3. 2. Pendiente de una recta. Definición 3. 3.

Transcripción

1 3.. Pendiente de una recta. Definición Se llama Angulo de Inclinación α de una recta L, al que se forma entre el eje en su dirección positiva y la recta L, cuando esta se considera dirigida hacia arriba (º α 8º). O α L Definición 3.4. Se denomina Pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación α. Se denota por m. Es decir m tg α. Nota De las propiedades de la función tangente se deduce que: a) Toda recta paralela al eje (o bien perpendicular al eje ) tiene pendiente cero, ya que en este caso α º y tg º. b) Toda recta perpendicular al eje (o bien paralela al eje ) no tiene pendiente, ya que en este caso α 9º y tg 9º no está definida. Teorema 3.3. Si P (x, y ) y P (x, y ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta. y y Entonces la pendiente de L es m L con P x x x x Sea α el ángulo de inclinación de la recta L. (ver Fig. 3.) P Como las rectas P y A A son paralelas entonces α P P (ángulos correspondientes). α P En el triángulo rectángulo P P se tiene: m tg α P P y x y x ; x x Nota 3.4. A A a) El valor de m dado por el teorema 3.3 no está definido para x x ; este caso corresponde a una recta paralela al eje, de la que se observó anteriormente, no tiene pendiente.

2 b) El orden en que se toman las coordenadas para calcular la pendiente de una recta no tiene importancia, ya que: y y y y ; x x x x x x Ejemplo 3.. Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 4, ) y (, 3). También hallar el ángulo de inclinación. m Además α TG - () 4º. Teorema 3.4. m m Un ángulo θ formado por dos rectas se determina por tg θ con m m. Donde m + mm es la pendiente de la recta Inicial L y m es la pendiente de la recta Terminal L, del ángulo θ. L L θ C Por geometría elemental en triángulo AC se tiene que α α + θ (un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos). Luego: θ α α, entonces m m tg θ tg (α α ), + + m m A α α m m ya que m tg α y m tg α Ejemplo 3.6. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 4º. La recta inicial pasa por los puntos (, ) y (9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y el punto A cuya abscisa es. Hallar la ordenada de A m 9 ( ) Teorema 3.3, m g θ tg 4º 9 y 3 ( ) 9 y m y. Luego, m, despejando se tiene: m 7 y Por

3 Corolario 3.. Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Sean L y L dos rectas, de pendientes m y m respectivamente y θ el ángulo formado por ellos. m m ) Si L L entonces θ º o θ 8º, luego tg θ, m m, entonces, + mm m m m m. ) Si m m entonces tg θ tg θ θ º o θ 8º, luego L L. + m Corolario 3.. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es. Sean L y L dos rectas, de pendientes m y m respectivamente y θ el ángulo formado por ellos. ) Si L L entonces θ 9º, luego del Teorema 3.4., en términos de la cotangente, se tiene + mm que: cot θ ; m m (cot 9º º) entonces + m m m m. m m ) Si m m cot θ ; entonces θ 9º, luego L L. m m Ejemplo 3.7. Sea el triángulo isósceles de vértices P (, 4), Q (, ) y R (, ). Verificar que la recta que une P y el punto medio de la base QR, es perpendicular a QR. P y R Sea M el punto medio de QR entonces sus coordenadas son: - x Q M x m + ; y m pendiente de PM es m Pendiente de QR es m + 3, luego 3 4 ( ). - Como m m entonces PM y QR son perpendiculares.

4 Ejemplo Verificar si los tres puntos P (, ), Q (, 3) y R (7, ) son colineales (es decir están en una misma recta). 3 ( ) La recta PQ tiene pendiente m 4. Si R esta en la recta PQ, la recta RQ debe 3 ( ) coincidir con ella de modo que deben tener la misma pendiente. La pendiente de recta RQ es m colineales. Ejemplo Como m m se tiene P, Q, y R no son Verificar por medio de pendientes que los cuatro puntos A (6, ), (8,6), C (4, 8) y D (, 4) son los vértices de un rectángulo. Considerando el cuadrilátero de lados A, C, DC y AD como en la figura se tiene: C D - - A Entonces: 6 6 m A m C m DC m AD 4 6 Como: m A m DC entonces A DC m C m AD entonces C AD m A. m C entonces A C m DC. m AD entonces DC AD Luego el cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y los lasos adyacentes perpendiculares, por lo que se concluye que ACD es un rectángulo.

5 Ejercicios Propuestos.. Determinar el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos. a) (4, 6) y (, 3) b) ( 3, ) y (, ) c) (, 3 ) y (, ) d) (, 4) y (, 4). Si los puntos (3, ); (4, ) y (6, ) son los vértices de un triángulo. a) Verificar que es un triángulo rectángulo. b) Calcular el área del triángulo. c) Calcular los ángulos interiores del triángulo. 3. La recta L forma un ángulo de 6º con la recta L. Si la pendiente de L es determinar la pendiente de L. 4. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 4º. La recta inicial pasa por los puntos ( 3, ) y (8, 6) y la recta final pasa por los puntos (, 8) y el punto A cuya ordenada es 7. Hallar la abscisa de A.. Demostrar que los puntos (, ), (, 6), (9, 9) y (6, ) son los vértices de un rombo, sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. 6. Si la recta que pasa por los puntos (, ) y (, ) es perpendicular a la recta que pasa por ( 4, ) y (k, 3). Hallar k. 7. Usando el concepto de pendiente de una recta, demuestre en cada caso siguiente que los tres puntos A, y C son colineales. a) A ( 6, 6), (, 3) y C (4, ) b) a) A (, 3), (, 7) y C (, )