SERIES INFINITAS.SERIES DE POTENCIAS. S = lim S. ( 1)

Transcripción

1 SERIES INFINITAS.SERIES DE POTENCIAS. Defiicioes y otació. A la suma de ua sucesió de térmios se deomia SERIE y el valor de dicha suma, si es que tiee alguo, se defie como S lim S. U ejemplo de serie ifiita, deomiada así debido a que dicha sucesió es ifiita, es la deomiada serie geométrica, la cual se obtiee a partir de u térmo iicial multiplicado por ua catidad costate, p. ej. a ar ar ar ar. E este caso la catidad iicial a es multiplicada por la catidad costate r para obteer dicha serie ifiita. E geeral ua serie ifiita sigifica ua epresió de la forma a a a a, dode las a so úmeros o fucioes dadas por algua regla o fórmula. Los tres putos sigifica que la serie uca termia. Si se tiee duda de cómo es la regla usada e la formació e la serie, el térmio geeral o térmio -ésimo deberá epresarse, p. ej. ( ) ( )! Tambié usaremos formas abreviadas para deotar las series, p. ej. para las series ateriores, la forma abreviada será ( ) ( ).! Las aplicacioes de las series ifiitas so muchas, pero mecioamos como lo más importate para osotros e este mometos, su uso e la solució de problemas matemáticos que o puede resolverse e térmios de fucioes elemetales ( potecias, raíces, fucioes trigoométricas y sus iversas, logaritmos y epoeciales y combiacioes de estos), o e caso de que pueda resolverse, es muy complicado trabajar co ellos. E estos casos ecotramos ua respuesta e fució de ua serie y usamos los térmios requeridos de acuerdo a la presició deseada. Las ecuacioes difereciales so resueltas e muchas ocasioes e fució de series ifiitas. Ua itegral defiida, por ejemplo, 0. e 0 d, para la cual o hay solució e térmios de fucioes

2 elemetales, se puede resolver su epadiedo su itegrado e ua serie e itegrado térmio a térmio dicha serie. SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES. Eiste series caracterizadas por teer ua suma fiita. Pero tambié eiste series cuya suma o es fiita. Si la serie tiee ua suma fiita, se deomia serie covergete, mietras que e caso cotrario se deomia serie divergete. Es muy importate saber si ua serie es o o covergete. Puede ocurrir cosas raras si tratamos de aplicar algebra ordiaria a ua serie divergete. Supogamos la siguiete serie: S 8 6. Etoces S 6 S, y de aquí podríamos cocluir que S, lo cual obviamete o tiee setido. E este puto podríamos recoocer que la serie es divergete, y la serie, Es covergete como se muestra, pero se puede teer la suma que se quiera reacomodado el orde de los térmios!, como se podrá ver más adelate. Lo aterior os muestra la importacia de trabajar co series que sea covergetes. Esto implica que uestro iterés se cetrará e series que cumpla la codició S lim S. De aquí podemos decir que si la suma parcial S (la suma de los primeros térmios) tiede a u límite, etoces la serie es covergete. E caso cotrario se dice que la serie es divergete. Al valor límite de la serie S se deomia suma de la serie. Por otro lado a la diferecia R S S se le deomia residuo. De la defiició mostrada ates tedremos lim R lim( S S ) S S 0. PRUEBAS DE CONVERGENCIA. Primero discutimos la deomiada prueba prelimiar. E muchos casos debemos itetar aplicar esta simple prueba ates de aplicar u método más complicado, auque o e todos los casos es útil. Prueba prelimiar. Si los térmios de ua serie ifiita o tiede a cero, esto es si lim a 0, la serie diverge. Si lim a 0, debemos de probar por otro método más avazado. Es importate hacer otar que esta prueba prelimiar resulta útil para elimiar pruebas complicadas e series otoriamete divergetes, pero tambié hay que otar que esta misma prueba uca os dice que la serie coverge, es decir, o os dice que la serie coverge si a 0, y de hecho a meudo es el caso. U ejemplo de lo aterior lo costituye la deomiada serie armóica, e la que el -ésimo térmio

3 tiede a cero, pero se puede demostrar que la serie, es divergete. Por otro lado e la serie, los térmios tiede a, y de acuerdo a la prueba prelimiar la serie diverge y o hay caso hacer más pruebas. PRUEBAS PARA CONVERGENCIA DE SERIES DE TERMINOS POSISTIVOS. CONVERGENCIA ABSOLUTA. Cosideramos ahora cuatro pruebas útiles para probar la covergecia de series que cotiee úicamete térmios positivos. Si la serie cotiee térmios egativos, au cosideraremos la serie que resulta de todos los térmios positivos, es decir, la serie cuyos térmios so los valores absolutos de la serie origial. Si la ueva serie coverge, llamamos a la serie origial absolutamete covergete. Se puede probar que si ua serie coverge absolutamete, etoces es covergete. Lo aterior sigifica que si la serie de valores absolutos coverge, la serie au es covergete cuado poemos los sigos egativos e los térmios que lo so, auque el valor de la suma sea diferete. PRUEBA DE COMPARACION. Esta prueba cosiste de dos partes, que llamaremos (a) y (b). (a). Sea m m m m, ua serie de térmios positivos, la cual sabemos que coverge. Etoces la serie que queremos probar: a a a a, es absolutamete covergete si a m, para todo a partir de u puto e adelate (ya sea a partir del 0 o el milloésimo térmio), esto es, si el valor absoluto de cada térmio de la serie a o es mayor que el correspodiete térmio de la serie m. (b). Sea d d d d, ua serie de térmios positivos que sabemos que diverge. Etoces la serie a a a a diverge si a d, para todo a partir de u puto e adelate. Es importate hacer otar que i a m, i a d os dice ada. Es decir, que si ua serie tiee térmios mayores que aquellos de ua serie covergete, puede au coverger o puede diverger; debemos hacer más pruebas. Por otro lado, si ua serie tiee térmios más pequeños que los de ua serie divergete, au puede ser divergete o covergete. Ejemplo. Probemos si la serie coverge. Como comparació! 6 usaremos la serie geométrica 6, que sabemos coverge. 8 Notar que o os importa los primeros térmios e ua serie (de hecho, cualquier úmero fiito de térmios), dado que estos puede afectar el valor de la suma, pero o su covergecia. Cuado pregutamos si ua serie coverge o o, estamos pregutado que ocurre cuado agregamos más y más térmios para más y más grades. La suma se icremeta idefiidamete o se aproima a u límite?. Que los

4 primeros cico, cie o u milló de térmios o tiee efecto sobre si, evetualmete la suma se icremeta idefiidamete o se aproima a u límite. Cosecuetemete, a meudo igoramos los primeros térmios e la prueba de covergecia de ua serie. E el ejemplo presete, los térmios de so más pequeños que los! correspodietes de, para todo coverge, etoces cocluimos que!, y como sabemos que la serie geométrica, coverge tambié. PRUEBA POR INTEGRACION. Podemos usar esta prueba cuado los térmios de la serie so positivos y o se icremeta, esto es, cuado a a. Recordemos que podemos igorar u úmero fiito de térmios de la serie; aú así el resto aú puede usarse, aú cuado la codició a a o se cumpla para u úmero fiito de térmios. Para aplicar esta prueba, pesamos e a como ua fució de la variable, olvidádoos del sigificado atribuido a ; de esta forma, permitimos que tome todos los valores y o ada más valores eteros. La prueba puede euciarse como sigue: Si 0 a para N, etoces a coverge si d es fiita y diverge si la a a itegral es ifiita. Es importate otar que la itegral se evaluará solamete e le límite superior; o se requiere límite iferior. Para eteder esta prueba, imagiemos ua gráfica de como fució de. Supogamos por ejemplo la serie armóica a ; cosideramos la gráfica de la fució y, similar a la que se muestra e las figura y, dode supoemos que toma todos los valores, o úicamete valores eteros. Etoces los valores de y e la gráfica e,,,, so térmios de las series. E las figuras y, las áreas de los rectágulos so simplemete los térmios de la serie. Note que e la figura, la parte superior del rectágulo está por ecima de la curva, de tal maera que el área del los rectágulos es mayor que el área debajo de la curva. Por otro lado, e la figura los rectágulos está por debajo de la curva, por lo que su área es meor que el área debajo de la curva. El área de los rectágulos so los térmios de la serie simplemete, mietras que el área bajo la curva es ua itegral de y d o a d. El límite superior de la itegral es y el límite iferior puede hacerse que correspoda a cualquier térmio de la serie co que se quiera arracar.

5 Figura. Prueba de covergecia por itegració. Figura. Prueba de covergecia por itegració. Por ejemplo, de la figura, d es meor que la suma de la serie de a e adelate, pero (figura ) mayor que la suma de la serie de e adelate. Si la itegral es fiita, etoces la suma de la serie de a e adelate es fiita, esto es, la serie coverge. Note uevamete que los térmios del iicio de la serie o ifluye e la covergecia. Por el otro lado, si la itegral es ifiita, etoces la suma de la serie de a e adelate es ifiita y la serie diverge. Dado que los térmios iiciales o so d iterés, etoces o hace falta el límite iferior de la itegral y evaluamos simplemete a d. a a

6 Probemos la serie armóica: Usado la prueba de la itegració evaluamos d l. Dado que la itegral es ifiita, la serie es divergete. PRUEBA DEL COCIENTE. La itegració de a d o siempre es fácil, por lo que podemos cosiderar otra prueba que puede resolver muchos casos que o puede resolverse por la prueba de itegració. Empezamos por defiir los siguietes térmios: a ρ, a ρ lim ρ. Etoces la prueba del cociete se puede euciar como sigue: Si: ρ, etoces la serie coverge ρ, usar otra prueba (esta o es cocluyete) ρ, la serie diverge. Tomemos como ejemplo la serie!! Usado las defiicioes ateriores teemos ρ! ( )!!! ( )! ( ) ( )( )( ) De dode teemos ρ lim ρ lim 0. Dado que ρ, la serie coverge. 6

7 Otro ejemplo muy ilustrativo de la aplicació de este método de prueba ocurre co la serie armóica E este caso ecotramos que ρ, ρ lim lim. De acuerdo al euciado del método, éste o os dice ada y debemos usar ua prueba diferete. Es importate alertar que ρ es siempre meor que. Se debe teer cuidado de o cofudir este cociete co ρ y cocluir icorrectamete que la serie coverge. De hecho, como mostramos e la prueba de la itegració, la serie es divergete. PRUEBA ESPECIAL DE COMPARACION. Esta prueba tiee dos partes: (a) prueba de covergecia, y (b) prueba de divergecia. (a) Si b es ua serie covergete de térmios positivos y a 0 y a b tiede a u límite (fiito), etoces a coverge. (b) Si d es ua serie divergete de térmios positivos y además a 0 y a d tiede a u límite mayor que 0 (o tiede a ), etoces a diverge. Tomemos la serie, para ejemplificar este método. Primero debemos decidir que térmio es más importate a medida que ; es ó bie?. Podemos comparar sus logaritmos para idagar la respuesta, dado que l N y N crece o decrece jutos. Ahora sabemos que l l, y l l, pero l es más pequeño que, por lo que para grade teemos l y. (Puede calcular p. ej. 00 0, y 0. El deomiador de la serie etoces será aproimadamete. De lo aterior vemos que la serie para comparació será. 7

8 Si hacemos uso de la prueba del cociete, vemos que esta serie es divergete, como se muestra a cotiuació: ρ De dode ρ lim, por lo que vemos que la serie es divergete. Ahora por la prueba (b) ( )! ( ) ( ) ( ) a lim lim lim d La cual es mayor que cero, por lo que cocluimos que la serie diverge. SERIES ALTERNANTES. Hasta ahora hemos cosiderado series de térmios positivos y cosideramos ahora u caso importate de series cuyos térmios tiee sigos mitos; ua serie alterate e ua serie cuyos térmios so alterativamete positivos y egativos. Por ejemplo la serie ( ) es ua serie alterate. Dos pregutas eseciales e el caso de series alterates so: coverge la serie?, coverge absolutamete (esto es, cuado hacemos todos los sigos positivos)?. Cosideremos la seguda preguta primero. Para el ejemplo aterior, la serie de valores absolutos es Esta es la serie armóica, la cual sabemos que diverge. Etoces decimos que la serie alterate o es absolutamete covergete. La siguiete preguta es si esta serie coverge tal como está; si hubiera covergido absolutamete, etoces o habrá ecesidad de haceros la preguta aterior, dado que, se puede demostrar, ua serie absolutamete covergete, es covergete tambié. Si embargo, ua serie absolutamete divergete, puede o o ser covergete; deberemos probar por otros métodos etoces. Para ua serie alterate la prueba es muy simple y se eucia como sigue: Prueba para ua Serie Alterate. Ua serie alterate coverge si el valor absoluto de los térmios decrece moótoamete ( es decir, de maera permaete) a cero, esto es, si a a y además lim a 0. 8

9 E uestro ejemplo, y lim 0, por lo tato la serie coverge. ALGUNAS PROPIEDADES UTILES DE LAS SERIES. Eumeramos alguas propiedades de las series:. La covergecia o divergecia de ua serie o se afecta al multiplicar cada térmio de la serie por la misma costate. Tampoco se afecta al cambiar u úmero fiito de térmios (por ejemplo, omitiedo pocos térmios del iicio).. Dos series covergetes a y b puede sumarse (o restarse) térmio a térmio. (Sumado térmio a térmio sigifica que el -ésimo térmio de la suma es a b ). La serie resultate es covergete, y su suma es obteida sumado (o restado) las sumas de las series dadas.. Los térmios de ua serie absolutamete covergete puede reacomodarse e cualquier orde si afectar la covergecia o la suma de la serie. Esto si embargo o es cierto e el caso de series codicioalmete covergetes. SERIES DE POTENCIAS. Eiste series cuyos térmios o so costates, sio fucioes de ; hay muchos ejemplos de dichas series, pero osotros úicamete cosideraremos aquellas series e las que el -ésimo térmio es igual al producto de ua costate por o bie, ua costate multiplicado a ( a). dode a es ua costate. Dichas series se cooce como series de potecias, porque sus térmios so múltiplos de ó ( a). Eiste otras series cuyos térmios puede ser seos y coseos (series de Fourier) ó bie poliomios u otro tipo de fucioes ( Legedre, Bessel, p ej.) y que so sumamete útiles e ua gra catidad de aplicacioes. Aquí estudiaremos úicamete las series de potecias y e particular la serie de Taylor. Por defiició, ua serie de potecia de potecias tiee la forma 0 a a 0 a a a O bie 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a a a a a a a a a dode los coeficietes a so costates. 9

10 A cotiuació uos ejemplos: ( ) (a), 8 ( ) (b), (c) (d) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!! 7!!. La covergecia de estas series depede de los valores que se cosidere para la variable. A meudo se usa la prueba del cociete para ecotrar los valores de para los cuales coverge la serie. Probemos las series ejemplificadas arriba.. Para la serie mostrada e (a), teemos de dode obteemos La serie coverge para ( ) ( ) ρ, ρ. ρ, esto es, ó bie, y diverge para ρ por lo que podemos mostrar fácilmete que esto implica. Esto sigifica que para cualquier valor de compredido etre - y, la serie coverge; lo aterior ecluye los etremos de la recta umérica compredida etre estos valores, por lo que debemos idagar que ocurre co la covergecia de la serie cuado toma los valores etremos, es decir - y. Si vemos que la serie es:, la cual es divergete. Cuado la serie es:, por lo que la serie es divergete. De acuerdo a estos resultados cocluimos que el itervalo de covergecia se establece como:.. Para la serie del caso (b) ecotramos ρ, ρ lim. La serie coverge para. De uevo debemos eplorar los putos etremos del itervalo de covergecia, y. Para la serie es: ; esta es ua serie armóica alterate y se puede demostrar que es covergete. 0

11 Para la serie es: ; observamos que esta es la serie armóica multiplicada por - y es divergete. Por lo aterior vemos que el itervalo de covergecia es.. Observamos que para la serie del caso (c), el valor absoluto del -ésimo térmio es. De acuerdo co esto, el térmio se obtiee sustituyedo por ( )! y el valor absoluto del térmio es. ( )! Por lo aterior teemos ρ, ( )! ( )! ( )( ) ρ lim 0. ( )( ) Dado que ρ, para todos los valores de, esta serie coverge para todos los valores de.. Fialmete para el caso (d) teemos ( ) ( ) ρ lim ( ) ρ., Esta serie coverge para ; esto es, ( ), ó bie. Para, la serie es, que es covergete por la prueba de las series alterates. Para, la serie es la cual 0 es divergete por la misma prueba de las series alterates. De lo aterior cocluimos que la serie coverge para.

12 TEOREMAS ACERCA DE SERIES DE POTENCIAS. El valor de la suma de ua serie depede del valor que tome la variable por lo que deotamos por S() al valor de dicha suma. Por esto las series de potecias defie ua fució de, que llamaremos S(). E este setido decimos que la serie coverge a la fució S(). Aquí la idea es obteer la fució a partir de ua serie dada. Estaremos iteresados e obteer ua serie que coverja a la fució dada. Las series de potecias so muy útiles porque las podemos maejar muy parecido a como maejamos los poliomios. A cotiuació listamos cuatro teoremas de mucha utilidad e la obteció y aplicació de dichas series.. Ua serie de potecias puede difereciarse o itegrarse térmio a térmio; la serie resultate coverge a la derivada o la itegral de la fució represetada por la serie origial detro del mismo itervalo de covergecia de la serie origial (esto es, o ecesariamete e los putos etremos del itervalo).. Dos series de potecias puede sumarse, restarse o multiplicarse; la serie resultate coverge al meos e el itervalo comú de covergecia. Se puede dividir dos series si el deomiador de la serie o es cero e 0, o si siedo se cero se puede cacelar por el umerador (como por ejemplo e ). La serie resultate tedrá algú itervalo de covergecia.. Ua serie puede ser sustituida e otra serie, siempre y cuado los valores de la serie sustituida está e le itervalo de covergecia de la otra serie.. La serie de potecias de ua fució es úica, esto es, eiste úicamete ua serie de la forma 0 a que coverge a la fució dada. EXPANSION DE FUNCIONES. SERIE DE TAYLOR. Ua de las aplicacioes más importates de las series de potecias es la represetació de fucioes. Para ilustrar este puto usaremos la fució se, para la cual supoemos que eiste ua serie de potecias. Lo aterior implica que buscamos los coeficietes a s de la serie: se a0 a a a, que haga que la idetidad aterior sea correcta. Dado que el itervalo de ua serie de potecias cotiee el orige, debe cumplirse e 0. Si sustituimos 0 e la epresió aterior obteemos que a0 0 debido a que todos los térmios, ecepto el primero, se hace cero. De la misma forma, si evaluamos la primera derivada de la serie, cos a a a, obteemos que a. Si volvemos a difereciar obteemos la epresió: se a a a, la cual evaluada a su

13 vez e 0, os coduce a la igualdad 0 a. Cotiuado el proceso, obteiedo la siguiete derivada y evaluado la epresió resultate e 0, obteemos cos a a, que evaluada e 0 os proporcioa el valor de a!. De la misma maera, derivado de uevo obteemos se a a, que evaluada e 0 os coduce a 0! a. Cuado sustituimos los valores obteidos, os resulta la coocida serie de la fució seo: se!! Las series obteidas de esta forma se deomia series de Maclauri o series de Taylor alrededor del orige. Ua serie de Taylor e geeral sigifica ua serie de potecias de ( c), dode c es algua costate y se ecuetra usado ( c) e lugar de. La obteció de los coeficietes a de la serie, se lleva a cabo por el mismo procedimieto mostrado e la obteció de la fució seo, sustituyedo c e la fució y sus derivadas, e lugar de 0. Efectuemos este procedimieto para ua fució geeral f ( ) eiste la serie de Taylor de dicha fució: f a a c a c a c f f f, supoiedo que ( ) 0 ( ) ( ) ( ) a ( c) a ( c) f ( ) a a ( c) a ( c) a ( c) a ( c) ( ) a a( c) a ( c) ( ) a ( c) ( )! a a ( c) ( )( ) a ( c) ( ) ( ) ( )( ) a R, Dode el térmio R represeta los térmios de derivada superior que o se muestra, y está relacioado co u elemeto de la serie que defiimos más adelate. Ahora evaluamos las epresioes ateriores e c y obteemos: () c a0, f ( c) a, f ( c) a ( () c! a f ) ( c) a f f!,, Por lo que podemos escribir etoces la serie de Taylor para f ( ) alrededor de c : f ( () f () c ( c) f () c ( c) f ( c) ( c) f ) () c!!

14 ( ) La serie de Maclauri para f es la serie de Taylor alrededor del orige. Haciedo 0 e la epresió aterior obteemos la serie de Maclauri para f : ( ) f!! ( ( ) f ( 0) f ( 0) f ( 0) f ( 0) f ) ( 0) E geeral, y de maera o formal, podemos decir que ua fució f puede epaderse alrededor de u puto c, que deomiaremos puto base, e ua serie de Taylor, siempre que eista dicha serie, como f! ( () f () c ( c) f () c ( c) f ( c) ( c) f ) () c R ()!! ( ) E la que el térmio ( ) ( ( c) f ) ( ξ ) ( )! R ξ [ c, ] se deomia el residuo de orde de la serie, y la epresió presetada se deomia la forma de Lagrage del residuo., La serie de Taylor es de suma importacia e muchas aplicacioes, si embargo esto implica el uso de derivadas de alto orde, depediedo del úmero de térmios que se desee, y estas derivadas o siempre so simples de ecotrar; cosidere por ejemplo el caso de la fució e ta, por citar u ejemplo, y se verá que ecotrar sus derivadas de alto orde o es trivial. E estos casos hay ua serie de métodos que resulta de suma utilidad para obteer la serie de Taylor, a partir de la combiació de series de fucioes secillas, que os permite, al combiarlas, ecotrar series de fucioes más complejas. Ilustraremos co ejemplos ua variedad de métodos para obteer series de fucioes complicadas. Para esto establecemos las series correspodietes a fucioes secillas que se muestra a cotiuació. 7. se!! 7! 6. cos!! 6!. e!!!

15 l p( p ) p( p )( p ) p p.!!. ( ). ( ) Esta última es la serie biomial; p es cualquier úmero real, positivo ó egativo. Ejemplo. Ecotrar la serie de la fució ( ) se. E este caso usamos la serie para la fució seo y la multiplicamos por el er térmio:!! ( ) se ( )!! Ejemplo. Ecotrar la serie de e cos, combiado las series y mostradas arriba: e cos!!!!!!!!!!!!! Ejemplo. Ecotramos la serie que resulta de u cociete de fucioes, l( ) Usado la ª serie mostrada e la lista obteemos.

16 ( ) l Ejemplo. Usamos la epresió como ua geeralizació del teorema del biomio, co ;la diferecia es que e este caso p puede ser egativo o fraccioal, y e estos casos, la epasió es ua serie ifiita. Esta serie coverge para ( b a ) p b a,,, como se puede probar usado la prueba del cociete. Usaremos lo aterior para obteer ( ) ( )( ) ( )( )( )!! Otros casos iteresates lo costituye la sustitució de poliomios o series, por la variable de otra serie. El siguiete ejemplo ilustra lo aterior. Ejemplo. Ecotrar la serie de la fució. Usado la serie de obteemos e e ( ) ( )!!!! 6 e 6