APLICACIONES DE LA DERIVADA I. Ejercicios a resolver en la práctica. = x + 2. Determina y clasifica los puntos o valores

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1 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Enero-Marzo 010 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS MATEMÁTICA I (MA-1111) Fecha de publicación: Contenido Tercer Parcial APLICACIONES DE LA DERIVADA I Contenidos Máimos y mínimos locales. Puntos críticos Monotonía y concavidad. Más asíntotas horizontales, verticales y oblícuas Trazado de curvas. Máimos y mínimos absolutos. Problemas de optimización Ejercicios a resolver en la práctica 5 1. Dada la unción deinida por ( ) +. Determina y clasiica los puntos o valores críticos.. Dada la unción deinida por ( ) arctan( ). Indica el dominio, los puntos críticos, los intervalos en los cuales la unción dada crece o decrece, indica, si eisten, los valores etremos locales, estudia la concavidad de la gráica, e indica, si eisten, los puntos de inleión.. Esboza la gráica de la unción deinida por ( ) ( + 1) 4. Sea una unción continua tal que la gráica de la unción es la siguiente:

2 a) En cuáles intervalos es la unción creciente y en cuáles es decreciente? Justiica tu respuesta. b) Indica, si eisten, los etremos locales. c) En cuáles intervalos la gráica de es cóncava hacia arriba y en cuáles es cóncava hacia abajo? Justiica tu respuesta. d) Indica, si eisten, los puntos de inleión. 5. Sea ( ) a + b + c+ d. Halla los valores de a, b, c y d para los que la unción tenga un máimo local en 1, y un mínimo local 1 en Dada si ( ) si 4 - < 0 0< < a) Indica el dominio el dominio de la unción b) Halla, si eisten, las asíntotas horizontales y verticales de la gráica de la unción. c) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Indica, si eisten, los valores etremos locales. e) Determina los intervalos donde la gráica de la unción es creciente y donde es decreciente. ) Has un bosquejo de la gráica.

3 7. Halla el máimo absoluto y el mínimo absoluto de la unción deinida por ( ) + 1 en el intervalo [ 1, ]. 8. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 000 cm. Determina las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. 9. a) Si ( ), calcula () y () para todo número real, y demuestra que (0) no eiste. b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la unción '. c) Estudia la concavidad de la gráica de la unción de la unción ', y determina si eisten puntos de inleión. d) Graica las unciones, y y veriica los resultados obtenidos en a), b), c) y d). ()

4 Releiona Qué es un punto o valor crítico? Qué pasos debes seguir para hallar los puntos o valores críticos de una unción? b ' > Qué característica se puede deducir de una unción en el intervalo ( a, ) si ( ) 0 para toda ( a, b)? Qué característica se puede deducir de una unción en el intervalo ( a, b) si '( ) < 0 para toda ( a, b)? Qué pasos debes seguir para determinar los intervalos en los cuales una unción es creciente? Qué pasos debes seguir para determinar los intervalos en los cuales una unción es decreciente? Qué es un máimo local? Qué es un mínimo local? Si Dom ' > para toda ( a, 0 ) y '( ) < 0 para toda ( 0, b), 0 y además ( ) 0 qué puedes airmar con respecto a ( 0 )? Si 0 Dom y además '( ) < 0 qué puedes airmar con respecto a ( 0 )? para toda ( ) y '( ) > 0 para toda (, b) a, 0 Qué pasos debes seguir para determinar los máimos locales de una unción? Qué pasos debes seguir para determinar los mínimos locales de una unción?, Qué característica se puede deducir de la gráica de una unción en el intervalo ( a, b) si ''( ) > 0 para toda ( a, b)? Qué característica se puede deducir de la gráica de una unción en el intervalo ( a, b) si ''( ) < 0 para toda ( a, b)? Qué pasos debes seguir para determinar los intervalos en que la gráica de una unción es cóncava hacia arriba? Qué pasos debes seguir para determinar los intervalos en que la gráica de una unción es cóncava hacia abajo? Qué es un punto de inleión? Si Dom '' > para toda ( a, 0 ) y ''( ) < 0 para toda 0 y además ( ) 0 ( 0 b), qué puedes airmar con respecto al punto ( 0, ( 0) )? 0 Dom y además ''( ) < 0 para toda ( a, 0 ) y ''( ) > 0 ( b), qué puedes airmar con respecto al punto ( ( ))?, Si para toda 0, 0, 0 Qué pasos debes seguir para determinar los puntos de inleión de la gráica de una unción? 0 4

5 Ejercicios propuestos 1. Para cada una de las unciones que se deinen a continuación determina el dominio, los valores críticos, los intervalos en los cuales la unción dada crece o decrece, los valores etremos locales, discute la concavidad de la gráica, e indica, si eisten, los puntos de inleión. a) ( ) + sen b) ( ) + arctan( ) c) ( ) ( )5 d) 4 ( ) 1. Para cada una de las unciones que se deinen a continuación: i) Indica el dominio. ii) Halla, si eisten, los cortes con los ejes. iii) Determina las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de la gráica de. iv) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento. v) Determina, si eisten, los valores etremos locales vi) Estudia la concavidad. vii) Indica, si eisten, puntos de inleión viii) Graica la unción dada. a) d) ( ) b) 4 ( ) + e) 1 ( ) + c) ( ) + 4+ ( ) ) 1+ + ( ) 9 4. Sea una unción continua tal que ( 1) 5 y ( ) 4, si la gráica de la unción es la siguiente: 5

6 a) En cuáles intervalos es la unción creciente y en cuáles es decreciente? Justiica tu respuesta. b) Indica los etremos locales. Releiona Qué es el valor máimo absoluto de una unción? Qué es el valor mínimo absoluto de una unción? En cuáles puntos o valores del dominio puede alcanzar una unción su máimo o mínimo absoluto? Toda unción alcanza el máimo o mínimo absoluto en algún punto de su dominio? Qué puedes airmar acerca de los valores etremos absolutos de una unción continua deinida en un intervalo cerrado y acotado? Qué pasos debes seguir para hallar los valores etremos absolutos de una unción continua en un intervalo cerrado y acotado? 4. Para cada una de las unciones que se deinen a continuación: halla el máimo y mínimo absoluto de cada una de las unciones en el intervalo indicado. a) g( ) cos en π π, 4 b) 4 1 en [ 1,1] ( ) en 1, 1 d) c) ( ) arcsen( ) + ( ) + 5 g en [ 6,8] 5. Una empresa constructora está diseñando una zona de descanso para automovilistas al lado de una carretera principal. La zona será rectangular, tendrá m de área y estará cercada por los tres lados no adyacentes a la carretera. Cuál es la menor cantidad de metros de cerca necesaria para realizar el trabajo? 6. Halla la distancia del punto (, 0) a la gráica de la unción deinida por ( ). 7. Halla las dimensiones de un rectángulo de área 64cm para que la distancia de un vértice al punto medio de uno de sus lados no adyacentes sea mínima. 6

7 . Halla a y b si (, ) 8. Sea una unción deinida por ( ) a + b inleión de la gráica de. es un punto de 9. Sea una unción impar de dominio R { 1,1} tal que, es continua en su dominio, ( 0) 0, lim ( ), lim ( ), lim ( ) 1, es decreciente en ( 0,1), la gráica de es 1 ( 1) cóncava hacia abajo en (, 0) a) lim ( ) + 1 b) lim ( ) c) La recta de ecuación y 1 es una asíntota horizontal. d) lim ( ) 1 e) La gráica de es cóncava hacia arriba en ( 0, + ) ) es creciente en ( 1, 0),. Cuáles de las airmaciones siguientes son verdaderas? 7

8 Respuestas de los ejercicios propuestos 1) a) Dom R ; puntos críticos: ( 1+ k) π k Z los intervalos de la orma ( k π,( k+ 1) π) con Z (( k + 1) π,( k+ ) π) con Z b) Dom R ; punto crítico: 0 k. Puntos de inleión: kπ, k Z hacia abajo en ( 0, + ) y es cóncava hacia arriba en (, 0) ; (,) c) Dom R ; punto crítico: ; es creciente en(, ) máimo local. La gráica de es cóncava hacia arriba en todo su dominio. d) Dom [ 1,1] ; puntos críticos: 1 1 creciente en, ; ; es creciente en R. La gráica es cóncava hacia abajo en k y es cóncava hacia arriba en los intervalos de la orma ; es decreciente en R; no tiene valores etremos locales. La gráica es cóncava 1 1 y 0 es un punto de inleión. y es decreciente en (, + ) 1 1 ; es decreciente en 1, y en ; ( ) es un 1,1 y es 1 1 es un máimo local y es un mínimo local. La gráica 1, 0,1 0, 0 es un punto de inleión. de es cóncava hacia arriba en ( ) y cóncava hacia abajo en ( 0 ) ; ( ) ) a) i) R {, } ii) ( 0, 0) iii) Verticales: y y 1 iv) la unción es creciente en (, ) y en (, 0) en( 0, ) y en (, + ) v) ( 0) 0 locales vi) La gráica es cóncava hacia arriba en (, ) y en (, + ) es cóncava hacia abajo en (, ). Horizontal: y es decreciente es un máimo local. No tiene mínimos y vii) La gráica no tiene puntos de inleión. b) i) R { } ii) (, 4), 0 5, 0 ii) Vertical: y + iv) La unción es creciente en (, ) y en (, + ) etremos locales vi) La gráica es cóncava hacia arriba en (, ) cóncava hacia abajo en (, + ) viii) 0, ( 5 ) y ( ) Oblícua: v) No tiene y es vii) La gráica no tiene puntos de inleión 8

9 c) i) ( ) (, + ) Verticales:, ii) No interseca a los ejes coordenados iii) y. Oblícuas: y y y iv) La unción es, y en (, ) y es decreciente en(, ) y creciente en ( ) en (, + ) v) ( ) 4 y ( ) 4 son máimos locales. No tiene mínimos locales vi) La gráica de es cóncava hacia abajo en (, ) y en (, + ) vii) La gráica no tiene puntos de inleión R ii) (, 0) d) i) { 0} iii) Vertical: 0. Horizontales: no tiene Oblícuas: No tiene iv) La unción es creciente en (, + ) (, 0) y ( 0,1) v) ( 1) 1 y es decreciente es un mínimo local. No tiene máimos locales vi) La gráica de es cóncava hacia arriba en (, ) cóncava hacia abajo en(, 0) vii) Punto de inleión: (, 0) y en (, + ) 0 y e) i) R ii) ( 0, ) y ( 1, 0) iii) Verticales: no tiene Horizontal: La unción es creciente en ( 1,1) y es decreciente (, 1) y en (, + ) y iv) 1 v) ( 1) 4 es un máimo local y ( 1) 0 es un mínimo local vi) La gráica de es cóncava hacia arriba en (, 0) y en (, + ) en(, ) y en (, ) y (, + ) 0 vii) Puntos de inleión: (, ) y cóncava hacia abajo 0, (, ) 1 ii) 0, iii) Vertical:. Horizontal: y 0 iv) es creciente en (, ) en (, ) y en (, + ) v) No tiene valores etremos locales vi) La gráica de es cóncava hacia arriba en (, ) y en(, ) y cóncava hacia abajo en(, + ) vii) No tiene puntos de inleión ) i) R {, } 9

10 ) a) Creciente en (, 1) y en (, + ) ; creciente en ( 1, ) ( ) 4. 4) a) Máimo absoluto ( π) g(0) 1 π g, mínimo absoluto g 1 b) máimo local : ( 1) 5 ; mínimo local: 1 1 b) Máimo absoluto, mínimo absoluto π c) Máimo absoluto ( 1), mínimo absoluto ( 0 ) 0 d) Máimo absoluto ( 6 ) 15 g, mínimo absoluto g ( 5 + ) ) 00m 6) 7 7) 4 y y 16 8) a 1 y b 9) a), c) y e) 10

11 Halla el error Como la unción es creciente en ( 1,1) es un mínimo local. es decreciente en(, 1) se tiene que 1 Como la gráica de la unción es cóncava hacia arriba en (, 0) abajo en (, ) se tiene que es un punto de inleión. y es cóncava hacia 1 Sea ( ) entonces como la gráica de la unción es cóncava hacia arriba en 1 ( 1, + ) y es cóncava hacia abajo en (,1) en 1 hay un punto de inleión. La unción seno tiene ininitos máimos y mínimos absolutos, que son π π + kπ, k Z y + kπ, k Z respectivamente. La gráica de una unción puede intersecar (cortar) las asíntotas verticales. La gráica de una unción no puede intersecar (cortar) una asíntota horizontal. Para resolver un problema de optimización es suiciente deinir la unción correspondiente y luego basta determinar los puntos o valores críticos. 11

12 Problemas Etras Parte única: 1 Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la unción: ( ) ( + ) Estudia y representa la unción: ( ) Representa gráicamente la siguiente unción, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes: 4 Dada la unción: ( ) + 1 ( ) estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráicamente. 5 Estudia y representa la siguiente unción: ( ) 4 6 Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente unción: ( ) Estudia y representa la unción: ( ) + 1 1

13 8 Representa gráicamente la siguiente unción, estudiando los aspectos que consideres más relevantes: ( ) + 9 Estudia y representa la unción: ( ) 1 10 Estudia dónde crece y dónde decrece la unción: ( ) Resuelva los siguientes problemas: a) Encuentre dos números que sumados den 100 y cuyo producto sea máimo. b) Muestre que de todos los rectángulos con un área dada, el cuadrado es que tiene menor perímetro. c) Encuentre el área del mayor rectángulo que se pueda inscribir en un semicírculo de radio r. d) Encuentre el punto de la parábola y más cercano al punto (1, 4). e) Un hombre está en A, a la orilla de un río recto de km de ancho, quiere llegar al punto D, 8 km más abajo en la otra orilla, lo más rápido posible. Podría remar en su km bote directamente al rente (B) y correr a D, o A B podría remar directamente a D, o podría remar a un punto C cualquiera entre B y D y luego correr. Si el C hombre puede remar a 6 km/hr y correr a 8 km/hr, hasta donde debe llegar en bote para llegar a D lo D más rápido posible? Asuma que la rapidez del agua es 0 km/hr. 8 km ) Un cilindro circular recto se inscribe en un cono de altura h y base de radio r. 1

14 Encuentre el volumen máimo posible de dicho cilindro. g) Los márgenes superior e inerior de un poster miden 6 cm y los márgenes laterales 4 cm cada uno. Si el área impresa debe ser de 84 cm, encuentre las dimensiones del poster de área mínima. 1 Considera la unción: () a) Estudia su crecimiento y halla sus máimos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inleión. 1 Halla los máimos, mínimos y puntos de inleión de la unción: () ( -) ( + 1) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convea. 14 Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 00 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, a qué precio de venta es máimo el beneicio diario que obtiene el heladero? Cual será ese beneicio? 15 Halla los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la unción: + ( ) 1 16 Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente unción. Halla sus máimos, mínimos y puntos de inleión: 4 ( ) Una huerta tiene actualmente 4 árboles, que producen 600 rutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 rutos. Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máima? Cuál será esa producción? 14

15 18 Estudia los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la unción: 4 1 ( ) ( ) 19 Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para litros, qué dimensiones debe tener para que su abricación sea lo más económica posible? Practica elaborada por la Pro: Aida Montezuma. Ampliada por Pro Antonio Di Teodoro (Basada en prácticas anteriores de la USB-Matemáticas), en Especial las prácticas de la Proa Diasparra Maikol. Formato doc->pd 15