4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES

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1 4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES Dr. hp://mah.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ

2 4. Variables Aleaorias Ua variable aleaoria es ua fucio que asume sus valores de acuerdo a los resulados de u eperimeo aleaorio. Usualmee se represea por las úlimas leras del alfabeo:, Y o Z. Ua variable aleaoria es ua fució cuyo domiio es el espacio muesral S y cuyo rago R,esu subcojuo de los úmeros reales. Ejemplos de variables aleaorias: : La suma que aparece al lazar u par de dados. Y: El úmero de caras que aparece al lazar ua moeda res veces. Z: El úmero de errores que se ecuera e la págia de u libro. T: El iempo de vida de la compoee de u sisema W: El iempo de espera para ser aedido e u baco ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico

3 Ejemplo. De ua caja que coiee 5 bolas umeradas del al 5 se erae bolas ua por ua y si reposició. Eoces : El mayor de los res úmeros sacados, es ua variable aleaoria. El espacio muesral es: S {,,,,,4,,,5,,,4,,,5,,4,5,,,4,,,5,,4,5,,4,5} y la variable aleaoria asume los valores:, 4 y 5. Por ejemplo,,,4 4 ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico

4 Si el rago de valores R de la variable aleaoria es fiio o ifiio eumerable eoces se dice que es ua variable aleaoria discrea. Si su rago de valores R es ifiio o eumerable eoces se dice que es ua variable aleaoria coiua. ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 4

5 4... Fució de probabilidad de ua variable aleaoria discrea Si es ua variable aleaoria discrea co rago de valores R eoces, su fució de probabilidad se defie por: p P[ ], para odo R y iee las siguiees propiedades: p> y Σ p, R Cuado R o coiee muchos valores es más coveiee epresar p e ua abla de valores, la cual es llamada abla de fució de probabilidad. ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 5

6 Ejemplo.. Hallar la fució de probabilidad de la variable aleaoria del ejemplo.. Solució: E ese caso el rago de valores de es R {, 4, 5} y la fució de probabilidad esa dada e la siguiee abla: P / 4 / 5 6/ ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 6

7 4... Fució de disribució acumulaiva Sea ua variable aleaoria discrea co fució de probabilidad p y rago de valores R, eoces su fució de disribució acumulaiva se defie por: F P p es cualquier úmero real. E paricular, si es u valor que esá e R, el cual cosise de eeros o egaivos, eoces: F p p p p p Ejemplo.. Hallar la fució de disribució acumulaiva para el Ejemplo.. Solució: F / 4 4/ 5 ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 7

8 Disribucio acumuladaco La gráfica de ua fució de disribució acumulaiva es o decreciee y del ipo escaloado, co salos e los puos que esá e el rago de valores y cuya magiud es igual al valor de la fució de probabilidad e dicho puo. Más formalmee iee la siguiee propiedad: Propiedad. La relació ere la fució de disribució de probabilidad y la fució de disribució acumulaiva esá dada por: p F - F- para odo valor de e el rago de valores de la variable aleaoria. ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 8

9 Disribucio acumuladaco. lim lim b b F b F F b F ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 9

10 4.. Variables aleaorias coiuas Ua variable aleaoria se dice que es coiua si eise ua fucio o egaiva f defiida para odo umero real e, que saisface P B f d B Dode B es cualquier subcojuo de los umeros reales. La fucio f es llamada la fucio de desidad de la variable aleaoria. Noar que P f d ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico

11 4.. Variables aleaorias coiuas Si B es u iervalo [a,b], y f represea la fucio de desidad de eoces b f d P a b Area debajo de f a Noar que o P o f d area o de ua liea Tambie, si f es cualquier fucio coiua o egaiva al que eoces c f d f g es ua fucio de desidad c ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico

12 Ejemplo.4 El promedio de graduacio de los esudiaes de ua uiversidad es ua variable aleaoria coiua co fucio de desidad f c4 para 4 y f e oro caso a Hallar el valor de c b U esudiae que se gradua co promedio.5 o mas recibe u premio. Cual es la probabilidad de que eso ocurra Solucio: a f d 4 c4 d c[ ] 4 c c b P 4 > d [ ] 4.5 [.5.5 ] ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico

13 Variables aleaorias coiuas co. Si f represea la fucio de desidad de la variable aleoira eoces su fucio de disribucio acumalaiva esa dada por Teorema: ff F f d Prueba: F lim h F h h F h f d h f d h f d h hf ε h f ε dode <ε< h. Luego F f. ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico

14 Variables aleaorias coiuasco. Si F represea la disribucio acumulaiva de la v.a.c. eoces P>a-Fa Pa<<bFb-Fa Ejemplo.5: Si la variable aleaoria iee la siguiee fucio de desidad f si f si > a Hallar F y graficarla b Hallar P.<<.6 c Probar que como es simerica,p-a<<a*fa- ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 4

15 Ejemplo.5 solucio ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 5 < < < d d F a.4.]. [.5.8].6 [ < < F F P b ] [ < < a F a F a F a F a F a a P simeria Por c

16 Ejemplo.6 El umero de horas diarias que u io vee elevisio se cosidera como ua variable aleaoria co fucio de desidad f e oro caso f e si > a Hallar la disribucio acumulada de b Hallar la probabilidad de que u io vea mas de res horas diarias de elevisio Solucio: a F < > e d e e e e b P > F [ e e ] 4e.99 ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 6

17 4..4 Valor Esperado y Variaza de ua Variable Aleaoria Discrea Sea ua variable aleaoria discrea co fució de probabilidad p y rago de valores R, eoces su Valor Esperado o Media se defie como el úmero: μ E p La suma es sobre odos los valores que esá e R. Propiedades del valor Esperado: aecec becce c EYEEY d E[g] g p. E paricular, si g co,, eoces E p, que es llamado el -esimo momeo de ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 7

18 Ejemplo.7 U juego cosise e acerar u úmero del al. A la persoa que aciera el úmero se le da u premio de 5 dólares y a las dos persoas que iee el úmero que le aecede o precede se le da dólares. Si el boleo cuesa dólar. Cuál será la Gaacia Nea esperada de ua persoa que compra u boleo? Solució: La Gaacia Nea es igual a la gaacia por el premio recibido meos el coso del boleo. Sea G la gaacia por el premio recibido. Hallaremos primero la Gaacia Esperada: G PG GpG 5 / 5/ / / 997/ Luego, la gaacia esperada por boleo será 7/.7. Así que la Gaacia Nea esperada será Lo que sigifica que ua persoa pierde ceavos ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 8

19 ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 9 Valor Esperado y Variaza de ua Variable Aleaoria Discrea co. La Variaza de ua variable aleaoria discrea co fució de probabilidad p y media μ se defie por: Dode la suma es sobre odos los valores del rago de. Propiedades: a Vara b VaraVar c Varaa Var d La raiz cuadrada posiiva de la variaza es llamada desviacio esadar y se represea por σ p E VAR μ μ σ μ μ μ μ μ μ μ μ E E E E E E VAR

20 Ejemplo.8. Hallar la media y variaza para la variable aleaoria del Ejemplo.. Solució: p p -μ -u p / / /..5.5 μ4.5 σ.45 Ora formas del calcular la variaza es σ p-μ. ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico

21 Ejemplo.9 Ua caja coiee bolas de colores disios co dos bolas de cada color. Se erae al azar y co reemplazamieo bolas de la caja hasa que salga dos bolas del mismo color. Sea el umero de bolas eraidas. a Hallar P> para,,. b Hallar la fucio de probabilidad de c Hallar el valor esperado de. Solucio: a El eveo [>] es equivalee a decir que ere las primeras bolas hay ua de cada color. Eso puede ocurrir de P maeras. Las combiacioes so las maeras de elegir los colores disios y so los disios arreglos que se puede hacer co los colores elegidos. Por oro lado hay maeras posibles de eraer las bolas. Por lo ao, P > para,,.., ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico

22 Ejemplo.9 co. ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico b PF-F--P>--P>-P>--P> Usado los resulados de la pare a se iee P P ] [ para,,.. Noar que.luego,... p p p p P ] [ ] [ ] [ ] [... j j j j j p j j j j j j j j

23 Ejemplo.9 co ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico c ]... [ ]... [ > > P P E m Wel resulado aerior se puede simplificar mas usado el hecho que el se puede aproimar usado la formula de aproimacio de Sirlig y la suma es ua pare de la serie epoecial de e

24 4..5 Valor Esperado y Variaza de ua Variable Aleaoria coiua Si es ua variable aleaoria coiua co fucio de desidad f, eoces su media y variaza esa defiidos por E f d VAR μ f d ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 4

25 Ejemplo. Hallar el valor esperado y variaza del ejemplo.4. Solucio: E f d [ 4 4 ] d 4 [ 4 ] 4 4 El valor del promedio academico de graduacio que se espera es de. Var E E E 4 E f d 4 [ 4 ] d [ 4 5 ] Luego, Var4/5-44/5.8 ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 5

26 Ejemplo. Hallar el valor esperado del ejemplo.6 Solucio: E e d e d e e d La ulima iegral vale, porque represea el area oal debajo de la fucio de desidad. Se espera que u io mire elevisio, horas semaales ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 6

27 Ejemplo. Sea u variable aleaoria discrea co rago de valores R {,,.,}. Eoces, E i P i Similarmee si es ua variable coiua o egaiva co fucio de disribucio acumulada F, eoces E [ F ] d Solo probaremos el caso coiuo E ESMA 4 f d f dd f dd [ F ] d La prueba basicamee se basa e el cambio e el orde de los limies de iegracio Uiversidad de Puero Rico 7

28 Desigualdad de Marov Si eoces E P a a Solo probaremos el caso coiuo Para odo a> a E f d f d f d a a af d ap > a La primera desigualdad se jusifica porque el iegrado de la primera iegral es posiivo y e la seguda iegral >a. Luego, E P > a a ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 8

29 Desigualdad de Chebychev Para cualquier variable aleaoria, y cualquier > se cumple que P[ μ σ ] E oras palabras, la probabilidad de que ua variable aleaoria difiera de su media e mas de veces su desviacio esadar es a lo mas / La prueba de la desigualdad de Chebychev se obiee aplicado la desigualdad de Marov a la variable oegaiva -μ co a σ. Lo cual da E μ σ P [ μ > σ ] De dode σ σ P[ μ > σ ] ESMA 4 Uiversidad de Puero Rico 9