Cálculo II (0252) TEMA 4 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. Semestre

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1 Cálculo II (5) Semestre - TEMA 4 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Semestre - Junio

2 Departamento de Matemática Aplicada U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de las aplicaciones de la integral definida. La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo II en Ingeniería. Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: quinterodavila@hotmail.com.

3 INDICE GENERAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) Departamento de Matemática Aplicada TEMA 4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 4.. Área entre dos curvas 4.. Volumen de un sólido de revolución 4.. Método de los discos para el cálculo del volumen 4.4. Método de los cilindros para el cálculo del volumen 4.5. Método de las secciones de área conocida 4.6. Ejercicios resueltos 4.7. Longitud de arco de una curva 4.8. Área de una superficie de revolución 4.9. Ejercicios 4.. Momentos y centro de masa de una región plana 4.. Centro de masa de una curva plana 4.. Teoremas de Pappus 4.. Ejercicios resueltos 4.4. Ejercicios propuestos G

4 ÁREA ENTRE DOS CURVAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 7 de 4.. ÁREA ENTRE DOS CURVAS Ya se ha visto que si f(x) es positiva en a,b entonces a b f(x)dx representa el área de la región limitada por f(x) sobre a,b. Suponga que se tiene una región limitada por las curvas y y g(x) son funciones continuas definidas en a,b figura ). = f(x) e y = g(x) donde f(x) con f(x) g(x) para cada x en a,b (ver Figura. Región limitada por f(x) y g(x) en [a,b] Para calcular su área se considera por separado las áreas limitadas por y y = g(x). Se tiene que el área limitada por f(x) y g(x) en el intervalo a,b es a b área = f(x) g(x) dx Si las curvas que limitan la región son funciones de y, digamos x definidas en c,d con f(y) g(y) entonces el área de la región viene dada por = f(x) e = f(y), x = g(y)

5 ÁREA ENTRE DOS CURVAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 7 de c d área = f(y) g(y) dy Ejemplo. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones Gráficamente se tiene que (ver figura ) (x ) y = ; y = x + ; x = Figura. Región del ejemplo 4 (x ) Área = x + + dx = Ejemplo. Halle el área de la región R señalada en la figura, que está limitada por las gráficas de las ecuaciones x x y = x + ; y = + ; y = x + 5. (ver figura ) 4 x x x Área de R = + + x dx = 6, Área de R = x x dx = 49 Área de R = Área de R + Área de R = 6 + =.

6 ÁREA ENTRE DOS CURVAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 7 de Figura. Región del ejemplo Ejemplo. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones y = x ; y = x +. La representación gráfica es la siguiente (ver figura 4) Figura 4. Región del ejemplo 4 9. Área = y y dy = x dx + x + + x dx =

7 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 74 de 4.. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Sea f una función definida en el intervalo a,b. Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje x, la región limitada por la gráfica y = f(x), el eje x y las gráficas de x = a y x = b. El eje x es un eje de simetría de dicho sólido (figura 5) y una sección recta perpendicular al eje x es un círculo. Figura 5. Sólido de revolución Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, se seguirá un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el volumen de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido. Figura 6. Región de giro

8 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 75 de Ahora, si se consideran dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado a,b, tales que f(x) g(x) para x a,b. Sea R la región del plano (figura 6) limitada por las curvas con ecuaciones y = f(x), y = g(x) y las rectas con ecuaciones x = a, x = b. Se desea determinar el volumen V del sólido de revolución generado al girar la región R alrededor del eje x. El sólido generado se muestra en la figura 7. Figura 7. Sólido de revolución generado 4.. MÉTODO DE LOS DISCOS PARA EL CÁLCULO DEL VOLUMEN Suponga que una región está acotada por las curvas y = f(x) e y = g(x), que su proyección sobre el eje x es el intervalo a x b donde f(x) g(x). Dicha región girará alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de coordenadas x, para generar un sólido hueco o no (según el caso), llamado sólido de revolución. La sección transversal del sólido correspondiente a x a,b es una arandela o círculo, según el caso, cuya área es: A(x) = π R (x) r (x), donde R(x) (radio mayor) y r(x) (radio menor) son respectivamente las distancias de los puntos (x,f(x)) y (x,g(x)) al eje de giro. El volumen del sólido generado viene dado por

9 MÉTODO DE LOS DISCOS PARA EL CÁLCULO DEL VOLUMEN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 76 de b R (x) r (x) dx. a V = π Similarmente, si la región está acotada por las curvas x = f(y) y x = g(y), y su proyección sobre el eje y es el intervalo c y d donde f(y) g(y), el volumen del sólido generado es c d V = π R (y) r (y) dy donde para cada y c,d, R(y) (radio mayor) y r(y) (radio menor) son respectivamente las distancias de los puntos (f(y),y) y (g(y),y) al eje de giro MÉTODO DE LOS CILINDROS PARA EL CÁLCULO DEL VOLUMEN Considere una región plana limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) con f(x) g(x) para cada x a,b y suponga que ésta gira alrededor de una recta paralela al eje y. Tome una banda de ancho dx dentro de la región y paralela al eje de giro, haciéndola girar alrededor del eje de revolución se genera una capa cilíndrica de radio promedio r(x), ancho dx y altura h(x) = f(x) g(x). El diferencial de volumen de la capa cilíndrica es aproximadamente dv = π r(x)h(x)dx. donde r(x) es la distancia de la banda al eje de giro, y h(x) su altura. Integrando respecto de x con a x b se obtiene el volumen del sólido que genera la región cuando rota alrededor del eje de revolución: a b V = π r(x)h(x)dx. Si el eje de revolución es paralelo al eje de coordenadas X, se proyecta la región sobre y, para ello las curvas deben estar dadas por x = f(y), x = g(y) con f(y) g(y).

10 MÉTODO DE LOS CILINDROS PARA EL CÁLCULO DEL VOLUMEN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 77 de Suponga que el intervalo proyección es c y d, entonces el volumen generado es d V = π r(y)h(y)dy c donde r(y) es la distancia de la banda correspondiente a y c,d, al eje de giro y h(y) su altura. Ejemplo 4. Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por a. y = x, y = x, x alrededor del eje y =. Gráfica: / x V = π ( x ( )) ( x ( )) dx = π x x + 8x = π b. y = x, x = y y alrededor del eje Y. ( ) π V = π y y y dy = π y y = Gráfica:

11 MÉTODO DE LOS CILINDROS PARA EL CÁLCULO DEL VOLUMEN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 78 de Ejemplo 5. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y = (x ), y = x cuando rota alrededor del eje x =. Gráfica 4 V = π (x + ) x (x ) dx = 6 π Ejemplo 6. Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por las curvas 4x = y, 4(8 x) = y al rotarla alrededor del eje y = 4.

12 MÉTODO DE LOS CILINDROS PARA EL CÁLCULO DEL VOLUMEN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 79 de Gráfica. 4 y y 4 V = π (4 y) 8 dy = π 4 4 4

13 MÉTODO DE LAS SECCIONES DE ÁREA CONOCIDA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 8 de 4.5. MÉTODO DE LAS SECCIONES DE ÁREA CONOCIDA Si se corta un sólido transversalmente con un plano perpendicular al eje X que pase por un punto x entre a y b, se obtiene un corte del sólido denominado sección transversal del sólido. Suponga que el área de la sección es una función A(x) que varía continuamente con x, x a,b. Así se tiene la siguiente definición: Definición. Sea un sólido que se proyecta en el eje x desde x = a hasta x = b. Si A(x), con a x b, es el área de la sección transversal del sólido correspondiente al punto x entonces el volumen del sólido es V a b = A(x)dx. Ejemplo 7. Halle el volumen de un sólido si se sabe que su base es una región elíptica con la curva frontera 9x + 4y = 6 y las secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos rectángulo isósceles con la hipotenusa en la base. Si se considera la base igual a la altura se pueden obtener mediante el cálculo π b.h 6 9x b = cos hipotenusa =. 4 x = h 4. Área sec ción transversal = = x 6x x 48 Volumen = dx = = = 4. 4

14 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 8 de 4.6. EJERCICIOS RESUELTOS. Halle el área limitada por las curvas y = x + 5 +, el eje x y las rectas x = 8 y x =. Gráficamente (ver figura ): Figura. Región del ejercicio 5 5 x x ( x )dx + (x + 8)dx = x + + 8x = = = + =. Halle el área de la región limitada por las curvas y = x 4, y = x +. Intersectando las curvas: x 4 = x + x x 6 = x =, x = así el intervalo de integración es,. Gráfica (ver figura ): 5 Área = x + (x 4) dx = 6

15 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 8 de. Halle el área entre las parábolas Gráfica (ver figura ): x = y y x = y +. Figura. Región del ejercicio Figura. Región del ejercicio Las parábolas se cortan en y = ±. Integrando respecto de y usando la simetría de la región se tiene:. Área = ( y + y )dy = ( y + )dy = 4

16 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 8 de 4. Sea R la región definida por (ver figura 4) y + x ; x + y ; (x ) + (y ). Figura 4. Gráfica del ejercicio 4 Plantee las integrales que permiten calcular: a. El área con: a.. x como variable de integración. Área = ( + x + x)dx + ( + (x ) + (x ) )dx = ( x + x)dx + (x ) dx a.. y como variable de integración. Área = ( + (y ) + y)dy + ( + (y ) (y ) )dx = ( (y ) + y)dy + ( + (y ) (y ) )dy

17 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 84 de b. El volumen generado al girar R alrededor de la recta x =, por el método de los: b.. discos. Volumen = π (( + (y ) ) ( y) )dy + b.. cilindros. π (( + (y ) ) ( + (y ) ) )dy Volumen = π (x + )( + x + x)dx + π (x + )( + (x ) + (x ) )dx = π (x + )( x + x)dx + 4 π (x + ) (x ) dx 5. Sea R la región acotada por las curvas y x = 6 ; y = x ; y + x =. a. Grafique R. b. Plantee las integrales que permiten calcular el volumen generado al girar R alrededor de la recta y = :

18 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 85 de b.. por el método de los discos. x 4 π [(6 + x + ) ( + ) ]dx + π [(6 + x + ) (x + ) ]dx b.. por el método de los cilindros. 8 π (y + )( y + y)dy + π (y + )( y (y 6))dy

19 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 86 de 4.7. LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA Sea f(x) una función continua en a,b. Se llamará arco de curva C a la curva descrita por y = f(x) desde el punto (a,f(a)) hasta el punto (b,f(b)). En lo que sigue se calcularán longitudes L de curvas C descritas por funciones f(x) cuya primera derivada f (x) sea continua en a,b, es decir, arcos de curvas de funciones cuyas gráficas no presenten puntas o puntos de quiebre que hacen que f (x) tenga un salto repentino en ese punto. Para calcular la longitud L de la curva C descrita por la gráfica de f(x), se considera un pequeño segmento C i de la curva C correspondiente al i-ésimo intervalo x i,xi para una división de a,b en n-subintervalos. El segmento C i es aproximadamente de longitud (diferencial de longitud) yi i i + i = + i xi dl ( x ) ( y ) x. tal que El teorema del valor medio para la derivada indica que existe un punto * i i i x x,x y i x i * * i i = y'(x ) = f '(x ). Así se tiene que * i i i dl + ((f '(x )) x, sumando sobre i desde hasta n se tiene la longitud aproximada del arco de curva C. Tomando límite cuando n resulta b (f'(x)) dx. a L = +

20 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 87 de Si x es función de y, es decir, x = g(y), la fórmula es similar: d (g'(y)) dy, c L = + donde c, d es la proyección de la curva sobre el eje y. La curva C se puede dar en forma paramétrica mediante un par de funciones con primera derivada continua: x = x(t), y = y(t), α t β En este caso se tiene: dy y'(t) f '(x) = dx = x'(t) y dx = x'(t)dt Así b β y'(t) x'(t) a α L = + (f '(x)) dx = + x'(t)dt es decir β L = (x'(t)) + (y'(t)) dt α

21 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 88 de 4.8. ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Si una curva C se hace girar alrededor de un eje que está en su mismo plano, se genera un sólido de revolución. Se verá como, usando integrales, se halla el área de la superficie lateral de tal sólido. Sea f(x) una función con derivada continua en a,b. Considere una partición de a,b en n-subintervalos x,x, x,x,, x n,xn de igual longitud b a x =. n La partición de a,b genera una división de la curva en n-pedazos. Considere C i como el pedazo de curva correspondiente al i-ésimo intervalo x i,xi y sea dl i su longitud (diferencial de longitud). Por lo visto anteriormente se tiene que: * * i i i i i i dl = + (f '(x )) x ; x x,x. Sea * r'(x i ) la distancia promedio del trozo de curva C i al eje de rotación. Cuando C i gira alrededor del eje X genera una banda cuya superficie es aproximadamente el área del cilindro de radio * r'(x i ) y altura dl i: S * i r(x i )dli π. Sumando sobre i desde hasta n y tomando límite cuando n se obtiene el área lateral del sólido de revolución generado por y = f(x) : n b * i i, n + a i= S = lím π r(x )dl = π r(x)dl donde r(x) es la distancia del punto (x,f(x)) de la curva al eje de rotación y dl = + (f '(x)) dx.

22 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 89 de La fórmula general β S = π rdl, α se puede usar para calcular el área lateral de un sólido de revolución, donde α, β es el intervalo proyección de la curva sobre uno de los ejes de coordenadas, dl es el diferencial de longitud y r es la distancia de un punto genérico de la curva al eje de rotación, todo en corcondancia con la proyección efectuada y el eje de rotación. También sirve si la curva viene definida por ecuaciones paramétricas EJERCICIOS RESUELTOS. Sea R la región acotada por y = x ; y = x ; y = x x. Plantee la(s) integral(es) para el cálculo del: a. volumen generado al girar R alrededor de la recta y = por el método de los: a.. discos

23 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 9 de a.. cilindros o tubos b. perímetro de R. π ( x + ) ( x x + ) dx π (y + )(( y ) y )dy + π (y + )( + y ( y ))dy π + + 4y dy.. Halle la longitud de la parábola x = y entre x = y x =. L = + 4y dy = ln Halle la longitud de la curva C de ecuaciones paramétricas x(t) = t, y(t) = t ; t,. 8 L = t 4 + 9t dt = Halle la longitud de arco de la curva definida por las ecuaciones paramétricas x(t) = t sen(t) y(t) = cos(t) desde t = hasta t = π. Al plantear se tiene: x'(t) = cos(t). y'(t) = sen(t) π π t π π π π π + = = cos(t) t = ( cos(t)) sen (t)dt cos(t)dt dt sen ( )dt = sen( )dt = 4 sen(z)dz = 4 cos(z) = 8 t dt (z = dz = )

24 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 9 de 5. Halle el área de la superficie del paraboloide que genera la curva y = x, x, cuando rota alrededor del eje X. S = π x + dx = π + 4xdx = (5 5 ) x 6. Halle el área de la superficie generada por la rotación de la curva paramétrica x = t, y = t, t alrededor del eje X. 7. Dado el arco de curva calcule: a. La longitud de C. Se tiene que + S = π t (t) + (t) dt = 6π 5 C: x y = +, x [,], 4x 4 4 4x ' 4x y' = x = y =. 4x 4x 4x x 6x 8x + 6x + 6x 8x + L = + dx = + dx = dx 4 4 4x 6x 6x x 8x (4x ) 4x 4 4 6x 6x 4x 4x L = dx = dx = dx = x + dx x L = = + = + = = 4x b. El área de la superficie que se genera al girar C alrededor de la recta y =.

25 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 9 de 4 x 4x x 4x 4x 4x 4x A = π dx = π + + x + dx 5 5 x x x x x 4 6x x 6x x A = π x + dx = π x + dx 5 x x 6 x x x dx = π + + 6x x 8 6 x x A = π x A = π A = π = π A = π + + = π = π A = π 5 = π = π = π Sea f(x) una función continua y derivable en el intervalo (,4), tal que la longitud del arco de la curva f(x) desde x = a x = t viene dado por s(t) = 4arcsen(t / 4) con t 4. Obtenga f(x) si f(4) = 5. Sea g(x) = + [f '(x)], entonces se tiene que: t g(x)dx = 4.arcsen(t / 4) G(t) G() = 4.arcsen(t / 4) g(t) = 4. Al sustituir g(t) se tiene: g(t) = g(t) = g(t) = 4 6 t 6 t 6 t t + [f '(t)] = + [f '(t)] = [f '(t)] = 6 t 6 t 6 t Como t, se tiene entonces: De modo que: Además f(4) = 5 5 = C. De modo que f '(t) = t. 6 t t. 6 t f(t) = dt = 6 t + C f(x) = 6 x t 6.

26 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 9 de 9. Sea C la curva descrita por la ecuación 4 x = y + 8 4y desde y = a y =. Calcule el área de la superficie de revolución que se genera al girar C alrededor de y =. 6 y y x' = =. y y y 4y 6 7 y + y y 4 dy (y y y y )dy y (y ) 4y + y y + A = π ( y) + dy = π ( y) dy y + y + (y + ) ( y)(y + ) = π ( y) dy = π ( y) dy = π dy 6 6 4y 4y y = π = π + = π y y y + y = π = π = π = π Un cable eléctrico atado en sus extremos a la misma altura, está modelado por la función x e + y =, x e donde la variable x se mide en metros con x. a. Determine la longitud del cable. x e + x e L = + (y') dx = dx = e e b. Si el viento lo hace girar alrededor del eje que une sus extremos, éste genera una superficie de revolución. Calcule el área de esta superficie. x x e + e + e + e + e x e x e e A = π + (y') dx = π + (y') dx x x x x π e + e + e + π e + e + π e + = dx = dx dx e e x x x x e e e e e + π(e e + 4) = (e e ) e 4.

27 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 94 de. Calcule el área de la superficie de la curva generada al girar, alrededor del eje x, la porción de la curva y = 4 + x, x. y' = (y') =. x + 4 4(x + 4) 4x + 7 Área = 4π x + 4. dx = lím π 4x + 7dx 4(x + 4) t t / π / t 4 + t t 4 + (z = 4x + 7 dz = 4dx) ( ) π / π 4 = lím (4x + 7) = lím (5) (4t + 7) = (5 ) = π

28 MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 95 de 4.. MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA El momento de una región plana de densidad ρ, muy delgada, respecto de una línea recta, es la medida de la tendencia a girar de la región en torno a la línea recta. El centro de masa de una lámina es su punto de equilibrio. Usando integrales se verá como calcular el centro de masa de una lámina, y que cuando la densidad ρ es constante, este no depende de la masa de la lámina, sino, de la geometría de la región que define la lámina. Las siguientes propiedades son de utilidad a la hora de calcular centros de masa y momentos de regiones planas. Propiedad. Si una región plana es simétrica con respecto a una recta entonces el centro de masa de la región está en la recta, si la función de densidad ρ es simétrica respecto de la recta. Propiedad. Sean R, S y T regiones planas cuyos momentos son M(R, M(S) y M(T) (respecto al eje x o al eje y) tales que R = S T donde S y T se tocan a lo sumo en la frontera. Entonces M(R) = M(S) + M(T). Considere una lámina o región plana limitada por las curvas y intervalo a,b. Considere una banda de ancho dx dentro de la región. = f(x), y = g(x) en el Si la densidad es (diferencial de masa): ρ = ρ (x) entonces la masa aproximada de la banda viene dada por dm densidad área = ρ f(x) g(x) dx El centro geométrico de la banda es x = x, y = f(x) g(x), + (punto medio de la banda) El momento de la banda respecto del eje y es, por definición

29 MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 96 de dmy = brazo masa xρ f(x) g(x) dx = ρx f(x) g(x) dx, mientras que el momento de la banda respecto al eje x, es por definición dmx = brazo masa yρ f(x) g(x) dx = ρ f(x) g(x) f(x) g(x) dx + = ρ (f(x)) (g(x)) dx Integrando se obtienen los momentos de toda la lámina respecto del eje x y el eje y respectivamente: a b M x = ρ (f(x)) ((g(x)) dx, My = ρx f(x) g(x) dx a b Suponga que toda la masa de la lámina está concentrada en el punto de equilibrio de coordenadas (x,y), entonces los momentos respecto del eje x y el eje y son respectivamente my y mx. Así se tiene que my mx = M, es decir = Mx y y M x y = y m M y x =. m El punto de coordenadas (x,y) se conoce como centro de masa de la lámina. Si la densidad es constante, el centro de masa solo depende de la geometría de la región. En este caso (x,y) son las coordenadas del centro geométrico o centroide, es decir el centro de masa y el centroide coinciden. 4.. CENTRO DE MASA DE UNA CURVA PLANA Los momentos y centro de masa de curvas planas se deducen de manera análoga al método usado para regiones planas. Sea C una curva plana descrita por una función y = f(x) cuya derivada f '(x) es continua en a,b. Suponga que C representa un alambre de densidad considere un diferencial de longitud dl de C: ρ = ρ (x). Sea L la longitud de C y

30 CENTRO DE MASA DE UNA CURVA PLANA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 97 de dl = + f '(x) dx. Sea (x,y) un punto en el trozo de curva dl y suponga que la masa del trozo de curva está concentrada en dicho punto. Entonces los momentos respecto al eje x y al eje y son respectivamente: Eje X : masa brazo = ρydl. Eje Y : masa brazo = ρxdl Integrando respecto de x en a,b y respectivamente: resultan los momentos de C respecto a los ejes x y x b b y. a a M = ρ ydl, M = ρxdl El centro de masa (x,y) de la curva viene dado por b ρxdl M M x = =, y = = m m ρdl y a x a b a b ρf(x)dl a b ρdl, donde m es la masa total de la curva. 4.. TEOREMAS DE PAPPUS Los siguientes son teoremas importantes que relacionan el centroide de una región plana y el volumen del sólido que se genera al rotarla alrededor de un eje o bien el centroide de una curva plana y el área de la superficie que se genera al rotarla alrededor de un eje. Estos teoremas se atribuyen al geómetra griego Pappus, que vivió en el siglo IV antes de Cristo en Alejandría.

31 TEOREMAS DE PAPPUS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 98 de TEOREMA. El volumen del sólido que se genera al rotar una región plana R alrededor de una recta que no la cruce, ambas situadas en un mismo plano, es V = A.d, donde A es el área de R y d es la distancia recorrida por el centroide de R al rotar la región alrededor del eje de giro. La distancia recorrida por el centroide es la longitud de una circunferencia de radio r, es decir, π r. Por lo tanto, la fórmula para el volumen V también se puede escribir como V = π ra, donde r es la distancia del centroide al eje de giro. TEOREMA. Sea C una curva plana descrita por la función f(x) con derivada f '(x) continua en a,b y sea R una recta que no corta la curva C. El área de la superficie generada por C cuando rota alrededor de la recta R es igual al producto de la longitud de C por la distancia d recorrida por el centroide de C. En símbolos S = d.l, o sea S = π rl, donde r es la distancia desde el centroide hasta la recta R. 4.. EJERCICIOS RESUELTOS. Usando el teorema de Pappus, halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por y = x + x, y = 4 x alrededor de la recta x y + =. Gráfico de la región:

32 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 99 de 4 m = ( x + x + 4 x)dx = 6, M x = (( x + x) ( 4 x) )dx = My = x( x + x + 4 x)dx =, Coordenadas del centroide: 5 Cálculo de R: Aplicando Pappus: R = = = = = V = π.r.a = π..6 =.9 π = π (x,y) =, 5 5. Usando el teorema de Pappus, halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por y = x, y = x, x alrededor de la recta x y =. Gráfico de la región: 5 4 m = ( x x)dx = =, M = x( x x)dx = =, M x = (( x) x)dx = + = 6 4, 8 Centroide =, Sea R = = =. 5 Aplicando teorema de Pappus se tiene: V = π R.A = π.. = π = π y

33 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: de. Sea R una región cualquiera totalmente contenida en el tercer cuadrante de área / y tal que su centroide se encuentra sobre la recta y = x (suponga densidad igual a ). Si el volumen del sólido generado al girar R respecto a la recta y a. Centroide de R. = x es, halle el: Las coordenadas del centroide son de la forma (x,y) = (x,x). Al calcular el radio r se tiene: x x r = =. Por el teorema de Pappus se tiene que: V que: = π r.a. Al sustituir y despejar se tiene x 4πx = π.. 4 = = πx x =. π Así el centroide tiene coordenadas b. Momento respecto al eje x de R., π π. Mx = m.y =. = π π. c. Volumen del sólido generado al rotar R respecto a la recta y =. + π ( + π) V = π.. =. π 4. Considere la región R del primer cuadrante definida como x + y ; x y; y x. y R x -

34 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: de Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el: a. Área de R. b. Centroide de R. x x A = x dx + x dx. 4 4 x x Mx = x dx + x dx. 4 4 x x My = x x dx + x x dx. 5. Sea R la región del plano limitada por las curvas y = (x ), y = 5 (x ). My M x (x,y) =,. A A Intersecciones: (ver figura) (x ) = 5 (x ) x 4x + 4 = 5 x + x x 6x = x(x ) = Puntos de intersección: (,4),(,). Vértice o punto mínimo de Vértice o punto máximo de y = 5 (x ) : (,5) x =,x = y = (x ) : (,) a. Plantee la(s) integral(es) que calcula(n) el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región R alrededor de la recta x = 4 usando el método de los:

35 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: de a.. discos. a.. cilindros. b. Calcule la coordenada x del centroide de R. 4 V = π (4 ( y)) (4 ( + y)) dy + 4 π (4 ( y)) (4 ( + 5 y)) dy + 5 π (4 ( 5 y)) (4 ( + 5 y)) dy V = π (4 x)(5 (x ) (x ) )dx K x(5 (x ) (x ) )dx (5x x + x x x + 4x 4x)dx My x = = = m K (5 (x ) (x ) )dx (5 x + x x + 4x 4)dx (6x x )dx (x x )dx 4 (x x ) ( x x ) = = = (6x x )dx (x x )dx 6 = = = = = = = 6. Dé tres interpretaciones de lo que calcula la integral π x(x x )dx, indicando en cada caso las curvas involucradas. 4 ÁREA = f(x) g(x)dx, f(x) = π x, g(x) = πx.

36 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: de 4 MASA = ρ f(x) g(x)dx, ρ = π, f(x) = x, g(x) = x VOLUMEN (DISCOS) = π (RM(x)) (rm(x)) dx, RM(x) = x, rm(x) = x OTRAS. 7. Sea S la región acotada por la curvas y = x, x = y. Usando el teorema de Pappus, halle el volumen del sólido que se genera al girar S alrededor de la recta x + y =., m = ( y + y)dy = x, M = y( y y )dy = La región presenta simetría con respecto a la recta y 9 x = y =. Mx 9 y = = = m = x, de modo que se tiene R = =, V = π RA = π. = π = π.

37 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 4 de 4.4. EJERCICIOS PROPUESTOS. Encuentre el área de la región limitada por las curvas indicadas:.. y = x 4, y = x +... x = y, x = y +... y = x +, y = x +, y = x y = x + 8x 7, y = x 4. y = 4 x, y = x +, x =, x =. x = 6 y, x = 6 y. x = (y + ), x = y +. x 6 + y 9 =, x + y =. y = x +, y = 4(x ). y = x, y = 8 x, 4x y + =. y = x + 4, x = y. y x = 6, y = x, y + x =. y = a x, y = x, x y = a.. Grafique una región del plano, cuya área quede definida por ( x)dx.. Sin calcular la integral anterior, determine su resultado. 4. Halle el valor positivo de b para que el área de la región limitada por las curvas x = y + y, y = x + b sea Halle el valor de b de modo que la recta y = b divida en dos partes de igual área, la región limitada por las curvas y = 9 x, y =. 6. Deduzca la fórmula V = a para el volumen del cubo de arista a. 7. Deduzca la fórmula 4 V = π r para una esfera de radio r unidades.

38 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 5 de 8. Demuestre que el volumen de un cilindro circular recto, que tiene una altura de h unidades y un radio de la base de r unidades es igual a V = π r h. 9. Halle el volumen de la pirámide (tetraedro) de base triangular y aristas a, b, c perpendiculares.. Calcule el volumen de una pirámide cuya altura es de h unidades y cuya base es un cuadrado de lado de s unidades.. La base de un sólido es la región del plano xy acotada por las curvas x y = e, y = x en el intervalo,. Si las secciones transversales perpendiculares al eje x y al sólido son semicirculares, calcule su volumen.. Calcule el volumen del sólido cuya base es la región interior a la elipse sus secciones transversales son:.. Semielipses de altura, perpendiculares al eje x.. Cuadrados, perpendiculares al eje x x 9 + y 4 = y.. Triángulos de altura con base en la región interior a la elipse, perpendiculares al eje y. Halle el volumen de un sólido si se sabe que su base es una región elíptica con la curva frontera 9x + 4y = 6 y las secciones transversales perpendiculares al eje x xon triángulos rectángulo isósceles con la hipotenusa en la base. 4. Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por: 4.. y = x, y = x, x alrededor de y =. 4.. y = x, x = y y alrededor del eje y. 5. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y = x cuando rota alrededor de x =. y = (x ), 6. Una región del plano está limitada por las curvas x + 4y = 6, x + 4y + 4x = con y. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región alrededor de la recta y =. 7. Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por las curvas 4x = y, 4(8 x) = y al rotarla alrededor del eje y = 4.

39 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 6 de 8. Para la región limitada por la región al rotar alrededor del eje x. y = 4 x, y = x, determine el volumen del sólido que genera 9. Calcule el volumen generado por la rotación de la región delimitada por las curvas y = x, y = 4 alrededor del eje: 9.. y. 9.. x.. Sea la región delimitada por la semielipse sólido generado por la rotación de la región alrededor del eje:.. y = 4.. y = 4 y = 4 x y el eje x. Calcule el volumen del. Halle el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas y = x +, x = y alrededor del eje:.. x = 4.. y =. Dada la región limitada por las curvas sólido generado al girar la región alrededor de la recta x =. y = 8(x + ), y = (8 x), halle el volumen del. Dada la región comprendida entre la curva y = x, con x y el eje x. Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región alrededor del eje.. x... y. 4. Calcule el volumen generado por la región R acotada entre las curvas cuando gira alrededor de la recta y =. x = y, y = x, 5. Considere la región limitada por las curvas x = (y + ), x = y +. Halle el volumen al girar la región alrededor de la recta: 5.. y = x =. 6. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las parábolas y = x, y = (x ) alrededor del eje: 6.. x. 6.. y. 6.. x = Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las gráficas de las curvas y = x, 8. Sea R la región acotada por las curvas 8.. Grafique R. y = x + 4x + alrededor del eje y. y x 6, y x, y x = = + =. 8.. Plantee las integrales que permiten calcular el volumen generado al girar R alrededor de la recta y = por el método de los 8... discos cilindros.

40 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 7 de 9. Integrando respecto de y, halle la longitud del segmento de la recta 4x y + 6 = desde y = hasta y = 4. Compruebe el resultado mediante la fórmula de distancia.. Halle la longitud de la parábola x = y entre x = y x =.. Calcule la longitud de arco de la curva y = (x + ), con x 4.. Calcule la longitud de arco de la parábola y = x comprendida entre x.. Halle la longitud de arco de la curva 4 x = y ln(y) comprendido entre y e. 4. Halle la longitud del arco x y = arcsen(e ) desde x = hasta x =. 5. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por x(t) = t, t,. y(t) = t ; 6. Calcule la longitud del arco descrito por la función (,). y = x desde el punto (, ) al 7. Deduzca la fórmula L = π r para la longitud de la circunferencia de radio r, usando sus ecuaciones paramétricas. 8. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por y(t) = t, t [,]. x(t) = t, 9. Calcule la longitud de un arco de la cicloide x( θ ) = r( θ sen( θ)), θ π. y( θ ) = r( cos( θ)) 4. Dada la curva (arco de una cardioide) x(t) = cos(t) cos(t), t π, y(t) = sen(t) sen(t) calcule su longitud.

41 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 8 de 4. Sea la curva ln(e + e ). sen(y) = e x con x = hasta x =. Pruebe que su longitud es 4. Encuentre el área de la superficie generada por la rotación de las curvas siguientes en torno al eje que se indica: 4.. y = x, x 7 ; alrededor del eje x. 4.. y = x, x ; alrededor del eje y. 4.. y = x 4, 4 x 8; alrededor de x =. 4. Halle el área de la superficie del paraboloide que genera la curva y = x, x, cuando rota alrededor del eje x. 44. El área lateral de una esfera de radio R viene dada por S = 4π R. Deduzca esta fórmula. 45. Calcule el área de la superficie de revolución generada por alrededor del eje y. y = x con x, 46. Si la curva (x a) + y = r gira alrededor del eje y genera un sólido llamado toro de revolución (tripa de caucho). Calcular su superficie lateral. 47. Halle el centroide de la región limitada por las curvas y = 4 x, y = x. 48. Determine el centroide de la región limitada por las curvas y = x, x = y. 49. Calcule el centro de masa del semicírculo de radio r. 5. Dada la región acotada por las curvas y = x + x, 6x = y, calcule su centroide. 5. Siendo la densidad constante, calcule el centro de masa de la región limitada por las curvas y = x, x + y =. 5. Calcule el centro de masa de la región delimitada por las curvas Considere la densidad constante. x = 4 y, y = x +.

42 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: 9 de 5. Halle el centro de masa del arco de la cicloide de ecuaciones dadas por x = R(t sen(t)), y = R( cos(t)) con t π. Considere la densidad igual a uno. 54. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por y = x, x = y cuando rota alrededor del eje x + y =. 55. Halle el volumen de una esfera de radio a, utilizando el teorema de Pappus. 56. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y = 4 x, cuando gira alrededor de la recta: 56.. x = y = 56.. y = x + y = x + x, 57. Considere la región limitada por las curvas por la rotación de la región de la recta y = x +. y = x, y = x. Calcule el volumen generado 58. Halle el área del sólido generado al rotar el arco de la parábola alrededor de x =. y = 4x x, x 4, 59. Calcule el área de la superficie de rotación generada por un arco de la cicloide alrededor de la recta y = R. 6. Si la mitad superior de la elipse x a + y b = rota alrededor del eje x, genera un 4 sólido de revolución cuyo volumen es π ab. Calcule las coordenadas del centroide de la región limitada por la elipse y el eje x.

43 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 4 Pág.: de R E S P U E S T A S π π a.. ( π ) V = abc. V = s h. V = (e + )... 6 π π π 4.. π 5. 6π 6. π (7π 8) 7. 4 π 48 π π ( + π ).. 4 π( π ) π π π π π π 4. π π π. 48π 6π π π [(6 + x + ) ( x / + ) ]dx + π [(6 + x + ) (x + ) ]dx π (y + )( y + y)dy + π (y + )( y (y 6))dy. 5 ln( 5 + ). ( ). 4. ln(e + e ) ln r (e + ) π ( ) π (5 5 ) 45. 4π r 4π ar 47. (, ) 48. (, ) 49. (, ) π 5. (, ) π π 4 5. (,) 5. ( π R, R) π π 56.. π 56.. π 57. π 58. π [4 7 + ln(4 + 7)] π