Solución. - Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k. 3( ) = Asíntota vertical. = + x 2.

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1 Estudiar sus asíntotas y ramas ininitas valorando la posición de la unción respecto de ellas.. ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma D[ ( ) ] R { } 6 : Se estudian los límites laterales en Horizontales: y L: ( ) : L ± ± ( ) : No tiene asíntotas horizontales. - Oblicuas: y m n m ( ) ± ± ± ± ± ± ( ( ) ) n m ± ± ± ± ± ± Asíntota oblicua: y 8 ( ( ) ( m n) ) ( 8) ± ± ± 6 6 La unción se aproima a la asíntota por debajo. 6 6 La unción se aproima a la asíntota por encima. ( ) 8 ( 8) ( ) 6 ± Otra orma:

2 . ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma D [ ( ) ] R {, } : Se estudian los límites laterales en. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 6 Se estudian los límites laterales en. 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Horizontales: y L: L ( ) ± ± Asíntota horizontal y. ± ± ( ± ) ± Posición relativa: ± ( ( ) L) debajo. encima. ± ± : La unción se aproima a la asíntota por : La unción se aproima a la asíntota por ± ± - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±, no tiene oblicua.. ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma D [ ( ) ] R { } :

3 Se estudian los límites laterales en. - Horizontales: y L: ( ) ( ± ) L ± ± ± ± La unción no tiene asíntotas horizontales - Oblicuas: y m n ( ) ± ± m ± ± ± ± ± ± La unción no tiene asíntota oblicua. ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma D [ ( ) ] R { } : Se estudian los límites laterales en. - Horizontales: y L: L ± ± La unción no tiene asíntotas horizontales ± ± ± ± - Oblicuas: y m n m ± ± ± n ( ) m ± ± ( ) ( ± ) ± ± ( ) ± ±

4 Asíntota oblicua: y ± ( ( ) ( m n) ) encima. debajo. ± ± La unción se aproima a la asíntota por La unción se aproima a la asíntota por ± Otra orma:. ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma D [ ( ) ] R { } : Se estudian los límites laterales en. - Horizontales: y L: ± ± ± L ± ± ± ± La unción no tiene asíntotas horizontales - Oblicuas: y m n m ± ( ) ± ± ± ( ) ( ± ) ± ± ( ( ) ) n m ± ± ± ± ± ± ± Asíntota oblicua: y ( )

5 ( ( ) ( m n) ) ( ) ± ± ± 8 8 La unción se aproima a la asíntota por debajo. 8 8 La unción se aproima a la asíntota por encima. ( ) ( ) 8 ± Otra orma: 6. ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma [ ( ) ] R D La unción no tiene asíntotas verticales. - Horizontales: y L: L ( ) ± ± ± Asíntota horizontal y. ( ± ) ( ± ) ( ( ) ) ( ) L ± ± ± ± : La unción se aproima a la asíntota por encima. ( ) ( ) : La unción se aproima a la asíntota por encima. - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±, no tiene oblicua.

6 7. ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma [ ( ) ] R { } ( ) ( ) D ± : 8 Se estudian los límites laterales en. ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 8 Se estudian los límites laterales en. 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) - Horizontales: y L: L ( ) ± ± ± Asíntota horizontal y. ± ( ± ) ( ( ) L) ± ± ± ± ± : La unción se aproima a la asíntota por debajo. : La unción se aproima a la asíntota por encima. - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±, no tiene oblicua. 6

7 8. ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma D [ ( ) ] R { } : Se estudian los límites laterales en. - Horizontales: y L: L ( ) ( ) ( ) ( ) ± ± ± ± ( ) ± ± ± ± La unción no tiene asíntotas horizontales - Oblicuas: y m n m ± ± ± ( ) ( ± ) ± ± ( ) ( ) ± ( ) ( ( ) ) n m ± ± ± ± ± ( ) ± Asíntota oblicua: y ( ( ) ( )) m n ± ± ( ) ± ( ) ( ) ± ( ) ± ( ) ( ) ( ) La unción se aproima a la asíntota por encima. La unción se aproima a la ( ) ( ) asíntota por debajo. Otra orma: 7

8 9. ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma D : [ ( ) ] R {, } ( ) ( ) ( ) Se estudian los límites laterales en. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : Factorizar ( ) En, la unción presenta una discontinuidad evitable. No hay asíntota vertical. - Horizontales: y L: L ± ± ± Asíntota horizontal y. ± ± ( ) ( ( ) L) ± ± ± ± ± : La unción se aproima a la asíntota por encima. : La unción se aproima a la asíntota por debajo. - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±, no tiene oblicua. 8

9 . ( ) ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma [ ( ) ] R D La unción no tiene asíntotas verticales. - Horizontales: y L: L ± ± ± Asíntota horizontal y. ( ) ± ( ± ) ( ± ) ( ( ) ) ( ) L ± ± ± ± : La unción se aproima a la asíntota por debajo. ( ) ( ) aproima a la asíntota por debajo. : La unción se - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±, no tiene oblicua.. ( ) ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma : D [ ( ) ] R { } ( ) ( ) Se estudian los límites laterales en. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Horizontales: y L: L ± ( ) ± ± Asíntota horizontal y. ± ± ( ± ) ( ± ) 9

10 ( ( ) L) ± ± : La unción se aproima a la asíntota por debajo. : La unción se aproima a la asíntota por encima. ( ) ± ± ± - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±, no tiene oblicua.. ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma [ ( ) ] R D La unción no tiene asíntotas verticales. - Horizontales: y L: L ( ) ( ) Hacia la unción no tiene asíntota horizontal. L Conjugado Hacia la unción tiene asíntota horizontal y. - Oblicuas. y m n: Por tener asíntotas horizontales hacia, la unción no tiene oblicua. Por no tener asíntota horizontal hacia hay que estudiar la posibilidad de que tenga asíntota oblicua. m ( ) El problema de este límite está en la epresión, cuando tiende a queda, siendo ambos ininitos de igual grado y de distinto signo, por lo tanto

11 m Otra orma de resolver el límite es dividir por ( ) en vez dividir por. ( ) m ( ) ( ) ( ) ( ) Conjugado m n ( ) ( ) Asíntota oblicua hacia y ( ) ( ) ( ) ( ) Conjugado n m ( ) ( ) La unción se aproima a la asíntota por encima.

12 . ( ) - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma : [ ( ) ] R { } ( ) ( ) D ± Se estudian los límites laterales en. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) : Se estudian los límites laterales en. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Horizontales: y L: ( ) ( ± ) ± L ± ± ± ± ( ± ) La unción no tiene asíntotas horizontales - Oblicuas: y m n ( ) m ± ± ± ± n ( ± ) ( ( ) m) ( ) ± ± ± ± ± Asíntota oblicua y ± ( ± ) m ± ( ( ) ( m n) ) ( ) ± ± ± ±

13 ( ) : La unción se aproima a la asíntota por encima. : La unción se aproima a la asíntota por debajo.. ( ) e - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma [ ( ) ] R D La unción no tiene asíntotas verticales. - Horizontales: y L: L ± ( ) ± e Asíntota horizontal hacia y. e e e e >> e e ( ( ) L) asíntota por encima. e > > : La unción se aproima a la - Oblicuas: y m n. Por tener asíntotas horizontales hacia, la unción no tiene oblicua. Por no tener asíntota horizontal hacia hay que estudiar la posibilidad de que tenga asíntota oblicua hacia. ( ) m e e e La unción no tiene oblicua hacia.

14 . ( ) e - Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la orma [ ( ) ] R D La unción no tiene asíntotas verticales. - Horizontales: y L: L Asíntota horizontal y. e ± e ( ± ) e ± ± ± unción se aproima a la asíntota por encima. ( ( ) ) ( ± ) L e e e e - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±, no tiene oblicua. e : La

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