1. Conceptos previos. Traslación gráficas en los ejes de coordenadas

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1 Tem 8. Cónis. Coneptos previos. Trslión gráfis en los ejes de oordends.... L irunfereni Definiión euión de l irunfereni Euión de l rets tngentes normles l irunfereni Posiiones reltivs de dos irunferenis Poteni de un irunfereni. Eje entro rdil Elipse Definiión elementos Euión de l elipse Eentriidd de l elipse Euión de l elipse desrrolld: Hipérbol Definiión elementos de l hipérbol Euión de l hipérbol Asíntots de l hipérbol Hipérbol equiláter. Hipérbol entrd en ls síntots Prábol Definiión elementos Euión de l prábol... 6

2 Tem 8. Conis. Coneptos previos. Trslión gráfis en los ejes de oordends En este prtdo veremos un proposiión, que nos permite obtener l euión de un funión o de un figur undo desplzmos sus gráfis en los ejes oordendos. Desplzmiento gráfi en el eje OX: Si desplzmos un gráfi 0 en el eje OX entones l euión de nuestr nuev gráfi se obtiene sustituendo de l euión originl por - 0. Desplzmiento gráfi en el eje OY: Si desplzmos un gráfi 0 en el eje OY entones l euión de nuestr nuev gráfi se obtiene sustituendo de l euión originl por - 0 Ejemplos: Si l euión de l irunfereni en el origen es r, on r el rdio de l mism, enontrr l euión de l irunfereni on entro en O,-3 de rdio 4. Hemos desplzdo l irunfereni 6 en los ejes, tl que 0, e 0-3. De est form l euión de l irunfereni será: : Se l gráfi f, l de un prábol on vértie en el origen. Clulr l euión de l prábol on vértie en V-, Hemos desplzdo l prábol 0 -, e 0. Luego l nuev prábol será: - 45 Págin de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

3 Tem 8. Conis. L irunfereni.. Definiión euión de l irunfereni Definiión: l irunfereni es el lugr geométrio de los puntos que distn l mism distni de otro punto denomindo entro de l irunfereni. L distni de l que distn l entro se llm rdio de l irunfereni, r. Euión irunfereni on entro en el origen O0,0 rdio r: prtir de l definiión l euión de l irunfereni on entro en el origen es el onjunto de puntos que dist r uniddes de O. Es deir, si llmmos P, los puntos que formn l irunfereni, estos hn de umplir: d,or r 0 0 elevndo l udrdo obtenemos l relión entre e de los puntos de l irunfereni: : r Euión irunfereni on entro en el O 0, 0 rdio r:a prtir de ls proposiión vists en el prtdo nterior, l euión on entro en O 0, 0 rdio r es: : r Dte uent que est es l euión de todo punto P, u distni O 0, 0 es igul r. Págin 3 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

4 Tem 8. Conis Ejemplo: enontrr l euión de l irunfereni on entro en O,-3 de rdio 4. Dibujr l irunfereni enontrr 6 puntos de l mism. : Los puntos A,B,C,D situdos en los etremos de l irunfereni se luln de form senill sin más que sumr o restr el rdio l oordend o l del entro: A4,-3 A5,-3 B-4,-3 B-3,-3 C,-34 C, D,-3-4 D,-7 Pr lulr ulquier otro punto de l irunfereni, bst on dr un vlor l o l vlores omprendidos entre los máimos mínimos de e respetivmente despejr l otr oordend. Clulemos P Q on -6: ± 7 P 7,-6, Q- 7,-6 Euión generl de l irunfereni: est se obtiene desrrollndo los udrdos de l euión vist ntes. Hiendo esto l euión viene dd por l siguiente epresión: : ABC0 Identifiquemos los vlores de est euión on el entro O 0, 0 el rdio de l irunfereni: : r 0 A A/ B B/ C 0 0 -r r C Not: luego l euión de l irunfereni se distingue porque los oefiientes de e son los mismos on mismo signo sino son dividimos l euión por ese vlor pr que sí sen. Tmbién se tiene que umplir que C 0 Págin 4 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

5 Tem 8. Conis Ejemplo: dibujr l irunfereni on l euión Los oefiientes de e son los mismo pero no son, sino -. Dividimos l euión por - tenemos: : /-; 0-6/-3; r Ejeriio : dibujr ls siguientes irunferenis obtener 6 puntos de ls misms b Soluión - b -3 4 No es un irunfereni, C 0. Euión imposible: Págin 5 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

6 Tem 8. Conis Ejeriio : lulr l euión de l irunfereni onéntri : que pse por el punto P3,-6. Si es onéntri es que tiene mismo entro: 0-6/-3, 0 4/. Pr lulr el rdio vemos l distni del entro O-3, l punto P3,-6: rdo,p : 3-00 : Ejeriio 3: lulr l euión de l irunfereni que ps por los puntos A-,3, B4,8, C7,-. Dos métodos: Clulndo el irunentro del triángulo ABC. Heho en el tem nterior A prtir de obtener A,B,C de l euión de l irunfereni: ABC0, le obligmos psr por los tres puntos obtendremos un sistem on 3 euiones 3 inógnits: A,3 9 A 3B C 0 B4, A 8B C 0 A 8, B 6, C 0 C7, 49 7A B C 0 : : Euión de l rets tngentes normles l irunfereni. Definiión: l ret tngente un irunfereni un punto PP,P es tod ret que sólo to l irunfereni en este punto. Proposiión: l ret tngente l irunfereni es perpendiulr l ret que une el entro de l mism on diho punto. Est ret se llm ret norml. Clulo de l ret norml: simplemente h que lulr l ret que ps por el punto ddo por el entro de l irunfereni. Cálulo de l ret tngente: lulmos l pendiente prtir de l pendiente de l ret norml. Conoid l pendiente el punto de tngeni lulmos l ret. Ejemplo: lulr l ret tngente norml en el punto de l irunfereni on 0 l irunfereni dd por l siguiente euión : -0 Primero lulemos el entro el rdio: 0 ; 0 -; r. O,-. Si Luego el punto de tngeni es P0,- Norml: m 0 r: - 0 Tngente: m omo ps por P0,- 0 Págin 6 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

7 Tem 8. Conis Ejeriio 4: Obtener l euión de l irunfereni on entro en el origen sbiendo que un de sus rets tngentes es r: -. Podemos lulr el punto de tngeni si lulmos l interseión de r on l ret norml. Sbemos de l ret norml que ps por el entro O0,0 su pendiente es m perpendiulr r. Luego es. L interseión de mbs es P,. El rdio será l distni entre P O rdp,o : Ejeriio 5: lulr ls rets tngentes l irunfereni on rdio 3 entrd en O,-3, sbiendo que l oordend de los puntos de tngeni es 0. Clulemos primero los puntos de tngeni, pr ello neesitmos l euión de l irunfereni: : Si 0-3 ± 8 P0,-3 8, P 0,-3-8 Ret tngente en P0,-3 8 : Clulemos l pendiente de l ret norml que une P on el entro m 8 Luego omo l tngente es perpendiulr m 0 8 r: Ret tngente en P 0,-3-8 : Clulemos l pendiente de l ret norml que une P on el origen m 8 Luego omo l tngente es perpendiulr m- 0 8 r: Posiiones reltivs de dos irunferenis L posiión reltiv de dos irunferenis pueden ser ls siguientesd es l distni entre los dos entros. Eteriores Tngentes eter Sentes Tngente int Interiores D>r r Dr r r -r <D<r r D r -r D< r -r Ningun soluión Un soluión Dos soluiones Un soluión Ningun soluión Págin 7 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

8 Tem 8. Conis Ejemplo: Clulr l posiión reltiv entre ls siguientes irunferenis: : - 4 : - O,-, r O 0,, r DdO, O 6 7,4 r r 3< 7 eterior :- 9, : - 4 O,0, r 3 O -,, r DdO, O 9 0 3, r r 5; r -r 5> 0 > sentes 3 : - 5; : - 4 O -,, r 5 O 0,, r DdO, O, r r 7; r -r 3 3> Interior 4 :-3, : O 3,0, r O 3,-3, r DdO, O , 3 r r 3D Tngente. Págin 8 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

9 Tem 8. Conis Ejeriio 6: lulr los puntos de interseión de ls siguientes irunferenis : 4, : 3 4 O 0,0, r O -3,0, r DdO, O ,0 r r 4; r -r 0 4>3>0 se ortn : 4 : / 4-9/4 7 7/4 ± P-3/, 7 7 ; P -3/,-.4. Poteni de un irunfereni. Eje entro rdil Definiión: se un punto P del plno un irunfereni. L poteni de este punto respeto de l irunfereni se denot Pot P es el produto eslr de los vetores,, siendo A B los puntos de orte de ulquier ret que pse por P orte l irunfereni. Pot P PA PB Demostrión de l independeni de l poteni on l ret elegid: B B Los ángulos son igules, pues están insritos brn el mismo ro. Luego los triángulos son semejntes l tener dos ángulos igules es omún mbos. Al ser semejntes sus ldos proporionles: PB PB PA PA PB PA PB PA Clulo de l poteni: eiste un método más senillo de lulr l poteni, onsistente en sustituir l l del punto PP,P en l euión de l irunfereni Csos: A A Pot P P - 0 P - 0 -r A P B P C Pot P>0 punto eterior l irunfereni b Pot P0 punto de l irunfereni Pot P<0 punto interior l irunfereni P Págin 9 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

10 Tem 8. Conis Ejeriio 7: se l irunfereni : --0, lulr l poteni del punto P0,0 prtir de los dos métodos omprobr que el resultdo es el mismo. Not us l ret que ps por P r:. Cuál es l posiión reltiv de P respeto? A prtir de l definiión de poteni, lulemos los puntos de orte de r on l irunfereni: 0 A,, B, PA -0,-0, PB --0,--0-,- Pot P PA PB - A prtir de sustituir en l euión de l irunfereni: Pot P b Como Pot P<0 el punto dentro de l irunfereni Definiión: eje rdil de dos irunferenis es el lugr geométrio de los puntos que tienen igul poteni respeto de mbs irunferenis. Es un ret. Cálulo de l poteni de dos irunferenis : simplemente plindo l definiión, si los puntos del eje rdil tienen de oordends r,, entones umplen: : ABC0 : A B C 0 r: Pot,Pot, ABC A B C eje rdil r:a-a B-B C-C 0 Not: El eje rdil es un ret perpendiulr l segmento que une los entros de ls dos irunferenis. Si ls irunferenis son onéntris no tienen eje rdil. Págin 0 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

11 Tem 8. Conis Ejeriio 8: lulr el eje rdil de ls irunferenis on euiones :- 4 : - 9. Clulr l meditriz de sus entros omprobr que es prlel l eje rdil : --30 : Eje rdil r: 6--0 O,0, O -,. Meditriz M-0.5, 0.5, n O O 3, : -3C C0 C- m:-3-0 Son prlels on pendiente m3 3. Elipse 3.. Definiión elementos L elipse es l figur geométri que se obtiene de intereptr un ono on un plno uo ángulo on eje es mor que el que form diho eje on l genertriz Definiión: l elipse es el lugr geométrio de los puntos P, que umplen que l sum de ls distnis dos puntos denomindos foos de l elipse F, F es onstnte. dp,fdp,f K, donde es l distni del eje mor, es deir da,a Págin de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

12 Tem 8. Conis Elementos de l elipse: B A A B da,a Foos, los puntos F F. Centro, es el punto O. Vérties: A, A, B, B. Eje mor: es el segmento AA, u distni se llm Eje menor: es el segmento BB, u distni se llm b Distni fol, es l distni entre los foos, es igul Teorem de Pitágors de l elipse: los vlores de, b están reliondos entre si medinte l siguiente epresión: b Demostrión: plimos l definiión de l elipse en ulquier de los puntos B o B : df,bdf,b df,b Se form un triángulo retángulo donde los tetos vlen b l hipotenus. Págin de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

13 Tem 8. Conis Págin 3 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om Método del jrdinero pr onstruir l elipse: onsiste en fijr un uerd de tmño en dos puntos, foos de l elipse distnidos. Con un bolígrfo on l uerd tens trzmos l elipse omo se ve en el siguiente dibujo: 3.. Euión de l elipse Aplindo l definiión de l elipse el teorem de Pitágors pr l elipse podemos obtener l euión reduid. Por senillez situemos en entro en el origen O0,0 el eje mor en el eje OX; est elipse tiene por foos F,0 F -,0. Llmemos P, los puntos de l elipse que umplen: P F d P F d 0 0 ',, Ordenndo l iguldd elevndo l udrdo: Ordenndo l iguldd volviendo elevr l udrdo: b b b Dividiendo entre b : b Euión de l elipse on eje mor el horizontl entro O0,0 Cmbindo por tenemos l euión de l elipse entrd en O0,0 on eje mor el vertil: b Euión de l elipse on eje mor el vertil entro O0,0

14 Tem 8. Conis Si desplzmos l elipse 0 uniddes en el eje OX e 0 en el eje OY, tenemos que el entro de l elipse está en O 0, 0. L euión de l elipse onsiste en sustituir por - 0 e por - 0 : 0 b 0 b 0 0 Elipse on eje mor el horizontl entro O 0, 0 Elipse on eje mor el vertil entro O 0, 0 Ejemplo: esribir l euión reduid de l elipse on entro en O,- on eje mor 4, prlelo l eje OY, menor 3. Obtener 6 puntos 3 4 Q A B3,- B4,- B -3,- B -,- A,-4 A, A,--4 A,-6 B B P A Si 0 P0, - Q0, - - Ejeriio 9: lulr l euión de l elipse si sbemos que F,5, F,, el eje mor es 0. Sbemos que el eje mor es vertil, pues F F están en l ret. El entro será el punto medio de F F O,8 Podemos lulr : df,f 6. 3 Por otro ldo 0 5. Aplindo Pitágors en l elipse b - b Págin 4 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

15 Tem 8. Conis En l irunfereni vimos l euión de l mism si operábmos los udrdos de l euión reduid. En l elipse sólo lo hremos si está entrd en el origen: e: A B -C0, siendo A>0,B>0, C>0 A Bsino es un irunfereni Pr obtener b, sólo tenemos que igulr l prte de e soir en l euión reduid: A B e: C C Luego e: b ó b Si Si. Ejemplo: Enontrr b deir l orientión de l elipse de euión: Dividiendo por 08: 54, b6. El eje mor es el horizontl Eentriidd de l elipse. L eentriidd de l elipse mide omo de htd está l elipse. Se define omo el oiente de l distni fol el eje mor. Se umple omo que >e 0. En el so que e0, entones 0, es deir los dos foos en el entro b. Tenemos un irunfereni, donde br. Ls elipses on mism eentriidd son semejntes. Ejemplo: Deir los vlores de si se sbe que e0,5 b0. 0, Ejeriio 0: lulr l euión de l elipse on e0,6 eje menor situdo on vérties B,5, B,-. bdb,b 6 b3. Eje menor prlelo eje OY OMedioB,B,, ,36 3,75 3,75 3 Págin 5 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

16 Tem 8. Conis Eentrinidd de l elipse 3.4. Euión de l elipse desrrolld: L euión de l elipse desrrollndo los udrdos es de l form A B CDE0, umpliéndose: A B mismo signo b A B si AB es un irunfereni. Psos pr determinr el entro O 0, 0 los ejes b: Agrupr on on el ftor de ; lo mismo on on oefiiente de Busr udrdos perfetos restr el término independiente, de los udrdos. 3 Dividir el término independiente pr que esté l prte de e igulds. 4 Identifir términos: Págin 6 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

17 Tem 8. Conis Ejemplo: dibujr l siguiente óni Es un elipse pues 0 4 mismo signo , b, O-,-. Eje mor prlelo l eje OY. Ejeriio : dibujr e identifir l óni de euión Es un elipse pues 0 36 mismo signo / -0 / / , b 5, O/,-3. Eje mor prlelo l eje OX Págin 7 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

18 Tem 8. Conis 4. Hipérbol 4.. Definiión elementos de l hipérbol Definiión: l hipérbol es l figur geométri que se obtiene de l interseión de un plno on un ono doble. Cumpliéndose que el plno form un ángulo on el eje menor que l diretriz on el eje. Definiión: l hipérbol es el lugr geométrio de los puntos que umple que l difereni de ls distni de los mismo otros dos puntos, llmdo foos de l hipérbol es onstnte. Si P, son los puntos de l hipérbol se umple que: dp,f-dp,f k P P F F Elementos de l hipérbol: los elementos de l hipérbol son: A, A : vérties reles de l hipérbol da,a eje rel F, F : foos de l hipérbol df,f Págin 8 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

19 Tem 8. Conis O 0, 0, entro de hipérbol. B, B eje imginrio de l hipérbol bdb,b eje imginrio Pr situr B B se umple el teorem de Pitágors de l hipérbol: b B b F A O A F B B Eentriidd de l hipérbol: es el oiente entre l distni fol el eje rel: L eentriidd de l hipérbol > umple e> Págin 9 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

20 Tem 8. Conis Págin 0 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om Hipérbol eentriidd 4.. Euión de l hipérbol Podemos obtener l euión de l hipérbol de form semejnte l obtenid on l elipse: Foos eje rel en el eje OX, entrd en origen O0,0: b Foos eje rel en el eje Y,entrd en origen O0,0, se obtiene mbindo por : b 3 Foos eje rel prlelo l eje OX entro en O 0, b 4 Foos eje rel prlelo l eje OY entro en O 0, b

21 Tem 8. Conis Ejemplos: 3 4, b3 eje rel prlelo l eje OY entro O-,3: b, 3 eje rel prlelo l eje OX entro O-,-3: b 5 5 Ejeriio : lulr l euión de l hipérbol sbiendo que e4 A, A,9 Dibujndo los vérties del eje rel A A tenemos que el eje rel prlelo l eje OY tmbién podemos lulr el entro el vlor de : Centro: O, O,5 da,a 8 4 Pr lulr b, usemos el teorem de Pitágors de l hipérbol l eentriidd: 4 4 b , b Euión de l hipérbol desrrollndo l epresión: A B CDE0 umpliéndose A B distinto signo. Los psos son los mismos que hemos heho on l elipse. Ejemplo: Si es un hipérbol pues A negtivo B positivo. Psos Págin de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

22 Tem 8. Conis 4.3. Asíntots de l hipérbol Ls síntots son rets ls que se proim l gráfi undo se he mu grnde /o mu pequeñ. Tod hipérbol tiene dos síntots que psn por el entro de l hipérbol por los vérties del retángulo imginrio siguiente: B A A B Asíntots undo l hipérbol entrd en el origen el eje rel es el eje OX: b - Pendiente de l ret: m ± que undo ree ree o deree b - Punto de l ret O0,0 b - Luego l euión de ls síntots es ± Asíntots undo l hipérbol entrd en el origen el eje rel es el eje OY: - Pendiente de l ret: m ± que undo ree b ree o deree b - Punto de l ret O0,0 - Luego l euión de ls síntots es ± b Si l hipérbol entrd en el punto O 0, 0 entones ls euiones son: b - Si eje rel prlelo l eje OX 0 ± Si eje rel prlelo l eje OY 0 ± - 0 b Ejeriio3: lulr l euión de ls síntots de l hipérbol L hipérbol tiene el eje rel prlelo l eje OY el entro es O-3,. A l hor de lulr los vlores de b, h que tener uiddo pues l hipérbol iguldd. H que dividir los dos ldos de l iguldd entre : Luego O-3,, 4, b eje rel prlelo eje OY 3 6, b 4. Págin de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

23 Tem 8. Conis Ejeriio 4: Hllr los foos, los semiejes, l eentriidd síntots de ls hipérbols siguientes: b Es l epresión de l hipérbol on eje rel prlelo l eje OX on entro en O-3,3, 6, b8. Luego , e. Ls síntots son 3 3 b / 4 9 Es l epresión de l hipérbol on eje rel prlelo l eje OX on entro en O0,0, 3 5 3/, b3. Luego 9/4 9, e 5. Ls síntots son Es l epresión de l hipérbol on eje rel prlelo l eje OY on entro en O0,0,, b. Luego 4 5, e 5. Ls síntots son Ejeriio 5: Hllr ls euiones de ls hipérbols on entro en el origen foos en el eje OX que umple: Tiene un vértie en 6,0 un síntot es 4-30 b Ps por los puntos 3,0 5,-3 Ps por el punto, 5 su distni fol es 6 uniddes d Ps por el punto P-0,4 su eentriidd es de 5/ L euión de tods ells es, por tnto tenemos que lulr b b El vértie que nos dn es A6,0. Luego do,a6. L euión de l síntot de est hipérbol es. Despejndo de l síntot que nos dn:. Luego por tnto b b Podemos lulr b sustituendo los vlores de e de los puntos en l euión : b 3 0 3,0 3 er fáil de lulr pues 3,0 er el vértie A b 5 3 5,-3 b 9/4 3 b 3 9 / 4 Págin 3 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

24 Tem 8. Conis 6 3, luego F3,0 F -3,0. Podemos lulr plindo l definiión de l hipérbol dp,f-dp,f dp,f PF dp,f PF ' dp,f-dp,f 4 4 Pr lulr b pliquemos el teorem de Pitágors: b - b5. 5 d Como no tenemos no podemos lulr F F, no podremos her lo mismo que en el prtdo nterior. Podemos lulrlo por un sistem: 0 4 euión P-0,4 hipérbol b b 5 b euión e, e b 6, b3 hemos desrtdo ls soluiones on /o b negtivs 5 b Hipérbol equiláter. Hipérbol entrd en ls síntots Ls hipérbols equiláters son ls que umplen que los ejes rel e imginrios son igules, es deir b. L euión de l hipérbol equiláter on entro en O 0, 0 vendrá dd por: Eje rel prlelo l eje OX b Eje rel prlelo l eje OY 0 0 Clulemos l eentriidd de l hipérbol equiláter: 0 0 b e. Ls euiones de ls síntots se umple que ls pendientes son m, por tnto son perpendiulres. En l euión desrrolld es fáil de ver si se trt de un hipérbol equiláter, que el ftor que multipli e son igules pero de distinto signo. Págin 4 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

25 Tem 8. Conis Ejemplo: Clulr l euión desrrolld de l hipérbol equiláter on 4 O, eje rel prlelo l eje OY: b/e Euión de l hipérbol equiláter referid los ejes: Vmos ver l euión de l hipérbol equiláter undo ls síntots son prlels los ejes OX OY. Si el entro de l hipérbol es O0,0 por tnto ls síntots son los ejes: L hipérbol en los udrntes I III b L hipérbol en los udrntes II IV Ejemplo b - Si el entro de l hipérbol es O 0, 0 por tnto ls síntots son 0 e 0 : b Ejemplo O3,- -3 b -3- L hipérbol en los udrntes I III L hipérbol en los udrntes II IV Págin 5 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

26 Tem 8. Conis 5. Prábol 5. Definiión elementos El ño psdo vimos l euión de l prábol omo un funión de l form b. Pero hor vmos definir l euión de l prábol omo lugr geométrio Definiión: l prábol es el lugr geométrio de los puntos P, del plno que están igul distni de un punto denomindo foo, F, un ret denomind diretriz, d. Prábol dp,fdp,d P, F0,p/ V0,0 d:-p/ Vértie de l prábol V, u distni l foo l diretriz es P/. 5.. Euión de l prábol L euión de l elipse es según se l diretriz prlel l eje OX o prlel l eje OY de l siguiente form Vértie de l prábol en 0,0 diretriz prlel l eje OX.. diretriz debjo del eje -p/ foo enim F0,p/: p.. diretriz enim del eje p/ foo debjo F0,-p/: -p Vértie de l prábol en 0,0 diretriz prlel l eje OY.. diretriz debjo del eje -p/ foo enim Fp/,0: p.. diretriz enim del eje p/ foo debjo F-p/,0: -p Págin 6 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

27 Tem 8. Conis Si el vértie se sitú en V 0, 0 h que trsldr l gráfi 0 uniddes en el eje OX e 0 en el eje OY: Vértie de l prábol en 0, 0 diretriz prlel l eje OX.. diretriz debjo del eje -p/ foo enim F0,p/: - 0 p- 0.. diretriz enim del eje p/ foo debjo F0,-p/: - 0 -p- 0 Vértie de l prábol en 0, 0 diretriz prlel l eje OY.. diretriz debjo del eje -p/ foo enim Fp/,0: - 0 p- 0.. diretriz enim del eje p/ foo debjo F-p/,0: - 0 -p- 0 Ejemplo p - - Págin 7 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

28 Tem 8. Conis Euión desrrolldo los udrdos: L euión de l prábol se distingue de ls demás ónis porque sólo pree o bien o. Los psos son semejntes los relizdos pr l hipérbol l elipse. Agrupr on si h o on si h omo udrdo perfeto. Despejr el ftor que hemos grupdo 3 Sr ftor omún si hemos despejdo o si hemos despejdo. Ejemplo: Vértie V-,, p-3. Diretriz: 3/5/, F-,-3/-,-/ Ejeriio 6: Hllr l euión de l óni siguiente los elementos de l mism: -60 Es un prábol pues no tiene el término / V-3,-9/ p diretriz: -9/-/-5 Foo F-3,-9//-3,-4 Ejeriio 7: Hllr el lugr geométrio de los puntos que equidistn del punto 5,4 l ret 0 Se trt de un prábol, u diretriz es - prlel l eje OY el foo F5,4. L distni entre l diretriz el foo es p6. El vértie estrá distni 3 de l diretriz del vértie. V,4 Euión: -4 - El signo es debido que el vértie l dereh de l diretriz. Ejeriio 8: Hllr el lugr geométrio de los puntos que equidistn del punto 0, l ret -0. Se trt de un prábol, pero hor l diretriz no es prlel ninguno de los dos ejes. Tendremos que plir l definiión, sbiendo que l diretriz es -0 F0, dp,,r:-0 Págin 8 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

29 Tem 8. Conis dp,,f, 0 0 [-0 - ] Ejeriio 9: Hll l euión de l prábol que umple F3,0 diretriz -7 b V,3 diretriz 4 Vértie 3, F5, df,d0p. Vértie V3-5,0-,0. Como F l dereh de l diretriz: -0 0 b dv,dp/ p4. Como V l izquierd de l diretriz dv,fp/ p4. Como vértie debjo del foo Págin 9 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

30 Tem 8. Conis Ejeriios finles Ejeriio 0. Hllr l euión de l irunfereni que ps por A-,0 B, uo entro se enuentr en l ret --30 Se umple que l distni de los puntos A B l entro situdo en l irunfereni es el mismo. Apliquemos es ondiión. Los puntos de l ret umplen, despejndo de l mism P,-3, por tnto: da,pdb,p C,- Pr ver el rdio sólo tenemos que ver l distni, es deir sustituir en un de ls dos ríes: da,p 5 Luego l euión de l irunfereni: : - 5 Ejeriio.Identifi ls siguientes ónis, indindo sus prámetros representtivos b d 4 40 e -0 Págin 30 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

31 Tem 8. Conis Es un prábol, pues no h término. Vemos l euión de dih prábol: pso pso 6 pso 3 6/3 V-,-/3 p3 Tenemos l prábol Foo F-,-/33/-,7/6 Diretriz d: -/3-3/-/6 b , es un irunfereni pues los oefiientes de e los mismos de mismo signo. Reesribiendo l euión A/-4/- 0 -B/0 Centro O,0 r C : - - es un hipérbol equiláter pues e distinto signo demás de mismo módulo. Pso Pso - 3 Pso3 3 3 b e Págin 3 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

32 Tem 8. Conis d 4 40 elipse pues los oefiientes de e son de mismo signo pero distintos. Pso / -0 Pso 4-/ Pso 3 / / 4, b / 33/ e 3/ Ejeriio. Clulr l euión del lugr geométrio de los puntos u sum de ls distnis los puntos F0,0 F 3,3 es onstnte igul 0. Según l definiión se trt de un elipse donde F F son los foos 0 es el eje mor 0 5 df,f Llmemos P, l onjunto de puntos de l elipse, que umplen dp,fdp,f d d F, P F', P Págin 3 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om

33 Tem 8. Conis Ejeriio 3. Clulr l euión del lugr geométrio de los puntos u difereni de ls distnis los puntos F0,0 F 3,3 es onstnte igul. Se trt de un hipérbol en donde, d F, F' Clulemos l euión de l hipérbol plindo que l difereni entre ls distnis de los puntos P, de l hipérbol umple: d P, F d P, F' d d F, P F', P 3 3 d F, P d F', P Págin 33 de 33 Tem elbordo por José Luis Lorente lorentejl@gmil.om