Teoría de la decisión Estadística

Transcripción

1 Conceptos básicos Unidad 7. Estimación de parámetros. Criterios para la estimación. Mínimos cuadrados. Regresión lineal simple. Ley de correlación. Intervalos de confianza. Distribuciones: t-student y chi cuadrado Unidad 8. Pruebas de hipótesis. Formulación general. Distribución de varianza conocida. Prueba para la bondad del ajuste. Validación de modelos 1

2 Estimación de parámetros Objeto: inferir los valores de estadísticos descriptivos de una población a partir de una muestra. Parámetro: atributo descriptivo de una población. Comúnmente; la media, la varianza y la desviación típica. Estadístico: atributo medido sobre la distribución muestral Puntuales: medidas discretas de los estadísticos por Intervalos: medidas continuas, se define un intervalo en el cual se estima con cierta probabilidad que el parámetro en estudio se encuentra. Comúnmente: intervalos de confianza 1-α = coeficiente de confianza y expresa la probabilidad que el valor del parámetro para la población esté dentro del intervalo especificado (L, U)

3 Estimación de parámetros Ciertos criterios deben ser aplicados para considerar adecuado un estimador: Ausencia de sesgo: el estimador será insesgado si su esperanza matemática es igual al valor del parámetro. Consistencia: será consistente si la esperanza del estimador tiende al valor del parámetro y su varianza tiende a cero cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito Eficiencia: un estimador de un parámetro será más eficiente que otro si se cumple que su varianza con respecto al parámetro sea menor que la del segundo uficiencia: un estimador será suficiente si resume toda la información relevante de la muestra para estimarlo y no hay otro estimador que ofrezca mejor o más información 3

4 Caso I: conocida la desviación estándar poblacional 1. Distribución normal en la muestra.. Escala z cuál es la puntuación correspondiente al nivel de confianza? 3. Trasladar a la escala x,5% 95%,5% 3 3 Escala z i => 30 y no se conoce µ, trabajar con la desviación muestral, en reemplazo de σ 4

5 Tabla de valores z c para varios niveles de confianza ivel de confianza 99,73% 99,00% 98,00% 96,00% 95,45% 95,00% 90,00% 80,00% 68,7% 50,00% Z c 3,00,58,33,05,00 1,96 1,65 1,8 1,00 0,57 5

6 Caso II: desconocida la desviación estándar poblacional 1. Técnica de estimación para muestras pequeñas ( < 30). Usar la varianza muestral y la aproximación será con la distribución t de student con 1 grado de libertad: X tn 1 3. Análogamente al anterior a partir de X obtenemos P X tn 1 X tn 1 1 donde 1-α es el nivel de confianza 6

7 Estimación de parámetros Valores críticos de t 7

8 Ejercicio 1.- De un total de 00 calificaciones de matemáticas se tomó una muestra aleatoria (sin reemplazo) de tamaño 50. En esta muestra se observó una media de 75 y una desviación típica de 10. (a) cuáles son los límites de confianza de 95% para la estimación de la media de las 00 calificaciones? (b) con qué grado de confianza se puede decir que la media de las 00 calificaciones es de 75 ± 1? 1.- e observa que el tamaño de la población no es muy grande con respecto a la muestra, y además el muestreo es sin reposición, por tanto es necesario introducir la corrección poblacional p p ,868.- El tamaño de la muestra es mayor a 30; por tanto podemos usar la desviación típica muestral () como un buen estimador de la desviación típica poblacional (σ) 3.- Establecido el contexto, podemos trabajar bajo el esquema del caso I: así; X z c X donde X p p 1 y del nivel de confianza del 95% se infiere z c = 1, X 1, ,96 0,868 75,4 :intervalo de confianza para µ (a) X 50 8

9 En la segunda cuestión se requiere establecer el grado de confianza dado unos límites; así: X z c X X z c 0, z 1,3 1,3z 1 z c c c 0,81 Buscamos en la tabla de la distribución normal cual es el área que corresponde a z c = 0,81 y se obtiene 0,910; el doble de esta área: *0,910 será el nivel de confianza asociado a los límites 75±1, por tanto 58, % Una conclusión interesante y estadísticamente significativa, es la observación que mientras menor la desviación aspirada del parámetro con respecto a la estimación, menor será el intervalo de confianza; asunto que ya trabajamos en clase, o, dicho de otra manera; menor la probabilidad que la estimación represente al parámetro en un conjunto de muestras. 9

10 Ejercicio.- El administrador de un cadena de tiendas desea determinar la cantidad promedio que gastan Las personas usando la tarjeta de crédito de la tienda. El registro de clientes tarjetahabientes muestra un Total de clientes; de ellos selecciona una muestra aleatoria de 5 clientes; resultando en un promedio De gasto de 75,0 con una desviación típica de 0. cuál será una estimación razonable para la media y la desviación típica de la población? 1.- Fijamos como aceptable un grado de confianza del 95%. Esto quiere decir que las colas de nuestra distribución serán de tamaño 0,05; es decir (5/) %. Eso es porque la distribución t es simétrica..- El valor crítico de t (el equivalente a z en la dist. normal) lo hallamos en la tabla de la distribución t; Intersectando en la columna de los α/ correspondiente a 0,05 con la fila correspondiente a 4 4 grados de libertad (-1); y el resultado es t -1 =, Así: X t n 1 P 75, ,56 66,74 83,6 0, 95 mente significa que si se seleccionaran todas las posibles muestras de tamaño 5; el 95% de Los intervalos desarrollados incluirían a la media poblacional en algún lugar dentro del intervalo. 10

11 Ejercicio 4.- Una empresa tiene árboles navideños maduros y listos para cortar. En forma aleatoria se seleccionan 100 de estos árboles y se miden sus alturas; los resultados se expresan en la tabla. i cada árbol se vende a razón de 15 por cada 5 cmts. de altura; calcular el valor del inventario de árboles con un margen de confianza, (i) de 95%; (ii) de 99% y (iii) de 90%. Tabla de alturas en la muestra 14,4 154,94 160,0 86,36 119,38 88,90 111,76 17,00 160,0 149,86 177,80 154,94 134,6 165,10 18,88 139,70 180,34 144,78 190,50 190,50 134,6 11,9 139,70 170,18 15,40 15,40 185,4 187,96 109, 11,9 180,34 134,6 198,1 149,86 14,4 160,0 11,9 165,10 19,54 144,78 185,4 157,48 03,0 134,6 16,56 111,76 170,18 114,30 11,9 14,46 17,00 144,78 18,88 139,70 14,4 157,48 18,88 144,78 149,86 157,48 116,84 154,94 13,08 116,84 18,88 14,4 116,84 11,9 144,78 13,08 137,16 185,4 180,34 177,80 167,64 170,18 147,3 180,34 190,50 17,00 111,76 149,86 14,4 137,16 160,0 109, 17,7 176,3 139,70 160,0 11,9 14,46 177,80 15,40 170,18 119,38 14,46 175,6 167,64 185,4 11

12 (1) Contexto del problema:. cómo será la distribución?. iendo un fenómeno natural (al igual que las de las personas) podemos suponer que las alturas de los árboles se distribuyen normalmente, y en consecuencia la distribución de la muestra también lo será.. Por otra parte el tamaño de la muestra la ubica dentro de la clasificación de muestra grande, en consecuencia; (a) no hará falta la corrección poblacional; (b) podemos calcular la distribución utilizando las puntuaciones z (a pesar de la relación entre el tamaño de la muestra y el de la población); y (c) La media muestral ( ) y la desviación típica muestral () pueden ser utilizadas para el cálculo de la estimación sin que ello signifique un error apreciable en la estimación del valor del parámetro. 1

13 Media muestral: 149,8 Desviación típica (): 5,60 (i) (ii) Como el nivel de confianza es del 95% se define z c = 1,96 y el valor se calcula como: X 1,96 5,6 149,8 1,96 149,8 5, % deconfianza 144,80 154,84 (1) 144,80 cmts.* 3,00*5.000, ,00 cmts () 154,84cmts.* 3,00*5.000, ,00 cmts. para el nivel de confianza del 99% se define z c =,58 y el valor se calcula como: X,58 5,6 149,8,58 149,8 6, % de confianza 143,1 156,43 (1) 143,1 cmts.* 3,00*5.000, ,00 cmts () 156,43cmts.* 3,00*5.000, ,00 cmts. (iii) para el nivel de confianza del 99% se define z c = 1,645 y el valor se calcula como: X 1,645 5,6 149,8 1, ,8 4, % de confianza 145,61 154,03 (1) 145,61 cmts.* 3,00*5.000, ,00 cmts () 154,03cmts.* 3,00*5.000, ,00 cmts. 13

14 Ejercicio 5.- Para el ejercicio 4 cuál sería el margen de confianza para un estimado de la media poblacional de µ ±,5? 149,8 zc 149,8,5 zc,5 zc,95,5 zc 0,85 En la tabla se obtiene el valor del área correspondiente: 0,303 Como la distribución es simétrica P=*0,303 = 60,6 Así el margen de confianza es del 60,6 % 14

15 Ejercicio 6.- Para el ejercicio 4 suponga una muestra de tamaño 5, según la tabla. Calcule los mismos intervalos de confianza, 95, 99 y 90. Contexto: (1) Cae dentro de supuesto de muestras muy pequeñas En relación a la población. () e utilizará la distribución t de student para calcular El intervalo de confianza, utilizando distribución y media muestral. Tabla de alturas en la muestra 185,4 170,18 14,46 170,18 198,1 177,80 144,78 167,64 17,00 11,9 144,78 177,80 139,70 138,70 185,4 187,96 86,36 160,0 154,94 134,6 116,84 185,4 137,16 190,50 160,0 Media muestral: 155,09 Desviación típica (): 7,48 15

16 (1) Con 95% => área de la cola: 0,05 t n1,06 X tn 1 155,09 5 7,48,06 5 P143,77cmts.* ,41cmts.* ,95 cmts. cmts. P , ,00 0, ,09 11,3 () Con 99% => área de la cola: 0,005 t n1,80 X tn 1 155,09 5 7,48,80 5 P139,70cmts.* ,48cmts.* ,99 cmts. cmts. P , ,00 0, ,09 15,39 (3) Con 90% => área de la cola: 0,05 t n1 1,71 X tn 1 155,09 1,71 5 7,48 5 P145,69cmts.* ,49cmts.* ,9 cmts. cmts. P , ,00 0, 9 155,09 9,40 16

17 Estimación de la desv. típ. Chi cuadrado para varios grados de libertad s i1 ( X i X ) Grados de libertad (v) se define como el tamaño () de la muestra menos la cantidad (k) de parámetros a estimar. En el caso de este estadístico, como se debe estimar σ; k = 1 IC i consideramos: pa s pb s pb s pa a valores críticos b Obsérvese que para v 30 la distribución adquiere una conformación normal con la aproximación 1 p z 1 p 17

18 Estimación de la desv. típ. V = 5 α1 = 0,05 α = 0,05 α = 0,05 0,95 α = 0,1 a 11,1 a b α = 0,05, asumimos igual tamaño 0,05 α1 = 0,1 0,831 0,975 1,8 α = 0,05 a 0 1,61,1 0,1 a 1,61 b 0,975 1,8 18

19 Estimación de la desv. típ. Ejercicio nº 1.- De una población de alumnos se ha tomado aleatoriamente una muestra de diez y seis, en la cual se ha observado que la desviación típica de las alturas es de 6 cmts. Encontrar el intervalo de confianza del 95% para σ. 1. Grados de libertad = -k = 16-1 = 15. e determinan los valores críticos: α = 0,05 a partir de aquí se determinan: 0,05 0,975 en la tabla se obtiene: 6,6 en la tabla se obtiene: 7,5 3. e aplica la función: s 0,975 s 0,05 6cmts 16 7,5 6cmts 16 6,6 4,577 9,59 REULTADO: P( 4,6 9,6) 0,95 19

20 Estimación de la desv. típ. Ejercicio nº.- La desviación típica de una muestra de 00 bombillos es de 100 horas. Encontrar el intervalo de confianza del 95% para σ de la producción total.. se observa que v es mayor que 30 grados de libertad, por tanto se puede aprovechar La aproximación a la distribución normal 1. e determinan los valores críticos: α = 0,05 a partir de aquí se determinan: Z 0,95 en la tabla de distribución normal se obtiene: +1,96 y -1,96 1 0,975 ( z0,975 (199) 1) 0,5(1,96 19,95) 39,5 0,05 ( z0,05 (199) 1) 0,5( 1,96 19,95) 161, 37. e aplica la función: 1 s 0,975 s 0,05 100hs 00 39,5 100hs ,37 91,4 hs 111,33 hs REULTADO P( 91,4 hs 111,3 hs) 0,95 0

21 Estimación del tamaño de la muestra para la media Problema: Cuánto margen de error es razonable aceptar al estimar? cuál su relación con el intervalo de confianza en la estimación de la media? i conocemos σ o tenemos una buena estimación de ella; 1