Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
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- Josefina Murillo Páez
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1 Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2, a 3 = 1/3, a 4 = 1/4,... TÉRMINO N-ÉSIMO DE UNA SUCESIÓN El térmio -ésimo de ua sucesió es el que va acompañado de la letra que idica el valor del úmero e determiado térmio; por ejemplo si teemos la sucesió S, e el térmio,, la seguda compoete que se deota por, se llama térmio -ësimo de la sucesió o térmio geeral. PARA DETERMINAR UNA SUCESIÓN: Primero se debe coocer los térmios de ua sucesió. Ya coociedo el térmio -ésimo se debe establecer los térmios que forma la sucesió. por ejemplo: El térmio -ésimo o geeral es:
2 Hay que teer e cueta que para determiar el térmio -ésimo de ua sucesió es ecesario coocer como míimo cico térmios de esta y aalizar qué trasformació se les realizó a los úmeros. EJEMPLO: SI Primer Térmio Segudo Térmio Tercer térmio Térmio oveta Esto es e caso de que el primer térmio de la sucesió sea 0.
3 E caso de que el primer térmio de la sucesió sea 1, etoces: Sucesió moótoa creciete Ua sucesió es moótoa creciete si se cumple que para todo atural a <= a +1 (a 1 <= a 2 <= a 3 <=... <= a ). Ejemplo: a = es moótoa creciete. a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4,... Sucesió moótoa decreciete Ua sucesió es moótoa decreciete si se cumple que para todo atural a >= a +1 (a 1 >= a 2 >= a 3 >=... >= a ). Ejemplo: a = 1/ es moótoa decreciete. a 1 = 1, a 2 = 1/2, a 3 = 1/3, a 4 = 1/4,... Límite fiito de ua sucesió Cosideremos la sucesió a = 1/.
4 a 1 = 1 a 2 = 1/2 = 0.5 a 3 = 1/ a 4 = 1/4 = 0.25 a 5 = 1/5 = 0.2 a 6 = 1/ a 7 = 1/ a 8 = 1/ a 9 = 1/ a 10 = 1/10 = 0.1 A medida que aumeta, los térmios de la sucesió so cada vez más cercaos a 0. Si represetamos los térmios como putos e ua líea, esto sigifica que los putos a se apiña cada vez más cerca del puto 0 coforme crece. Se dice que a tiede a 0, o que tiee límite 0. Se expresa simbólicamete por: lim a = 0 o bie, ocasioalmete, por la otació abreviada a -> 0. Límite fiito lim = a <=> para todo ε>0 existe N atural / para todo > N a - ε < a < a + a ε, o lo que es lo mismo, a - a < ε. Para cualquier úmero positivo ε, por pequeño que sea, podemos ecotrar u atural N suficietemete grade tal que a partir del ídice N e adelate se tiee que a - a < ε. Es decir, si tomamos u etoro de a de cualquier radio siempre habrá u
5 subídice N tal que desde N e adelate todos los térmios de la sucesió perteece a dicho etoro. Límite ifiito de ua sucesió Cosideremos la sucesió a = 2. a 1 = 1 a 2 = 4 a 3 = 9 a 4 = a 10 = a 100 = Al crecer, a o tiede a u límite defiido, sio que crece más allá de toda cota. Se dice que a tiede a ifiito. Límite ifiito lim a = + <=> para todo K>0 existe N atural / para todo > N a > K. Para cualquier úmero positivo K (ta grade como se quiera), podemos ecotrar u atural N, tal que a N y todos los térmios siguietes so mayores que K. Esto quiere decir que a puede hacerse mayor que cualquier cota, co tal de que sea lo suficietemete grade. Del mismo modo se defie para todo > N a < K. lim a = <=> para todo K<0 existe N atural /
6 Covergecia y divergecia Cuado ua sucesió tiee límite fiito a se dice que es covergete y coverge a a. Ua sucesió que tiee límite ifiito se llama divergete. Ua sucesió que carece de límite se llama oscilate. La sucesió a = 1/ coverge a 0. La sucesió a = 2 es divergete. La sucesió a = se es oscilate, pues sus valores varía etre 1 y -1. Propiedades del límite fiito de sucesioes Uicidad del límite Si ua sucesió tiee límite es úico. H) lim = b a T) b es úico Límite de la sucesió compredida Si ua sucesió está compredida etre otras dos que tiee igual límite, etoces tiee el mismo límite. H) lim a = lim b = p Para todo > 0 a <= c <= b T) lim = p c
7 Operacioes co límites El límite de la suma, producto y cociete de sucesioes se determia por las mismas reglas que para las fucioes de variable cotiua. Las demostracioes so iguales, basta sustituir f(x) por a y cosiderar que la tedecia siempre es hacia +ifiito. Aquí sólo demostraremos el límite de ua suma. Para ver las demás reglas visitar la págia sobre operacioes co límites. Límite de la suma Si dos sucesioes tiee límite fiito, etoces su suma tiee límite fiito y es igual a la suma de esos límites. H) lim = a, a lim b = b T) lim a + b = a + b Sucesioes equivaletes Dos sucesioes se dice equivaletes cuado el límite de su cociete es 1. Sucesió acotada M es cota superior de la sucesió a si a < M para todo. m es cota iferior de la sucesió a si a > m para todo. Ua sucesió es acotada si tiee tato cota superior como iferior. Teorema
8 Toda sucesió moótoa y acotada coverge. H) a moótoa Existe m y M / m < a < M para todo. T) lim = b a Teorema Toda sucesió covergete es acotada. H) a covergete T) a acotada El úmero e A meudo u úmero a se describe por medio de ua sucesió ifiita a de aproximacioes; esto es, el valor a está dado por el valor a co cualquier grado de precisió deseado si el ídice se elige suficietemete grade. Este es el caso del úmero e (e = 2, ), que puede defiirse como el límite de la sucesió a = (1 + 1/) o de la sucesió b = (1 + 1/) +1.
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