IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A ( 5 putos) Resuelva el siguiete sistema y clasifíquelo atediedo al úmero de solucioes: x + y + z = 0 x + 3y z = 17 x + 5y + z = 17 (0 75 putos) A la vista del resultado aterior, podemos afirmar que hay ua ecuació que es combiació lieal de las otras dos? y ( Resuelva el siguiete sistema y clasifíquelo atediedo al úmero de solucioes: x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + 3y z = 17 (F - F 1 ) y 3z = 17 y 3z = 17 x + 5y + z = 17 (F 3 - F 1 ) y 3z = 17 (F 3 - F ) 0 = 0 Como os ha quedado u sistema de dos ecuacioes co tres icógitas, es u sistema compatible e idetermiado y tiee ifiitas solucioes e R, y hemos visto al desaparecer la tercera ecuació, la tercera es combiació lieal de la primera y la seguda ecuació. Tomado z = λ R, teemos y = λ, y de x + (17 + 3λ) + (λ) = 0 teemos x = λ. La solució del sistema es (x,y,z) = (-17 - λ, λ, λ) co λ R. EJERCICIO _A Sea la fució f(x) = x 3 + 3x. (1 puto) Obtega la ecuació de la recta tagete a su gráfica e el puto de abscisa x = 1. (0 5 putos) Halle su puto de iflexió. c) (1 5 putos) Dibuje la gráfica de la fució, estudiado previamete la mootoía y los extremos relativos. Sea la fució f(x) = x 3 + 3x. Obtega la ecuació de la recta tagete a su gráfica e el puto de abscisa x = 1. Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié la ecuació de la recta tagete. ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); (x k ) = k.x k-1 ; (k) = 0. La ecuació de la recta tagete (R.T.) a la gráfica de f e x = a es y g( = g ( (x. E uestro caso la recta tagete e x = -1 es y f(-1) = f (-1) (x (-1)). f(x) = x 3 + 3x ; f (x) = 3x + x. Luego f(-1) = (-1) 3 + 3(-1) = y f (-1) = 3(-1) + (-1) = -3, y la recta tagete pedida es y () = -3 (x + 1), es decir y = -3x - 1. Halle su puto de iflexió. Sabemos que los putos de iflexió aula la ª derivada, luego f (-1) = 0. f(x) = x 3 + 3x ; f (x) = 3x + x; f (x) = x +. De f (x) = 0 x + = 0 x = -1, que es el posible puto de iflexió. Ua de las formas de ver que es puto de iflexió es comprobado que f (-1) 0, lo cual es cierto pues f (x) =, luego f (-1) = 0. Otra forma es ver que f (x) cambia de sigo a izquierda y derecha de -1, co lo cual cambia la curvatura e x = -1. El puto de iflexió se alcaza e x = -1, y vale f(-1) = (calculado e el apartado (). c) Dibuje la gráfica de la fució, estudiado previamete la mootoía y los extremos relativos. Sabemos que la mootoía sale estudiado la primera derivada f (x). f(x) = x 3 + 3x ; f (x) = 3x + x. De f (x) = 0, teemos 3x + x = 0 = x(3x + ), de dode x = 0 y x = -. Que será los posibles extremos relativos. De f (-3) = 3(-3) + (-3) = 9 > 0, vemos que f (x) > 0 e el itervalo (-,-), es decir f(x) es estrictamete creciete ( ) e el itervalo (-,-) De f (-1) = 3(-1) + (-1) = -3 < 0, vemos que f (x) < 0 e el itervalo (-,0), es decir f(x) es estrictamete gjrubio@hotmail.com 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua decreciete ( ) e el itervalo (-,0) De f (1) = 3(1) + (1) = 9 > 0, vemos que f (x) > 0 e el itervalo (0,+ ), es decir f(x) es estrictamete creciete ( ) e el itervalo (0,+ ) Por defiició x = - es u máximo relativo, que vale f(-) = (-) 3 + 3(-) =. Por defiició x = 0 es u míimo relativo, que vale f(0) = (0) 3 + 3(0) = 0. Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica de f es: EJERCICIO 3_A Parte I U estudiate se preseta a u exame e el que debe respoder a dos temas, elegidos al azar, de u temario de 0, de los que se sabe 0. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que respoda correctamete a los dos? (1 puto) Cuál es la probabilidad de que respoda correctamete al meos a uo de los dos? U estudiate se preseta a u exame e el que debe respoder a dos temas, elegidos al azar, de u temario de 0, de los que se sabe 0. Cuál es la probabilidad de que respoda correctamete a los dos? Llamemos A 1, A C 1, A y A C, a los sucesos siguietes, respoder correctamete el primer tema, o respoder correctamete el primer tema, "respoder correctamete el segudo tema" y "o respoder correctamete el segudo tema ", respectivamete. Sabemos que p(a B) = p(a) p(b/a); p(a C ) = 1 - p(a). Además teemos p(a 1 ) = 0/0 = 3/ = 0 75, p(a /A 1 ) = 59/79 (No so idepedietes). Me pide p(respoda correctamete a los dos) = p(a 1 A ) = p(a 1 ) p(a /A 1 ) = (0/0) (59/79) = 177/ Cuál es la probabilidad de que respoda correctamete al meos a uo de los dos? El suceso respoda correctamete al meos a uo de los dos es el cotrario de o respoder bie a iguo de los dos temas, luego p(respoda correctamete al meos a uo de los dos) = = 1 - p(a 1 C A C ) = 1 - p(a 1 C ) p(a C /A 1 C ) = 1 - (0/0) (19/79) = 1-19/31 = 97/ EJERCICIO 3_A Parte II E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 3. (1 puto) A partir de ua muestra de tamaño 30 se ha obteido ua media muestral igual a 7. Halle u itervalo de cofiaza, al 9%, para la media de la població. gjrubio@hotmail.com

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua (1 puto) Qué tamaño míimo debe teer la muestra co la cual se estime la media, co u ivel de cofiaza del 99% y u error máximo admisible de? σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que la media es x = (a + /, el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para σ el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = E, de dode E = (b /, z 1- α/. σ z 1- α/. σ por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 3. A partir de ua muestra de tamaño 30 se ha obteido ua media muestral igual a 7. Halle u itervalo de cofiaza, al 9%, para la media de la població. Datos del problema: σ = 3, = 30, x = 7, ivel de cofiaza = 9% = 0 9 = 1 - α, de dode α = 0 03, es decir α/ = 0 0/ = 0 0. De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 9. Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 9 o viee, y que la más próxima es que correspode a z 1-α/ = 05 (iterpolado z 1-α/ = 05), por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = '05,7 + '05 (5 77, 1) Qué tamaño míimo debe teer la muestra co la cual se estime la media, co u ivel de cofiaza del 99% y u error máximo admisible de? Datos del problema: σ = 3, E, ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α = 0 01, es decir α/ = 0 01/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 57 y 5, por tato z 1-α/ es la media es decir z 1-α/ = ( )/ = 575. De z 1- α/. σ '575 3 = E 1 919, teemos que el tamaño míimo es = 15. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B (1 puto) Dibuje el recito defiido por las siguietes iecuacioes: x y 1; x + y 7; x 0; y 5. gjrubio@hotmail.com 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua (1 puto) Determie los vértices de este recito. c) (1 puto) Cuáles so los valores máximo y míimo de la fució objetivo F(x,y) = x + y 5 y e qué putos alcaza dichos valores? (, ( y (c) Fució Objetivo F(x,y) = x + y 5. Restriccioes: Que so las desigualdades x y 1; x + y 7; x 0; y 5; y las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x y = 1; x + y = 7; x = 0; y = 5. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x 1; y = -x/ + 7/; x = 0; y = 5; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes de las rectas de dos e dos. De y = -x/ + 7/ e y = x 1, teemos -x/ + 7/ = x 1, es decir -x + 7 = x -, luego 9 = 3x, luego x = 3 e y =, y el puto de corte es A(3,) De y = 5 e y = x - 1, teemos 5 = x 1, es decir x =, y el puto de corte es B(,5) De x = 0 e y = 5. El puto de corte es C(0,5) De x = 0 e y = -x/ + 7/, teemos y = 7/ = 3 5, y el puto de corte es D(0,3 5) Vemos que los vértices del recito so: A(3,), B(,5), C(0,5) y D(0,3 5). Calculemos los extremos de la fució F(x,y) = x + y 5 e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(3,), B(,5), C(0,5) y D(0,3 5). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(3,) = (3)+()-5 = 9; F(,5) = ()+(5)-5 = 7; F(0,5)=(0)+(5)-5 = 15; F(0,3 5)=(0)+(3 5)-5 = 9. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 7 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(,5) y el míimo absoluto de la fució F e la regió es 9 (el valor meor e los vértices) y se alcaza e los vértices A(3,) y D(0,3 5), es decir e todos los putos del segmeto AD. EJERCICIO _B (1 5 putos) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f defiida de la forma f(x)=1+l(x 1) e el puto de abscisa x = 1. (1 puto) Deduzca razoadamete las asítotas de la fució g, defiida de la forma g(x) = 3-x x-. c) (0 5 putos) Determie la posició de la gráfica de la fució g respecto de sus asítotas. gjrubio@hotmail.com

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f defiida de la forma f(x) =1 + L(x 1) e el puto de abscisa x = 1. Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié la ecuació de la recta tagete. ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); (x k ) = k.x k-1 ; (l(f(x)) = f'(x) ; (k) = 0. f(x) La ecuació de la recta tagete (R.T.) a la gráfica de f e x = a es y f( = f ( (x. E uestro caso la recta tagete e x = 1 es y f(1) = f (1) (x 1). f(x) = 1+ L(x 1); f (x) = /(x 1). Luego f(1) = 1 + L(.(1) 1) = 1+ L(1) = = 1 y f (1) = /((1) 1)= = /1 =, y la recta tagete pedida es y (1) = (x 1), es decir y = x 1. ( y (c) Deduzca razoadamete las asítotas de la fució g, defiida de la forma g(x) = 3-x x-. Sabemos que los cocietes de fucioes poliómicas tiee ua asítota horizotal (A.H.) si coicide el grado del umerador co el del deomiador, que es uestro caso, y además dicha A.H. es la misma e ±. Tambié sabemos que los úmeros que aula el deomiador so asítotas verticales (A.V.), si el límite e dicho úmero es, que tambié es uestro caso. Teemos g(x) = 3-x, cuya grafica es ua hipérbola y sabemos tiee ua A.V. y ua A.H. x- 3-x El úmero que aula el deomiador (x-=0) es x =, y como lim x x- = 1/0- = -, la recta x = es ua A.V. de f. Además (c) a la izquierda del, g está e -. 3-x De lim x + x- = 1/0+ = +, (c) a la derecha del, g está e +. Como x lim + 3-x x- = lim (-x/x) = 3-x lim (-1) = -1, la recta y = -1 es ua A.H. e ±. De lim (g(x) - A.H.) = lim ( 1) x- = 0+, (c) teemos que g está por ecima de la A.H. e +. 3-x De lim (g(x) - A.H.) = lim ( 1) x x x- = 0-, (c) teemos que g está por debajo de la A.H. e -. Auque o lo pide, u esbozo de la gráfica de g es: EJERCICIO 3_B Parte I E los Juegos Mediterráeos Almería 005 se sabe que el 5% de los atletas so asiáticos, el 5% so africaos y el resto so europeos. Tambié se sabe que el 10% de los atletas asiáticos, el 0% de los atletas africaos y el 5% de los atletas europeos habla español. (1 puto) Calcule la probabilidad de que u atleta, elegido al azar, hable español. (1 puto) Si os ecotramos co u atleta que o habla español, cuál es la probabilidad de que sea africao? E los Juegos Mediterráeos Almería 005 se sabe que el 5% de los atletas so asiáticos, el 5% so gjrubio@hotmail.com 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua africaos y el resto so europeos. Tambié se sabe que el 10% de los atletas asiáticos, el 0% de los atletas africaos y el 5% de los atletas europeos habla español. Llamemos As, Af, Eu, Es C y Es C, a los sucesos siguietes, atleta asiático, atleta africao, "atleta europeo", habla español y "o habla español", respectivamete. Además teemos p(as) = 5% = 0 05, p(af) = 5% = 0 5, p(eu) = 70% = 0 7, p(es/as) = 10% = 0 1, p(es/af) = 0% = 0 1 y p(es/eu) = 5% = 0 5. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Calcule la probabilidad de que u atleta, elegido al azar, hable español. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que hable español es: p(es) = p(as).p(es/as) + p(af).p(es/af) + p(eu).p(es/eu) = = (0 05) (0 1) + (0 5) (0 ) + (0 7) (0 5) = 0 3. Si os ecotramos co u atleta que o habla español, cuál es la probabilidad de que sea africao? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: C C p( Af Es ) p( Af).p(Es /Af ) p(af/es C (0'5) (0') ) = = = = 0/ C p(es ) 1 - p(es) 1-0'3 EJERCICIO 3_B Parte II (0 75 putos) E ua població hay 100 persoas: 0 mujeres y 0 hombres. Se desea seleccioar ua muestra de tamaño 5 mediate muestreo estratificado co afijació proporcioal. Qué composició tedrá dicha muestra? (1 5 putos) E la població formada por los úmeros,, y, describa las posibles muestras de tamaño seleccioadas por muestreo aleatorio simple, y calcule la variaza de las medias muestrales. E ua població hay 100 persoas: 0 mujeres y 0 hombres. Se desea seleccioar ua muestra de tamaño 5 mediate muestreo estratificado co afijació proporcioal. Qué composició tedrá dicha muestra? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N 1, N,..., N k, y si 1,,..., k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra = 1 +, k y se calcula eligiedo los úmeros 1,,..., k proporcioales a los tamaños de los estratos N 1, N,..., N k, es decir 1 = =... = k = N1 N Nk N 1 E uestro caso 0 = 0 = = 1 0. gjrubio@hotmail.com

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua 1 De 0 = 1 0, teemos 1 = 0 = 3 mujeres e el primer estrato. 0 De 0 = 1 0, teemos = 0 = hombres e el segudo estrato. Tambié se podría haber calculado 0 restado al total de la muestra el úmero de mujeres 3, y os quedaría hombres. E la població formada por los úmeros,, y, describa las posibles muestras de tamaño seleccioadas por muestreo aleatorio simple, y calcule la variaza de las medias muestrales. Costruyamos la distribució muestral de medias y, para ello, calculamos la media de todas las muestras posibles co reemplazamieto de tamaño que so 1. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra x i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. x i i i x i i (x i ) N=1 0 0 La media de la distribució muestral de medias (media de las medias muestrales) es: k x i i i= 1 µ = x = = 0 N 1 = 5 La variaza de la distribució muestral de medias es: σ i i = (x ) - x N = 0 - ( 5 ) = 5 1 = 5. gjrubio@hotmail.com 7