Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

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1 CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió como ua secuecia de úmeros reales, uo por cada úmero atural, (a ; a 2 ; : : : ; a ; : : :) : A cada uo de los úmeros que forma la secuecia se le deomia térmio, así al térmio a k co k 2 N se le llama térmio k-ésimo. El térmio iicial de ua sucesió o tiee por qué ser = sio que puede ser cualquier úmero k 2 N[ f0g. Si se tiee ua fórmula que permite calcular cada térmio e fució de ; que deotamos a, etoces se le deomia a dicha fórmula térmio geeral y se escribe la sucesió como (a ) 2N. Se dice que L 2 R (o L = ) es el límite de la sucesió (a ) 2N, y se deota como lm!+ a = L; si e cualquier etoro de L puede ecotrarse todos los térmios de la sucesió a partir de uo dado. El límite de ua sucesió es úico. E caso de que ua sucesió (a ) 2N tega límite ito L 2 R se dice que es covergete y si su límite o es ito se deomia divergete. Las sucesioes que o tiee límite se llama oscilates. La covergecia o o de ua sucesió es idepediete del térmio iicial tomado. Los límites de sucesioes veri ca las mismas propiedades co respecto a las operacioes algebraicas que los límites de fucioes. Teorema del límite de ua sucesió. Sea f (x) ua fució de modo que existe lm f (x) : Si (a ) x!+ 2N es ua sucesió tal que a = f () a partir de u cierto térmio (esto es, existe 0 2 N tal que a = f () para todo 0 ), etoces tambié existe su límite y lm a = lm f (x) :!+ x!+ Ley del emparedado para sucesioes. Si los térmios geerales de tres sucesioes dadas satisface que a b c a partir de u cierto térmio y ocurre que lm a = lm c = L etoces tambié lm b = L.!+!+!+

2 Sucesió acotada. Se dice que ua sucesió (a ) 2N es acotada superiormete si existe M 2 R tal que a M para todo 2 N. La sucesió (a ) 2N es acotada iferiormete si existe M 2 R tal que a M para todo 2 N: Sucesió moótoa. Ua sucesió (a ) 2N es creciete si a partir de u cierto térmio ocurre que a a + : La sucesió (a ) 2N es decreciete si a partir de u cierto térmio ocurre que a a + : La sucesió (a ) 2N es moótoa si es creciete o decreciete. Covergecia de sucesioes moótoas. Toda sucesió moótoa tiee límite, es decir, o puede ser oscilate. Sea (a ) 2N ua sucesió creciete etoces es covergete si, y sólo si, es acotada superiormete. Sea (a ) 2N ua sucesió decreciete etoces es covergete si, y sólo si, es acotada iferiormete. Serie umérica covergete. Dada (a ) 2N ua sucesió, la sucesió de sumas parciales de (a ) 2N es ua ueva sucesió (S ) 2N que tiee como térmio geeral S = a + + a : La serie umérica geerada por la sucesió (a ) 2N se deota P como a y se de e por a = lm S :!+ P La serie a se deomia covergete cuado la sucesió de sumas parciales es covergete y al resultado de la serie se le llama suma i ita. E cualquier otro caso se dirá que la serie es divergete. Si la sucesió comieza e = k etoces la serie se deota como a deomiádose a su resultado, si fuese =k covergete la serie, suma i ita desde el térmio k-ésimo. P P Operacioes co series covergetes. Si a y b so series covergetes etoces. 2. P P a tambié es covergete y P a = a : P P (a + b ) tambié es covergete y P (a + b ) = P a + b : Serie geométrica. Para u úmero real r 2 R se de e la serie geométrica de razó r como la serie umérica r geerada por la sucesió (r ) 2N : La serie 2

3 geométrica es covergete cuado jrj < y e dicho caso su suma i ita desde el térmio k-ésimo es r = rk r : =k Codició ecesaria de covergecia. Si la serie umérica a es covergete etoces lm a = 0.! Criterios particulares de covergecia para series. Serie de térmios positivos. Se dice que ua serie a es de térmios positivos si los térmios de la sucesió (a ) 2N so positivos a partir de u cierto térmio: Criterio itegral. Sea f (x) ua fució cotiua, positiva y decreciete e el itervalo [k; +) co k 2 N[ f0g. Para la sucesió de térmios positivos (a ) 2N cuyo térmio geeral es a = f () se veri ca que la itegral impropia R + f (x) dx es covergete si, y sólo si, la serie a es covergete. k Serie armóica geeralizada. La serie armóica geeralizada se de e como la serie p dode p 2 R. El caso particular p = se deomia serie armóica. La serie armóica geeralizada coverge cuado p > y diverge cuado p. Criterio de comparació. Sea a ua serie de térmios positivos.. Si existe (b ) 2N tal que a b a partir de u cierto térmio y de forma que b sea covergete etoces a es covergete. 2. Si existe (b ) 2N tal que 0 b a a partir de u cierto térmio y de forma que b sea divergete etoces a es divergete. =k 3

4 Criterio de comparació por paso al límite. Sea a ua serie de térmios positivos.. Si existe ua serie de térmios positivos b tal que etoces a lm = L 6= 0; +!+ b a es covergete si, y sólo si, 2. Si existe ua serie de térmios positivos y b es covergete etoces b es covergete. b tal que a lm = 0!+ b a es covergete. 3. Si existe ua serie de térmios positivos b tal que a lm = +!+ b y b es divergete etoces a es divergete. Serie alterada. Ua serie se dice alterada si sus térmios va alterado el sigo positivo y el sigo egativo o viceversa. La serie! alterada puede escribirse e geeral como ( ) b o bie ( ) b dode b > 0, es decir, es la serie umérica geerada por la sucesió de térmio geeral a = ( ) b : Criterio de Leibitz. Sea ( ) b ua serie alterada de maera que (b ) 2N es ua sucesió decreciete y lm b = 0, etoces!+ covergete. ( ) b es 4

5 5.3. Criterios geerales de covergecia para series. Serie absolutamete covergete. Se dice que ua serie a es absolutamete covergete si la serie de térmios positivos ja j es covergete. Codició su ciete por covergecia absoluta. Si ua serie a es absolutamete covergete etoces Criterio del cociete. Sea a es covergete. a ua serie umérica tal que existe el límite lm a + a = L:!+. Si se veri ca que L < etoces tato covergete. 2. Si se veri ca que L > etoces a es absolutamete covergete y por a es divergete. Criterio de la raíz. Sea a ua serie umércia tal que existe el límite lm!+. Si se veri ca que L < etoces tato covergete. 2. Si se veri ca que L > etoces 5.4. Series de potecias. p ja j = L: a es absolutamete covergete y por a es divergete. Serie de potecias. Ua serie de potecias cetrada e el puto a 2 R es ua familia de series de la forma c (x a) ; 5

6 ua por cada x 2 R; dode (c ) 2N[f0g es ua sucesió idepediete de x. A los térmios de la sucesió (c ) 2N[f0g se les deomia coe cietes de la serie de potecias y al puto a cetro de la serie de potecias. El cojuto de covergecia de ua serie de potecias ( x 2 R : c (x a) es covergete ) : c (x a) es Teorema de Hadamard. Dada ua serie de potecias c (x ua de estas tres posibilidades para su cojuto de covergecia: a) sólo hay. Está formado por u úico puto, su cetro a; dode además coverge absolutamete: 2. Es toda la recta real, dode, además, coverge absolutamete. 3. Tiee forma de itervalo cetrado e su cetro a; de maera que coverge absolutamete e el iterior del itervalo y diverge fuera del itervalo, o pudiédose a mar ada acerca del comportamieto de la serie e los extremos del itervalo. Esto sigi ca que existe u úmero real R > 0 de forma que se veri ca el siguiete diagrama divergete a + R a - R o se tiee iformació a absolutamete covergete Itervalo de covergecia divergete o se tiee iformació Pesado que el caso uo se puede ver como u itervalo de cetro a co R = 0 y el segudo como u itervalo de cetro a co R = +; se puede resumir el resultado diciedo lo siguiete: El cojuto de covergecia de ua serie de potecias es u itervalo I cetrado e a co radio R 2 [0; +] de maera que (a R; a + R) I [a R; a + R] : Además se asegura que la covergecia e (a R; a + R) es absoluta. A I lo llamaremos itervalo de covergecia y a R radio de covergecia de la serie de potecias. 6

7 Fórmula del radio de covergecia. Sea c (x a) ua serie de potecias cetrada e a. Cuado alguo de los siguietes límites exista, su radio de covergecia R puede calcularse como: R = lm c = p jc j :!+ c + lm!+ Fució suma de ua serie de potecias. Ua serie de potecias c (x cetrada e a co itervalo de covergecia I de e ua fució S : I R! R que asiga a cada puto del itervalo de covergecia la suma de la serie umérica obteida, esto es S (x) = c (x a) 8x 2 I: A la fució S (x) se le deomia fució suma. Propiedades de la fució suma. Sea c (x a) ua serie de potecias cetrada e a co radio de covergecia R e itervalo de covergecia I. Su fució suma S (x) tiee las siguietes propiedades:. S (x) es ua fució cotiua e su domiio I. 2. S (x) es ua fució derivable e (a R; a + R) y además S 0 (x) = c (x a) : 3. La primitiva de S (x) e el itervalo (a R; a + R) que se aula e a es Z x a S (t) dt = c + (x a)+ : Es más, puede escribirse e geeral que para todo b y c 2 (a R; a + R) a) Z c S (t) dt = Z c b b c (t a) dt: Las series de potecias c (x a) c y + (x a)+ tiee como radio de covergecia R pero su itervalo de covergecia o tiee por qué ser I. 7

8 5.5. Series de Taylor. Serie de Taylor de ua fució. Sea f (x) ua fució de clase C e u etoro del puto a 2 R. La serie de Taylor de f cetrada e a es la serie de potecias f () (a) (x a) ;! es decir aquélla que tiee como coe cietes c = f () (a). Cuado a = 0 se le! deomia serie de Maclauri de f. Covergecia de la serie de Taylor. Sea f (x) ua fució de clase C e u etoro del puto a 2 R. La fució suma de la serie de Taylor cetrada e a de f o tiee por qué coicidir co f (x) : Si embargo, la úica serie de potecias cetrada e a cuya fució suma puede ser f (x) es la serie de Taylor de f cetrada e a. Fució aalítica. Se dice que ua fució f (x) es aalítica e u puto a 2 R si existe ua serie de potecias cetrada e a de maera que su fució suma sea f (x) para x e u cierto itervalo cetrado e a: Teiedo e cueta que e ese caso debe ser la serie de Taylor de f cetrada e a, cuado la fució f es aalítica e a ocurre que f (x) = f () (a)! (x a) 8x 2 I; dode I es el itervalo de covergecia de la serie de Taylor de f cetrada e a. Series de Maclauri de las fucioes elemetales. Las fucioes elemetales que aparece e la siguiete lista so todas aalíticas e el 0: e x = se x = cos x = x! ; 8x 2 R log ( + x) = ( + x) = ( ) x 2+ (2 + )! ; 8x 2 R ( ) x 2 (2)! ; 8x 2 R ( ) x ; 8x 2 ( ; ] x ; 8x 2 ( ; ) ; 2 R 8

9 Operacioes de fucioes aalíticas. Sea f y g dos fucioes aalíticas e a 2 R; etoces so tambié aalíticas e a las fucioes: f + g; fg; f=g (si g (a) 6= 0) ; f 0 y F (si F 0 = f e u etoro de a). Si g es aalítica e a 2 R y f es aalítica e g (a) etoces f g es aalítica e a: 9

10 Ejercicios de la lecció. Ejercicio. Calcula los siguietes límites de sucesioes.. lm!+ 2. lm!+ 3 p + p : 4. lm 2 + : 5. lm!+ 3. lm!+ (a) co a 2 R. 6. lm!+ : 7. lm 2 log!+!+ 8 [se (2 ) 2 ] : 8. lm!+ se p : 9. lm!+! : a! Ejercicio 2. Estudia la covergecia de las siguietes series uméricas. : co a 2 R ( 2 ) 2 : 4. cos 2 2 : 5. + log 2 : 6. se 2 cos 2 : 7. + X log 2 : 8. + X e : ( ) : ( ) p : + : e Ejercicio 3. Estudia la covergecia de las siguietes series uméricas a +! co a 2 R. 5. X p! 2 : 9. + X 2 log 2 :! : 6. X+ ( )! : 0. X+ + ( ) log : 7. 3! [cos () + se (3)] :. X ( ) ( + ) 2 : : 8.! 2 : 2. X+ 3! (4)! (2)! (3)! : : Ejercicio 4.. Halla el valor de la itegral Z + 2 dx x (log x) p e fució de p 2 R. 2. Usado el apartado aterior determia, segú los valores de p 2 R, la 2 covergecia de la serie (log ) p. 0

11 Ejercicio 5. Estudia la covergecia de la serie e fució del parámetro a 2 R. 2 + a ; a + Ejercicio 6. Se cosidera la serie para cada a 2 R ( ) ( + ) a :. Determia segú los valores de a 2 R cuádo la serie es absolutamete covergete. 2. Ecuetra los valores de a 2 R para los cuales la serie es covergete. Ejercicio 7. Estudiar segú los valores de a 2 R la covergecia de la serie =3 2 ta : a 2 Ejercicio 8. (Septiembre 08-09) Estudiar segú los valores de 2 [0; =2] la covergecia de la serie 2 cos + cos : Ejercicio 9. Determia el itervalo de covergecia de las siguietes series de potecias: ( )! x : 5. (x + 2) : 6. 3 x : 7. x! 8. ( + 2) (2x + 3) : 9. 2 x : 0. 4 ( ) x :. (3x ) 2 : x : ( + ) ( + 2) ( + 3) x : 5 x : x :

12 Ejercicio 0. Para cada ua de las siguietes series de potecias calcula su suma:. ( + 2) (2x + 3) 4 : 3. ( ) x : 2. 2 x : 4. (x ) : (Juio 05-06) Ejercicio. (Juio 04-05) Halla el itervalo de covergecia de la serie y calcula su suma x Ejercicio 2. Halla el itervalo de covergecia de la serie de potecias y calcula su fució su suma x 2+ Ejercicio 3. Cosidera la serie de potecias 2 + x :. Calcula su itervalo de covergecia. 2. Ecuetra su fució suma. 3. Suma la serie umérica =3 2 2 : Ejercicio 4. Cosidera la serie de potecias 2. Calcula su itervalo de covergecia. 2. Ecuetra su fució suma. (x + ) : Ejercicio 5. (Primer Parcial 04-05) Cosidera la serie de potecias ( 2x) : 2

13 . Calcula su itervalo de covergecia. 2. Ecuetra su fució suma. 3. Determia la suma umérica ( ). Ejercicio 6. Cosidera la serie de potecias ( ) (x ) :. Calcula su itervalo de covergecia. 2. Ecuetra su fució suma. Ejercicio 7. (Primer Parcial 05-06) Cosidera la serie de potecias ( + ) ( + 2) x :. Calcula su itervalo de covergecia. 2. Ecuetra su fució suma. 3. Obté el valor de la serie umérica ( + ) ( + 2) : Ejercicio 8. Cosidera la serie de potecias +!. Calcula su itervalo de covergecia. (x + ) : 2. Ecuetra su fució suma. 3. Determia la suma de la serie + 2! : Ejercicio 9. Determia la serie de Maclauri de las siguietes fucioes, razoado e cada caso por qué so aalíticas e el cero.. f (x) = R x e t2 dt: 4. f (x) = arcta x: 0 2. f (x) = R x se t dt: 5. f (x) = arc cos x: 0 t 3. f (x) = 4 x : 6. f (x) = cosh x: 3

14 Ejercicio 20. Suma las series uméricas: ! ( ) 3 (2 + )! ( ) 2+ (2 + )! =3 ( ) =3 ( ) + 2 ( ) 2 6 (2)! Ejercicio 2. (Primer parcial 06-07) Dada la serie de potecias x :. Halla el itervalo de covergecia de la serie. 2. Calcula la fució suma de la serie de potecias. Ejercicio 22. (Juio 06-07) Dada la serie de potecias 2 + x ; 2! ecuetra su itervalo de covergecia y su fució suma. Ejercicio 23. (Septiembre 06-07)Dada la serie de potecias se pide: 4 (2 ) 2 x2 ;. Determiar su itervalo de covergecia. 2. Calcular su fució suma. Ejercicio 24. (Primer Parcial 07-08) Dada la serie de potecias + 2 (2x + ) : 4

15 Halla el itervalo de covergecia I de dicha serie y calcula la suma de la serie para todo x 2 I: Ejercicio 25. (Juio 07-08) Cosidera la serie de potecias. Halla su itervalo de covergecia. 2. Calcula su fució suma S (x) : (2 + ) 2 2 x : 3. Prueba que la ecuació xs (x) = 2 tiee ua úica solució e el itervalo [0; 2] ; y calcula dicha solució de forma aproximada mediate dos iteracioes del método de Newto. 5