9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES"

Transcripción

1 9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 9. Co ua calculadora, forma térmios de las siguietes sucesioes y estudia a qué valores tiede. a) a b) b c) c 5 a) a a 8 5,6 a 0 00,98 a , Se observa que tiede a. b) b,5 b 0 0,757 b 00 00,97 b , Se observa que tiede a. c) c 5 0, c 0, c 0 0,0 c 00 0,00 c 000 0,000 c ,0000 Se observa que tiede a Calcula térmios de las siguietes sucesioes y observa si tiee límite. a) a b) b c) c a) a a 5 a 0 0 a La sucesió o parece teder a igú úmero real; por tato, o tiee límite. b) b b 8 b b La sucesió o parece teder a igú úmero real; por tato, o tiee límite. c) c c c 0 8, c 00 98,09 c ,00 c La sucesió o parece teder a igú úmero real; por tato, o tiee límite Dada la sucesió a : a) Halla su límite. b) Calcula las distacias etre los térmios a 0, a 00 y a 000, y el límite. c) A partir de qué térmio esta distacia es meor que ua cetésima? d) Y meor que ua diezmilésima? a) Calculamos alguos térmios: a 0,95 a 00,9955 a 000,999 6 Por tato, lim. b) a 0,95 0,066; a 00,9955 0,00665; a 000,999 0, c) a , A partir del térmio 67, la diferecia etre los térmios de la sucesió y su límite es meor que ua cetésima. d) b ,. A partir del térmio 6667, la diferecia etre los térmios de la sucesió y su límite es meor que ua diezmilésima. 76

2 9. La sucesió de térmio geeral b tiee por límite 0. Halla a partir de qué térmio se verifica que b 0 < 0, Por tato, a partir del térmio se verifica que: b La sucesió de térmio geeral c tiee por límite. Calcula a partir de qué térmio se verifica que c < 0, ,6. Por tato, a partir del térmio 87 se verifica que: c Comprueba que la sucesió de térmio geeral a 7 tiede a meos ifiito. Calculamos alguos térmios de la sucesió: a 0 7; a 00 07; a ; a Los térmios se va haciedo cada vez meores, de forma que por muy pequeño que sea u valor, siempre ecotramos térmios iferiores a él. Por tato, lim a. 9.7 Comprueba que lim ( 5). Formamos alguos térmios de la sucesió: a 0 50; a ; a Los térmios se va haciedo cada vez mayores, de forma que por muy grade que sea u valor, siempre ecotramos térmios superiores a él. Por tato, lim ( 5). 9.8 Dados k y la sucesió de térmio geeral a, averigua a partir de qué valor del ídice sus térmios so mayores que k. a ,995 A partir del térmio 00, los térmios siguietes so mayores que Efectúa las siguietes operacioes cuado. a) ( ) b) a) ( ) () b) 0 () ( ) 9.0 Realiza las correspodietes operacioes cuado. a) (5) 5 b) a) (5) 5 5 () 5 5 b) 0 77

3 9. Dadas las sucesioes a y b 5 5, 9 calcula: a 5a ylim b ylim 7b c) lim (a b )ylim(a ) b a) Formamos alguos térmios de las sucesioes para hallar los límites. a 0, ; a 00,907 ; a 000,9900 Por tato, lim 5 b 0 0, ; b 00 0,097 ; b 000 0,009 Por tato, lim 5 0, 5 (5a ) lim 5 lim (7b ) lim 7 5 c) lim (a b ) lim lim (a ) b lim 5 5 lim lim lim lim 5 lim b (a ) Dadas las sucesioes a y b 5, halla: a ylim b (a b ) c) lim a b ylim(a ) b a) Formamos alguos térmios de las sucesioes para hallar los límites. a 0 0,95 ; a 00 0,9995 ; a 000 0,99995 Por tato, lim 5 b 0 6,66 ; b 00 6,906 ; b 000 6,9 7 Por tato, lim 7 (a b ) lim lim lim a c) lim lim b 5 7 lim 5 7 lim 7 lim (a ) b lim lim b (a ) 7 9. Halla lim lim lim

4 9. 5 Calcula lim. lim lim Dada la sucesió de térmio geeral: a 9 9. a) Halla los térmios a 00, a 000 y a b) Está acortada la sucesió? Es creciete? 09 a) a ,7059 ; a b) La sucesió está acotada superiormete y es creciete ,769 ; a , Dada la sucesió de térmio geeral: a. a) Calcula los térmios a 00, a 000 y a b) Está acortada la sucesió? Es creciete? a) a ,705 ; a ,769 ; a ,78 b) La sucesió está acotada superiormete y es creciete 9.7 Calcula: lim 5 e lim lim lim e 5 e Calcula: 5 lim lim lim ( ( ) ) e e 5 lim lim lim e 79

5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 9.9 De forma muy parecida se obtiee el aticopo de ieve. Observa la secuecia siguiete.... Cuáles será los perímetros sucesivos de las figuras aticopo de ieve? Forma la sucesió de los perímetros. Sea L la medida del lado del triágulo equilátero. Los parámetros sucesivos de las figuras aticopo de ieve so: p L p L L L L 8L p L 6L 9 Para pasar del perímetro de ua figura al de la siguiete, basta co multiplicar por. La sucesió de los perímetros es ua progresió geométrica de razó ; por tato, los térmios de esta sucesió so los siguietes: L; (L); (L); (L) 9.0 Observa las siguietes figuras.... A partir de u recuadro, lo vamos bordeado co semicircuferecias y aparece dos sucesioes: las áreas rayadas e verde y los perímetros de las semicircuferecias. Estudia ambas sucesioes. Sea L la medida del lado del cuadrado. Sucesió de las áreas rayadas e verde: A L A L A 8 8 L L L L 8 Por tato, L ; L ; L ; L L, Sucesió de los perímetros de las semicircuferecias: L p L L p L L p 8 L 8 Se trata de ua sucesió costate. L, L, L 80

6 ACTIVIDADES EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Sucesioes. Hacia la idea de límite 9. Calcula alguos térmios de estas sucesioes y halla el valor al que tiede. a) a 5 6 c) c b) b d) d a) c) a,98,9998, b) d) b 0,77 0,097 0, c,59,06, d 0,55 0,505 0,5005 0,5 9. Comprueba si la sucesió a tiee límite. a 0 0,9; a 00 0,99; a 00 0,999 lim 9. Cuáles de las siguietes sucesioes o tiede a u valor real? a) a c) c b) b d) d 7 a) a 0 9; a 00 99; a c) c 0,95; c 00 9,995; c ,9995 b) b 0 0,975; b 00 0,9975; b 000 0,99975 d) d 0 7; d ; d Las sucesioes a, c y d o tiede a u úmero real. 9. Escribe el térmio geeral de ua sucesió cuyo límite sea. a Límite de ua sucesió 9.5 El límite de la sucesió a es. Halla el térmio a partir del cual la distacia al límite es meor que 9 0, A partir de a 89 8

7 9.6 8 Dada la sucesió a : a) Calcula su límite. b) Halla la distacia etre el térmio a 00 y el límite. Es meor que ua milésima? 8 lim 8 8 lim 8 b) ,00 0,00. No es meor que ua milésima. 9.7 Halla el límite de la sucesió b calculado alguos térmios. A partir de cuál de ellos la diferecia etre estos y el límite es meor que 0,000? b 0,8 ; b 00,98 ; b 000,998 lim b A partir de a Cosidera las sucesioes a y b. a) Calcula sus límites. b) Ecuetra e cada ua de ellas el térmio a partir del cual la diferecia etre los térmios y el límite es meor que ua milloésima. c) Compara los resultados obteidos. a) a 0 0,; a 00 0,0; a 000 0,00; lim a 0 b 0 0,; b 00 0,0; b 000 0,00; lim b E los dos casos es a partir del térmio a b) c) Los límites so iguales, y el térmio a partir del cual la diferecia etre los térmios y el límite es meor que ua determiada catidad es tambié el mismo. 9.9 Demuestra que lim. Por tato, para cualquier valor de se puede ecotrar u valor de de tal modo que a partir del térmio a, la distacia etre estos y el límite es meor que. 8

8 Sucesioes divergetes 9.0 Idica a qué tiede estas sucesioes. a) 6 0 c) 5 b) d) 0 a) a 0 60; a ; a Por tato, lim (6 0) b) b 0 80; b ; b Por tato, lim ( ) c) c 0 5; c 00 95; c Por tato, lim (5 ) d) d 0 96; d ; d Por tato, lim (0 ) 9. Calcula el térmio de la sucesió a a partir del cual todos so mayores que A partir de a Halla el térmio de la sucesió a a partir del cual todos so meores que A partir de a Comprueba que a partir del térmio b, todos los térmios de la sucesió b so meores que 000. Cuál es su límite? ,9 lim ( ) 9. Demuestra que lim 6. Dado k 0, 6 k 6 k k 6 6 k Etoces, para cada valor k 0 se puede ecotrar u valor de de modo que todos los térmios a partir de a sea meores que ese valor de k. 9.5 Dada la sucesió a : a) Calcula su límite. b) Demuestra que se puede ecotrar u térmio a partir del cual todos so mayores que 00. a) a 0 8, ; a 00 98,0 ; a ,00 Por tato, lim b) Resolvemos la iecuació obteiedo las raíces de ; 0,96, y,96 Como lo que buscamos es el térmio de la sucesió a a partir del cual todos los térmios so mayores que él, cosideramos solo la raíz positiva. El térmio buscado es 0. 8

9 Límites de operacioes co sucesioes 9.6 Si lim a y lim b, calcula: (a b ) c) lim a b (a b ) (a ) b (a b ) lim a lim b c) lim a b lim lim b a (a b ) lim a lim b (a ) b lim lim b (a ) () Halla el resultado de estas operacioes cuado. a) 7 c) b) d) ( ) (5 ) 9 a) (7 ) c) 0 b) 9 d) ( ) (5 9 ) () 9.8 Calcula: 6 5 c) lim e) lim 5 f) lim c) lim e) lim f) lim 5 Idetermiacioes 9.9 Calcula: 5 c) lim 6 e) lim 5 5 lim 6 6 e e) lim c) lim lim 0 e 8

10 9.0 Halla: c) lim lim c) lim lim lim lim Ecuetra los siguietes límites: lim lim lim e lim 8 e 8 9. Halla: 7 5 c) lim 7 lim e 7 5 lim lim 8 5 lim e 8 c) lim lim lim lim e lim lim lim e e 85

11 CUESTIONES PARA ACLARARSE 9. Si ua sucesió tiede a 0, se puede afirmar que tiee límite? Razoa tu respuesta. Sí, puesto que 0 es u úmero real. 9. A partir del térmio a 50 de ua sucesió, todos los térmios so mayores que 000. A qué tiede esa sucesió? La sucesió tiede a. 9.5 Si a partir de u térmio, todos los de ua sucesió está a ua distacia de meor que 0,0000, es el límite de esa sucesió? Sí 9.6 Si la diferecia etre los diez primeros térmios de ua sucesió y 5 es meor que 0,000, es 5 el límite de la sucesió? No ecesariamete, puesto que la distacia etre los primeros térmios de la sucesió y el límite o es importate e el cocepto de límite. 9.7 Razoa si es posible ecotrar ua sucesió de térmios egativos que tieda a. Y ua de térmios positivos que tieda a? E el primer caso, si los térmios so egativos y la sucesió es decreciete, tederá a, y si so egativos y la sucesió creciete, o tederá a u úmero. Del mismo modo, si los térmios so positivos y la sucesió creciete, tederá a, y si so positivos y la sucesió decreciete, tederá a u úmero. 9.8 Escribe ua sucesió que tieda a: a) c) b) d) a), 8,, 96, 80, 880 c), 8,, 96, 80, 880 b) ;,5;,8;,9;,99 d) ;,5;,;,0;, Explica si ua sucesió puede teer dos límites diferetes. No es posible. Como a partir de u térmio de la sucesió la diferecia etre los térmios y el límite es ta pequeña como queramos, si existiera dos límites, o se podría cumplir esa codició para los dos valores, puesto que si sucede para uo, es imposible que suceda lo mismo para el otro Razoa si so verdaderas o falsas estas afirmacioes: a) El límite de ua sucesió cuyos térmios so todos egativos es. b) Ua sucesió co todos sus térmios iguales o tiee límite. c) Si a partir de u térmio, todos los de la sucesió so mayores que u valor positivo cualquiera, la sucesió es divergete. d) Ua sucesió de térmios decimales o puede teer por límite u úmero etero. a) Falsa. La sucesió a tiede a 0 y todos sus térmios so egativos. b) Falsa. Su límite sería el valor de todos los térmios de la sucesió. c) Verdadera. Tiede a. d) Falsa. La sucesió del apartado a es u ejemplo de ello. 86

12 9.5 Cuado al calcular el límite de ua sucesió surge ua idetermiació, sigifica que: a) El límite o se puede calcular. b) Tiede a o a. c) Es ecesario utilizar otro método para obteer el límite. Señala la respuesta correcta. La respuesta correcta es la c. PROBLEMAS PARA APLICAR 9.5 Partiedo de u cuadrado de metro de lado, se costruye otros trazado paralelas a los lados por sus putos medios. ) ) ) a) Copia e tu cuadero y completa esta tabla. m Pasos 5 N. o de cuadrados 7 0 Logitud del lado del cuadrado más 8 pequeño (m) 6 b) Cuátos cuadrados hay e el décimo paso? Cuáto mide el lado de los cuadrados más pequeños e este paso? c) Estudia a qué tiede la sucesió del úmero de cuadrados y la de la logitud del cuadrado más pequeño. b) La sucesió del úmero de cuadrados e cada paso es ua progresió aritmética de primer térmio y diferecia ; por tato, e el décimo paso habrá 8 cuadrados. La sucesió de la logitud del cuadrado más pequeño es ua progresió geométrica de primer térmio y razó ; por tato, e el décimo paso la logitud del cuadrado más pequeño será 9 5. c) La sucesió del úmero de cuadrados tiede a, y la del lado del cuadrado más pequeño, a Javier y Laura se ecuetra a ua distacia de 0 metros. Javier avaza la mitad de esa distacia y Laura retrocede la cuarta parte. Después, Javier avaza de uevo la mitad de la distacia que lo separa de Laura y esta retrocede la cuarta parte. a) Halla los térmios de la sucesió que idica e cada movimieto la distacia que los separa. b) Llegará a jutarse e algú mometo? a) a ,5 a ,65 a ,875 a 0 b) Se trata de ecotrar u térmio, o lo que es lo mismo, u valor de de modo que a 0 0. Pero eso o es posible puesto que 0 para cualquier valor de. Si embargo, lim 0 0. Por tato, solo se jutaría e el. 87

13 9.5 Los padres de Jua abriero ua cartilla co 60 euros a u % aual cuado ació. a) Si o volviero a igresar diero, calcula qué catidad había al fializar el primer año, el segudo y el tercero. b) Escribe el térmio geeral que permite obteer el diero que tiee la cartilla al fial de cada año. c) Halla el límite de la sucesió. d) Si o se saca diero, a partir de qué año tedrá ua catidad superior a euros? a) Al fializar el primer año: a ,0 60,0 6, Al fializar el segudo año: a 60,0,0 60,0 6, Al fializar el tercer año: a 60,0,0 60,0 6,678 b) a 60,0 c) lim (60,0 ) d) 60, , log,0 log log , log,0 A partir del año 59. log,0 log El crecimieto de ciertas platas es de aproximadamete 0, milímetros al día. a) Calcula el térmio geeral de la sucesió que muestra su crecimieto diario. b) Si se deja crecer idefiidamete, a partir de qué día su altura será superior a metro? a) Si l es la logitud de la plata, a l 0, b) m 000 mm l 0, 000 0, 000 l l Segú la logitud iicial de la plata, el valor de varía De u material radiactivo se sabe que kilogramo se reduce a la mitad cada año. a) Cuál es el térmio geeral de la sucesió que expresa la pérdida de material co el tiempo? b) A qué tiede esta sucesió? c) Ecuetra el año a partir del cual la catidad de material que queda es iferior a gramo. a) a 0 c) 0,00 0,00 log log 0,00 lo g A partir del décimo año. 0,00 9,97 log 9.57 Cada persoa produce al año uos 00 kilogramos de basura, de la que u 90% se puede reciclar. Calcula a partir de qué año la catidad de basura reciclable es superior a 0000 toeladas. Catidad aual de basura reciclada por persoa: 00 0,9 70 kilos. Al cabo de años se obtedrá 70 kilos de basura reciclada ,07 70 A partir del año

14 9.58 La catidad de putos e estas figuras determia los llamados úmeros triagulares. a) Determia los primeros térmios de la sucesió de los úmeros triagulares. b) Calcula su térmio geeral. c) Qué térmio es igual a? d) Es ua sucesió covergete o divergete? Demuéstralo. a) a 6; a 0; a 5; a ; a 5 8 b) a ( ) 6 ( 5 ) 6 ( ) 5 6 c) a Es divergete. REFUERZO Sucesioes. Hacia la idea de límite 9.59 Cuál es el límite, si lo tiee, de estas sucesioes? a),, 5, 7, 9, b) 0,; 0,; 0,7; 0,8; 0,9; 0,99 c),7;,8;,9;,99;,999 a) No tiee límite; es divergete. b) c) 9.60 Idica, obteiedo alguos térmios, si tiee límite estas sucesioes. 5 a) a c) c 6 b) b d) d a) c) a 0,05 0,0005 0, b) d) b,,0, c, 0 6, d,,0,00 89

15 9.6 Comprueba que existe u térmio de la sucesió a a partir del cual la diferecia etre los térmios y es meor que 0, A partir del térmio a Halla el límite de la sucesió a y comprueba que, a partir del térmio a 998, todos dista del límite meos de 0,00. a 0 0,076 ; a 00 0,0097 ; a 000 0,00099 Por tato, lim A partir del térmio a 997, todos dista del límite meos de 0, Dada la sucesió a. a) Calcula su límite. b) Halla el térmio a partir del cual la diferecia etre los térmios de la sucesió y el límite es meor que 0,00. a) a 0,; a 00,0; a 000,00. Por tato, lim. b) A partir de a Sucesioes divergetes 9.6 Ecuetra el térmio de la sucesió a a partir del cual todos so mayores que A partir de a Comprueba que existe u térmio de la sucesió a a partir del cual todos so meores que A partir de a Copia e tu cuadero y completa Covergetes Divergetes

16 Cálculo de límites 9.67 Calcula: ( ) 6 5 c) lim 7 8 ( ) c) lim Calcula: c) lim 0 5 lim c) lim 0 5 lim 0 5 lim 0 e AMPLIACIÓN 9.69 Halla los siguietes límites. c) lim 5 lim lim e c) lim 5 lim 5 0 lim e 9.70 Demuestra que la sucesió a es divergete. A qué tiede? a 0 80; a ; a Por tato, lim ( ) 9.7 Escribe el térmio geeral de dos sucesioes cuyo límite sea. El térmio a partir del cual la distacia etre los térmios y el límite es meor que ua milésima es el mismo e ambas? a ; A partir de a 000. b ; ,6 A partir de b. 9

17 9.7 Ecuetra el valor de k para que el límite sea el que se idica. k k k k k k k k k k k k 9.7 Halla el valor de a para que se cumpla: a a a a a a 9.7 Calcula los límites y comprueba que o se cumple las igualdades de las operacioes co límites. A qué crees que es debido? 7 : lim lim lim lim lim 7 lim 7 lim 7 lim 7 lim No se cumple las igualdades porque e el caso de aplicar las operacioes co límites sale idetermiacioes Calcula el térmio de la sucesió a a partir del cual todos los térmios so mayores que log log 000 6,9 A partir de a 7. 9

18 9.76 Dada la sucesió a 5 : a) Calcula su límite. b) Halla el térmio de la sucesió a partir del cual la diferecia etre los térmios y el límite es meor que ua cetésima. a) a 0 0,000 0 ; a 00, ; lim 5 0 b) log 5 log 00 0,9 5,0. A partir de a 6. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 9.77 Rombo de arajas U cojuto de arajas se agrupa e ua especie de rombo co cuatro arajas por cada lado. a) Idica el úmero de arajas ecesarias para costruir ua figura semejate a la dada, pero supoiedo que el lado del rombo tuviera dos, tres y cico uidades e cada caso. b) Cuál de los siguietes térmios geerales represeta el úmero de arajas ecesarias para costruir ua figura co uidades por lado? b) a 6( ) b c 6 a) Para la figura de lado dos se ecesitará ( ) 6 arajas; para la de lado tres se ecesitará ( ) arajas, y para la figura de lado cico se ecesitará ( 5) 0 arajas. b) Para ua figura co uidades por lado se ecesita ( ) ( ) ( ) Autoalimetació Cierta especie de isectos parecidos a las abejas se orgaiza de la siguiete forma: 50 aimales se dedica al mateimieto de la colmea y a proporcioarle calor, y el resto de los isectos liba el éctar ecesario de las flores para fabricar la miel que alimeta a toda la població. Cada 00 recolectores elabora 5 gramos de miel diarios, y la miel producida se reparte etre todos los miembros de la colmea. a) Supoiedo que haya 500 idividuos, de cuáta miel puede dispoer cada isecto al día? b) Y cosiderado que sea 000 idividuos? Y si so 0 000? c) Geeraliza los resultados calculado los gramos de miel co los que puede cotar cada isecto supoiedo que la colmea está formada por idividuos. Después, estima dichos gramos supoiedo que la població de la colmea es imesa. a) Hay recolectores, que obtiee 50 0,05 7,5 gramos de miel. Por tato, cada idividuo recibirá 7, ,05 gramos diarios de miel. b) E ua població de 000 isectos hay recolectores, que obtiee 850 0,05,5 gramos. Por tato, cada isecto dispodrá de 0,05 gramos de miel. E ua població de isectos hay recolectores, que obtiee ,05 9,5 gramos. Cada idividuo tedrá 0,095 gramos de miel. c) Geeralizado los resultados ateriores, la catidad de miel diaria de que dispoe cada isecto e ua població de idividuos viee dada por ( 5 0) 0,05. El límite de la sucesió aterior es 0,05 y, por tato, e ua població imesa de isectos, cada uo de ellos dispoe de 0,05 gramos de miel al día. 9

19 AUTOEVALUACIÓN 9.A Halla los térmios que sea ecesarios para obteer el valor al que tiede estas sucesioes y calcula dicho valor. a) a b) b 5 a) b) a 0,60 0,7 0,97 0,997 0, b 0,5 0,005 0,00 0, A Calcula el límite de estas sucesioes y halla el valor del térmio a partir del cual todos los demás difiere del límite meos de 0,00. a) a b) b lim A partir de a A partir de a A Calcula, si es posible, el térmio de las sucesioes a partir del cual todos los siguietes so meores que a) a 5 b) b 8 a) A partir de a b) ,7 No existe u térmio a partir del cual todos los demás sea meores que 0 000, ya que el valor de que se obtiee idica que cumple esa codició los térmios meores que a A Idica si estas sucesioes so divergetes. A qué tiede? a) a b) b lim. No es divergete.. Sí es divergete. 9

20 9.A5 Calcula los siguietes límites. ( 5) 8 c) lim 7 9 ( 5) 8 c) lim A6 Halla los siguietes límites. 6 7 c) lim c) lim 5 lim lim lim 5 9.A7 Calcula: 5 lim e 5 lim e MURAL DE MATEMÁTICAS MATETIEMPOS Sumas y más sumas Fíjate e las siguietes sumas.,5,67,7 Calcula las tres sumas que cotiúa la serie. Cuál crees que es el resultado si se suma ifiitos térmios? Costruiremos la siguiete tabla. Térmio a a Valor a a 6 a a 0 a a Suma,5,67,708,767,78,78 El resultado de la suma de ifiitos térmios es el úmero e. 95

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Solucioes a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Pág. P RACTICA Sucesioes formació térmio geeral Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior.

Más detalles

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.

Más detalles

TEMA IV. 1. Series Numéricas

TEMA IV. 1. Series Numéricas TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios

Más detalles

(finitas o infinitas)

(finitas o infinitas) Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

Aptitud Matemática 5 RPTA.: E SUCESIONES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 5 4 7 6 9 8 11 ; ; ; ; ; ; 4 5 6 7 8 9 10

Aptitud Matemática 5 RPTA.: E SUCESIONES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 5 4 7 6 9 8 11 ; ; ; ; ; ; 4 5 6 7 8 9 10 SUCESIONES I. Determiar el térmio que cotiúa e cada ua de las siguietes sucesioes: 1. ; 5; 11; 0; 4. - ; 5; - 9 ; 19; A) 8 B) - 7 C) 7 D) - 8 E) 14 A) 8 B) 0 C) D) 1 E) 5. 5 4 7 6 9 8 ; ; ; ; ; ;... 4

Más detalles

1. Sucesiones página 217. 2. Idea intuitiva de límite de una sucesión página 222. 3. Operaciones con sucesiones. página 224

1. Sucesiones página 217. 2. Idea intuitiva de límite de una sucesión página 222. 3. Operaciones con sucesiones. página 224 Límite y cotiuidad E S Q U E M A D E L A U N I D A D.. Térmio geeral de ua sucesió págia 7.. Progresioes aritméticas y geométricas págia 7. Sucesioes págia 7. Idea ituitiva de límite de ua sucesió págia..

Más detalles

La sucesión de Fibonacci y el número Φ Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:

La sucesión de Fibonacci y el número Φ Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos: SUCESIONES Págia 50 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja,

Más detalles

Cálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

SUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:

SUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos: SUCESIONES Págia REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja, que se reproduce

Más detalles

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a Págia. a) Es la sucesió de los úmeros impares:, 5, 7 b) Se suma al valor absoluto del úmero y se cambia de sigo: 7, 0, c) Se

Más detalles

Un numero en una sucesión: a n. Ejemplo: Qué termino de la sucesión. a n. Gráficamente:

Un numero en una sucesión: a n. Ejemplo: Qué termino de la sucesión. a n. Gráficamente: CONCEPTOS PREVIOS: Es u cojuto de úmeros que obedece a ua ley de formació. E geeral es ua fució del tipo : f:n R + 4 0 Ejemplo : a 64 3... 3 SUCESION CRECIENTE: a ; a > a SUCESION DECRECIENTE: + ; a+ a

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

Sucesiones. Límite de una

Sucesiones. Límite de una Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua

Más detalles

ESTADÍSTICA. Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean

ESTADÍSTICA. Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean ESTADÍSTICA Estadística: Es ua rama de la matemática que comprede Métodos y Técicas que se emplea e la recolecció, ordeamieto, resume, aálisis, iterpretació y comuicació de cojutos de datos. Població:

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones* CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma,

Más detalles

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43 TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a a 8 + ( ); Y fialmete: a 7 8 + (7 ) 86 0 7 + 0. S 0 Págia 7 [ ( 7 + 9 5) ] 95. a) 6 : pero 0 : 6,6 o es PG b) 6 : ( ) : 6 :

Más detalles

SUCESIÓN. La colección de números que definen a una sucesión permite clasificar a éstas en:

SUCESIÓN. La colección de números que definen a una sucesión permite clasificar a éstas en: UCEIÓN CPR. JORGE JUAN Xuvia-Naró Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es ua fució que hace correspoder a cada úmero atural, excluido el cero, u úmero real, la cual viee defiida segú: f: N* R a a i a Número

Más detalles

Propiedades de las series numéricas (18.03.2015)

Propiedades de las series numéricas (18.03.2015) Propiedades de las series uméricas 8.03.205) ) Si itercalamos e la sucesió {a } N u úmero fiito de térmios de suma b, el carácter de la serie a o varía y, si coverge, su suma aumeta e b. D: Sea b +b 2

Más detalles

Cálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES (Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III

Más detalles

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series. R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

En el siglo XVIII muchos matemáticos buscaban, sin demasiado éxito, el valor de la expresión

En el siglo XVIII muchos matemáticos buscaban, sin demasiado éxito, el valor de la expresión Defiició y propiedades 5 5. Defiició y propiedades 6 5. Covergecia absoluta e icodicioal 65 5.3 Criterios de covergecia para series de térmios o egativos 66 5.4 Otros criterios 69 5.5 Suma de series 69

Más detalles

CAPÍTULO 3: SUCESIONES. 1. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

CAPÍTULO 3: SUCESIONES. 1. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 3 CAPÍTULO 3: SUCESIONES.. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. Defiicioes Ua sucesió de úmeros reales es ua secuecia ordeada de úmeros. Las siguietes secuecias so sucesioes: a),, 3, 4, 5, 6, b), 4, 6, 8, 0,,

Más detalles

Algoritmos y Estructuras de Datos II, Segundo del Grado de Ingeniería Informática, Test de Análisis de Algoritmos, marzo Test jueves.

Algoritmos y Estructuras de Datos II, Segundo del Grado de Ingeniería Informática, Test de Análisis de Algoritmos, marzo Test jueves. Algoritmos y Estructuras de Datos II, Segudo del Grado de Igeiería Iformática, Test de Aálisis de Algoritmos, marzo 017. Test jueves. Para cada problema habrá que justificar razoadamete la respuesta que

Más detalles

CAPÍTULO XIII. SUCESIONES

CAPÍTULO XIII. SUCESIONES CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES

Más detalles

an = 4n - 3 a 4 =4. -3 = a 13= a0 = an =an-1 + an-2 con a1 = 1 y a2 = 1 a 3 =

an = 4n - 3 a 4 =4. -3 = a 13= a0 = an =an-1 + an-2 con a1 = 1 y a2 = 1 a 3 = TEMA 3: PROGRESIONES CONCEPTO DE SUCESIÓN Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados segú ua ley, de modo que se puede umerar: primero, segudo, tercero,. Los elemetos de ua sucesió se llama térmios y se

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El

Más detalles

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)

Prueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11) Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA

Más detalles

Intervalos de confianza para la media

Intervalos de confianza para la media Itervalos de cofiaza para la media Ejercicio º 1.- Las vetas diarias, e euros, e u determiado comercio sigue ua distribució N(950, 200). Calcula la probabilidad de que las vetas diarias e ese comercio:

Más detalles

6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6.1. SUCESIONES NUMÉRICAS

6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6.1. SUCESIONES NUMÉRICAS Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6... Sucesioes de úmeros reales 6.. SUCESIONES NUMÉRICAS Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier

Más detalles

Conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a 1, a 2, a 3,..., a n. Sucesión inversible o invertible. a n 1 a n.

Conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a 1, a 2, a 3,..., a n. Sucesión inversible o invertible. a n 1 a n. Sucesioes Tema 8.- Sucesioes y Límites Cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro: a, a, a 3,..., a Operacioes a =a, a, a 3,..., a b =b, b, b 3,..., b Suma Diferecia (a )+(b )=(a +b )= a +b, a

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

Una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc.

Una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc. Sucesioes Sucesi o. Ua sucesió es u cojuto ifiito de úmeros ordeados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segudo, el tercero, etc. Los térmios de ua sucesió se desiga mediate a 1,

Más detalles

Series alternadas Introducción

Series alternadas Introducción Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia

Más detalles

Solución: Se observa que en su perímetro e interior, el primer cuadrilátero tiene cinco puntos y además 5 = 1+

Solución: Se observa que en su perímetro e interior, el primer cuadrilátero tiene cinco puntos y además 5 = 1+ Problema. E el diagrama se preseta los tres primeros cuadriláteros de ua secuecia que iicia e u puto e el cetro del tablero crece desde ese puto hacia fuera, cuál es el úmero de putos que está e el perímetro

Más detalles

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7

Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7 Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}

Más detalles

Resuelve. Unidad 2. Sucesiones. BACHILLERATO Matemáticas I. Una hermosa curva. Página 55

Resuelve. Unidad 2. Sucesiones. BACHILLERATO Matemáticas I. Una hermosa curva. Página 55 Uidad. Sucesioes Resuelve Págia Ua hermosa curva La curva de la derecha está costruida co ocho arcos de circuferecia. Los siete primeros so de u cuarto de circuferecia. El octavo, es solo u trocito. a)

Más detalles

Ejercicios de Sucesiones y Progresiones

Ejercicios de Sucesiones y Progresiones Ejercicios de Sucesioes y Progresioes 1. Escribe los siguietes térmios de estas sucesioes: a) 5,6,8,11,15, b) 0,20,10,0, c) 7,14,21,28,... d) 1,5,25,125,.. Qué criterio de formació ha seguido cada uo?

Más detalles

3.8. Ejercicios resueltos

3.8. Ejercicios resueltos 3.8 Ejercicios resueltos 101 3.8. Ejercicios resueltos 3.8.1 Ua sucesió a ) se dice que es cotractiva si existe 0

Más detalles

Estalmat. Real Academia de Ciencias. Curso 2005/2006. Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot. Método de Newton. Miguel Reyes Mayo 2006

Estalmat. Real Academia de Ciencias. Curso 2005/2006. Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot. Método de Newton. Miguel Reyes Mayo 2006 Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 Diámica compleja Cojutos de Julia y Madelbrot. Método de Newto. Miguel Reyes Mayo 6 Los úmeros complejos Los úmeros complejos so los úmeros de la forma dode

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.

Más detalles

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció

Más detalles

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2

L lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2 Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

Series de números reales

Series de números reales Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió

Más detalles

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió

Más detalles

Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Series Infinitas

Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Series Infinitas Uiversidad Nacioal Autóoma de México Liceciatura e Ecoomía Cálculo Diferecial e Itegral Series Ifiitas El ifiito! Nigua cuestió ha comovido ta profudamete el espíritu del ser humao. David Hilbert Defiició

Más detalles

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la

Más detalles

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos

Más detalles

TRABAJO DE GRUPO Series de potencias

TRABAJO DE GRUPO Series de potencias DPTO. MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE INFORMÁTICA (UPM) TRABAJO DE GRUPO Series de potecias CÁLCULO II (Curso 20-202) MIEMBROS DEL GRUPO (por orde alfabético) Nota: Apellidos Nombre Este trabajo sobre

Más detalles

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5 UNIDAD 3 a Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes: a.1) a 2, a 3 1 2 a a a 1 2 a.2 b 2 + 1 b Halla el térmio geeral de cada ua de estas sucesioes: b.1 3, 1, 1, 3, 5,... b.2 2, 6, 18, 54,...

Más detalles

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE:

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE: Ua progresió es geométrica, si cada termio después del primero se obtiee multiplicado el aterior por u valor costates Este valor costate se llama razó geométrica (q) E geeral: a a : a......... a ; 3 Si

Más detalles

ACTIVIDADES NO PRESENCIALES

ACTIVIDADES NO PRESENCIALES E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica Este documeto cotiee las actividades o preseciales propuestas al termiar la clase del día que se idica. Se sobreetiede

Más detalles

Tema 12. Límites de sucesiones

Tema 12. Límites de sucesiones Aálisis IES Complutese Tema Límites de sucesioes Resume Alguas características y propiedades de las sucesioes Sucesió creciete Ua sucesió es creciete si cada térmio es mayor o igual que el aterior: a a

Más detalles

ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL

ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL ESTADISTICA UIDIMESIOAL La estadística estudia propiedades de ua població si recurrir al sufragio uiversal. El estudio estadístico tiee dos posibilidades (1) Describir lo que ocurre e la muestra mediate

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

ÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas).

ÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas). ÁLGEBRA ELEMENTAL 1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS (GENERALIDADES) 1.1.- Alguas defiicioes Ua epresió algebraica es ua epresió matemática que cotiee úmeros, letras que represeta úmeros cualesquiera sigos matemáticos

Más detalles

Sucesiones I Introducción

Sucesiones I Introducción Temas Qué es ua sucesió? Notacioes y coceptos relacioados. Maeras de presetar ua sucesió. Gráfico de sucesioes. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de sucesió. Coocer y maejar las diferetes maeras

Más detalles

TALLER SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES

TALLER SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES . Apliue los métodos de bisecció y de la regla falsa para ecotrar todas las solucioes detro de 0 para 7 + 6 = 0. 5. Apliue el método de bisecció para solucioes eactas detro de 0 para: a. = 0 R: 0.68. Apliue

Más detalles

4. Con b = ( 1) 1 n. 6. Con c = n = p = 1, 1, ( 1) 1 2, ( 1) 1 3, ( 1) 1 4, ( 1) 1 5, ( 1) , 1 3, 1 2, 1 6 6, 5, 1.

4. Con b = ( 1) 1 n. 6. Con c = n = p = 1, 1, ( 1) 1 2, ( 1) 1 3, ( 1) 1 4, ( 1) 1 5, ( 1) , 1 3, 1 2, 1 6 6, 5, 1. Respuestas Respuestas al desarrollo de la competecia del capítulo E los problemas del al, ecuetra los primeros 6 térmios de la sucesió dada. Verifica tus respuestas co el comado Secuecia[ , ,

Más detalles

4. Sucesiones de números reales

4. Sucesiones de números reales 4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...

Más detalles

Guía 1 Matemática: Estadística NM 4

Guía 1 Matemática: Estadística NM 4 Cetro Educacioal Sa Carlos de Aragó. Sector: Matemática. Prof.: Ximea Gallegos H. 1 Guía 1 Matemática: Estadística NM 4 Nombre: Curso: Fecha. Uidad: Estadística y Probabilidades. Apredizajes Esperados:

Más detalles

GUÍA SUCESIONES Y SERIES. a n 1 1. a) La suma de los 5 primeros términos de la sucesión. b) La suma de los 10 primeros términos de la sucesión.

GUÍA SUCESIONES Y SERIES. a n 1 1. a) La suma de los 5 primeros términos de la sucesión. b) La suma de los 10 primeros términos de la sucesión. ESCUELA DE GOBIERNO Y GESTIÓN PÚBLICA UNIVERSIDAD DE CHILE GUÍA SUCESIONES Y SERIES. Escriba los cico primeros térmios de la sucesió dada a) a = + b) a = ( ) c) b = (+) d) c = - (-). Sea a la sucesió defiida

Más detalles

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por

Más detalles

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) Algebra uiversitaria UNIDAD III. POLINOMIOS 3.. Técicas elemetales para buscar raíces Recordado la defiició de raíz U poliomio P(x) tiee ua raíz r si y solo si P(r) = 0. Recordar el teorema de factorizació

Más detalles

1. Sucesiones y series numéricas

1. Sucesiones y series numéricas ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO 005-06 Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3,

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Área bajo una curva

Profr. Efraín Soto Apolinar. Área bajo una curva Profr. Efraí Soto Apoliar. Área bajo ua curva Nosotros coocemos muchas fórmulas para calcular el área de diferetes figuras geométricas. Por ejemplo, para calcular el área A de u triágulo co base b altura

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:

Más detalles

Práctica 1.- Sucesiones y series

Práctica 1.- Sucesiones y series Práctica.- Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y, que os permitirá, e la mayoría

Más detalles

) = Ln(1 + 1 n ) 1 n. Ln( n ) n tiene términos positivos y si 0 < lím n n bn. < entonces ambas series divergen o bien ambas series convergen

) = Ln(1 + 1 n ) 1 n. Ln( n ) n tiene términos positivos y si 0 < lím n n bn. < entonces ambas series divergen o bien ambas series convergen Criterio de Comparació Si a 0 y b 0. Si existe ua costate C > 0 tal que a Cb etoces la covergecia de b implica la covergecia de a. Ejemplo.- Sabemos que la serie coverge a, pero como (+), etoces la serie

Más detalles

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 3, Parte II, Opció A Juio, Ejercicio 3, Parte II, Opció B Reserva

Más detalles

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)

Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series) Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar

Más detalles

CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semana 1 30 Julio al 3 Agosto 2007

CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semana 1 30 Julio al 3 Agosto 2007 CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semaa 0 Julio al Agosto 007 Ejercicios Resueltos. Estime el área ecerrada por la curva de ecuació y, el eje X y, para ello, divida el itervalo [0,] e cico partes iguales, y

Más detalles

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA. Temas 5 y 6 Sucesiones y Series. Series de Potencias

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA. Temas 5 y 6 Sucesiones y Series. Series de Potencias Temas 5 y 6 Sucesioes y Series. Series de Potecias SUCESIONES E los siguietes problemas determie si la sucesió { } ecuetre el límite e caso de ser covergete..- { }.- { } = 5 a.- { } a 5.- { a} = + 9 a

Más detalles

MATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero

MATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los

Más detalles

TEMA 2 SUCESIONES SUCESIONES Y TÉRMINOS. Solución: a) a 2 = ; a10 =

TEMA 2 SUCESIONES SUCESIONES Y TÉRMINOS. Solución: a) a 2 = ; a10 = 1 TEMA 2 SUCESIONES SUCESIONES Y TÉRMINOS EJERCICIO 1 : Si el térmio geeral de ua sucesió es a = 2 10 2 a) Halla el térmio segudo y el décimo. b) Hay algú térmio que valga 5? Si hay decir que lugar ocupa

Más detalles

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES

EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:

Más detalles

Selección de inversiones II

Selección de inversiones II Problemas de Ecoomía y Orgaizació de Empresas (º de Bachillerato) Euciado Selecció de iversioes II Problema 6 U fabricate de evases de arcilla para la alimetació está aalizado la posibilidad de istalar

Más detalles

NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio.

NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio. E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Pág. Grado Ig. Tec. Telecomuicació NOTA: E todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta eplicado el procedimieto seguido e la resolució

Más detalles

Criterios de convergencia para series.

Criterios de convergencia para series. Criterios de covergecia para series. Para series e geeral, existe ua serie de criterios de covergecia:. Primer criterio de comparació.- Si ( ) y (b ) so dos sucesioes de úmeros reales tales que m N, tal

Más detalles

Trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor.

Trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor. 1 Estadística Descriptiva Tema 8.- Estadística. Tablas y Gráficos. Combiatoria Trata de describir y aalizar alguos caracteres de los idividuos de u grupo dado, si extraer coclusioes para u grupo mayor.

Más detalles

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL.

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL. U itervalo de cofiaza, para u parámetro poblacioal θ, a u ivel de cofiaza (1 ) 100 %, o es más que u itervalo (L i, L s

Más detalles

Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio

Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio Capítulo Sumatoria, Progresioes y Teorema del Biomio.. Símbolo Sumatorio Es u símbolo muy útil y coveiete que permite escribir sumas e forma abreviada. Este símbolo se represeta mediate la letra griega

Más detalles

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO GUIA 1

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO GUIA 1 UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO GUIA ANTIDERIVADAS OBJETIVO: Apreder el cocepto de atiderivada e itegral idefiida y resolver itegrales usado las formulas básicas. ocepto: Dada ua fució, sabemos como hallar

Más detalles

Preguntas de examen. Apéndice A. A.1 Abril de 2008 (Examen parcial) Preguntas de test (30%) Teoría (10 %)

Preguntas de examen. Apéndice A. A.1 Abril de 2008 (Examen parcial) Preguntas de test (30%) Teoría (10 %) Apédice A Pregutas de exame A. Abril de 2008 (Exame parcial) Pregutas de test (30%) A. Se cosidera las sucesioes ( ) a b. Etoces: (a) Si b coverge, etoces a tambié coverge y sus límites coicide. (b) Si

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL. E estadística, la distribució biomial es ua distribució de probabilidad discreta que mide el úmero de éxitos e ua secuecia de esayos

Más detalles