 = t = 0, 1444 t = 49, 144 t = 0, 1444 = 7 x = x = 1, 0015 t = 49, 144 = 7 x = No Vale

43 1.4. EXPONENCIALES 43 Problema x x+1 1 = 0 6 x ) x 1 = 0 = t 6 + 6t 1 = 0 = t = 0, t = 36, 0776 t = 0, = 6 x = x =, 0004 t = 36, 0776 = 6 x = No Vale Problema x+1 3 x 1 1 = 0 33 x ) 3x 3 1 = 0 = 3t t 3 1 = 0 = t = 0, = 3 x = x = 0, 4155 t = 0, t = 0, t = 0, = 3 x = No Vale Problema 108 x x = 0 x x + 1 = 0 = t t + 1 = 0 = t = 1 t = x = 1 = x = 0 Problema x 1 5 x + 1 = 0 5 x ) 5 5 x + 1 = 0 = t 5 t + 1 = 0 = t 5t + 5 = 0 t = 5 x = 3, 618 = x = 0, 714 t = 5 x = 1, 381 = x = 0, 96

44 44 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 110 x x 1 1 = 0 x x 1 = 0 = t t 1 = 0 = t = = x = = x = 1 Problema 111 Unos problemas para ejercitarse: 1. x+1 = 8 Sol: x =. x x+1 = 30 Sol: x = x = 16 Sol: x = x 1 = 15 Sol: x = 5 5. x + x+3 = 36 Sol: x = 6. 3 x + 3 x = 70 Sol: x = x + 5 x x+ = 31 5 Sol: x = 8. 5 x +3x 11 = 15 Sol: x = ; x = x + x 1 = 4 Sol: x = ; la otra solución no es real. 10. x + x = 6 Sol: x = 1; la otra solución no es real x x+ = 4 Sol: x = ; la otra solución no es real x+1 4 x+ = 768 Sol: x = ; la otra solución no es real. 13. x 3 x = 1 18 Sol: x = x+3 = 3 x+5 Sol: No tiene solución x +3x+ = 1 Sol: x = 1; x = x + 5 x 1 + x x = 31 Sol: x = 17. x+ = 0, 5 x 1 Sol: x = a 7 x = a Sol: x = x 5 x + 4 = 0 Sol: x = ; x = x x = 0 Sol: x = 1; x = 1. 4 x 5 x 1 = 1600 Sol: x = 3

45 1.4. EXPONENCIALES x 11x+30 = 5) Sol: x = 7; x = x x + 3 x+1 = 117 Sol: x = x+1) 8 3 x + 3 = 0 Sol: x = ; x = 1 5. x 3 x = 0 Sol: x = ; x = ) 5 = 3, 5 x+1 Sol: x = x 5 5 x 1 4 = 0 Sol: x = x) x = 1 Sol: x = 3; x = 9. 1 x = 1 8 Sol: x = ± x 1 = 9 3 x 1 4 Sol: x = 11 ; x = x+3 = 19 3 x 3 Sol: No tiene solución. Problema 11 Más problemitas: 1. x + x+1 1 = 0 Sol: x = 1, x x 3 x 1 = Sol: x = 0, x x + x 1 = 0 Sol: No tiene solución x + 3 x = 1 Sol: x = 0, x x + 4 x = 0 Sol: No tiene solución. 6. x 1 + x+1 = 0 Sol: x = 0, x x = 0 Sol: x = 0, x + 3 x 1 1 = 0 Sol: x = 1, x+1 3 x 1 3 = 0 Sol: x = 0, x 1 3 x+ = 0 Sol: x = 4, x 1 7 x+1 = 0 Sol: x =, x 1 6 x 1 4 = 0 Sol: x = 0, x 1 5 x+1 3 = 0 Sol: x = 0, x 1 4 x+1 7 = 0 Sol: 1, x x 5 = 0 Sol: x = 0,

46 46 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA x x = 0 Sol: x = 0, x+ + 3 x 1 = 0 Sol: x = x + 5 x 1 = 0 Sol: x = 0, Sistemas de Ecuaciones Exponenciales: Problema 113 Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales: 4 x+1 6 y = 40 Solución 4 x 6 y = 88 4 x+1 6 y = x 6 y = 88 = x 6 y = 40 4 x 6 y = 88 Haciendo el cambio de variables 4 x = u y 6 y = v el sistema quedará de la siguiente forma: 4u v = 40 u = 64 u v = 88 = v = 16 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: 4 x = u = 64 6 y = v = 16 = 4 x = y = 6 3 = x = 3 y = 3 Problema 114 Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales: x + 5 y = 9 x+ + 5 y+1 = 41 Solución x + 5 y = 9 x+ + 5 y+1 = 41 = x + 5 y = 9 4 x y = 41 Haciendo el cambio de variables x = u y 5 y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u+ v = 9 u = 4 4u+ 5v = 41 = v = 5 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: x = u = 4 5 y = v = 5 = x = x = 5 y = 5 1 = y = 1

47 1.4. EXPONENCIALES 47 Problema 115 Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales: x y+1 = 4 x+1 3 y+1 = 5 x y+1 = 4 x+1 3 y+1 = 5 = x + 3 3y = 4 x 3 3 y = 5 Haciendo el cambio de variables x = u y 3 y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u + 3v = 4 u = 18 u 3v = 5 = 5 v = Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: x = u = y = v = = x log = log 18 5 y log 3 = log x = = y = 18 log 5 log log log 3 = 1, Problema 116 Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales: x+1 3 y 1 = 4 x y+1 = 5 x+1 3 y 1 = 4 x y+1 = 5 = x 3 y 3 = 4 x y = 5 = 0, Haciendo el cambio de variables x = u y 3 y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u v 3 = 4 u+ 3v = 5 = u = 41 0 =, 05 v = 3 10 = 0, 3 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: x = u = y = v = 3 10 = x log = log 41 0 y log 3 = log 3 10 x = = log 41 0 log y = log 3 10 log 3 = 1, Problema 117 Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales: x+1 3 y 1 = 3 x y+1 = 4 = 1,

48 48 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA x+1 3 y 1 = 3 x y+1 = 4 = x 3 y 3 = 3 x y = 4 Haciendo el cambio de variables x = u y 3 y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u v 3 = 3 u+ 3v = 4 = u = 31 0 = 1, 55 v = 3 10 = 0, 3 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: x = u = y = v = 3 10 = x log = log 31 0 y log 3 = log 3 10 x = = log 31 0 log y = log 3 10 log 3 Problema 118 Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales: x+1 3 y 1 = 1 x y+1 = x+1 3 y 1 = 1 x y+1 = = x + = 0, = 1, y 3 = 1 x 3 3y = Haciendo el cambio de variables x = u y 3 y = v el sistema quedará de la siguiente forma: u v 3 = 1 u + 3v = = 6u v = 3 u+ 6v = 4 Deshaciendo el cambio de variables nos quedaría: x = u = 37 3 y = v = 1 37 Problema 119 = x log = log 37 y log 3 = log 1 37 x = = y = 3 x 1 + y+1 = 3 x y = 3 u = 37 v = 1 37 log 37 log log 1 37 log 3 = 0, = 0,

49 1.4. EXPONENCIALES 49 3 x 3 + y = 3 x y = 3 u 3 + v = = u v = 3 = u = 7 7 = 3x = x = 1, 876 v = 13 7 = y = y = 0, Problema 10 x y+1 = 5 x 3 y = x + 3 3y = 5 x 3 y = u + 3v = 5 = u v = = u = 7 = x = x = 1, 6508 v = 8 7 = 3y = y = 0, 1154 Problema 11 3 x + y = 1 x + 3 y = 5 3 x 9 + y = 1 3 x + 3 y = 5 u 9 + v = 1 = u+ 3v = 5 = u = 3 = 3 x = x = 1 v = 3 = y = y = 0, 585

50 50 Problema 1 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA x 3 y = 1 x + 3 y = 3 x 3 y = 1 x + 3 y = 3 = u v = 1 u+ v = 3 u = = x = x = 1 = v = 1 = 3 y = y = 0 Problema 13 x+ 3 y = 1 x + 3 y = 3 x 3 y = 1 x + 3 y = 3 = u = 1 = x = x = 0 u v = 1 u+ v = 3 = v = 1 = 3 y = y = 0 Problema 14 x + 3 y = x+1 3 y = 1 x + 3 y = x 3 y = 1 = u = 1 = x = x = 0 u+ v = u v = 1 = v = 1 = 3 y = y = 0 Problema 15 Unos problemas para ejercitarse: 1. 3 x 4 7 y = 17 7 x + 7 y = 154 Sol: x = 3; y =

51 1.4. EXPONENCIALES x+1 6 y = 40 4 x 6 y = Sol: x = 3; y = 3 Sol: x = 4; y = 4 Sol: x = 3; y = 3 x+1 5 y+ = x + 5 y = x + y = 31 3 x+1 y+ = 65 5 x+y = x y = 5 6. Sol: x = 4; y = 15 5 x 1 6 y = x + 6 y+1 = Sol: x = 3; y = Sol: x = 3; y = 1 a x+y = a 4 a x y = a 8 y x = 18 3 y 3 x 1 = 7 9. Sol: x = 70; y = x y = x+y = 3 Sol: x = 6 5 ; y = 7 5

52 5 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Sol: x = ; y = Sol: x = 4; y = Sol: x = 5; y = 4 Sol: x = 3; y = Sol: x = 1; y = 3 x 3 y = 6 4 x 3 3 y = 11 3 x 5 3 y = 3 x y+1 = 59 x 3 y 1 = 5 x y = 71 3 x + y+3 = 86 3 x y = 3 x+y = 3 5 x y = Ecuaciones Logarítmicas y Exponenciales Problema 16 Resolver las ecuaciones: 1. log3x + 1) log x = 1 + log x. x 1 + x+ 1 = 0 1. log3x + 1) log x = 1 + log x = log3x + 1) = log 10 + log x log3x + 1) = log10x ) = 10x 3x 1 = 0 = x = 1, x = 1 5 De las dos soluciones hay una que no es posible ya que no existen logaritmos de números negativos, es decir, de las dos soluciones la única posible es x = 1

53 1.5. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 53. x 1 + x+ 1 = 0 = x + x 1 = 0 = x + 8 x = 0 Haciendo el cambio de variables u = x la ecuación quedará de la siguiente forma: u + 8u = 0 = u = 0, , u = 8, Deshaciendo el cambio de variable tenemos que u = 0, = x = log 0, = log x = x = x log = log 0, = log 0, log =, En el otro caso, u = 8, = x no es posible obtener solución. Problema 17 Resolver las ecuaciones: 1. log3x + 1) log x = 1 + log1 x). x 1 + x+3 1 = 0 1. log3x+1) log x = 1+log1 x) = log3x+1) = log 10+log1 x)+log x. log3x+1) = log10x1 x)) = 10x 7x+1 = 0 = x = 1, x = 1 5 x 1 + x+3 1 = 0 = x + x 3 1 = 0 = x + 16 x = 0 Haciendo el cambio de variables u = x la ecuación quedará de la siguiente forma: u + 16u = 0 = u = 16, , u = 0, Deshaciendo el cambio de variable tenemos que u = 0, = x = log 0, = log x = x = x log = log 0, = log 0, log = 3, En el otro caso, u = 16, = x no es posible obtener solución.

54 54 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 18 Resolver las ecuaciones: 1. log3x ) = 1 + logx 1). x 1 + x+1 = 0 1. log3x ) = 1 + logx 1) = log3x ) = log 10 + logx 1). log3x ) = log10x 1)) = 3x 10x+8 = 0 = x =, x = 4 3 x 1 + x+1 = 0 = x + x = 0 = x + 4 x 4 = 0 Haciendo el cambio de variables u = x la ecuación quedará de la siguiente forma: u + 4u 4 = 0 = u = 0, , u = 4, Deshaciendo el cambio de variable tenemos que u = 0, = x = log 0, = log x = x = x log = log 0, = log 0, log = 0, En el otro caso, u = 4, = x no es posible obtener solución. Problema 19 Calcular: 1. logx + ) log x = 1. 4 x 1 + x 1 = 0 1. logx + ) log x = 1 = x = 0, , x = 9, x 1 + x 1 = 0 = x = 0, Problema 130 Resolver las ecuaciones: 1. logx 1) logx + 1) = 1 log x. log x + 1 = log x

55 1.5. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES x x+1 = x x 1 1 = 0 1. logx 1) logx + 1) = 1 log x = log x 1 x + 1 = log 10 x x 1 x + 1 = 10 x = x 11x 10 = 0 = x = 11, , x = 0, De las dos soluciones hay una que no es posible ya que no existen logaritmos de números negativos, es decir, de las dos soluciones la única posible es x = 11, log x+1 = log x = log 10x = log x = 10x = x = x = 0, x = 10 De las dos soluciones hay una que no es posible ya que no existen logaritmos del cero, es decir, de las dos soluciones la única posible es x = 10 3 x x+1 = 0 = 3x x = 0 = 3 x x 6 = 0 Haciendo el cambio de variables u = x la ecuación quedará de la siguiente forma: u + 9u 6 = 0 = u = 0, , u = 9, Deshaciendo el cambio de variable tenemos que u = 0, = 3 x = log 0, = log 3 x = 4. x = x log 3 = log 0, = log 0, log 3 = 0, En el otro caso, u = 9, = 3 x no es posible obtener solución. 3 x x 1 1 = 0 = 3 3 x + 3x 3 1 = 0 = 10 3x 3 = 0 = 3 x = 0, 3 = log 3 x = log 0, 3 = x log 3 = log 0, 3 = x = log 0, 3 log 3 = 1,

56 56 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Problema 131 Resolver las ecuaciones: 1. logx 1) logx + 1) = 1 log x. 3 x x+1 = 0 1. logx 1) logx + 1) = 1 log x = log x 1 x + 1 = log 10 x x 1 x + 1 = 10 x = x 11x 10 = 0 = x = 11, , x = 0, De las dos soluciones hay una que no es posible ya que no existen logaritmos de números negativos, es decir, de las dos soluciones la única posible es x = 11, x x+1 = 0 = 3x x = 0 = 3 x x 6 = 0 Haciendo el cambio de variables u = x la ecuación quedará de la siguiente forma: u + 9u 6 = 0 = u = 0, , u = 9, Deshaciendo el cambio de variable tenemos que u = 0, = 3 x = log 0, = log 3 x = x = x log 3 = log 0, = log 0, log 3 = 0, En el otro caso, u = 9, = 3 x no es posible obtener solución. Problema 13 Resolver: 1. log1 + x) log1 x) =. 3 x 3 x + 1 = 0 1. log1 + x) log1 x) = = log 1 + x 1 x = log 100 = 1 + x = 1001 x) = x =

57 1.5. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES x 3 x + 1 = 0 haciendo t = 3 x tenemos que: t t + 1 = 0 = t = 1, deshaciendo el cambio de variable tenemos: t = 3 x = 1 = x = 0 Problema 133 Resolver las siguientes ecuaciones 1. logx ) + 1 = logx + 1) + logx 1). 3 x x+1 1 = 0 1. logx ) + 1 = logx + 1) + logx 1) logx ) + log 10 = logx + 1) + logx 1). 19 log 10x ) = logx 1) = 10x 0 = x 1 = x = ± 3 La solución negativa no es válida, ya que no existen logaritmos de 19 números negativos y, por tanto, x = 3. 3 x x+1 1 = 0 = 3x ) x 1 = 0 3 Si hacemos t = 3 x nos queda t 3 + 3t 1 = 0 = t + 9t 3 = 0 = t = 0, 3185; t = 9, 3185 Deshaciendo el cambio de variable tendremos: 3 x = 0, 3185 = log 3 x = log 0, 3185 = x log 3 = log 0, 3185 = log 0, 3185 = x = = 1, log 3 3 x = 9, 3185 no tiene solución Problema 134 Resolver: 1. log5x + 1) log x = 1 log1 x). x 1 x+1 + = 0

58 58 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 3. x y+1 = 3 x+1 3 y 1 = x + 1 x = 10 1 x = 5x + 6x 1 = 0 = x = 1, , x = 0, La solución negativa no es válida. t t + = 0 = t = = x = 1 3. u/+ 3v = 3 u = 4/37 x = 0, u v/3 = 1 = v = 33/37 = y = 0, Sistemas de Ecuaciones no Lineales Problema 135 Resolver el siguiente sistema: x+ y = 5 xy = Primero despejamos y en la primera ecuación y = 5 x, y sustituimos en la segunda x5 x) = = 5x x = = x 5x + = 0 = x =, x = 1. Cuando x = tendremos y = = y = 1. Cuando x = 1 tendremos y = = y = 4. Problema 136 Calcular: x y = 1 x + y = x y = 1 x + y = = x 1 = = 6, y 1 = 7 = 4, x = 4 7 = 1, y = 7 = 0,

59 1.7. INECUACIONES Inecuaciones Inecuaciones Problema 137 Resolver las inecuaciones siguientes: 1. x x x 3 > 0. x + x x x x x 3 = x )x + 1) x 3) > 0, 1) 1, ), 3) 3, + ) x + + x x 3 + x )x+1) x La solución pedida sería: 1, ) 3, + ). x + x x + 1 = x 1)x + ) x + 1 0, ), 1) 1, 1) 1, + ) x 1 + x x x 1)x+) x La solución pedida sería:, ] 1, 1] Problema 138 Resolver las inecuaciones siguientes:

60 60 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 1. x + 3x + x 3 < 0. x + x 3 x x + 3x + x 3 = x + )x + 1) x 3) < 0, ), 1) 1, 3) 3, + ) x x x 3 + x+)x+1) x La solución pedida sería:, ) 1, 3). x + x 3 x 5 = x + 3)x 1) x 5 0, 3) 3, 1) 1, 5) 5, + ) x x x 5 + x+3)x 1) x La solución pedida sería: [ 3, 1] 5, + ] Problema 139 Resolver las inecuaciones siguientes: 1. x x 3 x + 0

61 1.7. INECUACIONES 61. x x 5 x x x 3 x + = x 3)x + 1) x + ) 0, ), 1) 1, 3) 3, + ) x x x 3 + x 3)x+1) x+) + + La solución pedida sería:, 1] [3, + ). x x 5 x x 3 18x 10x + 30 = 5x 33 = x 33 5, 33 ) 5 Problema 140 Resolver las siguientes inecuaciones: x x 15 x 1 0, x 1 x + 3x + 0 x x 15 0 =, 3] 1, 5] x 1 x 1 x 0 =, 1) [1, ) + 3x + Problema 141 Resolverlas siguientes inecuaciones: 1. x x 3 x 1 0. x 5x 14 x x x+1 ) x

62 6 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 1. x x 3 x 1 = x + 1)x 3) x 1 0, 1) 1, 1) 1, 3) 3, + ) x x x 3 + x+1)x 3) x La solución pedida sería:, 1] 1, 3]. x 5x 14 x 3 = x + )x 7) x 3 0, ), 3) 3, 7) 7, + ) x x x 7 + x+)x 7) x La solución pedida sería: [, 3) [7, + ) 3. x 5 6 x ) x = x x + 1)x x + 1 3x + 3x = 3x x x + x 1 0 = x + 1)x 1 3 ) 0, 1) 1, 1 3 ) 1 3, + ) x x x + 1)x 1 3 ) + + La solución pedida sería:, 1] [ 1 3, + )

63 1.7. INECUACIONES 63 Problema 14 Resolverlas siguientes inecuaciones: 1. x x 3 x 1 0. x 5x 14 x x ) x+1 x x x 3 x 1 = x + 1)x 3) x 1 0, 1) 1, 1) 1, 3) 3, + ) x x x 3 + x+1)x 3) x La solución pedida sería: [ 1, 1) [3, + ). x 5x 14 x 3 = x + )x 7) x 3 0, ), 3) 3, 7) 7, + ) x x x 7 + x+)x 7) x La solución pedida sería:, ] 3, 7] 3. x 5 6 x ) x = x x + 1)x x + 1 3x + 3x = 3x x x + x 1 0 = x + 1)x 1 3 ) 0

64 64 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA, 1) 1, 1 3 ) 1 3, + ) x x x + 1)x 1 3 ) + + La solución pedida sería: [ 1, 1 ] 3 Problema 143 Resolverlas siguientes inecuaciones: 1. x +4x 5 x+1 0. x +3x 4 x x < 4 3 3x 1. x + 4x 5 x + 1 = x + 5)x 1) x + 1 0, 5) 5, 1) 1, 1) 1, + ) x x x 1 + x+5)x 1) x La solución pedida sería: [ 5, 1) [1, + ). x + 3x 4 x 3 = x + 4)x 1) x 3 0, 4) 4, 1) 1, 3) 3, + ) x x x 3 + x+4)x 1) x La solución pedida sería:, 4] [1, 3)

65 1.7. INECUACIONES x < 4 3 3x = x + 18 < 4 9x x + 9x + 14 < 0 = x 3 + 9x + 14 = x + )x + 7) < 0, 7) 7, ), + ) x x + + x + )x + 7) + + La soluciin pedida sería: 7, ) Problema 144 Resolverlas siguientes inecuaciones: 1. x x x+3 0. x +3x 4 x 3 0 3x x 6 19 x x x x + 3 = x )x + 1) x + 3 0, 3) 3, 1) 1, ), + ) x x x + x )x+1) x La solución pedida sería: x + 3x 4 x 3 3, 1] [, + ) = x + 4)x 1) x 3 0, 4) 4, 1) 1, 3) 3, + ) x x x 3 + x+4)x 1) x La solución pedida sería:, 4] [1, 3)

66 66 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 3. 3x x 6 19 x 18 = 15 4x 19 x La solución pedida sería: = x 4 = x 4, ] = x Problema 145 Resolver la siguiente inecuación: x 10x + 1 x + 3 x 10x + 1 x + 3 = 0 x 7)x 3) x + 3 0, 3) 3, 3) 3, 7) 7, + ) x x x 7 + x 3)x 7) x La solución pedida sería: 3, 3] [7, + ) Problema 146 Resolverlas siguientes inecuaciones: 1. x +x 6 x+1 0. x +4x 5 x 0 3. x+1 x < 1. x 6 ) x x + x 6 x + 1 = x + 3)x ) x + 1 0, 3) 3, 1) 1, ), + ) x x x + x+3)x ) x La solución pedida sería:, 3] 1, ]

67 1.7. INECUACIONES 67. x + 4x 5 x = x + 5)x 1) x 0, 5) 5, 1) 1, ), + ) x x x 5 + x +4x 5 x + + La solución pedida sería: [ 5, 1], + ) 3. x + 1 x x < 6 ) x = 6x + 3 6x < x x 3 < x x = x + x + 3 < 0 = x x 3 > 0 x x 3 > 0 = x + 1)x 3) > 0, 1) 1, 3) 3, + ) x x 3 + x + 1)x 3) + + La solución pedida sería:, 1) 3, ) Problema 147 Resolverlas siguientes inecuaciones: 1. x +x 6 x+1 0. x +4x 5 x 0 3. x+1 x < 1. x 6 ) x x + x 6 x + 1 = x + 3)x ) x + 1 0, 3) 3, 1) 1, ), + ) x x x + x+3)x ) x+1 + +

68 68 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA La solución pedida sería:. 3. x + 4x 5 x, 3] 1, ] = x + 5)x 1) x 0, 5) 5, 1) 1, ), + ) x x x 5 + x +4x 5 x + + La solución pedida sería: x + 1 x x < 6 [ 5, 1], + ) ) x = 6x + 3 6x < x x 3 < x x = x + x + 3 < 0 = x x 3 > 0 x x 3 > 0 = x + 1)x 3) > 0, 1) 1, 3) 3, + ) x x 3 + x + 1)x 3) + + La solución pedida sería:, 1) 3, ) Problema 148 Resolver la siguientes inecuación: x + x x + 1 x + x x + 1 = 0 x + )x 1) x + 1 0, ), 1) 1, 1) 1, + ) x x x 1 + x+)x 1) x La solución pedida sería: [, 1) [1, + )

69 1.7. INECUACIONES 69 Problema 149 Resolverlas siguientes inecuaciones: 1. x 6x 7 x x + x 6 x x x 3 x < 6 ) x 1. x 6x 7 x 3 = x + 1)x 7) x 3 0, 1) 1, 3) 3, 7) 7, + ) x x x 7 + x+1)x 7) x La solución pedida sería:, 1] 3, 7]. x + x 6 x + 1 = x + 3)x ) x + 1 0, 3) 3, 1) 1, ), + ) x x x + x +x 6 x La solución pedida sería: [ 3, 1) [, + ) 3. ) x x 3 x < x = 8x < x x 6 0 < x + 6x = xx + 6) > 0