U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #27B Sexto grado Mínimo común múltiplo

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1 GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía # 27B. Tema: Mínimo común. Problemas. Fecha: Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno: Sección del alumno: CONDICIONES: Trabajo individual. Sin libros, ni cuadernos, ni notas. Sin celulares. Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para resolver cada problema. No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo. No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni calculadoras prestadas. Marco Teórico: Definición: Múltiplo común de dos números es todo número que contiene exactamente a cada uno de ellos. Así, 40 es común de 20 y de 8 porque 40 contiene a 20 dos veces y a 8 cinco veces.. También, 90 es común de 45, 8 y 5 porque , , y , sin que exista residuo en ningún caso. Mínimo común : Mínimo común de dos o más números es el menor número que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos. Se designa por las iniciales m.c.m. Ejemplo #: 36 contiene exactamente a 9 y a 6, como también 8 contiene exactamente a 9 y a 6. Hay algún número menor que 8 que contenga a 9 y a 6?. No. Entonces, 8 es el m.c.m. de 9 y 6. Ejemplo #2: 60 es divisible por 2, 3 y 4; 48 también; 24 también y 2 también. Como no hay un número menor que 2 que sea divisible por 2, 3 y 4 tendremos que 2 es el m.c.m. de 2, 3 y 4. FVR (26/09/20)

2 Mínimo común por inspección: La teoría del mínimo común es de gran importancia por sus múltiples aplicaciones. Cuando se trata de encontrar el m.c.m. de números pequeños, éste puede ser encontrado por simple inspección, de este modo: Como el m.c.m. de varios números tiene que ser del mayor de ellos, se mira primero si el mayor de los números dados contiene a todos los demás. Si es así, el mayor de los números dados es también el m.c.m. Si no los contiene, se busca cuál es el menor del número mayor que contiene a los otros exactamente y éste es entonces el m.c.m. buscado. Ejemplo #3: Hallar el m.c.m. de 8 y 4. Como el número mayor 8 contiene exactamente a 4, 8 es el m.c.m. de 8 y 4. Ejemplo #4: Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4. El número 8 contiene exactamente a 4 pero no a 6. Empezamos a buscar de menor a mayor y encontramos que de los s de 8 el número 24 contiene exactamente a 8, 6 y 4; por lo tanto, 24 es el m.c.m. de 8, 6 y 4. Ejemplo #5: Hallar el m.c.m. de 0, 2 y 5. El número 5 no contiene a los demás. Buscando ahora entre los s de 5, de menor a mayor, el número 30 y el número 45 no contienen a los demás; pero el 60 si los contiene, por lo que 60 será el m.c.m. de 0, 2 y 5. METODOS PARA HALLAR EL M.C.M. Cuando no es fácil hallar el m.c.m. por simple inspección, éste puede ser hallado por los siguientes métodos:.- Utilizando el m.c.d. 2.- Por descomposición en factores primos. M.C.M. de dos números por el m.c.d. El m.c.m. de dos números es igual al producto de los dos números dividido por el m.c.d. Ejemplo #6: Hallar el m.c.m. de 84 y 20, por el m.c.d. Se halla primero el mc.d. de ambos números, como sigue: FVR (26/09/20) 2

3 El m.c.d. = 2 Entonces, de acuerdo con la regla enunciada arriba, el mc.m. será: 2084 m. c. m Ejemplo #7: Hallar el m.c.m. de 238 y 340. Se halla primero el m.c.d. de ambos números, como sigue: El m.c.d. =34. Entonces, el m.c.m. será: m. c. m Caso especial: Si los dos números dados son primos entre si, el m.c.m. es el producto de ambos números. Así, el m.c.m. de 5 y 6, los cuales son primos entre si, es mc.. m También, el m.c.m., de 2 y 43 es mc.. m M.C.M. de dos o más números utilizando el M.C.D. Esta regla se fundamenta en que el m.c.m. de varios números no se altera si se sustituyen dos de ellos por su m.c.m. La regla es la siguiente: Se halla primero el m.c.m de dos de los números, el cual llamaremos m. c. m. ; luego se halla el m.c.m. entre otro de los números y el m. c. m., encontrándose el m. c. m. 2 ; y se continua así sucesivamente hasta agotar todos los números y encontrar el m c m, el cual sería el m.c.m. de todos los números dados.... n FVR (26/09/20) 3

4 Ejemplo #8: Hallar el m.c.m. de los números 8, 54, 80, 360 y 400. Como 8 es divisor de 54 y 80 es divisor de 360, podemos prescindir de ellos y se encontrará entonces el m.c.m. de 54, 360 y 400 solamente. Hallaremos primero el m.c.m., de 360 y 400 por el método del m.c.d El m.c.d. = Entonces: m. c. m Se hallará ahora el m.c.m. de y 54: El m.c.d. = Entonces: 2 m. c. m Luego, es el m.c.m. de 8, 54, 80, 360 y 400. Caso especial: Si los números dados son primos dos a dos, el m.c.m. de todos ellos es el producto de todos los números. Ejemplo #9: Hallar el m.c.m. de 2, 3, 5 y 7. mc.. m M.C.M. por descomposición de factores: Se descomponen los números dados en sus factores primos y el m.c.m. se forma con el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados por su mayor exponente. Ejemplo #0: Hallar el m.c.m. de 50, 80, 20 y 300. FVR (26/09/20) 4

5 Resumiendo: m. c. m Ejemplo # : Hallar el m.c.m. de 24, 48, 56 y 68. Hay que darse cuenta de que 24 es divisor de 48 y 56 es divisor de 68, por lo que se puede prescindir de 24 y 56 y trabajar solo con 48 y Resumiendo: m. c. m Entonces, 336 es el m.c.m. de 24, 48, 56 y 68. Método abreviado: El m.c.m. por descomposición de factores puede hallarse más rápidamente por el llamado método abreviado. El método consiste en dividir cada uno de los números dados por su menor divisor; lo propio se hace con los cocientes, hasta obtener que los cocientes sean. El m.c.m. es el producto de todos los divisores primos. FVR (26/09/20) 5

6 Ejemplo #2: Hallar el m.c.m. de 30, 60 y 90. Prescindimos de 30 por ser divisor de 60. Se trabaja entonces con 60 y m. c. m Ejemplo #3. Hallar el m.c.m., por el método abreviado, de los siguientes números: 360, 480, 500 y PREGUNTAS:.- Con 0 ctvs., podré comprar un número exacto de lápices de 3ctvs. y de 5ctvs. No se puede comprar un número exacto. Siempre sobrará dinero. 0 no es de Con 30 ctvs., podré comprar un número exacto de lápices de 3ctvs,, 5 ctvs y 6 ctvs.?. 30 ctvs. es el m.c.m. de los número s dados, si se puede. Una solución es: 35 ctvs. 6 tvs. 33 ctvs ctvs.. Otra alternativa es: ctvs ctvs ctvs ctvs Con qué cantidad menor que 40 ctvs. podré comprar un número exacto de manzanas de a 4 ctvs., 6 ctvs y 9 ctvs.?. Por simple inspección, el m.c.m. de 4, 6 y 9 es 36, por lo tanto se debe buscar varias combinaciones de números y precios cuyos productos sumen 36, como: 34 ctvs. 6 ctvs 29 ctvs FVR (26/09/20) 6

7 También: 3 ctvs. 46 ctvs. 9 ctvs Además, como 39 es menor que 40, podemos decir: 23 ctvs 46 ctvs 9 ctvs. 39 ctvs. 4.- Puede usted tener 50 ctvs. en piezas de cinco, diez y veinte centavos?. Si se puede y de varias maneras. La única limitación es que en todos los casos no puede haber más de una moneda de 20 ctvs. 20 ctvs. 0 ctvs. 45 ctvs ctvs. ctvs ctvs ctvs ctvs Cuál es la menor suma de dinero que se puede tener en piezas de cinco, diez y veinte centavos?. Si no es necesario incluir todas simultáneamente, la menor suma de dinero es 20 centavos (el m.c.m.); pero, si es necesario incluir todas, la menor suma de dinero es 35 centavos Una de cada una). 6.- Cuál es la menor suma de dinero que se puede tener en billetes de a $2, de a $5 y de a 20 y cuántos billetes de cada denominación en cada caso harían falta? m. c. m Entonces, $20 es el m.c.m. y por tanto la menor suma de dinero que se puede tener. Los casos pueden ser: 20 $ 20 $. 45 $ 20 $ 02 $ 20 $ 25 $ 5 2 $ 20 $. 7.- Hallar la menor distancia que se puede medir con una vara de 2 cms., de 5 cms o de 8 cms. de largo. Prescindimos de 2 porque es divisor de 8. Además 5 y 8 son primos enrtre si, entonces, el m.c.m. = 40 cms. FVR (26/09/20) 7

8 8.- Cuál es la menor suma de dinero con que se puede comprar un número exacto de libros de a $3, $4, $5 y u $8 cada uno y cuántos libros de cada precio puedo comprar con esa suma?. Prescindimos de $4 por ser divisor de $8. Como el resto de los números son primos entre si, el mínimo común es: m. c. m $. Se pueden comprar, según el precio: 20 $ 20 $ 20 $ 20 $ 40 ; 30 ; 24 ; 5 $ libros $ libros $ libros $ libros libro libro libro libro 9.- Para comprar un número exacto de docenas de pelotas de a 80 ctvs. la docena o un número exacto de docenas de lápices a 60 ctvs. la docena, cuál es la menor suma de dinero necesaria?. Se busca el m.c.m. entre 80 y ctvs m. c. m $2, Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de trajes de a $30, de a $ 45 o de $50 si quiero que en cada caso me sobren $25?. Se busca el m.c.m. de 30, 45 y 50 y luego se le suma m. c. m $ $ FVR (26/09/20) 8

9 .- Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de tres llaves que vierten: ).- 2 litros por minuto; 2). 8 litros por minuto y la ). 20 litros por minuto? litros m. c. m Cuál es la capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de segundos por cualquiera de tres llaves que vierten: ).- 2 litros por segundo; 2) litros en 2 segundos y 3).- 48 litros en 3 segundos.?. Se buscará el m.c.m. de: 2; ; litros m. c. m Hallar la menor capacidad posible de un depósito que se puede llenar en un número exacto de minutos abriendo simultáneamente tres llaves que vierten: ).- 0 litros por minuto; 2). 2 litros por minuto y la 3).- 30 litros por minuto, y cuántos minutos tardaría en llenarse. Las tres llaves se abren simultáneamente; entonces el caudal del conjunto de las tres llaves es igual a la suma de los caudales individuales; o sea: l El menor tiempo de llenado será min. Por lo que la capacidad min. menor será 52 litros. FVR (26/09/20) 9

10 4.- Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir en pedazos de 8 cms., 9 cms., o 5 cms. de longitud sin que sobre ni falte nada y cuántos pedazos de cada longitud se podrán sacar de esa varilla?. Se encontrará el m.c.m. de 8, 9 y cms m. c. m Pedazos de cada longitud: ; ; pedazos pedazos pedazos 5.- Hallar el menor número de bombones necesario para repartir entre tres clases de 20 alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de manera que cada alumno reciba un número exacto de bombones y cuántos bombones recibirá cada alumno de cada clase. Se hallará el m.c.m. de 20, 25 y bombones m. c. m Bombones por clase: 300 bombones alumno 300 bombones alumno 300 bombones alumno 6.- Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 0 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo segundos y el tercero 2 FVR (26/09/20) 0

11 segundos, al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo?. Se busca el m.c.m. de todos los tiempos dados: seg m. c. m Vueltas por galgo en los 660 segundos: 660 seg.. 66vueltas seg. 0 vuelta 660 seg vueltas seg. vuelta vueltas Tres aviones salen de una misma ciudad, el º cada 8 días, el 2º cada 0 días y el 3º cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de enero, cuále4s serán las dos fechas en que volverán a salir juntos, si el año no es bisiesto,. Se busca el m.c.m. de 8, 0 y dias m. c. m Para calcular las fechas, hay que recordar que enero tiene 3 días y febrero 28 días, entonces la primera fecha será de febrero y la segunda fecha será 23 de marzo. FVR (26/09/20)