Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

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1 Tema 4 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = b(x) (41) Vamos a presuponer que a 0 (x) 0 para todo x, de modo que estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales de la forma y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = b(x) (42) Definición 1 La ecuación diferencial lineal 42 se dice que es homogénea si b(x) = 0 En caso contrario se dice que es completa o no homogénea A menudo denotaremos por L(y) o L[y] al primer miembro de 42 L(y) = L[y] = y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = ( D n + a 1 (x)d n 1 + a n 1 (x)d + a n (x) ) y donde en este último caso D = d dx se utiliza como un ente algebraico1 Así se puede representar la ecuación diferencial lineal homogénea por L[y] = 0, donde L[] es un operador lineal, ie L [c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 2 (x)] = c 1 L[ϕ 1 (x)] + c 2 L[ϕ 2 (x)] (43) En este tema estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, ie a 1 (x),, a n (x) son constantes Comenzaremos estudiando el caso particular de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden (n = 2) y luego lo generalizaremos para n cualquiera Estudiaremos en primer lugar la ecuación homogénea, puesto que la resolucióin de la ecuación no homogénea se basa en el método de resolución de la ecuación homogénea 1 Esto proviene el Cálculo Operacional de O Heaviside 1

2 41 Ecuación homogénea Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden tiene la forma L[y] = y + a 1 y + a 2 y = 0 (44) donde a 1, a 2 R y b(x) es una función contínua en un intervalo I R La ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden y + ay = 0 tiene solución, como ecuación diferencial ordinaria de variables separadas, y = ce ax Sería bueno buscar soluciones exponenciales para 44 Basándose en esa idea se trata de buscar soluciones del tipo y = e rx, que substituyendo en 44 queda L[e rx ] = r 2 e rx + a 1 re rx + a 2 e rx = e rx ( r 2 + a 1 r + a 2 ) = 0 Debido a que e rx 0, se tendrán soluciones para las raíces del polinomio característico q(r) = r 2 + a 1 r + a 2 Este polinomio tendrá dos soluciones r 1, r 2 Consideramos las tres posibilidades: Si r 1, r 2 son reales y r 1 r 2 se tiene que las soluciones de 44 son ϕ 1 (x) = e r 1x ϕ 2 (x) = e r 2x Si r 1 = r 2 son reales, entonces las solución de 44 son ϕ 1 (x) = e r 1x ϕ 2 (x) = x e r 1x Si r 1, r 2 son complejas conjugadas, r 1 = α + iβ, r 2 = α iβ, α, β R, entonces las soluciones de 44 son ϕ 1 (x) = e ax cos bx ϕ 2 (x) = e ax sen bx Nótese que las soluciones son linealmente independientes, según se entiende por la siguiente definición Definición 2 Dadas ϕ 1 (x),, ϕ n (x) funciones definidas en un intervalo I R, se dice que son linealmente independientes si se verifica que para todo x donde c 1,, c n R c 1 ϕ 1 (x) + + c n ϕ n (x) c 1 = = c n = 0 (45) 2

3 Para resolver una ecuación diferencial lineal de orden n se necesitan n condiciones generales En general, dada una f(x, y, y ) = 0 si la desarrollamos en serie de potencias en un entorno de un punto x 0, y(x) = y(x 0 ) + y (x 0 ) 1! (x x 0 ) + y (x 0 ) 2! (x x 0 ) y(n) (x 0 ) (x x 0 ) n + (46) n! Dada la condición inicial f(x 0, y 0, y (x 0 )) = 0 se puede despejar y Una vez conocida y, con otra condición inicial adicional se podría despejar y, y con otra más se podría despejar y Así, para una ecuación diferencial lineal de orden n se necesitan n condiciones iniciales Dado que toda solución de una ecuacion diferencial lineal es combinación lineal de soluciones de la misma, la solución general será una combinación lineal de soluciones linealmente independientes Proposición 1 Dado el Problema de Cauchy para cualquier x 0 R y + a 1 y + a 2 y = 0 PC y(x 0 ) = y 0 = α y (x 0 ) = y 0 = β siempre existe solución (única) cualesquiera que sean los parámetros α, β Definición 3 Sean ϕ 1 (x),, ϕ n (x) funciones (n 1)-derivables, se define el Wronskiano como ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) ϕ n (x) ϕ 1(x) ϕ 2(x) ϕ n(x) W (ϕ 1,, ϕ n ) = (47) ϕ (n 1) 1 (x) ϕ (n 1) 2 (x) ϕ (n 1) n (x) También suele denotarse como W (ϕ 1,, ϕ)(x), W [ϕ 1 (x),, ϕ n (x)] ó W (x) Proposición 2 Sean ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) soluciones de la ecuación y + a 1 y + a 2 y = 0 con x I un intervalo, a 1, a 2 R Entonces ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) son linealmente independientes si y sólo si W (ϕ 1, ϕ 2 )(x) 0 x I Proposición 3 (Fórmula de Jacobi-Liouville) Sean ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) soluciones de la ecuación y + a 1 y + a 2 y = 0, x 0 I, entonces W (ϕ 1, ϕ 2 )(x) = W (ϕ 1, ϕ 2 )(x 0 )e a 1(x x 0 ) (48) Nótese que si x 0 I tal que W (ϕ 1, ϕ 2 )(x 0 ) = 0, entonces W (ϕ 1, ϕ 2 )(x) = 0 x I, esto es, o se anula W (ϕ 1, ϕ 2 )(x) en todo I o no se anula en ningún x I En general, d dx (W (ϕ 1,, ϕ n )) = ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) ϕ n (x) ϕ 1(x) ϕ 2(x) ϕ n(x) ϕ (n 2) 1 (x) ϕ (n 2) 2 (x) ϕ (n 2) n (x) ϕ (n) 1 (x) ϕ (n) 2 (x) ϕ (n) n (x) 3 (49)

4 Proposición 4 Sean ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) dos funciones Si ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) son linealmente dependientes, entonces W (ϕ 1,, ϕ n )(x) = 0 Nótese que el recíproco no es necesariamente cierto; no se puede garantizar que si W (ϕ 1,, ϕ n )(x) = 0 entonces ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) son linealmente dependientes Lo que sí es cierto es que si W (ϕ 1,, ϕ n )(x 0 ) 0 en cierto x 0, entonces ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) son linealmente independientes Proposición 5 Sean ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) funciones en el intervalo I Si para todo x I se verifica que W (ϕ 1,, ϕ n )(x) = 0 y ϕ 2 (x) 0, entonces ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) son linealmente dependientes Proposición 6 El conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes de orden n es un espacio vectorial de dimensión n Proposición 7 Si la ecuación diferencial y + a 1 y + a 2 y = 0, a 1, a 2 R, tiene una solución compleja y = u(x) + iv(x), entonces Re(y(x)) = u(x) y Im(y(x)) = v(x) son también soluciones Proposición 8 Sea la ecuación diferencial lineal homogénea real y + a 1 y + a 2 y = 0, con a 1, a 2 R Si las condiciones iniciales son reales, entonces la solución general es real Proposición 9 Sea una ecuación diferencial lineal homogénea y + a 1 y + a 2 y = 0, con a 1, a 2 R Dadas las soluciones ϕ 1 (x) con las condiones iniciales y(x 0 ) = y 01, y (x 0 ) = y 01 y ϕ 2 (x) con las condiones iniciales y(x 0 ) = y 02, y (x 0 ) = y 02 se verifica que, si las condiciones iniciales son linealmente independientes, entonces las soluciones ϕ 1 (x), ϕ 2 (x) son linealmente independientes 42 Ecuación completa De forma similar a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, si se tiene una solución general de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación completa, se obtiene la solución general de la ecuación completa Siempre que se tenga y h la solución general de la ecuacion homogénea y y c una solución particular de la ecuación completa, y h + y c será solución de la ecuación completa L[y h (x) + y c (x)] = L[y h (x)] + L[y c (x)] = 0 + b(x) = b(x) Así mismo, la diferencia de dos soluciones particulares y c1, y c2 de la ecuación completa, es solución de la ecuación homogénea L[y c1 (x) + y c2 (x)] = L[y c1 (x)] + L[y c2 (x)] = b(x) b(x) = 0 Proposición 10 El conjunto de las soluciones de una ecuación diferencial lineal completa es un espacio afín con espacio vectorial el conjunto de las soluciones de su ecuación homogénea 4

5 43 Métodos de resolución Existen varios métodos de resolución de ecuaciones diferenciales lineales completas (y homogéneas) A continuación estudiaremos el método de variación de las constantes y el método de los coeficientes indeterminados 431 Método de variación de las constantes Se trata de determinar c 1 (x), c 2 (x) tales que y p = c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x) sea una solución particular de la ecuación completa, donde y gh = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) es la solución general de la ecuación homogénea Exigiendo las condiciones c 1(x)y 1 (x) + c 2(x)y 2 (x) = 0 c 1(x)y 1(x) + c 2(x)y 2(x) = b(x) se obtiene que la solución particular de la ecuación completa es y1 (x)b(x) y2 (x)b(x) y pc = y 2 (x) dx y 1 (x) dx (410) W (x) W (x) donde W (x) = W (y 1, y 2 )(x) Si la ecuación fuera de la forma a 0 y + a 1 y + a 2 y = b(x), entonces el coeficiente a 0 aparecería en la solución general y1 (x)b(x) y pc = y 2 (x) a 0 W (x) dx y y2 (x)b(x) 1(x) dx (411) a 0 W (x) 432 Método de los coeficientes indeterminados Este método sólo puede aplicarse si b(x) es una exponencial, un polinomio, seno, coseno o combinación de éstas (aditiva o multiplicativa) b(x) = a e bx b(x) = P m (x) b(x) = a cos(qx) b(x) = b sen(qx) El Principio de Superposición dice que dada la ecuación diferencial lineal y +a 1 y +a 2 y = f 1 (x)+f 2 (x)+ +f n (x) la solución general es y = y gh +y p1 + +y pn, donde y gh es la solución general de la ecuación homogénea e y pi es una solución particular de y + a 1 y + a 2 y = f i (x) para cada i = 1,, n Según la forma de b(x) = f i (x) se obtiene una solución particular para la ecuación completa, que debe multiplicarse por x m donde m es la multiplicidad de la raíz excepcional (si ésta existiera) El cuadro 41 resume cómo tratar con las distintas formas de b(x) Todos estos resultados para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes de segundo grado, pueden generalizarse para un orden n cualquiera 5

6 b(x) y p raíz exc a A (xa si la raíz es 0) 0 ax m A 0 x n + + A n 0 P n (x) A 0 x n + + A n 0 ae mx Ae mx m P n (x)e mx (A 0 x n + + A n )e mx m b sen(qx) A cos(qx) + B sen(qx) ±iq a cos(qx) A cos(qx) + B sen(qx) ±iq ae px sen(qx) (A cos(qx) + B sen(qx))e px p ± iq ae px cos(qx) (A cos(qx) + B sen(qx))e px p ± iq P n (x)e px sen(qx) [(A 0 x n + + A n ) cos(qx) + (B 0 x n + + B n ) sen(qx)]e px p ± iq P n (x)e px cos(qx) [(A 0 x n + + A n ) cos(qx) + (B 0 x n + + B n ) sen(qx)]e px p ± iq Cuadro 41: Relación de soluciones particulares y p y sus raíces excepcionales para distintos coeficientes independientes b(x) de la ecuación diferencial lineal completa Proposición 11 Si r 1, r 2,, r s son las raíces reales del polinomio característico con orden de multiplicidad m 1, m 2,, m s respectivamente, entonces para cada i = 1,, s las funciones x j e r ix j < m i son soluciones de la ecuación y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y + a n y = 0 y la solución general será con c ij R constantes y = ϕ(x) = s i=1 m 1 j=0 c ij x j e r ix (412) Definición 4 Un sistema fundamental de soluciones es un conjunto de soluciones linealmente independientes cuya combinación lineal es la solución general 44 Ecuaciones de orden n Proposición 12 Si r l = α 1 + iβ 1,, r l = α l + iβ l son las 2l raíces complejas del polinomio característico con orden de multiplicidad m 1,, m l respectivamentey r 2l+1, r 2l+2,, r s son las raíces reales del polinomio característico con orden de multiplicidad m 2l+1, m 2l+2,, m s, e α1x cos β 1 x, xe α1x cos β 1 x,, x m1 1 e α1x cos β 1 x e α1x sen β 1 x, xe α1x sen β 1 x,, x m1 1 e α1x sen β 1 x e αnx cos β n x, xe αnx cos β n x,, x mn 1 e αnx cos β n x e αnx sen β n x, xe αnx sen β n x,, x mn 1 e αnx sen β n x e r2l+1x, xe r2l+1x,, x m2l+1 1 e r 2l+1x e rsx, xe rsx,, x ms 1 e rsx son las n = l j=1 2m j + s j=2l+1 m j soluciones ϕ 1 (x),, ϕ n (x), que serán linealmente independientes si y sólo si W (ϕ 1,, ϕ n ) 0 6

7 El conjunto de las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n es un espacio vectorial de dimensión n El conjunto de las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea (completa) de orden n es un espacio afín de dimensión n asociado al espacio vectorial del conjunto de las soluciones de la ecuación homogénea asociada 441 Método de variación de las constantes Hemos estado hablando de y (n) + a 1 y (n 1) + + a n y = b(x), tenemos la solución general de la ecuación homogénea y gh, necesitamos una solución particular de la completa y p y gh (x) = c 1 ϕ 1 (x) + + c n ϕ n (x) y p (x) = c 1 (x)ϕ 1 (x) + + c n (x)ϕ n (x) Necesitamos hallar las n funciones c 1 (x),, c n (x) y para ello necesitamos n condiciones iniciales Imponemos las condiciones Y obtenemos el sistema c 1(x)ϕ 1 (x) + + c n(x)ϕ n (x) = 0 c 1(x)ϕ 1(x) + + c n(x)ϕ n(x) = 0 c 1(x)ϕ (n 2) 1 (x) + + c n(x)ϕ (n 2) n (x) = 0 c 1(x)ϕ (n 1) 1 (x) + + c n(x)ϕ (n 1) n (x) = b(x) y p = c 1 (x)ϕ 1 (x) + + c n (x)ϕ n (x) y p = c 1 (x)ϕ 1(x) + + c n (x)ϕ n(x) y p (n 1) = c 1 (x)ϕ (n 1) 1 (x) + + c n (x)ϕ (n 1) (x) Substituimos en la ecuación diferencial con las derivadas y obtenemos c 1(x)ϕ (n 1) 1 (x) + + c n(x)ϕ (n 1) n (x) = b(x) (413) Añadiendo esta condición a las n 1 anteriormente impuestas, obtenemos un sistema de n ecuaciónes ( cuáles?) con n incógnitas c 1(x),, c n(x) cuyo determinante es W (ϕ 1,, ϕ n )(x) 0 Así, las soluciones son c k(x) = W k (x) b(x) W (ϕ 1,, ϕ n )(x) n (414) donde W k tiene (0,, 0, 1) en la columna k-ésima y el resto de columnas coinciden con W (ϕ 1,, ϕ n )(x) Luego, W k (x) b(x) c k (x) = dx (415) W (ϕ 1,, ϕ n )(x) 7

8 Así que la solución particular de la ecuación completa será y p = n k=1 x W k (ξ) b(ξ) ϕ k (x) dξ (416) x 0 W (ϕ 1,, ϕ n )(ξ) Nótese que si la ecuación diferencial es de la forma a 0 y (n) + a 1 y (n 1) + + a n y = b(x), entonces en la solución hay que dividir por a 0, ie y p = n k=1 x W k (ξ) b(ξ) ϕ k (x) dξ (417) x 0 a 0 W (ϕ 1,, ϕ n )(ξ) Como siempre, el método de variación de las constantes es teóricamente bonito y se puede aplicar siempre, pero la dificultad estriba en resolver las integrales Por otra parte, el método de los coeficientes indeterminados, sólo es aplicable para ciertas formas de b(x) 8